第16套量子力学自测题
大学物理 第16章量子力学基本原理-例题及练习题
由不确定关系： 由不确定关系：
∆x ⋅ ∆p x ≥ h ; ∆x ↑ , ∆p x ↓
P 练习： 练习：574 17.14 ∆ t = 10 −8 s , E − E 0 = 3.39 eV , 已知: 已知:电子处于某能级 (1)该能级能量的最小不确定量 (1) 求： 该能级能量的最小不确定量∆ E (2)由该能级跃迁到基态时所辐射光子的 (2)由该能级跃迁到基态时所辐射光子的 λ 及 ∆ λ :(1) 解:(1) Q ∆E ⋅ ∆t ≥ h h 1.055 × 10 ∴ ∆E ≥ = = 1.055 × 10 ( J ) = 6.59×10−6 (eV) 10 ∆t
1. 将此波函数归一化； 将此波函数归一化； 2. 求出粒子按坐标的概率分布函数； 求出粒子按坐标的概率分布函数； 3. 在何处找到粒子的概率最大？ 在何处找到粒子的概率最大？
解： 1.由归一化条件 得：
∞ 2 A A dx = ∫ dx＝A 2 arctg x ]∞∞ ＝A 2π = 1 ∫∞ 1 + ix − 1 + x2 − −∞
Ψ
E 4 = 16 E 1
(x , t )
n=4 n=3 n=2 n=1
ψ (x )
2
n=4 n=3 n=2 n=1
E
3
= 9E1
E
2
= 4E1
E1
o 驻波波长： 驻波波长：
a
x
o
a
x
λn = 2a n, n = 1, 2, 3,......
由
k 2 h 2 n 2π 2 h 2 E= = = n 2 E1 2 2m 2ma
∆x ⋅ ∆p x ≥ h
λ
2
∴
九年级物理全册第十六章粒子和宇宙测评新版北师大版
第十六章粒子和宇宙测评(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(每题4分,共40分)1.宇宙中有数以10亿计的星系,银河系是无数个星系中的一个,银河系异样巨大,表示银河系的长度单位最方便的是()A.千米B.兆米C.米D.光年2.以下对能量转变剖析错误的选项是()A.水电站主要将机械能转变为电能B.核电站主要将核能转变为电能C.太阳能热水器主要将太阳能转变为内能D.热机主要将机械能转变为电能3.以下相关能源和环境保护的说法错误的选项是()A.太阳能、风能、核能都是可重生资源B.压缩天然气,简称CNG,是一种洁净燃料,使用这类燃料的汽车,尾气污染较小C.垃圾分类有助于减少环境污染D.纯电动汽车的推行有益于保护环境4.研究能源利用,实现可连续发展已成为21世纪世界各国共同的任务。
能源按不一样的分类方式可进行不一样分类。
以下四组能源中,能纳入以下图暗影部分的一组是()A.煤炭、地热能、沼气B.太阳能、风能、大海能C.水能、木柴、天然气D.石油、大海能、核能5.一百多年来,科学家们向来在微观世界领域不懈地研究着。
以下微粒按空间尺度从大到小摆列的次序是()A.分子夸克质子电子B.分子原子核质子夸克C.原子核电子质子分子D.分子原子电子原子核6.以下事实中,不是近代原子—分子论确定的内容的是()A.多半物质可由其余物质经过化学反响合成,这些物质称为化合物B.一些物质不可以由其余物质经过化学反响合成,称为元素C.原子是元素不行再分的单元,各样元素的原子同样D.以上都不是7.右图为Be的构造表示图,以下是某同学对此构造表示图的几种表达,正确的选项是()A.Be原子是由4个原子核和4个电子构成的B.Be的原子核中有5个质子和4此中子C.Be的原子核内有4个质子,核外有4个电子D.任何原子的原子核中质子数和电子数都是不相等的8.对于粒子和宇宙的说法正确的选项是()A.汤姆孙发现电子说明原子是可分的B.扫地时灰尘飞扬说明分子在永不暂停地做无规则运动C.大到天体、小到微观粒子都在不断地运动,此中太阳是宇宙的中心D.把10毫升酒精和10毫升水混淆在一同,体积等于20毫升9.对于能源的利用和节能,以下说法正确的选项是()A.依据能量守恒定律,能源的利用率应当是100%B.因为能量不会消逝,也不会创生,老是守恒的,所以节俭能源意义不大C.节俭能源只需提升节能意识就行,与科技进步没关D.在能源的利用中,总会有一部分能源未被利用而损失去10.节俭能源是每个公民应尽的义务,平时生活中我们常常会遇到以下行为:①用电器不使用时,实时切断电源,减少待机时间;②利用淘米水浇花;③使用一次性筷子;④用太阳能热水器取代燃气热水器;⑤任意抛弃废旧塑料袋;⑥使用空调时将门窗关好。
