高考聚焦小题——小卷强化训练四十九及参考答案

高考聚焦小题——小卷强化训练四十九班级 __________ 姓名 __________ 分数 __________ 一、 填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1. 我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S 6＝________．2. 设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，x ＋2y ≥1，则3x ＋2y 的最大值为________．3. 已知等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则数列{a n }前6项的和为________．4. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．5. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x |≥1，x ，|x |＜1的图象过点(1，1)，函数g (x )是二次函数．若函数f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是________．6.已知函数f (x )＝sin 2ωx －12(ω＞0)的最小正周期为π2.若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位长度(a ＞0)，所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为________．(第7题)7. 如图，已知正方形ABCD 的边长是2，E 是CD 的中点，P 是以AD 为直径的半圆上任意一点，则AE →·BP →的取值范围是________．8. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1e x ＋mx 2，x <0，e x ＋mx 2，x >0，若函数f (x )有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是____________．二、 解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝52b .(1) 若C ＝2B ，求cos B 的值；(2) 若AB →·AC →＝CA →·CB →，求cos(B ＋π4)的值．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点为F(－1，0)，左准线方程为x＝－2.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 已知直线l交椭圆C于A，B两点．若直线l经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足PA→＝λAF→，PB→＝μBF→，求证：λ＋μ为定值．中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人以美的享受．如图①为一花窗；图②所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30 cm，宽26 cm，其内部窗芯(不含长方形边框)用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为x cm和y cm，窗芯所需条形木料的长度之和为L cm.(1) 试用x，y表示L；(2) 如果要求六根支条的长度均不小于2 cm，每个菱形的面积为130 cm2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料(不计榫卯及其他损耗)?已知各项是正数的数列{a n }的前n 项和为S n . (1) 若S n ＋S n －1＝a 2n ＋23(n ∈N *，n ≥2)，且a 1＝2.① 求数列{a n }的通项公式；② 若S n ≤λ·2n ＋1对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围；(2) 数列{a n }是公比为q (q ＞0, q ≠1)的等比数列，且{a n }的前n 项积为10T n .若存在正整数k ，对任意n ∈N *，使得T （k ＋1）nT kn为定值，求首项a 1的值．小卷强化训练四十九1. 332 解析：正六边形的面积为6个正三角形的面积和，所以S 6＝6×12×1×1×sin 60°＝332.2. 3 解析：画出可性域如图所示，求出代入点A(1，0)，得3x ＋2y 的最大值为3.3. －24 解析：因为{a n }为等差数列，且a 2，a 3，a 6成等比数列，设公差为d ，则a 23＝a 2a 6，即(a 1＋2d)2＝(a 1＋d)·(a 1＋5d)．因为a 1＝1，代入上式可得d 2＋2d ＝0.又d ≠0，则d ＝－2，所以S 6＝6a 1＋6×52d ＝1×6＋6×52×(－2)＝－24.4.3π4 解析：如图，由题可知球心在圆柱的中心处，圆柱上、下底面圆的半径r ＝12－⎝⎛⎭⎫122＝32，则圆柱的体积V ＝πr 2h ＝3π4. 5. [0，＋∞) 解析：因为函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋x 2，|x|≥1，x ，|x|＜1的图象过点(1，1)，所以m ＋1＝1，解得m ＝0，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x|≥1，x ，|x|＜1.因为函数g(x)是二次函数，画出函数y ＝f(x)的图象(如图所示)，易知，当g(x)的值域是[0，＋∞)时，f(g(x))的值域是[0，＋∞)．6. π8 解析：依题意，得f(x)＝1－cos 2ωx 2－12＝－12cos 2ωx ，最小正周期T ＝2π2ω＝π2，得ω＝2，∴ f(x)＝－12cos 4x.将f(x)＝－12cos 4x 的图象向右平移a 个单位长度后得到的是函数g(x)＝－12cos [4(x －a)]的图象．又函数g(x)的图象关于原点对称，因此有g(0)＝－12cos 4a＝0，∴ 4a ＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π4＋π8，k ∈Z .因此正实数a 的最小值是π8.7. [－5，2] 解析：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，E(1，2)．设P(cos θ，1＋sin θ)，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，所以AE →·BP →＝5sin (θ＋φ)，其中tan φ＝12，且φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.由于θ＋φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋φ，3π2＋φ，所以sin (θ＋φ)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ，所以5sin (θ＋φ)∈[－5，2]．