2014年暑期数学建模培训——第一轮训练D题

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2014届高三数学一轮“双基突破训练”(详细解析+方法点拨) (27)

2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (27)一、选择题1．不等式x ＋5x －12≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,3] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1,3] 【答案】D【解析】首先，x ≠1，在这个条件下根据不等式的性质，原不等式可以化为x ＋5≥2(x－1)2，即2x 3－5x －3≤0，即(2x ＋1)(x －3)≤0，解得－12≤x ≤3. 故原不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1,3]． 2．(2009高考某某卷·文)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值X 围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)【答案】B【解析】根据给出的定义得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，故这个不等式的解集是(－2,1)．故选择B.3．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( )A ．2∈M,0∈MB ．2∉M,0∉MC ．2∈M,0∉MD ．2∉M,0∈M【答案】A【解析】不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4可变形为 x ≤k 4＋4k 2＋1，即得M ＝⎝⎛⎦⎥⎤－∞，k 4＋4k 2＋1. ∵k 4＋4k 2＋1＝(k 2＋1)＋5k 2＋1－2≥25－2>2，∴2∈M,0∈M .故选择A.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋1， x <0，x －1， x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是()A ．{x |－1≤x ≤2－1}B ．{x |x ≤1}C ．{x |x ≤2－1}D ．{x |－2－1≤x ≤2－1}【答案】C【解析】(1)当x ＋1<0时，f (x ＋1)＝－(x ＋1)＋1＝－x .∴原不等式可化为x ＋(x ＋1)(－x )≤1.①解①得，－x 2≤1，x ∈R ，此时不等式的解集为x <－1.(2)当x ＋1≥0时，f (x ＋1)＝x ，∴原不等式可化为x ＋(x ＋1)x ≤1，② 解②得－2－1≤x ≤2－1，∴－1≤x ≤2－1.综上可知原不等式的解集为{x |x <－1}∪{－1≤x ≤2－1}＝{x |x ≤2－1}．5．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，则a 的取值X 围是() A ．0 B ．－2C ．－52D ．－3【答案】C【解析】∵x 2＋ax ＋1≥0在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，∴a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立．而f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增．∴f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－52，a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，只需a ≥f (x )max ＝－52.∴a 的最小值为－52.故选择C. 二、填空题6．(2011某某卷·文)函数y ＝16－x －x 2定义域是.【答案】{x |－3<x <2}【解析】要使函数有意义，只需6－x －x 2>0，∴x 2＋x －6<0，∴－3<x <2，∴f (x )的定义域为{x |－3<x <2}．7．设a >0，a ≠1，函数f (x )＝a lg(x 2－2x ＋3)有最大值，则不等式log a (x 2－5x ＋7)>0的解集为.【答案】(2,3)【解析】由于f (x )有最大值，故0<a <1.所以原不等式转化为0<x 2－5x ＋7<1，又因为x 2－5x ＋7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋34>0恒成立，故只需1>x 2－5x ＋7成立即可．解之得2<x <3.8．不等式2x －3x ＋1≤12的解集为. 【答案】(－∞，－3]∪(0,1]【解析】∵2x －3x ＋1≤12＝2－1，根据指数函数y ＝2x 的单调性可知 x －3x ＋1≤－1，∴x －3x＋2≤0， ∴x 2＋2x －3x ≤0，∴x ＋3x －1x≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x x ＋3x －1≤0，x ≠0，∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪(0,1]．三、解答题9．解不等式log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋6≤3. 【解析】本题考查对数函数单调性和不等式的解法．由log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋6≤3可得 0<x ＋1x＋6≤8，由x ＋1x＋6>0可解得x ∈(－3－22，－3＋22)∪(0，＋∞)；由x ＋1x＋6≤8可解得x ∈(－∞，0)∪{1}．综上可得不等式log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋6≤3的解集为 (－3－22，－3＋22)∪{1}．10．记关于x 的不等式x －a x ＋1<0的解集为P ，不等式|x －1|≤1的解集为Q . (1)若a ＝3，求P ；(2)若Q ⊆P ，求正数a 的取值X 围．【解析】(1)由x －3x ＋1<0，得P ＝{x |－1<x <3}． (2)Q ＝{x ||x －1|≤1}＝{x |0≤x ≤2}．由a >0，得P ＝{x |－1<x <a }，又Q ⊆P ，所以a >2，即a 的取值X 围是(2，＋∞)．11．汽车在行驶中由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速40km/h 以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况紧急，同时刹车，但两车还是相碰了．事后现场测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离S (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：S 甲＝0.1x ＋0.01x 2S 乙＝0.05x ＋0.005x 2问：两车相碰的主要责任是谁？【解析】由题意知，对于甲车，0．1x ＋0.01x 2>12，∴x 2＋10x －1 200>0，解之得：x >30或x <－40(不合实际意义，舍去)即甲车的车速超过30km/h ，但据题意刹车距离略超过12m ，这样甲车的车速不会超出30km/h 很多；对于乙车，0．05x ＋0.005x 2>10， x 2＋10x －2 000>0，解之得x >40或x <－50(不合实际意义，舍去)即乙车的车速超过40km/h ，超出规定限速，故应负主要责任．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cx ＋1， 0<x <c ，2－x c 2＋k ， c ≤x <1在区间(0,1)内连续，且f (c 2)＝98. (1)某某数k 和c 的值；(2)解不等式f (x )>28＋1. 【解析】(1)因为0<c <1，所以c 2<c ，由f (c 2)＝98，即c 3＋1＝98，c ＝12. 又因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1， 0<x <122－4x ＋k ， 12≤x <1在x ＝12处连续，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2＋k ＝54，即k ＝1. (2)由(1)得：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1， 0<x <12，2－4x ＋1， 12≤x <1，由f (x )>28＋1得，当0<x <12时，解得24<x <12，当12≤x <1时，解得12≤x <58，所以f (x )>28＋1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫24<x <58.。

(湖南专用)2014届高考数学一轮复习方案滚动基础训练卷(7) 理 (含解析)