最新北师大版初中物理九年级全册第十六章《粒子和宇宙》检测卷(有答案解析)
一、选择题1．下列事例中，关于能量转化的说法错误的是（ ）A ．摩擦生热，机械能转化为内能B ．燃料燃烧时发热，内能转化为化学能C ．充电宝充电过程，电能转化为化学能D ．电风扇工作过程，电能转化为机械能2．如图所示，用橡胶制造的汽车轮胎，能减轻汽车行驶时的震动与颠簸，利用的是橡胶具有（ ）A ．较好的绝缘性B ．较强的弹性C ．较差的导电性D ．较大的耐磨性3．以下说法正确的是（ ）A ．原子弹和氢弹都是利用可控核聚变的原理工作的B ．一艘载满货物的轮船在卸完一半货物后，该艘轮船会浮起一些，所受浮力变小C ．移动电话只能传递声音信号，不能传递图像信号D ．声波和光波都能在空气中传播，可见它们都属于电磁波4．出行是人们工作、生活必不可少的环节，出行的工具多种多样，使用的能源也不尽相同。
自行车、太阳能小车和电力机车所消耗能量的类型分别是（ ）①生物能②核能③电能④太阳能A ．①②③B ．①④③C ．①②④D ．②④③ 5．若42g 焦炭完全燃烧放出的热量被质量为4kg 、初温为20C ︒的水完全吸收，则水温可以升高到[()34.210/kg C J c =⨯⋅︒水，73.010J /kg q =⨯焦炭，此时外界为标准大气压]（ ）A ．70C ︒B ．95C ︒ C ．100C ︒D ．105C ︒ 6．下列实例与所利用的物质物理属性不相符的是A ．划玻璃的刀刃用金刚石做﹣﹣因为金刚石的硬度大B ．电影中从城墙上滚落的石头用泡沫塑料制成﹣﹣因为泡沫塑料的密度小C ．水壶的把手用胶木做﹣﹣因为胶木的导热性好D ．毛皮摩擦过的塑料尺能吸引碎纸屑﹣﹣带电体吸引轻小物体7．石墨烯又称单层墨，它仅由一层碳原子组成，具有许多奇特的属性，包括极强的拉力，优良的导电性和导热性，硬度最大，熔点超过3000℃等，这种高新材料有可能代替硅成为新的半导体材料．根据石墨烯的特性，你认为石墨烯不能用来制成（）A．高压输电线B．坚韧的防弹衣C．发光二极管D．保温隔热材料8．我国在酒泉卫星发射中心用长征二号丁二级运载火箭成功将世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”发射升空,下列关于发射过程中的说法中正确的是A．在“墨子号”随火箭升空的过程中,机械能转化为内能B．火箭用液态氢作为燃料,是因为氢的密度小C．“墨子号”上升的过程中机械能守恒D．一级火箭与二级火箭分离是为了提高效率9．如图所示是一颗铆钉自动铆接的过程.在常温下把铆钉做成铆接后的形状(图)a；然后降温并将其两脚拉直，使之能顺利插入铆钉孔(图b、)c；插入后让温度回升，铆钉恢复d则制成这种铆钉的材料是（）原状，自动完成铆接(图).(b) (c) (d)A．半导体B．超导体C．纳米材料D．记忆合金10．小明和小华分别用相同的灶具和锅来煮鸡蛋，两人的锅中都加入同样多且足够的水、同样多的鸡蛋。
大学物理第十六章 量子物理基础参考答案
量子物理基础参考答案一、选择题参考答案：1. (D)；2. (C)；3. (D)；4. (C)；5. (C)；6. (A)；7. (A)；8. (D)；9. (C)；10. (C)；11.( D)；12.( E)；13. (C)；14. (C)；15. (A)；16. (D)；17.( C)；18. (B)；19. (A)；20. (C)；21. (D)；22.( A)；23. (A)；24. (D)；25. (B)；26. (C)；27. (C)；28. (D)；29.( A)；30.