第4套量子力学自测题
量子4练习题(含答案)
1. (本题 3分)(4211) 不确定关系式=≥⋅ΔΔx p x 表示在x 方向上(A) 粒子位置不能准确确定．(B) 粒子动量不能准确确定．(C) 粒子位置和动量都不能准确确定．(D) 粒子位置和动量不能同时准确确定． ［ ］2. (本题 3分)(4428) 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：a x ax 23cos 1)(π⋅=ψ, ( - a ≤x ≤a )那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为(A) 1/(2a )． (B) 1/a ．(C) a 2/1． (D) a /1 ． ［ ］3. (本题 3分)(4778) 设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？［ ］x (A)x (B)x (C)x(D)4. (本题 3分)(5234) 关于不确定关系=≥ΔΔx p x ()2/(π=h =，有以下几种理解：(1)粒子的动量不可能确定． (2)粒子的坐标不可能确定． (3)粒子的动量和坐标不可能同时准确地确定． (4) 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子．其中正确的是：(A) (1)，(2). (B) (2)，(4).(C) (3)，(4). (D) (4)，(1). ［ ］5. (本题 3分)(5619) 波长λ =5000 Å的光沿x 轴正向传播，若光的波长的不确定量Δλ =10-3Å，则利用不确定关系式h x p x ≥ΔΔ可得光子的x 坐标的不确定量至少为(A) 25 cm ． (B) 50 cm ．(C) 250 cm ． (D) 500 cm ． ［ ］6. (本题 3分)(8020) 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布概率将(A) 增大D 2倍． (B) 增大2D 倍．(C) 增大D 倍． . (D) 不变． ［ ］7. (本题 5分)(4203) 设描述微观粒子运动的波函数为),(t r K Ψ，则*ΨΨ表示____________________________________________________________________；),(t r KΨ须满足的条件是______________________________________；其归一化条件是__________________________________________．8. (本题 3分)(4632) 如果电子被限制在边界x 与x +Δx 之间，Δx =0.5 Å，则电子动量x 分量的不确定量近似地为________________kg ·m ／s ． (不确定关系式Δx ·Δp ≥h ，普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s)9. (本题 3分)(5372) 在电子单缝衍射实验中，若缝宽为a = 0.1 nm (1 nm = 10-9m)，电子束垂直射在单缝面上，则衍射的电子横向动量的最小不确定量Δp y =______________N ·s ．(普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s)三 计算题 (共25分)10. (本题 5分)(4430) 已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为)/sin(/2)(a x a x π=ψ (0 ≤x ≤a )求发现粒子的概率为最大的位置．11. (本题 5分)(4435) 同时测量能量为1 keV 作一维运动的电子的位置与动量时，若位置的不确定值在0.1 nm (1 nm = 10−9 m)内，则动量的不确定值的百分比Δp / p 至少为何值？(电子质量m e =9.11×10-31 kg ，1 eV =1.60×10-19 J, 普朗克常量h =6.63×10-34J ·s)12. (本题 5分)(4442) 光子的波长为λ =3000 Å，如果确定此波长的精确度Δλ / λ =10-6，试求此光子位置的不确定量．13. (本题 5分)(4526) 粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：)/sin(/2)(a x n a x n π=ψ (0 <x <a )若粒子处于n =1的状态，它在 0－a /4区间内的概率是多少？