45分钟滚动基础训练卷(七)(考查X围：第28讲～第32讲分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2013·黄冈中学月考] 等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＋a9＋a15＋a17＝0，则S21的值是( )A．1 B．－1C．0 D．不能确定2．已知等比数列{a n}中，a1＝2，且有a4a6＝4a27，则a3＝( )A．1 B．2C.14D.123．在等差数列{a n}中，已知a6＝5，S n是数列{a n}的前n项和，则S11＝( )A．45 B．50C．55 D．604．已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为54，则S5＝( )A．35 B．33C．31 D．295．设等比数列的公比为q，前n项和为S n，若S n，S n＋1，S n＋2成等差数列，则公比q( ) A．等于－2 B．等于1C．等于1或－2 D．不存在6．已知等比数列{a n}中，公比q>1，且a1＋a6＝8，a3a4＝12，则a2 012a2 007＝( )A．2 B．3C．6 D．3或67．若等比数列{a n}的前n项和S n＝a·3n－2，则a2＝( )A．4 B．12 C．24 D．368．数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2a n－1(n∈N*)，则T n＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1的结果可化为( )A．1－14nB．1－12nC.23⎝⎛⎭⎪⎫1－14nD.23⎝⎛⎭⎪⎫1－12n二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．[2012·某某卷] 设数列{a n}，{b n}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________．10．设数列{a n}的前n项和为S n，已知数列{S n}是首项和公比都是3的等比数列，则{a n}的通项公式a n＝________．11．某数表中的数按一定规律排列，如下表所示，从左至右以及从上到下都是无限的．此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，…的通项公式a n＝________．三、解答题(或演算步骤)12．已知等差数列{a n}，S n为其前n项的和，a5＝6，S6＝18，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝3a n，求数列{b n}的前n项的和．13．等差数列{a n}的公差为－2，且a1，a3，a4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2n（12－a n）(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和S n.14．(13分)[2013·襄樊调研] 已知{a n}为递增的等比数列，且{a1，a3，a5}⊆{－10，－6，－2，0，1，3，4，16}．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)是否存在等差数列{b n}，使得a1b n＋a2b n－1＋a3b n－2＋…＋a n b1＝2n＋1－n－2对一切n∈N*都成立？若存在，求出b n；若不存在，说明理由．45分钟滚动基础训练卷(七)1．C [解析] a 3＋a 9＋a 15＋a 17＝4a 11＝0，∴a 11＝0，S 21＝21a 11＝0.2．A [解析] 设数列{a n }的公比为q ，则a 1q 3·a 1q 5＝4(a 1q 6)2，即q 4＝14，q 2＝12，则a 3＝a 1q 2＝1，故选A.3．C [解析] S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11·2a 62＝55，故选C.4．C [解析] 设数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 2＝2a 1，a 1q 3＋2a 1q 6＝54×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16，q ＝12，∴S 5＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31，故选C. 5．B [解析] 依题意有2S n ＋1＝S n ＋S n ＋2，当q ≠1时，有2a 1(1－q n ＋1)＝a 1(1－q n)＋a 1(1－q n ＋2)，解得q ＝1，但q ≠1，所以方程无解；当q ＝1时，满足条件，故选B.6．B [解析] 因为{a n }是等比数列，所以a 1a 6＝a 3a 4＝12，结合a 1＋a 6＝8和q >1解得a 1＝2，a 6＝6，所以q 5＝a 6a 1＝3，a 2 012a 2 007＝a 1q 2 011a 1q 2 006＝q 5＝3，故选B.7．B [解析] a 1＝3a －2，a 1＋a 2＝9a －2，a 1＋a 2＋a 3＝27a －2，解得a 2＝6a ，a 3＝18a ，又由数列{a n }是等比数列，得a 22＝a 1a 3，即(6a )2＝(3a －2)·18a ，解得a ＝2，所以a 2＝12，故选B. 8．C [解析] 由已知，有S n ＝2a n －1，S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)，两式相减，得a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，∴数列{a n }是公比为2的等比数列，又S 1＝2a 1－1，得a 1＝1，则a n ＝2n －1，1a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1，∴T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫125＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ，故选C.9．35 [解析] 考查等差数列的定义、性质；解题的突破口是利用等差数列的性质，将问题转化为研究数列的项与项数之间的关系．方法一：设＝a n ＋b n ，∵{a n }，{b n }是等差数列，∴{}是等差数列，设其公差为d ，则c 1＝7，c 3＝c 1＋2d ＝21，解得d ＝7，因此，c 5＝a 5＋b 5＝7＋(5－1)×7＝35.故填35.方法二：设＝a n ＋b n ，∵{a n }，{b n }是等差数列，∴{}是等差数列，∴2(a 3＋b 3)＝(a 1＋b 1)＋(a 5＋b 5)，即42＝7＋(a 5＋b 5)，因此a 5＋b 5＝42－7＝35.故填35. 10.⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2·3n －1（n ≥2）[解析] 由已知得S n ＝3·3n －1＝3n ，所以a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2·3n －1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2·3n －1（n ≥2）. 11．n 2－2n ＋2 [解析] 观察数表的规律：第n 行或第n 列数组成首项为1，公差为n －1的等差数列，所求数列的通项即数表的第n 行、第n 列的数a n 为a n ＝1＋(n －1)(n －1)＝n 2－2n ＋2.12．解：(1)依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝6，6a 1＋6×52d ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝2.∴数列{a n }的通项公式a n ＝2n －4. (2)由(1)可知b n ＝32n －4，则b n ＋1b n＝9， ∴数列{b n }是首项为19，公比为9的等比数列，T n ＝19（1－9n ）1－9＝172(9n－1)，∴数列{b n }的前n 项的和为172(9n－1)．13．解：(1)由已知得a 3＝a 1－4，a 4＝a 1－6，又a 1，a 3，a 4成等比数列，所以(a 1－4)2＝a 1(a 1－6)，解得a 1＝8，所以a n ＝10－2n .(2)由(1)可得b n ＝2n （12－a n ）＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 14．解：(1)∵{a n }为递增的等比数列，∴其公比为正数，又{a 1，a 3，a 5}⊆{－10，－6，－2，0，1，3，4，16}． ∴a 1＝1，a 3＝4，a 5＝16，故q 2＝a 3a 1＝4⇒q ＝2，∴{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)假设存在满足条件的等差数列{b n }，其公差为d . 当n ＝1时，a 1b 1＝1，又a 1＝1，∴b 1＝1，当n ＝2时，a 1b 2＋a 2b 1＝4，即b 2＋2b 1＝4，∴b 2＝2，故d ＝b 2－b 1＝1，b n ＝b 1＋(n －1)d ＝n ，下面证明当b n ＝n 时，原等式对一切n ∈N *都成立．设S n ＝a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n －2＋…＋a n b 1，则S n ＝1×n ＋2×(n －1)＋22×(n －2)＋23×(n －3)＋…＋2n －2×2＋2n －1×1， ①2S n ＝2×n ＋22×(n －1)＋23×(n －2)＋24×(n －3)＋…＋2n －1×2＋2n×1， ②②－①得S n ＝－n ＋2＋22＋23＋…＋2n －1＋2n＝－n ＋2（1－2n）1－2＝2n ＋1－n －2，∴存在等差数列{b n }，使得a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n －2＋…＋a n b 1＝2n ＋1－n －2对一切n ∈N *都成立．另解：假设存在满足条件的等差数列{b n }，其公差为d ，则 S n ＝b n ＋2b n －1＋22b n －2＋…＋2n －2b 2＋2n －1b 1， ①2S n ＝2b n ＋22b n －1＋23b n －2＋…＋2n －1b 2＋2nb 1， ②②－①得S n ＝－b n ＋2d ＋22d ＋…＋2n －1d ＋2nb 1＝2n b 1－b n ＋d (2n －2)＝(b 1＋d )2n－nd －b 1－d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋d ＝2，d ＝1，－b 1－d ＝－2，解得b 1＝1，d ＝1，∴b n ＝n . 故存在等差数列{b n }，使得a 1b n ＋a 2b n －1＋a 3b n －2＋…＋a n b 1＝2n ＋1－n －2对一切n ∈N *都成立．。

交大附中2014版高考数学第一轮复习训练导数及其应用(word版含答案)