(D)；二、填空题参考答案：1、J 261063.6-⨯，1341021.2--⋅⋅⨯s m kg2、>，>3、14105⨯，24、θφcos cos P c v hc hv +'=5、2sin 2sin 2212ϕϕ6、π，︒07、定态，（角动量）量子化，跃迁8、（1）4 , 1 （2）4 ,39、10 ,310、6.13 , 4.311、912、1:1, 1:413、122U em he14、m 101045.1-⨯, m 291063.6-⨯15、231033.1-⨯， 不能16、241063.6-⨯17、≥18、（1）粒子在t 时刻在()z y x ,,处出现的概率密度；（2）单值、有限、连续；（3）12*=ψ=ψψ⎰⎰⎰⎰dxdydz dV V19、不变20、a x n a π2sin 2， dx a x n a a π230sin 2⎰三、计算题参考答案：1、解： 由光电效应方程可得V 45.1=-=eW h U a ν m/s 1014.725max ⨯==meU a v 2、解： 氢原子从基态1=f n 激发到3=i n 的能级需要的能量为 eV 1.12Δ13=-=E E E对应于从3=i n 的激发态跃迁到基态1=f n 的三条谱线的光子能量和频率分别为 Hz 1092.2eV 1.12 :1315⨯===→=νE n n f iHz 1046.2eV 2.10 Hz1056.4eV 89.1 :12315221411⨯==⨯===→=→=ννE E n n n f i3、解： 经电场加速后，电子的动量为meU p 2=根据德布罗意关系，有m 1023.111-⨯==Ph λ 4、解： 一维无限深阱中概率密度函数（定态）为)2cos 1(1sin 2)(*)()(2ax n a a x n a x x x ππψψρ-=== 当12cos -=a x n π时，即 ,212,,.23,2212a nk n a n a a n k x +=+=时，发现粒子的概率最大．当∞→n 时，趋近于经典结果．。
量子力学试题含答案
一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。
3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。
4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。
7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。
8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。
9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。
10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。
二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。
新北师大版初中物理九年级全册第十六章《粒子和宇宙》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．关于粒子和宇宙，下列说法正确的是（）A．太阳是宇宙的中心，恒星是绝对不动的B．原子是由质子和中子组成，质子带正电，中子带不带电C．水和酒精均匀混合后总体积变小，因为分子间存在空隙D．胶水可以把两张纸黏在一起，因为分子间只存在引力2．如图所示是一款迷你暖手宝，它内置锂电池，利用USB接口充电，内部发热片发热。
下列说法正确的是（）A．暖手宝充电的过程，是电流做功的过程B．暖手宝发热的过程，是机械能转化成内能的过程C．用暖手宝取暖时，手因为含有的热量增加而感到暖和D．无论暖手宝充电还是发热的过程，锂电池在电路中都是电源3．有关宇宙的起源，多数宇宙学家所持的观点是宇宙（）A．没有起源是天然形成的B．形成于气候的反复变化C．肯定是恒星湮灭造成的D．诞生于150亿年前的一次大爆炸4．出行是人们工作、生活必不可少的环节，出行的工具多种多样，使用的能源也不尽相同。