[提示： C x x x x +−=∫2sin )4/1(21d sin 2]14. (本题 5分)(4779) 一维运动的粒子，设其动量的不确定量等于它的动量，试求此粒子的位置不确定量与它的德布罗意波长的关系．(不确定关系式h x p x ≥ΔΔ).15. (本题 5分)(4780)用经典力学的物理量(例如坐标、动量等)描述微观粒子的运动时，存在什么问题？原因何在？16. (本题 5分)(4781)粒子(a)、(b)的波函数分别如图所示，若用位置和动量描述它们的运动状态，两者中哪一粒子位置的不确定量较大？哪一粒子的动量的不确定量较大？为什么？x (a)x (b)一 选择题 (共18分)1. (本题 3分)(4211) (D)2. (本题 3分)(4428) (A)3. (本题 3分)(4778) (A)4. (本题 3分)(5234) (C)5. (本题 3分)(5619) (C)参考解：根据 p = h / λ则 22/λλΔΔ=h p x λλΔΔ≥/2x min x ΔλλΔ=/2=5000×10-10×5000×103= 2.5 m= 250 cm6. (本题 3分)(8020) (D)二 填空题 (共11分)7. (本题 5分)(4203) 粒子在t 时刻在(x ，y ，z )处出现的概率密度 2分 单值、有限、连续 1分 1d d d 2=∫∫∫z y x Ψ 2分8. (本题 3分)(4632) 1.33×10-23 3分9. (本题 3分)(5372) 1.06×10-24 （或 6.63×10-24或0.53×10-24 或 3.32×10-24） 3分参考解：根据 =≥ΔΔy p y ，或 h p y y ≥ΔΔ，或=21≥ΔΔy p y ，或h p y y 21≥ΔΔ，可得以上答案．三 计算题 (共25分)10. (本题 5分)(4430) 解：先求粒子的位置概率密度)/(sin )/2()(22a x a x π=ψ)]/2cos(1)[2/2(a x a π−= 2分当 1)/2cos(−=πa x 时， 2)(x ψ有最大值．在0≤x ≤a 范围内可得 π=πa x /2∴ a x 21=． 3分解：1 keV 的电子，其动量为==2/1)2(K mE p 1.71×10-23 kg ·m ·s -1 2分据不确定关系式： =≥⋅ΔΔx p 得 2310106.0/−×==ΔΔx p = kg ·m ·s -1 2分∴ Δp / p =0.062＝6.2％ 1分[若不确定关系式写成 h x p ≥⋅ΔΔ 则 Δp / p =39％，或写成 2/=≥⋅ΔΔx p 则Δp / p =3.1％ ， 均可视为正确．]12. (本题 5分)(4442) 解：光子动量 λ/h p = 1分按题意，动量的不确定量为 )/)(/(/2λλλλλΔΔΔ=−=h h p 2分根据测不准关系式得： Δx ≥)/(2)2/(λλλΔΔπ=πh h p h )/(2λλλΔπ=故 Δx ≥0.048 m ＝48 mm 2分若用 )4/(π≥⋅ΔΔh p x x 或h p x x ≥⋅ΔΔ，或h p x x 21≥⋅ΔΔ，计算Δx 同样得2分．13. (本题 5分)(4526) 解： x ax a x P d sin 2d d 22π==ψ 3分粒子位于0 – a /4内的概率为：x a x a P a d sin 24/02∫π=)d(sin 24/02a x a x a a a πππ=∫ 4/021]2sin 41[2a a x a x πππ−=)]42sin(414[221a a a a π−ππ= =0.091 2分14. (本题 5分)(4779) 解：由x p x ΔΔ≥h 即 x Δ≥xp h Δ ① 1分据题意v m p x =Δ 以及德布罗意波公式v m h /=λ得x p h Δ=λ ② 2分比较①、②式得 x Δ≥λ 2分四 回答问题 (共10分)15. (本题 5分)(4780) 答：用经典力学的物理量例如坐标、动量等只能在一定程度内近似地描述微观粒子的运动，坐标x 和动量p x 存在不确定量Δx 和Δ p x ，它们之间必须满足不确定关系式 x p x ΔΔ≥h 3分这是由于微观粒子具有波粒二象性的缘故． 2分答：由图可知，(a)粒子位置的不确定量较大． 2分又据不确定关系式 x p x ΔΔ≥π2h 可知，由于(b)粒子位置的不确定量较小，故(b)粒子动量的不确定量较大. 3分。
量子力学 第四版 卷一(曾谨言 著) 答案----第2章
（b）由（4）式，得
∂ w 2 ∂ ∂ = ( ∇ ψ * )⋅ ∇ ψ + ∇ ψ * ⋅ ( ∇ ψ ∂t 2m ∂ t ∂t 2 = ∇ 2m ∂ψ * ∂ψ * ⋅ ∇ψ + ∇ψ − ∂ t ∂ t