上海交通大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习考前抢分必备单元训练：导数及其应用本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数321(02)3x y x x =-+<<图象上任意点处切线的斜率为k ，则k 的最小值是( ) A ． 1- B ． 0C ． 1D ．12【答案】A 2．曲线12-=x xy 在点（1，1）处的切线方程为( ) A ． 02=--y x B ． 02=-+y x C ． 054=-+y x D ． 054=--y x【答案】B3．曲线()ln f x x x =在点P （1，0）处的切线l 与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是( )A ．22111()()222x y +++=B ．22111()()222x y ++-=C ．22111()()222x y -++=D ．22111()()222x y -+-=【答案】C4．曲线y=x 3+x-2在点P 0处的切线平行于直线y=4x ，则点P 0的坐标是( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(-1,-4)或（1,0）D ．(-1,-4) 【答案】B5．设⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=]2,1[2]1,0[)(2x x x x x f ，则⎰2)(dx x f 的值为( )A ．43 B ．54 C ．65 D ．67 【答案】C6．设函数f ′（x ）=x 2+3x －4，则y=f （x+1）的单调递减区间为( )A ．（－4，1）B ．（－5，0）C ．（3,2-+∞）D ．（5,2-+∞）【答案】B7．在平均变化率的定义中，自变量x 在x 0处的增量∆x( )A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不等于零【答案】D8．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为( ) A ．（1-，1） B ．（1-，+∞） C ．（∞-，1-） D ．（∞-，+∞）【答案】B9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又知(ln )'ln 1x x x =+，且101ln eS xdx =⎰，2017S =，则30S 为 ( )A ．33B ．46C ．48D ．50【答案】C 10．曲线3()2f x x x在0p 处的切线平行于直线41yx ，则0p 点的坐标为( ) A ．( 1 , 0 )B ．( 2 , 8 )C ．( 1 , 0 )或(－1, －4)D ．( 2 , 8 )和或(－1, －4)【答案】C11．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为( ) A ．4B ．14-C ．2D ．12-【答案】A12．曲线211y x =+在点P （1，12）处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．-9 B ．-3C ．9D ．15【答案】C第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则n a =____________【答案】5)21(-n14．函数32x x y -=的单调增区间为 .【答案】2(0,)315．曲线y=3x 2与x 轴及直线x ＝1所围成的图形的面积为．【答案】1 16．xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000= 。

2014第七届认证杯数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段成绩初稿

列时讨论
的很具
65
体，还是缺乏后面
本科组
唐天全
李栖楠
曹辉
整体对模
型算法的
可实现性
优秀奖的讨论
本文采用
了内部点
扩散法，
用轮廓跟
踪的方法
来提取数
据，但是
69
最后的曲线拟合表
本科组
黄锐杰
甄颖聪
倪贤春
达不够明
确，可能
存在较大
的系统性
误差，模
型的适用
优秀奖性低。
银行的几
60
优秀奖
个参数是不够确定
本科组
立了物
理分析
62 三等奖模型，本科组孙志海张红涛程征
分析不
够全
面，结
C题
1034
1035
C题
1039
B题
1041
B题
运用风险
模糊综合
判断技
术，建立
层次分析
模型，对
项目风险
进行量化
67
优秀奖
处理，但是权重的
本科组
欧阳文博张耀伟
张志勇
选择有很
大的不确
定性，模
型最后也
没有模型
检验以及
模型评价
关系，影
响指标力
的模糊性
以及指标
75 二等奖等级的模本科组木留华易游李斐斐
糊性等特
点，将定
性的问题
转化为定
量分析，
方法可
行，可以
进一步分
析。
从运营风
险，财务
风险，市
场风险和
社会稳定
性风险四
类风险指
标层来进

2014年武汉理工大学数学建模训练题目2

2014年武汉理工大学数学建模训练题目
第2题：实验安排问题
（陈建业老师提供）
2014年某专业职业技能考试共有技能考题5道，要求每位考生必须完成其中三道，除第一题为必考项目外，余下考题四选二。

考生总人数79人，每位考生所选选项均已知，见附件1。

受考场数量限制，只能提供A、B两个技能考场，其中A考场能容纳24个人同时开考，B考场能容纳32人同时开考。

为便于管理每个技能考题只能安排在同一个考场，每个技能考题同时开考的最大数量没有限制，但是一旦确定中途就不能更改。

请分别在以下条件下合理设计考场分布和安排实验顺序，使得本次考试所用时间最短。

（1）假定技能考题1考试时间为45分钟，而其他4个技能考题考试时间为30分钟，考生不能提前离开考场。

（2）假定增加C考场能容纳20人，而3个考场不在同一个地方，3个考场之间往返的时间见附件2，请结合（1）的条件给出合理的实验安排。

（3）假定（1）的考试时间均为最长考试时间，考生做完实验可以提前离开考场，这样可以提前安排下一位考生进场，请考虑这种情况下的实验安排。

2014年全国大学生数学建模竞赛暨校内选拔赛题目

A 最优行驶轨迹
设一艘轮船经一强水流区域。

水流方向是已知的位置函数
(,),V u u x y y h
==- (,)0,v v x y ==
式中x 和y 为直角坐标；
u 和v 分别是水流在x 和y 方向的速度分量；V 是轮船相对水的速度，为一常数；h 为恒值。

1. 试建立数学模型，讨论如何驾驶轮船，使得船以最短时间从起点（003.66, 1.86x y h h ==-）驾驶到（0,0f f x y h h ==）
； 2. 模拟出船行驶的相应轨迹。

B题：“大球时代”乒乓球直径与赛事观赏性2000年，国际乒乓球联合会（简称国际乒联）将国际乒乓球职业赛事中的官方用球直径由38mm增加至40mm。

其宗旨在于进一步增加球在空中运行中的空气阻力，减缓比赛中球运行的速度，从而达到进一步增加和丰富乒乓球职业运动员击球技术和技巧的目的，最终增加乒乓球赛事的整体观赏性。

然而自乒乓球“大球时代”到来迄今为止，关于用球直径的争议始终未有停止。

国内外各界教练和运动员褒贬不一。

值得注意的事，由于职业运动员身高，打球习惯，握拍习惯的不同，其对球直径变化的敏感度也颇有差异。

请通过建模分析当前的比赛用球直径是否较之“小球时代”提升了运动员的体验质量和观众的观赏质量？请通过建模进一步分析您认为的最佳乒乓球直径的长度？。

(安徽专用)2014届高考数学一轮复习方案滚动基础训练卷(11) 文 (含解析)

