2020年考研数学二真题及答案解析
2020考研数学二真题及解析完整版
来源：文都教育
一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.0x +
→，下列无穷小量中最高阶是（
）
A.(
)
2
0e 1d x
t t
-?B.(30
ln d x
t t ?C.sin 20
sin d x
t t ?
D.
1cos 30
sin d t t
-?
答案：D
解析:A.(
)
2
32001~3
x
x
t x e dt t dt -=
??B.(3
5
322002ln 1~5
x
x
t dt t x =??C.sin 223001sin ~3
x
x
t dt t dt x =??D.2
3
1
1cos 3220
sin ~x tdt t dt
-??2512
20
25
x t =5
225
2152102
x ??== ???2.11
ln |1|
()(1)(2)
x x
e x
f x e x -+=--第二类间断点个数（）
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：C
解析：0,2,1,1x x x x ====-为间断点
1111
0000ln |1|ln |1|ln |1|lim ()lim lim lim (1)(2)222x x x x x e x e x e x e f x e x x x ----→→→→+++===-=----0x =为可去间断点1
1
2
2ln |1|
lim ()lim
(1)(2)
x x x x e x f x e x -→→+==∞
--2x =为第二类间断点11
1
1
ln |1|
lim ()lim 0
(1)(2)x x x x e x f x e x --
-→→+==--11
1
1
ln |1|
lim ()lim (1)(2)
x x
x x e x f x e x ++
-→→+==∞--1x =为第二类间断点111
1ln |1|
lim ()lim
(1)(2)
x x x x e x f x e x -→-→-+==∞
--1x =-为第二类间断点
3.
1
(1)
x x x x =
-?
A.
2π4B.2π8C.π4D.π8
答案：A 解析：
1
(1)
x x
x x -?
令u x =，则
原式=
1
2
2
d (1)
u u
u u -?
1
2
20
22
20
21sin 2cos d cos 122
4
u u
t
u t t t t
t πππ=-==?=?
?令4.2
()ln(1),3f x x x n =-≥时，()
(0)n f =
A.!2n n --
B.
!2n n -C.(2)!n n --
D.
(2)!n n
-答案：A 解析：
2()02()12(1)2
2(2)()(1)1(2)222()ln(1),3
()[ln(1)]()[ln(1)]
()[ln(1)](1)!(1)
[ln(1)](1)(2)!(1)
[ln(1)](1)(3)!(1)
[ln(1)](1)()2;(n n n n n n n n n n n n n f x x x n f x C x x C x x C x x n x x n x x n x x x x x ------=-≥'''=-+-+----=
----=
----=
-'''= ()212()) 2.
(1)!(1)(2)!(1)(1)(3)!(1)
()22(1)(1)2(1)!
(0)2n n n n n n n n n n f x x n x x x x n f n --=----?---∴=?+???
---∴=--5.关于函数0
(,)00
xy xy f x y x
y y x ≠??
==??=?
给出以下结论①
(0,0)
1
f x
?=?
②
2(0,0)
1
f ?=??③
(,)(0,0)
lim (,)0
x y f x y →=④00
lim lim (,)0y x f x y →→=正确的个数是
A.4
B.3
C.2
D.1
答案：B 解析：①
0(0,0)(,0)(0,0)
lim x f f x f x x
→?-=?00
lim
1
x x x
→-==②0xy ≠时，f
y
x ?=?0y =时，1
f
x ?=?0x =时，0f x ?=?200(0,0)(0,)(0,0)1lim lim x x y y f y f f x y y
y →→''-?-==??不存在.
③(,)(0,0)
(,)(0,0)
0,
lim (,)lim 0
x y x y xy f x y xy →→≠=
=(,)(0,0)
(,)(0,0)
0,lim (,)lim 0x y x y y f x y x →→===(,)(0,0)(,)(0,0)
0,lim (,)lim
x y x y x f x y y →→==
=(,)(0,0)
lim
(,)0
x y f x y →∴=④0
0,lim (,)lim 0
x x xy f x y xy →→≠==0
0,lim (,)lim 0
x x y f x y x →→===0
0,lim (,)lim x x x f x y y y
→→===从而00
limlim (,)0.
y x f x y →→=
6.设函数()f x 在区间[2,2]-上可导，且()()0f x f x '>>，则（）
A.
(2)
1f ->-B.
(0)
(1)f e f >-C.
2
(1)
(1)f e f <-D.