∂ψ ∗ ∂ψ ) + Vψ + ψ *V ∂t ∂t ∂ψ * 2 ∂ ψ 2 * ∂ψ * ∂ψ ∇ ψ + ∇ ψ + Vψ + ψ *V ∂t ∂t ∂t ∂t
（1）
V1 与 V2 为实函数。
（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。
（b）证明粒子在空间体积 τ 内的几率随时间的变化为
d dt
∫∫∫
τ
d 3 rψ *ψ = −
ψ *∇ ψ − ψ ∇ ψ ∫ ∫ 2im S
(
*
) ⋅ dS +
2V2
∫∫∫ d
τ
3
rψ *ψ
证：（a）式（1）取复共轭， 得
*
∂ ψ 2 2 ∂ ψ * 2 2 = −∇ ⋅s+ − ∇ + V ψ + − ∇ + V ψ ∂ t 2m ∂ t 2m ∂ψ * ∂ψ * = − ∇ ⋅ s + E ψ + ψ ∂t ∂t ∂ρ = −∇ ⋅s+ E ∂t = −∇ ⋅s
dp
∫
∞ −∞
e − α ξ dξ =
2
π α
imx 2
：
1 ψ ( x, t ) = e 2 t 2π
2mπ it
写出共轭函数（前一式 i 变号）：
《量子力学》22套考研自测题+答案
。
2．在量子力学中，一个力学量是否是守恒量只决定于
的性
质，也就是说，决定于该力学量是否与体系的
对易，而与
体系的
无关。一个力学量是否具有确定值，只决定于体系
的
，也就是说，决定于体系是否处于该力学量的
，
无论该力学量是否守恒量。
二、（本题 15 分）
1．设全同二粒子的体系的 Hamilton 量为 Hˆ （1，2，），波函数为
（1） Nˆ ≡ aˆ +aˆ 本征值必为实数。
（2） Nˆ 2 = Nˆ
（3） Nˆ 的本征值为 0 或者 1。
2．利用对易式σ ×σ = 2iσ ，求证：{σ i ,σ j }= 0 ，(i, j = x, y, z) ，其中，σ i ,σ j
为 Pauli 矩阵。
三、（本题 15 分）
1．设氦原子中的两个电子都处于 1s 态，（不简并）两个电子体系的
ψ (x,0) =
α⎡
π
⎢ ⎣
1− 3
2 3
⎤ αx⎥
⎦
exp(−
1 2
α
2x2)
α
，其中
=
μω
，求
1、在 t = 0 时体系能量的取值几率和平均值。
2、 t > 0 时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值
四、（15 分）当 λ 为一小量时，利用微扰论求矩阵
⎜⎛ 1 2λ
0 ⎟⎞
⎜ 2λ 2 + λ 3λ ⎟
HY制作
HY制作
HY制作
量子力学自测题（１）
一、简答与证明：（共 25 分） 1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。 （4 分） 2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6 分） 3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全 同粒子体系的波函数。（4 分）
大学物理第四版(马文蔚)量子物理习题
可见光 n 3 n 2
6.58 107 m
E3 E1 1.51 (13.6) 12.09eV
14.一些氢原子被一束单色光从基态激发到 n=4 的状态，
问： (1)该单色光的频率等于多少？ (2)当氢原子又
单值、有限、连续
微观粒子的运动状态可以用波函数完全描述。 t 时刻，波函数在空间某点的模的 平方与该时刻在该点附近找到粒子的概率密度成正比。
八
薛i定 谔方(r程,t)
t
[
2 2m
2
EP
(r, t )]
(r, t )
定态薛定谔方程
2 2m
2
(r)
EP
(r)
(r)
E
(r)
n
(r,
t
)
n
(r)
e
i
En
(2)反冲电子的动能。 (3)反冲电子的速度。
P
P
me q
解：(1)
h (1 cosq )
mec
1.211012 m 0.0121 Å
1.012 Å
m
(2)
Ek
hν0
hν
hc
hc
hc
2.36 1017J
(3) E0 mec2 8.021014J 相对论效应可以忽略
t
一维无限深方势阱
0 0xa EP(x) x 0, x a
线性谐振子 En (n
EP (x)
1 2
)
1 m 2
2
n (x)
x2
En
n2π 22 2ma2
n (x)
2 sin a
N
ne
1 2
2
x
2
《量子力学》复习题参考答案