45分钟滚动基础训练卷(十一)(考查X围：第35讲～第39讲分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)11．[2012·呼和浩特二模] 如图G11－1，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为( )A.π4B.24πC.22πD.π22．给出下列四个命题：①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．其中真命题的个数为( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；③α内无数条直线平行于β；④α内任何直线都平行于β.其中可以判定α与β平行的条件有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．[2012·潍坊模拟] 在空间中，l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论不正确的是( )A．若α∥β，α∥γ，则β∥γB．若l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥mC．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝l，则l⊥αD．若α∩β＝m，β∩γ＝l m⊥nG11－25．[2012·某某质检] 一个几何体的三视图及其尺寸如图G11－2所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是(单位：cm3)( )A.π2B.π3C.π4D ．π 6．[2012·某某调研] 已知直线l ，m ，平面α，β，则下列命题中：①若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；②若α⊥β，l ⊥α，则l ∥β；③若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m ；④若α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ，则m ⊥β.其中真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的表面积是( ) A.3＋34a 2 B.34a 2C.3＋32a 2 D.6＋34a 28．一个空间几何体的三视图如图G11－3所示，该几何体的体积为12π＋853，则正视图中x 的值为( )－3A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)9．A 是△BCD 平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点．若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，则EF 与BD 所成的角为________．10．[2012·江南十校联考] 若某多面体的三视图(单位：cm)如图G11－4所示，其中正视图与俯视图均为等腰三角形，则此多面体的表面积为________ cm 2.G11－411．[2012·某某质检] 在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．[2012·某某、某某联考] 如图G11－5，在底面为长方形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AP ＝AD ＝2AB ，其中E ，F 分别是PD ，PC 的中点．(1)证明：EF ∥平面PAB ；(2)在线段AD 上是否存在一点O ，使得BO ⊥平面PAC ？若存在，请指出点O 的位置并证明BO ⊥平面PAC ；若不存在，请说明理由．13．[2012·某某测试] 如图G11－6，在四棱锥S－ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB ＝3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE＝ED＝3，SE⊥AD.(1)证明：平面SBE⊥平面SEC；(2)若SE＝1，求三棱锥E－SBC的高．14．[2012·某某师大附中联考] 如图G11－7(1)，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF将△CEF 翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED，如图G11－7(2)．(1)求证：BD⊥平面POA；(2)当PB取得最小值时，求四棱锥P－BDEF的体积．图G11－745分钟滚动基础训练卷(十一)1．D [解析] 由三视图可知该几何体为圆锥，其中圆锥母线和底面圆的直径均为1，因此侧面积S ＝12×π×1＝π2.2．A [解析] ①中，两个平面有三个公共点，这三个公共点可能共线，则①不正确；②中，这两条直线可能是异面直线，则②不正确；③中，若M ∈α，M ∈β，M 是α和β的公共点，则M 必在交线l 上；④中三条直线可能不共面．3．B [解析] 无论平面α与β相交还是平行，均可存在平面γ，使α，β都垂直于γ，即①不可判断α∥β；若平面α与β相交，则不存在平面γ，使α，β都平行于γ，即②可判断α∥β；无论平面α与β是相交还是平行，平面α内均可存在无数条直线平行于β，即③不可判断α∥β；当且仅当平面α与β平行时，平面α内任何直线都平行于β，即④可判断α∥β.综上可得，能够判断α∥β的条件有2个，故应选B.4．D [解析] A 正确，平面的平行具有传递性；B 正确，一直线若平行于两相交平面，故此直线必与两平面的交线平行；C 正确，若两相交平面同时垂直于第三个平面，则两相交平面的交线必与第三个平面垂直；D 错误，可用直三棱柱为模型来判断直线m ，n 的关系不确定，故选D.5．A [解析] 据三视图可知几何体为圆锥的一半，其中底面半径为1，高为3，故其体积V ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×π×12×3＝π2.6．B [解析] ②中l 可能在平面β内，③中l 可能与m 异面，④中m 也可能在平面β内，所以都为假命题，只有①正确，选B.7．A [解析] 设正三棱锥的侧棱长为b ，则由条件知b 2＝12a 2，∴S 表＝34a 2＋3×12×12a 2＝3＋34a 2，故选A. 8．C[解析] 由三视图可知，该几何体上部为正四棱锥，四棱锥的高为32－22＝5，底面正方形的边长为22；下部为圆柱，圆柱的高为x ，底面圆的直径为4.V 四棱锥＝13×(22)2×5＝853，V 圆柱＝π×22×x ＝4πx ，V 四棱锥＋V 圆柱＝853＋4πx ＝853＋12π，解得x ＝3，故选C.9．45° [解析] 如图，取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角即为异面直线EF 与BD 所成的角．由AC ⊥BD 得FG ⊥EG ，故在Rt △EGF 中，由EG＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.10．32＋12 2 [解析] 由三视图知：多面体为右图所示，其表面积为： S ＝12×6×4＋12×5×4×2＋12×6×42＝(32＋122) cm 2. 11．43π [解析] 构造一个长方体，因为对棱AB ，CD 垂直，故底面可看成一个正方形，不妨设长宽高为a ，a 径为体对角线，即2r 4πr 2＝43π.12．解：(1)∴EF ∥CD .又CD ∥AB ，∴EF ∥AB . ∵EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴EF ∥平面PAB .(2)在线段AD 上存在一点O ，使得BO ⊥平面PAC ，此时点O 为线段AD 的四等分点，且AO ＝14AD .∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥BO ，又∵长方形ABCD 中，△ABO ∽△DAC ，∴AC ⊥BO . 又∵PA ∩AC ＝A ，∴BO ⊥平面PAC .13．解：(1)证明：∵平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ∩平面ABCD ＝AD ， SE ⊂平面SAD ，SE ⊥AD ， ∴SE ⊥平面ABCD .∵BE ⊂平面ABCD ，∴SE ⊥BE .∵AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD ＝3AB ＝3，AE ＝ED ＝ 3. ∴∠AEB ＝30°，∠CED ＝60°. 所以∠BEC ＝90°，即BE ⊥CE . 又SE ∩CE ＝E ，∴BE ⊥平面SEC ，∵BE ⊂平面SBE ，∴平面SBE ⊥平面SEC .(2)如图，作EF ⊥BC 于F ，连接SF .由BC ⊥SE ，SE ∩EF ＝E 得，BC ⊥平面SEF .由BC ⊂平面SBC ，得平面SEF ⊥平面SBC .作EG ⊥SF 于G ，则EG ⊥平面SBC .即线段EG 的长即为三棱锥E －SBC 的高．由SE ＝1，BE ＝2，CE ＝23得BC ＝4，EF ＝3，SF ＝2.在Rt △SEF 中，EG ＝ES ·EF SF ＝32，所以三棱锥E －SBC 的高为32.14．解：(1)证明：因为菱形所以BD ⊥AC ，所以BD ⊥AO .因为EF ⊥AC ，所以PO ⊥EF .因为平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF ∩平面ABFED ＝EF ，且PO ⊂平面PEF ，所以PO ⊥平面ABFED .因为BD ⊂平面ABFED ，所以PO ⊥BD . 又AO ∩PO ＝O ，所以BD ⊥平面POA . (2)如图，设AO ∩BD ＝H ，连接BO .因为∠DAB ＝60°，所以△BDC 为等边三角形，故BD ＝4，HB ＝2，HC ＝2 3.又设PO ＝x ，则OH ＝23－x ，OA ＝43－x .由OH ⊥BD ，则|OB |2＝(23－x )2＋22. 又由(1)知，PO ⊥平面BFED ，则PO ⊥OB ，所以|PB |＝（23－x ）2＋22＋x 2＝2（x －3）2＋10，当x ＝3时，|PB |min ＝10.此时PO ＝3，所以V 四棱锥P －BFED ＝13×⎝ ⎛⎪⎫34×42－34×22×3＝3.。