自行车、太阳能小车和电力机车所消耗能量的类型分别是（）①生物能②核能③电能④太阳能A．①②③B．①④③C．①②④D．②④③5．汽车发动机一是汽油机，汽油的热值为4.6×107J/kg，阅读了某汽车发动机的说明书后，将内燃机的能量流向制成如图，下列回答不正确的是（）A．该内燃机的效率为30%B．1kg的汽油完全燃烧能够释放4.6×107J的能量C．为确保发动机正常工作，需用水对其冷却D．发动机压缩冲程把燃料燃烧产生的内能转用化为机械能6．下列有关物体利用其物理属性的说法，错误．．的是A．导线的外皮利用了塑料导电性好B．坐垫用海绵利用了海绵的硬度小C．门窗玻璃利用了玻璃的透光性D．空调散热器利用了金属铝易导热的特性7．我国成功发射了“神十”载人飞船．下列说法正确的是A．在“神十”随火箭升空的过程中，机械能转化为内能B．火箭的发动机选用液态氢作燃料，主要是因为氢具有较大的比热容C．穿越大气层时，“神十”和火箭克服摩擦，将机械能转化成内能D．“神十”和火箭升空的过程中，机械能的总量不变8．下列有关热机的说法中不正确的是A．可以采用增大热机功率的方法来增大热机的效率B．为了防止热机过热，通常用水来降温，是利用水的比热容大的特性C．热机工作的过程是将燃料燃烧获得的内能转化成机械能的过程D．热机的大量使用会造成环境污染9．如图是某内燃机工作时的能量流向图，该内燃机的热机效率是（）A．25%B．35%C．40%D．65%10．电动机通电后带动其他机器运转，一段时间后，电动机的外壳就会变得烫手，则下列关于能的转化和守恒的说法中正确的是A．电能全部转化为机械能，总的能量守恒B．电能一部分转化为机械能，另一部分转化为内能，总的能量守恒C．电能全部转化为内能，内能守恒D．电能转化为机械能和内能，机械能守恒11．如图所示，从斜面上滚下的小球能推动平面上的木块前进一段距离，最后小球和木块都静止．对此现象，下列说法中正确的是（）A．小球和木块的机械能都消失了B．小球的机械能转移到木块上，但机械能的总量保持不变C．小球和木块的机械能转化成其他形式的能量（如内能等），但能的总量保持不变D．以上说法都不对12．下列实例中，材料的选用与描述的物理属性不相符的是A．电线的线芯用铜制成，是因为铜的导电性好B．房屋的天窗用玻璃制成，是因为玻璃的透光性好C．水壶的把手用胶木制成，是因为胶木的导热性好D．划玻璃的刀刃用金刚石制成，是因为金刚石的硬度大二、填空题13．在银河系、宇宙、太阳系中尺度最大的是_______。
2024九年级物理下册第十六章粒子和宇宙综合能力测试题新版北师大版(含答案)
九年级物理下学期新版北师大版：第十六章综合能力测试题(满分：100分时间：60分钟)一、单项选择题(每小题3分，共36分)1．发现电子的科学家是( B )A．卢瑟福 B．汤姆孙 C．居里夫人 D．贝克勒尔2．在原子中带负电的是( B )A．质子 B．电子 C．中子 D．原子核3．2022年5月1日，在太平洋南部观察到罕见的“日偏食”奇观，根据我们所学知识可知，“日偏食”中的“日”属于( A )A．恒星 B．星云 C．卫星 D．行星4．按照物质世界主要物体的大致尺度从小到大顺序，排列正确的是( D )A．原子核、夸克、原子、分子、生物体、地球、太阳系、银河系B．原子核、夸克、原子、分子、生物体、地球、银河系、太阳系C．夸克、原子核、原子、分子、生物体、地球、银河系、太阳系D．夸克、原子核、原子、分子、生物体、地球、太阳系、银河系5．纳米材料所特有的性能及应用是( D )①大大提高材料的强度和硬度；②降低烧结温度；③提高材料的磁性；④能制作高贮存密度的量子磁盘；⑤纳米机器人“医生”能进入人体杀死癌细胞。
A．只有① B．只有①②C．只有①②③⑤ D．①②③④⑤都是6．如图所示是某型号的电动巡逻车，它在巡逻的过程中，不可能出现的能量转化是( C )A.电能转化为机械能B．机械能转化为内能C．内能转化为机械能D．电能转化为光能7．以下行为中属于低碳生活、节约资源的是( A )①电视机不用时没有及时切断电源，长时间处于待机状态；②经常使用一次性碗筷；③用太阳能热水器替代燃气热水器；④新农村建设中大量使用沼气池；⑤许多大城市建造了垃圾焚烧发电厂；⑥随意丢弃废旧塑料袋。
A．③④⑤ B．①③④ C．②③⑤ D．①②⑥8．能量守恒定律的建立是人类认识自然的一次重大飞跃，它是最普遍、最重要、最可靠的自然规律之一。