1 《量子力学》练习题一练习题第1套一、基本概念及简要回答1. p - 和 p- 是否相等？为什么？2．判定下列符号中，哪些是算符？哪些是数？哪些是矢量？ φψ； )()(t t φψ； w v u λ； w Fu ˆ。
3.波函数的导数是否一定要连续？举例说明。
4．为什么既不能把ψ波理解为‘粒子的某种实际结构，即把波包看作粒子’， 也不把ψ波理解为‘由大量粒子分布于空间而形成的波，即把波看作由粒子构成的’？5. 设ˆˆA A +=，ˆˆB B +=，ˆˆ0A B ⎡⎤≠⎣⎦，。
试判断下列算符哪些是厄米算符，哪些不是。
(1)1ˆˆˆˆˆ()2F AB BA i=- ; (2)ˆˆˆG AB = ; (3)ˆˆˆC A iB =+ ; (4)ˆˆˆD A B =-。
二．质量为m 的粒子处于一维谐振子势场()()0,2121>=k kx x V 的基态， 若弹性系数k 突然变成k 2，即势场变成()22kx x V =，随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场()x V 2基态的几率；(只列出详细的计算公式即可)三．已知二维谐振子的哈密顿算符为()22220212ˆˆy x p H ++=μωμ，在对其施加微扰xy Wˆλ-=后，利用微扰论求W H H ˆˆˆ0+=第一激发态能量至一级修正。
提示：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+-1,1,2121n m n m n m n n x δδαϕϕ，其中， μωα=，而n ϕ为线谐振子的第n 个本征矢。
四. 已知ˆˆ[,]1αβ=，求证 1ˆˆˆˆˆn n n n αββαβ--= 五． 一个三维运动的粒子处于束缚态，其定态波函数的空间部分是实函数，求此态中的动量平均值。
六． 质量为m 的粒子作一维自由运动，如果粒子处于()kx A x 2sin =ψ的状态 上，求其动量pˆ与动能T ˆ的几率分布及平均值。
量子力学试题含答案
一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。
3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。
4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。
7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。
8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。
9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。
10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。
二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。
量子力学第四版卷一习题答案
x a 即为粒子运动的转折点。
有量子化条件e 2nh得a 2----m代入(2)，解出设粒子限制在长、宽、高分别为a,b,c 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。
假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性 碰撞。
动量大小不改变，仅方向反向。
选箱的长、宽、高三个方向为P x n x h/2a ,n x ,n y ,n z 1,2,3,粒子能量第一章 1 设质量为m 的粒子在谐振子势 V(x) -m2量子力学的诞生2x 2中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。
提示：利用 0 P dx nh, n 1,2, j2m[E V(x)]解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 其中a 由下式决定：E V (x) 1 -m 2由此得a j2E/m 2口 p dx 2 j2m(Ea '2 2 X .x )2ma _ __________J a 2 x 2dxa2ma 2 nhE n n1,2,3,(4)积分公式： J a2u 2duarcs in^ c 2 aX, y, z 轴方向，把粒子沿 X, y, z 轴三个 方向的运动分开处理。