《数学建模》课程第一章自测练习及解答提示

《数学建模》课程第一章自测练习及解答提示一、填空题：1．设年利率为0.05，则10年后20万元的现值按照复利计算应为 . 解：根据现值计算公式：10)05.01(20)1(+=+=n R S Q 2783.1221201011≈=（万元）应该填写：12.2783万元．2．设年利率为0.05，则20万元10年后的终值按照复利计算应为 . 解：根据终值计算公式：10)05.01(20)1(+=+=n R P S =5779.322021910=（万元）应该填写：32.57793．所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 .解：应该填写：问题分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析．4．设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(+-=t p t Q 而供给量函数是3600)1(35)(--=t p t G ，其中)(t p 为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是 .解：由商品的均衡价格公式：80352536001200)(=++=++=c a d b t p 应该填写：80.5．一家服装店经营的某种服装平均每天卖出110件，进货一次的批发手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 .解：根据经济订购批量公式：1911001.020022*≈⨯⨯==R c c T s b 209701.011020022*≈⨯⨯==s b c R c Q 应该填写：.2097,19**=≈Q T二、分析判断题1. 从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个），建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决．解：（1）要研究的问题：如何设置四部电梯的停靠方式，使之发挥最大效益．（2）所需资料为：每天早晨乘电梯的总人数、各层上、下电梯的人数、电梯的速度、楼层的高度、层数等．（3）要做的具体建模前期工作：观察和统计所需资料，一般讲，需要统计一周内每天的相关资料．（4）可以建立概率统计模型，亦可在适当的假设下建立确定性模型．2.一条公路交通不太拥挤，以至人们养成“冲过”马路的习惯，不愿意走临近的“斑马线”．交管部门不允许任意横穿马路，为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”，以便让行人可以穿越马路．那末“选择设置斑马线的地点”这一问题应该考虑哪些因素？试至少列出3种．解：（1）车流的密度（2）车的行驶速度（3）道路的宽度（4）行人穿越马路的速度（5）设置斑马线地点的两侧视野等．3．怎样解决下面的实际问题．包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等．（1）估计一个人体内血液的总量．（2）为保险公司制定人寿保险计划（不同年龄的人应缴纳的金额和公司赔偿的金额）．（3）估计一批日光灯管的寿命．（4）确定火箭发射至最高点所需的时间．（5）决定十字路口黄灯亮的时间长度．（6）为汽车租赁公司制订车辆维修、更新和出租计划．（7）一高层办公楼有4部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制订合理的运行计划解：（1）注射一定量的葡萄糖，采集一定容量的血样，测量注射前后葡萄糖含量的变化，即可估计人体的血液总量．注意采集和测量的时间要选择恰当，使血液中的葡萄糖含量充分均匀，又基本上未被人体吸收．（2）调查不同年龄的人的死亡率，并估计其在未来一定时期的变化，还应考虑银行存款利率和物价指数，保险金与赔偿金之比大体上应略高于死亡率．（3）从一批灯管中取一定容量的样本，测得其平均寿命，可作为该批灯管寿命的估计值．为衡量估计的精度，需要从样本寿命确定该批灯管寿命的概率分布，即可得到估计值的置信区间．还可试验用提高电压的办法加速寿命测试，以缩短测量时间．（4）根据牛顿第二定律建立火箭向上发射后的运动方程，初速已知，若不考虑空气阻力，很容易算出到达最高点（即速度为零）时间；若考虑空气阻力，不妨设其与火箭速度（或速度的平方）成正比，并有试验及拟合方法确定阻力系数，再解方程得到结果．（5）司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离S1，设通过十字路口的距离为S2，汽车行驶速度为v，则黄灯的时间长度t应使距停车线S1之内的汽车能通过路口，即t（S1+S2）/v．S1可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响．（6）根据资料和经验确定维修费用随着车龄和行驶里程的增加而增加的关系，再考虑维修和更新费用，可以以一年为一个时段，结合租金决定应该维修或更新．（7）统计在各层上班的人数，通过数据或计算确定电梯运行时间，以等待的人数与时间乘积为目标，建立优化模型，确定每部电梯运行的楼层（有的从大厅直接运行到高层）．4．为了培养想象力、洞察力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考，试尽可能迅速地回答下列的问题：（1）某甲早8：00从山下旅馆出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿．次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅馆．某乙说，甲必在2天中的同一时刻经过路径中的同一地点．为什么？（2）甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同，甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站．问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？（3）某人住T 市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T 市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家．一日他提前下班搭乘早一班火车于5：30抵T 市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前往，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前10分钟．问他步行了多长时间．解：（1）设想有两个人一人上山，一人下山，同一天同时出发，沿同一路径，必定相遇．（2）不妨设从甲站到乙站经过丙站的时刻表是：8：00，8：10，8：20，…，那么从乙站到甲站经过丙站的时刻表应该是：8：09，8：19，8：29，…．（3）步行了25分钟．设想他的妻子驾车遇到他后，先带他去车站，再回家，汽车多行驶了10分钟，于是带他去车站这段路程汽车跑了5分钟，而到车站的时间是6：00，所以妻子驾车遇到他的时刻是5：55．三、计算题1．下面是众所周知的智力游戏：人带猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米．试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少．解：人、猫、鸡、米分别记为i =1, 2, 3, 4，当i 在此岸时记x i =1，否则记x i =0，则此岸的状态可用s =（x 1, x 2, x 3, x 4）表示．记s 的反状态为s =（1-x 1, 1-x 2, 1-x 3, 1-x 4），允许状态集合为S ={（1, 1, 1, 1），（1, 1, 1, 0），（1, 1, 0, 1），（1, 0, 1, 1）（1, 0, 1, 0）及它们的5个反状态}．决策为乘船方案，记作d =（u 1, u 2, u 3, u 4），当i 在船上时记u i =1，否则记u i =0，允许决策集合为D ={（1, 1, 0, 0），（1, 0, 1, 0），（1, 0, 0, 1），（1, 0, 0, 0）}．