下列说法中正确的是( C )A．因为能量是不守恒的，所以需要节约能源B．因为能量是守恒的，所以不可能发生能源危机C．能量转化过程中，数量虽然没有减少，但在可利用的品质上降低了D．能量可以被消灭，也可以被创生9．下列关于核能的说法中，正确的是( C )A．核能和煤、石油一样都是常规能源，而不是新能源B．核能和太阳能、风能、水能一样都是可再生能源C.原子核发生裂变和聚变都会释放巨大的能量，这就是核能D．氢弹的爆炸就是核裂变发生链式反应的结果10．在下列有关能或能源的讨论中，你认为错误的是( A )A．人类社会面临能源危机，总有一天能量会被消耗殆尽B．煤、石油、天然气等的储量有限，人类面临能源危机C．很多传统能源已走向枯竭，但我们可以开发新的能源D．太阳能、风能、水能、地热能、潮汐能等是取之不尽的11．近年来我国在信息和能源等高科技领域取得了巨大成就，下列关于信息和能源的说法中正确的是( A )A．5G通信是利用电磁波传递信息的B．核电站是利用聚变反应的原理工作的C．天和号太空舱帆板接收的太阳能来自于太阳内部的裂变反应释放的能量D．新能源纯电动汽车利用的是一次能源12．抽水蓄能电站是2022年北京冬奥会的电力保障项目之一。
新北师大版初中物理九年级全册第十六章《粒子和宇宙》测试卷(含答案解析)(5)
一、选择题1．自然界中的各种现象都是互相联系的。
在一定条件下，各种形式的能量是可以相互转化。
下列各种能量转化符合实际的是（）A．汽油燃烧将化学能转化为内能B．电动机将机械能转化为电能C．太阳能电池板将电能转化为光能D．手机电池充电过程将化学能转化为电能2．下列关于物质的物理属性及应用的说法，正确的是A．黄金容易被捶打成极薄的金箔，是因为黄金延展性好B．用橡胶作汽车的轮胎，是因为橡胶的硬度大C．玻璃刀刃用金刚石，是因为金刚石的弹性好D．锅、铲的把手用胶木，是因为胶木的导热性好3．下列有关物体利用其物理属性的说法，错误．．的是A．导线的外皮利用了塑料导电性好B．坐垫用海绵利用了海绵的硬度小C．门窗玻璃利用了玻璃的透光性D．空调散热器利用了金属铝易导热的特性4．在进行如图所示的实验或有关装置工作时，能量转化情况相同的是A．丙和丁B．甲和丙C．甲和乙D．乙和丁5．石墨烯又称单层墨，它仅由一层碳原子组成，具有许多奇特的属性，包括极强的拉力，优良的导电性和导热性，硬度最大，熔点超过3000℃等，这种高新材料有可能代替硅成为新的半导体材料．根据石墨烯的特性，你认为石墨烯不能用来制成（）A．高压输电线B．坚韧的防弹衣C．发光二极管D．保温隔热材料6．我国成功发射了“神十”载人飞船．下列说法正确的是A．在“神十”随火箭升空的过程中，机械能转化为内能B．火箭的发动机选用液态氢作燃料，主要是因为氢具有较大的比热容C．穿越大气层时，“神十”和火箭克服摩擦，将机械能转化成内能D．“神十”和火箭升空的过程中，机械能的总量不变7．在试管中装适量的水，试管口用塞子塞住，用酒精灯对试管加热，如图所示。
加热一段时间后，塞子冲出去了，则（）A．加热过程中，酒精的化学能全部转化为水的内能B．塞子冲出前，试管内气体内能是通过做功的方式增大的C．塞子冲出时，试管内气体温度不变D．塞子冲出时，塞子增加的机械能是由试管内气体内能转化的8．如图所示，对于图中所述的物理过程，下列分析正确的是（）A．图甲，瓶子内的空气推动塞子跳起时，空气的内能增大B．图乙，试管内的水蒸汽推动塞子冲出时，水蒸气的内能减少C．图丙，汽缸内的气体推动活塞向下运动时，气体的内能增大D．图丁，小蒸汽轮机利用机械能转化成内能来工作的9．下列关于宇宙的认识正确的是()A．自16世纪后,哥白尼创立了“地心说”,牛顿创立了万有引力理论B．恒星的位置是固定不变的,太阳是银河系中数以千亿计恒星中的一颗普通的恒星C．天文学家哈勃发现星系的光谱向长波方向偏移,称为“红移”现象．这一现象说明星系在离我们越来越近D．我们认识到,宇宙是一个有层次的天体结构系统10．如图是某内燃机工作时的能量流向图，该内燃机的热机效率是（）A．25%B．35%C．40%D．65%11．如图所示，从斜面上滚下的小球能推动平面上的木块前进一段距离，最后小球和木块都静止．对此现象，下列说法中正确的是（）A．小球和木块的机械能都消失了B．小球的机械能转移到木块上，但机械能的总量保持不变C．小球和木块的机械能转化成其他形式的能量（如内能等），但能的总量保持不变D．以上说法都不对12．下列有关热机的说法正确的是（）A．内燃机的冷却液需要用比热容较大的物质B．内燃机的做功冲程是机械能转化为内能的过程C．汽油机消耗的汽油可循环使用，是取之不尽的能源D．热机的使用缓解了城市的热岛效应二、填空题13．我国国产大飞机首飞成功．在机体主结构上，设计人员使用了第三代铝锂合金材料，由于铝锂合金__ 更小，所以相比于同体积的普通铝合金质量更小．舱壁的新型复合材料，因其具有良好的____ 性能，可有效保持舱内的温度，降低能耗．14．如图是汽油机的能量流向的图表,请根据给出的信息, 计算该汽油机的效率为______，用这台汽油机工作时, 请你写出一条提高汽油机效率的措施_____________。
