第2套量子力学自测题
量子力学教程(二版)习题答案
第一章 绪论1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 03109.2 ,⋅⨯==-λ。
证明：由普朗克黑体辐射公式：ννπνρννd e ch d kT h 11833-=， 及λνc =、λλνd cd 2-=得1185-=kThc ehc λλλπρ，令kT hcx λ=，再由0=λρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 15-=x xe xe用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kThcm λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03⋅⨯==-b b T m λ 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长.解：010A 7.09m 1009.72=⨯≈==-mEh p h λ #1.3. 氦原子的动能为kT E 23=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。
解：010A 63.12m 1063.1232=⨯≈===-mkTh mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-⨯⨯=m ，123K J 1038.1--⋅⨯=k #1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--⋅⨯=B μ，求动能的量子化间隔E ∆，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。
解：（1）方法1：谐振子的能量222212q p E μωμ+=可以化为()12222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+μωμE q Ep的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2μωμEb E a ==，相空间面积为,2,1,0,2=====⎰n nh EEab pdq νωππ所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν方法2：一维谐振子的运动方程为02=+''q q ω，其解为()ϕω+=t A q sin速度为 ()ϕωω+='t A q c o s ，动量为()ϕωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为 ()()nh TA dt t A dt t A pdq T T==++=+=⎰⎰⎰2)cos 1(2cos 220220222μωϕωμωϕωμω， ,2,1,0=nνμωnh Tnh A E ===222， ,2,1,0=n（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。
《量子力学》复习题参考答案
1 《量子力学》练习题一练习题第1套一、基本概念及简要回答1. p - 和 p- 是否相等？为什么？2．判定下列符号中，哪些是算符？哪些是数？哪些是矢量？ φψ； )()(t t φψ； w v u λ； w Fu ˆ。
3.波函数的导数是否一定要连续？举例说明。
4．为什么既不能把ψ波理解为‘粒子的某种实际结构，即把波包看作粒子’， 也不把ψ波理解为‘由大量粒子分布于空间而形成的波，即把波看作由粒子构成的’？5. 设ˆˆA A +=，ˆˆB B +=，ˆˆ0A B ⎡⎤≠⎣⎦，。
试判断下列算符哪些是厄米算符，哪些不是。
(1)1ˆˆˆˆˆ()2F AB BA i=- ; (2)ˆˆˆG AB = ; (3)ˆˆˆC A iB =+ ; (4)ˆˆˆD A B =-。
二．质量为m 的粒子处于一维谐振子势场()()0,2121>=k kx x V 的基态， 若弹性系数k 突然变成k 2，即势场变成()22kx x V =，随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场()x V 2基态的几率；(只列出详细的计算公式即可)三．已知二维谐振子的哈密顿算符为()22220212ˆˆy x p H ++=μωμ，在对其施加微扰xy Wˆλ-=后，利用微扰论求W H H ˆˆˆ0+=第一激发态能量至一级修正。
提示：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+-1,1,2121n m n m n m n n x δδαϕϕ，其中， μωα=，而n ϕ为线谐振子的第n 个本征矢。
四. 已知ˆˆ[,]1αβ=，求证 1ˆˆˆˆˆn n n n αββαβ--= 五． 一个三维运动的粒子处于束缚态，其定态波函数的空间部分是实函数，求此态中的动量平均值。
六． 质量为m 的粒子作一维自由运动，如果粒子处于()kx A x 2sin =ψ的状态 上，求其动量pˆ与动能T ˆ的几率分布及平均值。
高等量子力学试题库
高等量子力学试题库一、简述题1. (§1.4)试以一维线性谐振子基函数所构成的空间为例，说明一般矢量空间的维数与位形空间维数的区别 2. (§2.4)试述幺正算符的性质 3. (§3.2)试述本征子空间的概念 4. (§3.3)试述厄米算符完备组的概念和建立厄米算符完备组的必要性 5. (§6.2)试述量子力学的基本原理 6. (§11)试述相互作用绘景与薛定谔绘景、海森伯绘景的区别和联系7. (§17.2)设氢原子的定态狄拉克方程为 ψψβαE r e mc P c =-+⋅)ˆ(212 ，为求氢原子哈密顿算符Hˆ 确切的本征矢量，试确定包含Hˆ在内的厄米算符完备组 8. (§19)若系统的哈密顿具有下列对称性（1）空间反演（2）空间平移（3）空间转动（4）SO(4)（5）时间平移，试分别给出这些对称性所带来的守恒量9. (§21.2)对于 Fermi 子，试讨论由时间反演引起的简并。