记第k 次渡河前的状态为s k ，第k 次渡河的决策为d k ，则状态转移律为s k +1=s k +（-1）k d k ，设计安全过河方案归结为求决策序列d 1, d 2, …, d n D ，使状态s n S 按状态转移律由初始状态s 1=（1, 1, 1, 1）经n 步到达s n +1=（0, 0, 0, 0）．一个可行方案如下： k1 2 3 4 5 6 7 8 s kd k (1,1,1,1) (1,0,1,0) (0,1,0,1) (1,0,0,0) (1,1,0,1) (1,0,0,1) (0,1,0,0) (1,0,1,0) (1,1,1,0) (1,1,0,0) (0,0,1,0) (1,0,0,0) (1,0,1,0) (1,0,1,0) (0,0,0,0) 2．假定人口的增长服从这样的规律：时间t 的人口为x (t )，t 到t +t 时间内人口的增长与x m - x (t )成正比（其中x m 为最大容量）．试建立模型并求解．作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较．解 )(d d x x r t x m -=，r 为比例系数,0)0(x x =，解为rt m m x x x t x ---=e )()(0，如图1中粗实线所示．当t 充分大时，它与Logistic 模型相近．图13．在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1．试用比例x t O x 0x m指数模型 Logistic 模型方法构造模型解释这个现象．（1）分析商品价格c 与商品重量w 的关系．价格由生产成本、包装成本和其它成本决定，这些成本中有的与重量w 成正比，有的与表面积成正比，还有与w 无关的因素．（2）给出单位重量价格c 与w 的关系，画出它的简图，说明w 越大c 越小，但是随着w 的增加c 减小的程度变小．解释实际意义是什么？解：（1）生产成本主要与重量w 成正比，包装成本主要与表面积s 成正比，其它成本也包含与w 和s 成正比的部分，上述三种成本中都含有与w 和s 无关的成分．又因为形状一定时一般有s w 2/3，故商品的价格可表为C = w + w 2/3+（，，为大于0的常数）．（2）单位重量价格131--++==w w w C c γβα，其图2 简图如图2所示．显然c 是w 的减函数，说明大包装商品比小包装商品便宜；曲线是下凸的, 4．用宽w 的布条缠绕直径d 的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角应多大（如图3）．若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）．如果管道是其它形状呢？解：将管道展开如图4，可得απcos d w =，若d 一图3 定，0→w ，2πα→；d w π→，0→α．若管道长度为l ，不考虑两端的影响时布条长度显然为w dl π，若考虑两端的影响，则应加上απsin dw ．对于其它形状管道，只需将d π 改为相应的周长即可．5．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k >r ．在每一生产周期T 内，开图4 始的一段时间（0<t <T 0）一边生产一边销售，后来的一段时间（T 0<t <T ）只销售不生产，画出贮存量)(t q 的图形．设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期．讨论k 》r 和k r 的情况．解：贮存量)(t q 的图形如图5．单位时间总费用 KT r k r c T c T c 2)()(21-+=，使)(T c 达到最小值的最优周期)(221r k r c k c T -=*．图5 当k 》r 时，r c c T 212=*，相当于不考虑生产的情况．当k r 时，∞→*T ，因wd qO0 k -r r cO α w πd为产量被销量抵消，无法形成贮存量．四、综合应用题1．试建立方桌问题在四条腿脚呈长方形情形时的数学模型，以说明方桌能否在地面上放稳的问题．（提示：要求按照五步建模法进行建模工作，本题至少应给出前四个步骤．）解：问题分析所谓方桌可否在地面上放稳，可视为其四个桌脚可否同时着地，从而可将问题归结为桌脚与地面的距离是否同时为零，故构造这个距离函数是建模的关键，而证明四个距离函数同时为零这个命题是建模的最终目的．模型假设(1) 四条桌腿同长,视四个桌脚为四个几何点,四脚的连线呈长方形；(2) 地面的高度是连续变化的，即将地面看作数学上的连续曲面；(3)模型建立如图6，以长方形的两条对角线的交点为原点建立平面直角坐标系，且不妨设A ，C 两桌脚开始时位于横轴上，则问题与旋转角度θ有关．注意到假设3，设A ，B 两个桌脚与地面距离之和为0)(≥θf ，另外两个桌脚与地面距离之和为,0)(≥θg 则)(,θθf ∀与)(θg 中至少有一个为零，当图6 0=θ时不妨假设0)(,0)(>=θθg f ．又由假设2，以上两个函数均为旋转角度的连续函数，于是有命题：已知,0)0(,0)0(,0)()()(),(>==∀g f g f g f 且，的连续函数，对是θθθθθθ则0θ∃，使得.0)()(00==θθg f上述命题即为所建立的数学模型．模型求解将桌子旋转0180)(π，则A 、B 两点与D 、C 两点恰好交换位置．由假设便有，)(,0)(ππg f >.0=又由前述假设，.0)0(,0)0(>=g f令),()()(θθθg f h -=则有.0)(,0)0(><πh h 由于)(),(θθg f 的连续性知)(θh 也是连续函数．依据连续函数的基本性质（零点定理），必至少存在一个角度0θ，,00πθ<<使得0)(0=θh ，即).()(00θθg f =又根据θθθ∀=,0)()(g f 成立，故有.0)()(00==θθg f 模型分析由于本问题结论简单，符合实际，故分析过程从略．2．试建立确定情形下允许缺货的存储问题的数学模型．提示：所谓的确定情形下的存储模型是指文字教材第一章提到过的不允许缺货的存储模型；所谓允许缺货是在不允许缺货模型假设条件下，再考虑因缺货造成的损失建立相应的模型．（要求按照五步建模法进行建模工作，本题应给出五个步骤．）解：问题分析由题设，只须在不允许缺货模型条件下，考虑因缺货造成的损失即可．而缺货损失按天计算与下列因素有关：货物总需求量、缺货量、缺货时刻、每单位的缺货费用等．模型假设（1）每次定货费为C 1，每天每单位货物的存储费为C 2 （2）每天货物的需求量为r 单位.（3）每T 天定货Q 单位，所定货物可在瞬间到达．（4）允许缺货，每天每单位货的缺货费为C 3缺货时，存储量q 视为负值，则)(t q 的图形变为,Q rt q +-=如图7所示．模型建立图7 货物在1T t =时售完，则必有一段时间缺货．又在T t =时下一次定货量Q 到达，于是有1rT Q = （1）在一个定货周期内的总费用包括定货费1C 、存储费Q T C dt t q C T 102221)(1⎰=和缺货费.)(13dt t q C T T ⎰其中21)(2)()(11T T r dt Q rt dt t q TT T T -=-=⎰⎰ 其中用到了（1）式．于是总费用应为2/)(2/213121T T r C QT C C C -++= （2）则由（1）式解出r Q T /1=并代入（2）式可得r Q rT C r Q C C C 2/)(2/23221-++= （3）每天的平均总费用便是rT Q rT C rT Q C T C T C Q T C 2/)(2///),(23221-++== （4）（4）式即为所求的数学模型．模型求解对（4）式分别求总费用对定货周期和定货量的偏导数，并令其为零解得0)()(22322322221=-+----=∂∂Q rT T C Q rT rT C rT Q C T C T C0)(32=--=∂∂Q rT rTC rT Q C Q C 由3230C C rT C Q Q C +=⇒=∂∂，代入0=∂∂TC 便可解出 32321*33221*2;2C C C C r C Q C C C rC C T +=+=. （5）（5）式就是在允许缺货情形下，最佳定货周期与最佳定货量公式．模型分析当3C 远远超过2C 时，（5）式就转化为不允许缺货模型中的相应结论，这也说明所建模型是合理的，结论也是正确的．。