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解 已知的本征解为 (n、nx、ny、nz=0，1，2…)
对于基态而言，由于nx=ny=nz=0，故可以直接使用无简并微扰论公 式进行讲算 利用公式 可知 于是有 能量的二级修正为 近似解为
下面利用坐标变换求体系的精确解。由于微扰项与z方向无关，故 可以只考虑另外两个方向的坐标变换。令
； 即
；
因此哈密顿算符可以改写为
量子力学自测题（16）
一、（20分）线谐振子在t=0时处于 态上，其中为线谐振子第n个能量本征值En对应的本征函数。
（1）求在态上能量的可测值、取值概率与平均值； （2）写出t>0时刻的波函数及相应的能量取值概率与平均值。 二、（20分）设是算符的本征函数，相应之本征值为，算符满足对 易关系。证明：（其是）也是的本征函数，其相应的本征值分别为(n-1) 和(n+1)。 三、（20）设做一维自由运动的粒子t=0时处于 态上，求t>0和t>0时粒子动量与动能的平均值。 四、（20分）两个自旋为的非全同粒子，自旋之间的相互作用是， 其中C是实常数，分别是粒子1和粒子2的自旋算符。设t=0时，粒子1的 自旋沿z轴的正方向，粒子2的自旋沿z轴的负方向，求t>0时测量粒子2 的自旋处于z轴负方向的概率。 五、（20分）三维各向同性谐振子的哈密顿算符为 试写出能量本征值与本征函数。如这谐振子又受到微扰的作用，求基态 能量到二维修正，并与精确解比较。
若令
；
则哈密顿算符为
最后得到精确解为 基态能量为 由于，故可以利用公式 将根式展开至的二次项，得到 与微扰论的二级近似结果完全一致。
ห้องสมุดไป่ตู้
解 体系的哈密顿算符为 选择耦合表象，由于S=0，1，故四个基底分别为
；；； 在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵，即 可以直接写出它的解为
； ； ； ； 已知t=0时，体系处于 因为哈密顿算符不显含时间，故t>0时刻的波函数为 粒子2处于z轴负方向的概率为 五、（20分）三维各向同性谐振子的哈密顿算符为 试写出能量本征值与本征函数。如这谐振子又受到微扰的作用，求基态 能量到二维修正，并与精确解比较。
； ； ； 能量平均值为 （2）由于哈密顿算符不显含时间，故有 因为哈密顿量是守恒量，所以能量的取值概率和平均值皆与t=0时一 样。 二、（20分）设是算符的本征函数，相应之本征值为，算符满足对
易关系。证明：（其是）也是的本征函数，其相应的本征值分别为(n-1) 和(n+1)。
解 用粒子数算符作用到上，即 上式表明是的本征态，相应的本征值为（n-1）。
同样，用粒子数算符作用到 上，即 上式表明也是的本征态，相应的本征值为（n+1）。
三、（20）设做一维自由运动的粒子t=0时处于 态上，求t>0和t>0时粒子动量与动能的平均值。
解 由于动量算符与动能算符对易，它们有共同本征函数 将t=0时的波函数写成的线性组合，即 归一化常数为
动量的取值概率为 ；；
量子力学自测题（16）参考答案
一、（20分）线谐振子在t=0时处于 态上，其中为线谐振子第n个能量本征值En对应的本征函数。
（1）求在态上能量的可测值、取值概率与平均值； （2）写出t>0时刻的波函数及相应的能量取值概率与平均值。 解 线谐振子能量的本征值为 利用归一化条件 可知归一化常数为 归一化的波函数为 （1）在态上，能量的可能取值及相应的取值概率为
动量的平均值为 动能的平均值为
因为动量算符和动能算符皆与哈密顿算符对易，故它们都是守恒 量，而守恒量的取值概率与平均值皆不随时间改变，故t>0时的结果与 t>0时完全一样。
四、（20分）两个自旋为的非全同粒子，自旋之间的相互作用是， 其中C是实常数，分别是粒子1和粒子2的自旋算符。设t=0时，粒子1的 自旋沿z轴的正方向，粒子2的自旋沿z轴的负方向，求t>0时测量粒子2 的自旋处于z轴负方向的概率。