(文章)幂函数常见题型例析

幂 函 数 常 见 题 型 例 析

幂函数是重要的基本初等函数模型之一，下面就其可能出现的题型加以分析，以提高同学们解决问题的能力．

一、 求解析式

例1 已知幂函数2223(1)m m y m m x

--=--，当(0)x ∈+，∞时为减函数，则幂函数y = ．

解析：由于2223(1)m m y m m x

--=--为幂函数， 所以211m m --=，解得2m =，或1m =-．

当2m =时，2233m m --=-，3y x -=在(0)+，∞上为减函数；

当1m =-时，2230m m --=，01(0)y x x ==≠在(0)+，∞上为常函数，不合题意，舍去．

故所求幂函数为3y x -=．

点评：求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是关键．

二、 比较大小

例2 比较0.50.8，0.50.9，0.50.9

-的大小． 分析：先利用幂函数0.5y x

=的增减性比较0.50.8与0.50.9的大小，再根据幂函数的图象比较0.50.9与0.50.9

-的大小． 解：0.5y x = 在(0)+，∞上单调递增，且0.80.9<，

0.50.50.80.9∴<．

作出函数0.5y x

=与0.5y x -=在第一象限内的图象， 易知0.50.50.9

0.9-<． 故0.50.50.50.80.90.9-<<．

三、 求参数的范围

例3 已知幂函数2()m y x m -=∈N 的图象与x y ，轴都无交点，且关于y 轴对称，求m

的值，并画出它的图象．

解： 图象与x y ，轴都无交点， 2m ∴-≤0，即2m ≤．

又m ∈N ，012m ∴=，，．

幂函数图象关于y 轴对称，

0m ∴=，或2m =．

当0m =时，函数为2y x -=，图象如图1；

当2m =时，函数为01(0)y x x ==≠，图象如图2．

四、 讨论函数性质

例4 讨论函数211()()m

m f x x m *++=∈N 的定义域、奇偶

性和单调性． 解：（1）2

(1)()m m m m m *+=+∈N 是正偶数， 21m m ∴++是正奇数．

∴函数()f x 的定义域为R ．

（2）21m m ++ 是正奇数，

2211

11()()()m m m

m f x x x f x ++++∴-=-=-=-，且定义域关于原点对称． ()f x ∴是R 上的奇函数．

（3）2101

m m >++ ，且21m m ++是正奇数， ∴函数()f x 在()-+，

∞∞上单调递增．