2014届高三数学一轮“双基突破训练”(详细解析+方法点拨) (25)

2014届高三一轮“双基突破训练”（详细解析+方法点拨） (25)一、选择题1．公差不为零的等差数列{a n }中，有2a 3－a 72＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16 【答案】D【解析】因为数列{a n }是等差数列，所以由2a 3－a 72＋2a 11＝0得a 72＝2(a 3＋a 11)＝4a 7，解得a 7＝4或a 7＝0.又因为数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，所以b 7＝4(b 7＝0舍去)．于是b 6b 8＝b 72＝16.故选择D.2．一父母为了给他们的孩子准备上大学的学费，从婴儿一出生就到银行存入一笔钱，以后每年生日都到银行储存相同数目的钱．设大学学费4年共需1万元，若银行储蓄年利率为2%，每年按复利计算，为使孩子18足岁上大学时本金和利息共有1万元，父母每年至少应存入(1.0217≈1.400,1.0218≈1.428,1.0219≈1.457)( )A ．358元B ．400元C ．458元D ．500元【答案】C【解析】设每年存a 元，则a (1.0218＋1.0217＋…＋1)＝10 000，∴a ＝458元．3．已知{a n }是等差数列，a 1＋a 2＝4，a 7＋a 8＝28，则该数列前10项和S 10等于( ) A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 【答案】B【解析】a 1＋a 2＝4，a 7＋a 8＝28， ∴(a 7＋a 8)－(a 1＋a 2)＝12d ＝28－4＝24， ∴d ＝2，a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝4，∴a 1＝1，∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝10＋90＝100.4．将数列{3n －1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，则第100组中的第一个数是( )．A ．34 950B ．35 000C ．35 090D ．35 060【答案】A【解析】由“第n 组有n 个数”的规则分组，各组数的个数构成一个以1为首项，公差为1的等差数列，前99组数的个数共有1＋99992＝4 950个．故第100组中的第1个数是34 950.5．小正方形按照图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成一个数列{a n }，则下列结论正确的是( )①a 5＝15②数列{a n }是一个等差数列 ③数列{a n }是一个等比数列④数列{a n }的递推关系式是a n ＝a n －1＋n (n ∈N *) A ．①②④ B．①③④ C ．①② D．①④ 【答案】D【解析】a 1＝1，a 2＝3，a 3＝1＋2＋3＝6，a 4＝1＋2＋3＋4＝10， a 5＝1＋2＋3＋4＋5＝15，∴①、④正确，②、③不正确．故选择D. 二、填空题6．(2011某某卷·文)已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝.【答案】2【解析】由题意得2q 2－2q ＝4，解得q ＝2或q ＝－1. 又{a n }单调递增，得q >1，∴q ＝2.7．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝. 【答案】2n ＋1－3【解析】由a n ＋1＝2a n ＋3，则有a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，即a n ＋1＋3a n ＋3＝2. 所以数列{a n ＋3}是以a 1＋3为首项，公比为2的等比数列，即a n ＋3＝4×2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－3.8．一房地产开发商将他新建的一幢20层商品楼的房价按下列方法定价；先定一个基价a 元/m 2，再根据楼层的不同进行上、下浮动．一层的价格为(a －d )元/m 2，二层的价格为a元/m 2，三层的价格为(a ＋d )元/m 2，第i (i ≥4)层的价格为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋d ⎝ ⎛⎭⎪⎫23i －3元/m 2，则该商品房各层价格的平均值是.【答案】a ＋110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2317d 元/m 2【解析】各层单价之和为：(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋d ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋d ⎝ ⎛⎭⎪⎫2317 ＝3a ＋17a ＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23171－23d＝20a ＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2317d ，所以各层价格的平均值是20a ＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2317d 20＝a ＋110⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2317d (元/m 2)．三、解答题9．已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R )且1a 1，1a 2，1a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，试比较1a 2＋1a 22＋1a 23＋…＋1a 2n 与1a 1的大小．【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 22＝1a 1·1a 4，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，从而a 1d ＝d 2. 因为d ≠0，所以d ＝a 1＝a . 所以通项公式a n ＝na .(2)记T n ＝1a 2＋1a 22＋…＋1a 2n，因为a 2n ＝2na ，所以T n ＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋ (12)＝1a ·12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 从而当a >0时，T n <1a 1；当a <0时，T n >1a 1.10．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n . 所以，当n >1时，S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n2n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1.综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.11．等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列{a n }(2)若数列{b n }满足： b n ＝a n ＋(－1)nln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 【解析】(1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意；当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18.所以公比q ＝3. 故a n ＝2·3n －1.(2)因为b n ＝a n ＋(－1)nln a n＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n [ln 2＋(n －1)ln 3]＝2·3n －1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nn ln3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn ]ln 3. 所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n1－3＋n 2ln 3＝3n＋n 2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12－n ln 3＝3n－n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n＋n2ln 3－1， n 为偶数，3n－n －12ln3－ln 2－1， n 为奇数.12．(2011某某卷·文)已知数列{a n }与{b n }满足b n ＋1a n ＋b n a n ＋1＝(－2)n＋1，b n ＝3＋－1n －12，n ∈N *，且a 1＝2.(1)求a 2，a 3的值；(2)设＝a 2n ＋1－a 2n －1，n ∈N *，证明{}是等比数列； (3)设S n 为{a n }的前n 项和，证明S 1a 1＋S 2a 2＋…＋S 2n －1a 2n －1＋S 2n a 2n ≤n －13(n ∈N *)．【解析】(1)由b n ＝3＋－1n －12，n ∈N *，可得b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，1，n 为偶数.又b n ＋1a n ＋b n a n ＋1＝(－2)n＋1，当n ＝1时，a 1＋2a 2＝－1，由a 1＝2，可得a 2＝－32；当n ＝2时，2a 2＋a 3＝5，可得a 3＝8. (2)对任意n ∈N *，a 2n －1＋2a 2n ＝－22n －1＋1，①2a 2n ＋a 2n ＋1＝22n＋1.② ②－①，得a 2n ＋1－a 2n －1＝3×22n －1，即＝3×22n －1，于是＋1＝4.所以{}是等比数列．(3)a 1＝2，由(2)知，当k ∈N *且k ≥2时，a 2k －1＝a 1＋(a 3－a 1)＋(a 5－a 3)＋(a 7－a 5)＋…＋(a 2k －1－a 2k －3)＝2＋3(2＋23＋25＋…＋22k －3) ＝2＋3×21－4k －11－4＝22k －1.故对任意k ∈N *，a 2k －1＝22k －1.由①得22k －1＋2a 2k ＝－22k －1＋1，所以a 2k ＝12－22k －1，k ∈N *.因此，S 2k ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2k －1＋a 2k )＝k2.于是，S 2k －1＝S 2k －a 2k ＝k －12＋22k －1.故S 2k －1a 2k －1＋S 2ka 2k ＝k －12＋22k －122k －1＋k212－22k －1 ＝k －1＋22k22k －k 22k －1＝1－14k －k4k4k－1.所以，对任意n ∈N *，S 1a 1＋S 2a 2＋…＋S 2n －1a 2n －1＋S 2na 2n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1a 1＋S 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫S 3a 3＋S 4a 4＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2n －1a 2n －1＋S 2n a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14－112＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－142－24242－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n －n 4n 4n －1 ＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋112＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋24242－1－…－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋n 4n 4n －1 ≤n －⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋112＝n －13.。