3
(2)
(1)
f e f <-答案：B
解析：由()()0f x f x '>>知
()
10()
f x f x '->即(ln ())0
f x x '->令()ln ()F x f x x =-，则()[-2,2]F x 在上单增因21-<-，所以(2)(1)F F -<-即ln (2)2ln (1)1
f f -+<-+(1)
(2)
f e f ->-同理，10,(1)(0)F F -<-<即ln (1)1ln (0)
f f -+<(0)
(1)
f e f >-7.设四阶矩阵()
ij A a =不可逆，12a 的代数余子式1212340,,,,A αααα≠为矩阵A 的列向量组.*
A 为A 的伴随矩阵.则方程组*
A x =0的通解为（）.
A.112233x k k k ααα=++，其中123,,k k k 为任意常数
B.112234x k k k ααα=++，其中123,,k k k 为任意常数
C.112334x k k k ααα=++，其中123,,k k k 为任意常数.
D.122334x k k k ααα=++，其中123,,k k k 为任意常数答案：C 解析：∵A 不可逆
∴|A|=0∵
120
A ≠∴()3
r A =∴*
()1
r A =∴*
0A x =的基础解系有3个线性无关的解向量.
∵*||0
A A A E ==∴A 的每一列都是*
0A x =的解又∵
120
A ≠∴
134,,ααα线性无关
∴*
0A x =的通解为112334
x k k k ααα=++8.设A 为3阶矩阵，12,αα为A 属于特征值1的线性无关的特征向量，3α为A 的属于特征
值-1的特征向量，则满足1
100010001P AP -??
?=- ? ???
的可逆矩阵P 可为（
）.
A.1323(,,)αααα+-
B.1223(,,)αααα+-
C.1333(,,)αααα+--
D.1232(,,)αααα+--答案：D
解析：
1122,A A αααα==33
A αα=-1100010001P AP -?? ?
=- ?
???
P ∴的1，3两列为1的线性无关的特征向量122,ααα+P 的第2列为A 的属于-1的特征向量3.
α
1232(,,)
P αααα∴=+-二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
9.设()
22
1ln 1x t y t t ?=+?
?=++??
，则21
2t d y dx ==_______.
解析：
2
22d 1d 11d d d d 1y y t t t t x t x
t t ??+ ?+++??==+1t
=2
222d d d 1d d d d d d d d d 1
y y t y t t t x t
x x
t t ?? ?
????-
???=
==+231t t +=-
22
12
t dy dx ==-10.
1
130
1y
dy x dx +=?
?
_____.
解析：
1130
1y
dy x dx
+??
221
30
01
3
00
1
320
111x x dx x dy
x dx dy x x dx
=+=+=+??
???
1
13
3201
3
3
20
3
21(1)(1)312(1)33
2219x d x x =++=?+??=- ???
?11.设arctan[sin()]z xy x y =++，则(0,)|dz π=______.解析:
d d d z z
z x y x x
??=
+??2(0,π)
1[cos()],π1
1[sin()]z z y x y x xy x y x ??=++=-?+++?2(0,π)
1[cos()],1
1[sin()]z z x x y y xy x y y
??=++=-?+++?∴
(0,π)
(π1)d d z
x y x ?=--?12.斜边长为2a 等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度为g ，水密度为ρ，则该平板一侧所受的水压力为______解析：建立直角坐标系，如图所示
20
2303=2()d 2d 12231
3
a
a
a
F gx a x x
g ax x x
a
g x x ga ρρρρ?-=-??=- ?
??=??13.设()y y x =满足20y y y '''++=，且(0)0,(0)1y y '==，则0
()d y x x +∞
=?
_____
解析：特征方程2
210
λλ++=121
λλ∴==-12()()x
y x C C x e -=+
()d ()2()d [()2()]
[(0)2(0)]1
y x x y x y x x
y x y x y y +∞
+∞
+∞'''=-+'=-+'=+=?
?
14.行列式
0110111101
10a
a a a --=--________
解析：
2
2
24201101101101111011
0110
00
01111011111100
00
2
1
214.0
a a a a a a a a
a
a a a a a a
a a
a
a a
a a a
a a a
----=----+-+-==----=--=-三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）
求曲线1(0)(1)x
x
x y x x +=>+的斜渐近线方程.解析：1lim lim
(1)x
x x x y x x x x +→+∞→+∞=+lim
(1)x
x x x x →+∞=+ln ln(1)
e lim
e x x x x x +→+∞
=(ln ln(1))
lim e x x x x -+→+∞
=
11ln
lim e
x x x +-?+→+∞
=1ln 11lim e
x x x ?
