量子力学题

1若1iEtAxe和2iEtBxe分别是能量本征态,那么12,iEtiEtxtAxeBxe

是否是能量本征态. 解: 不是,一个力学量算符的不同本征值的本征态的叠加不是其本征态. 2证明:对一维势场,若势函数V为实数, 是定态薛定谔方程的一个解,对应的能量本征值是E 则 也是方程的一个解，对应的能量也是E。 证: 由定态薛定谔方程

方程取复共轭，注意E取实值，则有 则 也是方程的一个解，对应的能量也是E。 3证明:设U（x）具有空间反射不变性， U（-x）=U（x）。 是定态薛定谔方程的一个解,对应的能量本征值是E则 也是方程的一个解，对应的能量也是E。

证: 由定态薛定谔方程

当 所以定态薛定谔方程化为 即证 4设质量为m的微观粒子处在宽度为a的一维无限深势阱中，粒子的能量本征函

数为2(,)sinnnxtxaa,计算200sinsinaamkmkdxAxxaa 解：利用 可得, 当mk,有00amkdx, 当m=k,有01ammdx,

5 对一维无限深势阱 利用驻波条件求能量 解: 驻波条件：2a=nλ/2, n=1,2,3,…,λ=4a/n.

6. 设质量为m的微观粒子处在宽度为a的一维无限深势阱中，试求：1.粒子在

*

222[()]()()2dVxxExmdx

22**

2[()]()()2dVxxExmdx

*()x

x

x

222[()]()()2dVxxExmdx

xx

222

222

ddddxdxdx

()()VxVx

222[()]()()2dVxxExmdx

1sinsincoscos2mkmkmk

xxxxaaaa



()oxaVxxa

阱内阱外

2222

2222

2

11212222241228phnEannaa





0xa/4区间中出现的几率，并对n=1和n=的情况算出概率值。2.在哪些量子态上，a/4处的概率密度最大？ 解：1.已知 粒子出现在0xa/4区间中的几率为

2n

n

4a最大时有, 7:设粒子处于二维无限深势阱中, 求粒子的能量本征值和本征函数. 解:在0区域,波函数满足 设.

令 分离变量得 可解得 由边界条件得 所以能量本征值 8:质量为m的粒子处于能量为E的本征态, 波函数为2212xxAxe求粒子所

处于的势场V=?

解: 由定态薛定谔方程222[()]()()2dVxxExmdx

得222()()()()2dxVxxExmdx 即2222422()()/232dxVxExmdxExm

9. 对一维无限深势阱,假定在阱内,0VC,C为常数,则对其解是否有影响,怎

样影响?

解: 在阱内薛定谔方程222[]()()2dCxExmdx

2442

00

2()sin11sin422aanwxdxdxaann



14w

14w

22

2()sinn

xxaa

222

22()sinsin44nan

xaaa

2sin14n42nk0,1,k

42nk

,0,0,0Vxyxayb

,,0,0Vxyxayb

22222(,)(,)2xyExymxy



12,xyxy

22

2mEk



2

12

112

0dxkxdx

2

22

222

0dykydx

1111sinxAkx2222sinyAky

2221122nEma2222222nEmb



2222

1212222nnEEEmab







1201122,kankbn1212()sin,()sinnnxAxyAyab

22212kkk即222()()2dxECxmdx令EEC则22222nEma



2()sinnnxxaa

即不影响波函数,能级变为22222nnnEECCma



10 已知 ˆ[sincotcos]xLi



,ˆ[coscotsin]yLi

问,1lmY是否为ˆxL,ˆyL的本征态;如果是,求其本征值. 解: 由于ˆ,0xlmLY

,ˆ,0ylmLY

所以为ˆxL,ˆyL的本征态, 其本征值为0 11设体系的算符为22ˆˆˆxyHCLL (1)问,lmY是否为ˆH的本征态;(2). 如果是,求其本征值.

解: 222222ˆˆˆˆˆˆˆxyzzHCLLCLLCLCL 所以, 其本征值为2221ECllCm 11设氢原子在某一状态 (1)问是否为能量ˆH，角动量2ˆL的本征态; (2) 如果是,求其本征值. 解

所以是能量的本征态,不是角动量2ˆL的本征态 则有

12 设粒子处于范围在[0,]a的一维无限深势阱中，状态用波函数 2223()sinsinxxxaaaa

描述，(1)该波函数是否归一,如不归一,请写出归一化波函数 (2)求粒子能量的可能值及相应概率。

13202310(,,)(,,)crcr3,1,2nl2

3218

seE 解：无限深势阱中，粒子能量的本征态及本征值为 222

2

2sin,,1,2,3,2nnnxEnnaaa

该波函数不归一，归一化波函数为

直接将()x展开1213()sinsin122123sinsin22xxxaaaaxxaaaa



231222311sinsin222xxaaaa









所以能量的可能值及概率为2212

42Ea

,概率,2212c 223292Ea概率,

23

1

2c ,

能量的平均值为222211222132EEcEca

13 对于一维谐振子, 求（1）平均值 （2）势能的平均值 （3）4x与22x，它们相等吗?

解：由递推关系得1111()22nnnnnxx

得22221()122112nnnnxxnnnnn 所以有, 2221212nnxxn

244

4

24

11221146634nnxxnnnnnnn



显然不相等

14设 证明对易关系 证明

2x

V

12m







2

2

11212122xnnm

22

2

1112121224111222nVmxnnnE





2ˆ

ˆ

2pHVxmˆˆ

[,],xixHPm

2

22

ˆˆ[,][,]2ˆ11ˆˆˆˆˆ[,][,]([,][,])2221ˆˆˆ()2pxHxVxmpxxppxpxppmmmipiippmm