2014年高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明7精品训练理(含解析)新人教B版

2014年高考数学一轮复习第6章不等式、推理与证明7精品训练理（含解析）新人教B 版[命题报告·教师用书独具]一、选择题1．(2013年某某模拟)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)”的过程中，第二步n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时应得到( )A ．1＋2＋22＋…＋2k －2＋2k －1＝2k ＋1－1B ．1＋2＋22＋…＋2k ＋2k ＋1＝2k－1＋2k ＋1C ．1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＋1＝2k ＋1－1D ．1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k ＋1－1解析：由条件知，左边是从20,21一直到2n －1都是连续的，因此当n ＝k ＋1时，左边应为1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ，而右边应为2k ＋1－1.答案：D2．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞ 12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.答案：B3．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3解析：假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．答案：A4．对于不等式n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时，不等式成立，即k 2＋k ＜k ＋1，则当n ＝k ＋1时，k ＋12＋k ＋1＝k 2＋3k ＋2＜k 2＋3k ＋2＋k ＋2＝k ＋22＝(k ＋1)＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法( ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验得不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确解析：在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法．答案：D5．(2013年某某检测)在用数学归纳法证明f (n )＝1n ＋1n ＋1＋…＋12n ＜1(n ∈N *，n ≥3)的过程中：假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥3)时，不等式f (k )＜1成立，则需证当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＜1也成立．若f (k ＋1)＝f (k )＋g (k )，则g (k )＝( ) A.12k ＋1＋12k ＋2B.12k ＋1＋12k ＋2－1k C.12k ＋2－1k D.12k ＋2－12k解析：∵f (k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2， f (k )＝1k ＋1k ＋1＋…＋12k，∴f (k ＋1)－f (k )＝－1k ＋12k ＋1＋12k ＋2，∴g (k )＝12k ＋1＋12k ＋2－1k .故选B.答案：B 二、填空题6．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．解析：∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2；∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.答案：f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)27．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(n∈N*)行，在这些数中非1的数字之和是________．解析：所有数字之和S n＝20＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，除掉1的和2n－1－(2n－1)＝2n －2n.答案：2n－2n8．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…则第60个数对是________．解析：本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；…；一个整数n所拥有数对为(n－1)对．设1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴n－1n2＝60，∴n＝11时还多5对数，且这5对数和都为12，12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，∴第60个数对为(5,7)．答案：(5,7)9．设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2－a n x－a n＝0有一根为S n－1，n＝1,2,3，….猜想数列{S n}的通项公式为________．解析：由题设(S n－1)2－a n(S n－1)－a n＝0，即S2n－2S n＋1－a n S n＝0.①当n≥2时，a n＝S n－S n－1，代入上式得S n－1S n－2S n＋1＝0.②由①可得S 1＝a 1＝12，由②可得S 2＝23，S 3＝34.由此猜想S n ＝nn ＋1，n ＝1,2,3，….答案：nn ＋1三、解答题 10．已知：f (x )≥x2＋x2，f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f [f n －1(x )](n ≥2，n ∈N *)，用数学归纳法证明f n (x )≥x2n＋2n－1x2.证明：令g (x )＝x2＋x2，可知g (x )＝x2＋x2是奇函数，且g (0)＝0.当x ＞0时，g (x )＝x2＋x2＝ x 22＋x2＝1－22＋x2是[0，＋∞)上的增函数，所以g (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．(1)当n ＝1时，f 1(x )≥x2＋x2，∴当n ＝1时不等式成立； (2)假设n ＝k (k ∈N *)时，f k (x )≥x2k＋2k－1x2，则当n ＝k ＋1时，f k ＋1(x )＝f [f k (x )]≥x2k＋2k－1x22＋x 22k ＋2k －1x2＝x2[2k＋2k－1x 2]＋x2＝x2k ＋1＋2k ＋1－1x2，∴当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)(2)可知不等式成立．11．将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1的结果，并用数学归纳法证明．S1＝1，S2＝2＋3＝5，S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111.解析：由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4，那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，所以，当n＝k＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知对于任意的n∈N*，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．12．(能力提升)(2013年某某模拟)各项都为正数的数列{a n}满足a1＝1，a2n＋1－a2n＝2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：1a1＋1a2＋…＋1a n≤2n－1对一切n∈N*恒成立．解析：(1)∵a2n＋1－a2n＝2，∴{a2n}为首项为1，公差为2的等差数列，∴a2n＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又a n＞0，则a n＝2n－1.(2)证明：只需证：1＋13＋…＋12n－1≤2n－1.①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，所以命题成立．当n＝2时，左边＜右边，所以命题成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即1＋13＋…＋12k－1≤2k－1，当n＝k＋1时，左边＝1＋13＋…＋12k －1＋12k ＋1≤2k －1＋12k ＋1＜2k －1＋22k ＋1＋2k －1＝2k －1＋22k ＋1－2k －12＝2k ＋1＝2k ＋1－1.命题成立．由①、②可知，对一切n ∈N *都有1＋13＋…＋12n －1≤2n －1成立．[因材施教·学生备选练习]1．(2012年高考大纲全国卷)函数f (x )＝x 2－2x －3.定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n <x n ＋1<3； (2)求数列{x n }的通项公式．解析：(1)证明：用数学归纳法证明：2≤x n <x n ＋1<3. ①当n ＝1时，x 1＝2，直线PQ 1的方程为y －5＝f 2－52－4(x －4)，令y ＝0，解得x 2＝114，所以2≤x 1<x 2<3.②假设当n ＝k 时，结论成立，即2≤x k <x k ＋1<3. 直线PQ k ＋1的方程为y －5＝f x k ＋1－5x k ＋1－4(x －4)，令y ＝0，解得x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1.由归纳假设知x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1<4－52＋3＝3；x k ＋2－x k ＋1＝3－x k ＋11＋x k ＋12＋x k ＋1>0，即x k ＋1<x k ＋2.所以2≤x k ＋1<x k ＋2<3，即当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②知对任意的正整数n,2≤x n <x n ＋1<3. (2)由(1)及题意得x n ＋1＝3＋4x n2＋x n.设b n ＝x n －3，则 1b n ＋1＝5b n＋1，1b n ＋1＋14＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n ＋14，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋14是首项为－34，公比为5的等比数列．因此1b n ＋14＝－34·5n －1，即b n ＝－43·5n －1＋1，所以数列{x n }的通项公式为x n ＝3－43·5n －1＋1. 2．用数学归纳法证明an ＋1＋(a ＋1)2n －1(n ∈N *)能被a 2＋a ＋1整除．证明：(1)当n ＝1时，a 2＋(a ＋1)＝a 2＋a ＋1可被a 2＋a ＋1整除． (2)假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1＝a ·a k ＋1＋a ·(a ＋1)2k －1＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1＝a [ak ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1，由假设可知a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]能被a 2＋a ＋1整除，(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1也能被a 2＋a＋1整除，∴ak ＋2＋(a ＋1)2k ＋1也能被a 2＋a ＋1整除，即n ＝k ＋1时命题也成立， ∴对任意n ∈N *原命题成立．。

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2014年暑期数学建模培训——校内训练题
D1. 人口的结构与发展
人口是人类社会存在和发展的前提，是社会生活的主体。人既是生产者，也
是消费者，人口的性别、年龄、职业、民族、地区、文化教育以及其它社会构成
对社会与经济等方面的可持续协调发展具有重要作用。请查阅我国历次人口普查
的数据，通过数学建模的方法研究下面问题：

（1）预测我国的人口发展情况；
（2）预测我国劳动力人口及老年人口比例的发展情况；
（3）根据你们的预测对我国的人口政策提出合理性建议。

D2. 投资的收益和风险问题
某投资公司现有一大笔资金（8000万），可用作今后一段时间的股票市场
投资，请以2014年8月1日股票市场的实际情况为出发点，选出5只股票，结
合其母公司的行业、生产、经营和财务状况，以及近期股票市场的运行情况，评
估这5只股票各自的收益率和风险损失率。请设计一种投资组合方案，使净收益
尽可能大，而总体风险尽可能小。如果不限定取5只股票，可任意选定投资组合
方式，结果又如何。