?- ?
+?
?→+∞
=11
1lim e
e x x x ???- ?-+??
→+∞
==1lim (e )
x y x -→+∞
-11lim e (1)x x
x x x x +-→+∞??=- ?+??1lim e (1)x x x x x x -→+∞??=- ?+??
ln 11lim e e x
x x
x x -+→+∞
??=?- ???ln 11
1lim e e 1x
x x
x x +-+→+∞
??=- ???
1lim e ln 11x x x x x -→+∞??
=?+ ?+??101
1
ln 1
11lim e t t t t t
+
-→?++
=12
01ln
1lim e t t t t +
-→++=112
0ln(1)1lim e e 2
t t t t +--→-+==∴曲线的斜渐近线方程为1
1
1e e 2
y x --=+16.（本题满分10分）已知函数()f x 连续且100
()
lim
1,()(),'()
x f x g x f xt dt g x x →==?求并证明'()0g x x =在处连
续.
解析：因为0()
lim
1x f x x
→=0
(0)lim ()0
x f f x →∴==所以1
0(0)(0)0g f dt ==?因为1
00
1()()()x
g x f xt dt xt u
f u du x ==??当0x ≠时，02
()()()x
xf x f u du
g x x
-'=
?当0x =时，0
2
000()()(0)
1()1
(0)lim
lim
lim 0
22
x
x x x f u du g x g f x g x x
x →→→-'====-?
02
(),0()1,0
2
x f u du x x g x x ??≠?
'∴=?
?=??
?又因为2
00
0()lim ()lim
()x x x xf x g x f u du x →→'=-?020()()11lim 122x
x f u du f x x x →????=-=-=??????
?()0g x x '∴=在处连续
17.（本题满分10分）
求二元函数33(,)8f x y x y xy =+-的极值解析：求一阶导可得
22324f
x y x f
y x y
?=-??=-?令
1006
01
012f x x x f y y y
???==??=???????
?=???==?????可得求二阶导可得
222222
6148f f f
x y x x y y ???==-=???当
0,00. 1.0x y A B C -====-=时.
20AC B -<故不是极值.
当11612
x y =
=时1. 1. 4.
A B C ==-=2110.10,612AC B A ??
->=
> ???故且极小值
极小值3
3
111111,8661261212216f ??????=+-?=- ? ? ???????
18.已知
22
2
12()()1f x x f x x +=
+，求()f x ，并求直线
12y =，32
y =
与函数()f x 所
围图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积。
解析：①2
2
2122()1f x x f x x
??+= ???+ …①
()222
211
2112111x x f f x x x x x x +??+=
= ???++…②22x ?-?①②得2()1
f x x =
+②
2
2
23212
231322133134412
1
31244
x V dx x ππππππππππ????=??-- ? ? ?+????
=--?+=--
?
19.（本题满分10分）
平面D 由直线1,2,x x y x x ===与轴围成，计算22
.D
x y dxdy x
+??解析：积分区域如图：
22
d d D
x y x y x
+??
24cos 10
cos d d cos r
r r r πθθ
θθ
=???
2cos 2
40
1cos 11d cos 2
r πθθ
θ
θ=??
420113
d 2cos cos πθθθ
=??3
4400
33sec d sec d tan 22ππ
θθθθ==??2440
3sec tan tan sec d 2ππθθθθ?
?
=-??
?
?
?24
032(sec -1)sec 2d π
θθθ??=-??
??3
440032sec d sec d 2ππ
θθθθ??=-+ ?
???434003
2sec d ln |sec tan |2π
πθθθθ? ?
=-++ ??
???(
)
34032sec d ln
212πθθ?
?=-++ ?
?
?所以(
)340
21
sec d ln 21
22
π
θθ=
++?(
)
22
321
d d ln 21222
D
x y x y ??
+=++ ? ?
??
??
)
32ln 214
?
=
?
20.（本题满分11分）设函数2
1
().
x
t f x e dt =
?
证：存在2
(1,2),()(2);
f e ∈=-ξξξξ（2）证：存在
2
(1,2),(2)ln 2.f e ∈=?η
ηη证明（1）构造辅助函数2
1
()()(2)(2)
x
t F x f x x x e dt
=-=-?