（提示：参阅曾书335页） 10. (§23)试述角动量耦合与3j ，6j 和9j 符号之间的关系11. (§23.7)对具有两个价电子的原子，设两电子的轨道和自旋角动量分别为21,L L 和21,S S，试在希尔伯特空间中给出两组可能的耦合基矢 12. (§34.4)试给出位置表象中的Hartree-Fock 方程并叙述其物理意义 二、证明题1. (§1.1)利用矢量空间的加法运算法则证明零矢量是唯一的2. (§1.1)利用矢量空间的数乘运算法则证明：若0=a ψ，则0=a 或0=ψ3. (§1.2)对于任意ψ和ϕ，试证：ϕψϕψ+≤+4. (§1.5)试证明：若三个右矢ψ、ϕ和χ满足χϕψ=+，则有χϕψ=+5. (§2.3)证明定理：在复矢量空间中，若算符A 对其定义域中的任意ψ满足0=ψψA ，则必有0=A6. (§2.4)证明定理：算符H 为厄米算符的充要条件是对其定义域中的所有矢量ψ满足=ψψH 实数7. (§2.4)证明：若I U U =+，则对任意ψ和ϕ，U 满足ϕψϕψ=U U ，进而证明，幺正变换不改变矢量的模8. (§2.4)设U 是幺正算符，试证明：在矢量空间中，若{}iν是一组基矢，则{iU ν也是一组基矢9. (§2.5)证明投影算符是厄米算符，并由全空间的投影算符证明基矢的完全性关系 10. (§3.1)证明：复空间中厄米算符的本征值都是实数11. (§3.1)证明：厄米算符属于不同本征值的两个本征矢量互相正交12. (§3.1)证明：若B A ,两算符相似，则二者有相同的本征值谱，且每一本征值都有相同的简并度 13. (§6.6)设i a 是算符A 属于本征值i a 的本征函数，即满足i i i a a a A =，且定义物理量在状态ψ中的平均值为ψψA A =。
量子力学中的波粒二象性练习题及
量子力学中的波粒二象性练习题及解答量子力学中的波粒二象性练习题及解答1. 简答题：(1) 什么是波粒二象性？波粒二象性是指微观粒子既可以表现出波动性质，也可以表现出粒子性质的现象。
(2) 波粒二象性在实验中表现出哪些特点？在实验中，波粒二象性表现出以下特点：- 干涉现象：微观粒子通过狭缝后会出现干涉条纹，表明它们具有波动性质；- 衍射现象：微观粒子通过缝隙后会发生衍射，表明它们具有波动性质；- 粒子定位：当对微观粒子进行测量时，它们会被定位在某一位置，表明它们具有粒子性质；- 粒子撞击：当微观粒子撞击屏幕或探测器时，它们会以粒子的方式撞击。
(3) 请列举一个实验来说明波粒二象性的存在。
杨氏实验是一个典型的实验，可用来证明波粒二象性的存在。
实验原理如下：- 在实验台上放置一个光源，通过狭缝产生光束。
- 光束通过两个间距恒定的狭缝，并在屏幕上形成干涉条纹。
- 当光源中只有一个光子时，它只能通过其中的一个狭缝，并在屏幕上形成单个点，表明光子具有粒子性质。
- 当光源中有多个光子时，它们可以通过两个狭缝的任意一个，并在屏幕上形成干涉条纹，表明光子具有波动性质。
2. 计算题：(1) 根据波粒二象性的原理，一个电子的动量和波长之间的关系可以由德布罗意公式给出：λ = h / p其中，λ是电子的波长，h是普朗克常数，p是电子的动量。
如果一个电子的动量为2 × 10^-25 kg·m/s，求其波长。
解答：根据德布罗意公式，λ = h / p代入动量p的值，得到λ = 6.63 × 10^-34 J·s / 2 × 10^-25 kg·m/s化简后可得λ = 3.315 × 10^-9 m因此，该电子的波长为3.315纳米。
(2) 假设一个中子的速度为300 m/s，求其波长。
已知中子的质量为1.67 × 10^-27 kg。
解答：首先，计算中子的动量p = m * v，其中m是中子的质量，v是中子的速度。
量子力学试题含答案
一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。
3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。
4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。
7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。
8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。
9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。
10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。
二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。
济宁学院 量子力学IIA 期末试卷及参考答案
卷号：（A ） （ 20 年 1 月 24 日） 机密济宁学院 学年第一学期20 级物理学专业量子力学II 期末考试试卷一、简答题1．以下说法是否正确：（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；（2）量子力学适用于η不能忽略的体系，而经典力学适用于η可以忽略的体系。
2．微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？3. 何谓定态? 它有何特征？4. 简述定态微扰论的基本思想。
5. 微观粒子的全同性原理表述为：“全同粒子体系中，体系的物理状态不因交换任意两个粒子而改变”。
问：（1）“物理状态”是指宏观态还是微观态？（2）“交换任意两个粒子”的准确含义是什么？（3）它与全同粒子的不可区分性有什么联系？年级 专业 学号 姓名装 订 线二、一维无限深势阱)0(a x <<中的粒子受到微扰⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=')2( )1(2)20( 2)(a x a a x a x a xx H λλ作用，试求基态能级的一级修正。