8. ⎝⎛⎭⎫－∞，－e 24 解析：易知函数f(x)为偶函数，则由对称性，只需当x>0时，e x ＝－mx 2有两解即可，即e x x 2＝－m 在x>0时有两解．设g(x)＝e x x 2，由g′(x)＝e x（x －2）x 3>0，得g(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增. 故g(x)min ＝e 24，所以－m>e 24，所以m<－e 24.9. 解：(1) 因为c ＝52b ，则由正弦定理，得sin C ＝52sin B ．(2分)又C ＝2B ，所以sin 2B ＝52sin B ，即4sin B cos B ＝5sin B ．(4分)又B 是△ABC 的内角，所以sin B>0，故cos B ＝54.(6分)(2) 因为AB →·AC →＝CA →·CB →， 所以cb cos A ＝ba cos C ，则由余弦定理，得b 2＋c 2－a 2＝b 2＋a 2－c 2，得a ＝c.(10分)从而cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝c 2＋c 2－⎝⎛⎭⎫25c 22c 2＝35.(12分) 又0<B<π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝45.从而cos ⎝⎛⎪⎫B ＋π4＝cos B cos π4－sin B sin π4＝35×22－45×22＝－210.(14分)10. (1) 解：由题设知－a 2c ＝－2，c ＝1，且a 2＝b 2＋c 2，∴ b 2＝1，a 2＝2，∴ 椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(6分)(2) 证明：由题设知直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，则P(0，k)． 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 22＋y 2＝1，消去y ，得x 2＋2k 2(x ＋1)2＝2，整理，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， ∴ x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.(10分)由PA →＝λAF →，PB →＝μBF →知λ＝－x 11＋x 1，μ＝－x 21＋x 2，∴ λ＋μ＝－x 1＋x 2＋2x 1x 21＋x 1＋x 2＋x 1x 2＝－－4k 21＋2k 2＋4k 2－41＋2k 21＋－4k 21＋2k 2＋2k 2－21＋2k 2＝－－4－1＝－4(定值)．(14分) 11. 解：(1) 由题意，水平方向每根支条长为m ＝30－2x2＝(15－x) cm ，(2分)竖直方向每根支条长为n ＝26－y 2＝⎝⎛⎭⎫13－y2 cm ，(4分) 菱形的边长为⎝⎛⎭⎫x 22＋⎝⎛⎭⎫y 22＝x 2＋y 22 cm .(6分) 从而，所需条形木料的长度之和为 L ＝2(15－x)＋4⎝⎛⎭⎫13－y2＋8×x 2＋y 22＝82＋4x 2＋y 2－2(x ＋y)．(8分) (2) 由题意，得12xy ＝130，即y ＝260x.又由⎩⎪⎨⎪⎧15－x ≥2，13－y 2≥2，得13011≤x ≤13. 所以L ＝82＋4x 2＋⎝⎛⎭⎫260x 2－2⎝⎛⎭⎫x ＋260x .(10分) 令t ＝x ＋260x ，其导函数1－260x 2＜0在13011≤x ≤13上恒成立，故t ＝x ＋260x 在⎣⎡⎦⎤13011，13上单调递减，所以可得t ∈⎣⎡⎦⎤33，37211. 则L ＝82＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋260x 2－520－⎝⎛⎭⎫x ＋260x＝82＋2[t 2－520＋t 2－520－t]＝82＋2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤t 2－520＋－520t 2－520＋t .(12分) 因为函数y ＝t 2－520和y ＝－520t 2－520＋t在t ∈⎣⎡⎦⎤33，37211上均为增函数， 所以L ＝82＋2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤t 2－520＋－520t 2－520＋t 在t ∈⎣⎡⎦⎤33，37211上为增函数，故当t ＝33，即x ＝13，y ＝20时L 有最小值，且最小值为(16＋4569) cm .故做这样一个窗芯至少需要(16＋4569) cm 长的条形木料．(16分)12. 解：(1) ① 当n ≥2时，由S n ＋S n －1＝a 2n ＋23 ①，得S n ＋1＋S n ＝a 2n ＋1＋23②.②－①，得a n ＋1＋a n ＝13(a 2n ＋1－a 2n )，即a n ＋1－a n ＝3，n ≥2. (2分)当n ＝2时，由①知a 1＋a 2＋a 1＝a 22＋23，即a 22－3a 2－10＝0， 解得a 2＝5或a 2＝－2(舍去)，所以a 2－a 1＝3，即数列{a n }为等差数列，且首项a 1＝2，公差d ＝3， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.(6分)② 由①知a n ＝3n －1，所以S n ＝n （3n －1＋2）2＝3n 2＋n 2，由题意可得λ≥S n2n ＋1＝3n 2＋n2n ＋2对一切n ∈N *恒成立．记c n ＝3n 2＋n 2n ＋2，则c n －1＝3（n －1）2＋（n －1）2n ＋1，n ≥2， 所以c n －c n －1＝－3n 2＋11n －42n ＋2，n ≥2. (8分) 当n >4时，c n <c n －1，当n ＝4时，c 4＝1316，且c 3＝1516，c 2＝78，c 1＝12，所以当n ＝3时，c n ＝3n 2＋n 2n ＋2取得最大值1516，所以实数λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫1516，＋∞.(10分) (2) 由题意，设a n ＝a 1q n －1(q >0，q ≠1)，a 1·a 2…·a n ＝10T n ，两边取常用对数，得 T n ＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n . 令b n ＝lg a n ＝n lg q ＋lg a 1－lg q ，则数列{b n }是以lg a 1为首项，lg q 为公差的等差数列．(12分) 若T （k ＋1）n T kn 为定值，令T （k ＋1）nT kn＝μ，则（k ＋1）n lg a 1＋（k ＋1）n [（k ＋1）n －1]lg q2kn lg a 1＋kn （kn －1）2lg q＝μ，即{[(k ＋1)2－μk 2]lg q }n ＋[(k ＋1)－μk ]⎝⎛⎭⎫lg a 21q ＝0对n ∈N *恒成立． 因为q >0，q ≠1，问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧（k ＋1）2－μk 2＝0，（k ＋1）－μk ＝0或a 21＝q .将k ＋1k＝μ代入(k ＋1)－μk ＝0，解得μ＝0或μ＝1.因为k ∈N *，所以μ>0，μ≠1，所以a 21＝q .又a n >0，故a 1＝q .(16分)。