利用量子化条件，对于X 方向，有口 P x dx n x hn x 1,2,3, P x 2a n x h (2a :—来一回为一个周期)同理可得,P y n y h/2b . P z n z h/2c ,mh ，因而平面转子的能量1,2,3,有一带电荷e 质量m 的粒子在平面内运动 （解）带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动 条件是：,垂直于平面方向磁场是 B,求粒子能量允许值,设圆半径是r ,线速度是v ,用高斯制单位,En x n y n 2m 2 22 2、P y P z ) 2m 2n x ―2a2ny b 22n zcn x ,n y , n z 1,2,3,设一个平面转子的转动惯量为I， 求能量的可能取值。
2024高考物理量子物理学专题练习题及答案
2024高考物理量子物理学专题练习题及答案一、选择题1. 下列说法正确的是：A. 电子云中的电子运动呈连续轨道。
B. 电子在原子核周围的轨道上运动速度是恒定的。
C. 电子在原子核周围的轨道上运动具有不确定性。
D. 电子在原子核周围的轨道上运动具有确定的轨迹。
答案：C2. 根据波粒二象性原理，下列说法正确的是：A. 波动性只存在于光学现象中。
B. 微观粒子既具有波动性又具有粒子性。
C. 微观粒子只具有波动性，不具有粒子性。
D. 微观粒子只具有粒子性，不具有波动性。
答案：B3. 某氢原子的能级为-13.6电子伏特，当电子从第3能级跃迁到第2能级时，所辐射的光子的能量为：A. 10.2电子伏特B. 12.1电子伏特C. 1.89电子伏特D. 2.04电子伏特答案：D二、填空题1. 根据不确定性原理，测量一个粒子的位置和动量越准确，就会越大地影响到它的 _______。
答案：状态2. 量子力学中，电子在原子内的运动状态由 _______ 表示。
答案：波函数3. 量子力学中，电子的能级用 _______ 表示。
答案：量子数三、简答题1. 什么是量子力学？请简述其基本原理。
答：量子力学是描述微观粒子行为的物理理论。
其基本原理包括波粒二象性原理和不确定性原理。
波粒二象性原理指出微观粒子既具有波动性又具有粒子性，可以用波函数来描述其运动状态。
不确定性原理指出无法同时准确地确定粒子的位置和动量，测量一个物理量会对另一个物理量产生不可忽略的影响。
2. 请简述量子力学中的量子力学态和测量问题。
答：量子力学态是用波函数表示的一种描述微观粒子运动状态的数学表示。
波函数包含了粒子的位置信息和概率分布。
在量子力学中，测量问题指的是测量粒子的某个物理量时，由于波粒二象性原理和不确定性原理的存在，测量结果只能是一系列可能的取值，并且每个取值的概率由波函数给出。
四、综合题某物理学家正在研究一个单电子系统，该系统可以用简化的一维势场模型来描述。
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量子力学自测题
4
一、（共25分） 1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分）
2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分）
3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。
（4分）
4、在一维情况下，求宇称算符P ˆ和坐标x 的共同本征函数。
（6分）
5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系。
（5分）
二、（15分）已知厄密算符B A ˆ,ˆ，满足1ˆˆ22==B A
，且0ˆˆˆˆ=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A
ˆ、B ˆ的矩阵表示； 2、在A 表象中算符B
ˆ的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。
三、（15分）线性谐振子在0=t 时处于状态
)21e x p (3231)0,(22x x x ααπαψ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=，其中
μωα=，求 1、在0=t 时体系能量的取值几率和平均值。
2、0>t 时体系波函数和体系能量
的取值几率及平均值
四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++λλλλλ
λ23303220
21的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项。
五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?。