显然(1)0,(2)0,()[1,2](1,2),F F F x ==又在连续,
上可导由罗尔定理知(1,2),'()0F ξξ?∈=使得又因为222
1
'()(2)()(2)x
t x x
F x e dt x e f x x e =
+-=+-?
所以
2
()(2).f e ξ
ξξ=-令()ln g x x =由柯西中值定理得(1,2)
η?∈使得
2
2(2)(1)(2)1(2)(1)ln 2
n
f f f e e
g g η
ηη
-===-即2
(2)ln 2f e
ηη=?21.（本题满分11分）
设曲线()y f x =可导，且()0(0)f x x '>≥，()f x 的图象过原点O
曲线上任意一点M 的切线与X 轴交于T ，MP x ⊥轴，曲线(),,y f x MP x =轴围成的面积与MTP ?面积比为3：2，求曲线方程.
解析：设切点M 坐标为(,)x y ，则过M 的切线方程为
()
Y y y X x '-=-令0Y =得y
X x y =-'
由题意得
()d 312
x
f t t
y y y =
??'
?
整理并求导得2320yy y '''-=令y p
'=d d p
y p
y
''=代入上式得2d 320d p
yp
p y
-=解得23
1p C y =即
231y C y
'=123d d y C x
y
=13
123+y C x C =由(0)0y =得20.
C =13
13y C x =3
y Cx =22.（本题满分11分）
设二次型2
2
2
123123121323(,,)222f x x x x x x ax x ax x ax x =+++++经可逆线性变换
112233x y x P y x y ???? ? ?= ? ?
? ?????
得()222
12312312,,42g y y y y y y y y =+++.（1）求a 的值；（2）求可逆矩阵P.解析：
（1）令
123(,,)f x x x 的矩阵111a a A a a a a ??
??=??
????123(,,)f y y y 的矩阵110110004B ????=??
????
A 与
B 合同.则()().
r A r B =由于||0B =，故()3r B <，故||0A =.
而
21||1(21)(1)0
1a a
A a a a a a a ==+-=解得
1
2a =-
或1a =.
当1a =时，() 1.r A =而() 2.r B =故舍去
所以
12a =-
.
（2）当
1
2a =-
时，利用配方法把123(,,)f x x x 化为规范形.
2221231231213232
223122323
22
31223(,,)133********()224f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++---?
?=--++- ??
??
?=--+- ??
?令31122233311223()2z x x x z x x z x ?=--??
?
=-??
=?
??即令
1111223302200
1P ?
?--????
=-???
??????1Z P X =，则
2212312(,,)f x x x z z =+利用配方法把
123(,,)
f y y y 化为规范形.
22222
12312123123(,,)24()4f y y y y y y y y y y y =+++=++
令
112233
22z y y z y z y
=+??
=??=?即令22110002.
010P Z P Y ??
??==??????
则
22
12312(,,)f y y y z z =+.
故
12P X PY =即112X P PY -=.所以
1
12.
P P P -=由于
1
121
113
1100
10023
010001P P -?
?
??????
??
??==????
??????
??
????
故1122123340133010P P P -?
?
??
???==?
?
???????
?
23.（本题满分11分）
设A 为2阶矩阵，(,)P A αα=，其中α是非零向量且不是A 的特征向量.(1)证明P 为可逆矩阵.
(2)若2
60A A ααα+-=，求1
P AP -，并判断A 是否相似于对角矩阵.
解析：
(1)0.A ααλα≠≠且故.A αα与线性无关则(,)2r A αα=则P 可逆.
(2)法一：由已知有2
A A b ααα
=-+
于是2
(,)(,)(,6)
AP A A A A A A ααααααα===-+1
0606(,),,1111A P AP P αα-????== ? ?--????
故有可逆
0663201111A λλλλ-??
∴=+-= ?--+??
可得与相似，又（）（）123,2
λλ?=-=A ∴可得的特征值也为-3，2于是A 可相似对角化
方法二
1P AP -同方法一
由2
60A A ααα+-=下面是证明A 可相似对角化
设2(6)0
(3)(2)0
A A E A E A E αα+-=+-=由
2
0(6)0A A E x α≠+-=得有非零解故|(3)(2)|0A E A E +-=得|3|0|2|0
A E A E +=-=或若|(3)|0(2)02A E A E A ααα+≠-==则有故与题意矛盾
|3|0|2|0
A E A E +=-=故同理可得于是A 的特征值为
123 2.
λλ=-=A 有2个不同特征值故A α相似对角化