三、一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。
玻色子只有两个可能的单粒子态。
问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？四、转动惯量为I 、电偶极矩为D ρ的空间转子处在均匀电场ερ中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
年级 专业 学号 姓名装 订 线五、设已知在Z L L ˆˆ2和的共同表象中，算符yx L L ˆˆ和的矩阵分别为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*******ηx L ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0000022ii i iL yη 求它们的本征值和归一化的本征函数。
最后将矩阵y x L L 和对角化。
六、由两个非全同粒子（自旋均为2η）组成的体系，设粒子间相互作用为12H As s =?u r u r（不考虑轨道运动）。
设初始时刻（0=t ）粒子1自旋“向上”()211=z s ，粒子2自旋“向下”()212-=z s 。
量子力学测试题
量子力学测试题有关量子力学的测试题1. 问题一：波粒二象性a) 解释波粒二象性是什么意思，并举出一个例子来说明。
b) 描述质子和电子的波动性和粒子性。
2. 问题二：不确定原理a) 解释不确定原理是什么，并列举一个不确定原理的实例。
b) 讨论量子力学中的位置-动量不确定性原理和能量-时间不确定性原理。
3. 问题三：量子态和测量a) 解释什么是量子态和态矢量，并说明它们的物理意义。
b) 描述一个典型的量子测量实验过程。
4. 问题四：量子力学中的干涉与衍射a) 解释量子力学中的干涉和衍射，并与经典物理中的情况进行比较。
b) 描述一个干涉或衍射实验的结果，并解释观察到的现象。
5. 问题五：量子力学中的量子纠缠a) 解释量子纠缠是什么，并说明它的应用领域。
b) 描述一个经典物理无法解释的量子纠缠实验，并讨论实验结果。
6. 问题六：量子力学中的超导性a) 解释什么是超导性，并说明它与量子力学的关系。
b) 讨论超导性的发现对于量子力学的重要性。
7. 问题七：量子计算a) 解释什么是量子计算，并说明它与传统计算的区别。
b) 讨论量子计算的优势和可能的应用领域。
8. 问题八：量子力学中的量子隧穿a) 解释量子隧穿现象，并说明它在实践中的重要性。
b) 描述一个与量子隧穿相关的实验，并说明其结果。
9. 问题九：湮灭和产生算符a) 解释湮灭和产生算符，并说明它们在量子力学中的运用。
b) 描述一个与湮灭和产生算符相关的实际物理系统。
10. 问题十：量子力学中的双缝实验a) 解释双缝实验，并说明其对于理解量子力学的重要性。
b) 描述一个双缝实验并解释观测到的结果。
以上是关于量子力学的测试题，供您简单了解和思考。
希望能对您有所帮助。
量子力学12套内部模拟试题
模拟试题试题1一. （20分）设氢原子处于 ()()()()()()()ϕθϕθϕθϕθψ,Y R 21,Y R 21,Y R 21,,112110311021---=r r r r的状态上，求其能量、角动量平方及角动量z 分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。
二. （20分）作一维运动的粒子，当哈密顿算符为()x V p H +=μ2ˆˆ20时，能级是0nE ，如果哈密顿算符变成μαp H H ˆˆˆ0+=（α为实参数），求变化后的能级n E 。
三. （20分）质量为μ的粒子处于如下的一维位势中 ()()()x V x c x V 0+-=δ 其中，()⎩⎨⎧>≤=0 ,0,010x V x x V 且 0>c ，01>V , 求其负的能量本征值。
四.（20分）已知在2L 与z L 的共同表象中，算符yL ˆ的矩阵形式为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0i0i 0i0i 02ˆy L 求yL ˆ的本征值和归一化的本征矢。
五.（20分）两个线谐振子，它们的质量皆为μ，角频率皆为ω，加上微扰项21 ˆx x Wλ-=（21,x x 分别为两个谐振子的坐标）后，用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。
试题2一.（20分）质量为m 的粒子作一维自由运动，如果粒子处于()kx A x 2sin =ψ的状态 上，求其动量pˆ与动能T ˆ的取值几率分布及平均值。
二. （20分）质量为m 的粒子处于如下一维势阱中()⎪⎩⎪⎨⎧>>≤≤<∞=a x V a x x x V )0(0 ,00.0若已知该粒子在此势阱中存在一个能量20V E =的状态，试确定此势阱的宽度a 。
三. （20分）体系的三维空间是由三个相互正交的态矢1u、2u和3u 构成的，以其为基矢的两个算符Hˆ和B ˆ的矩阵形式如下⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=010100001ˆ ;100010001ˆb B H ω其中，ω,b 为实常数。
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量子力学自测题（２）
一、填空题（本题20分）
1．在量子力学中，体系的量子态用Hilbert 空间中的 来描述，而力学量用 描述。
力学量算符必为 算符，以保证其 为实数。
当对体系进行某一力学量的测量时，测量结果一般来说是不确定的。
测量结果的不确定性来源于 。
2．在量子力学中，一个力学量是否是守恒量只决定于 的性质，也就是说，决定于该力学量是否与体系的 对易，而与体系的 无关。
一个力学量是否具有确定值，只决定于体系的 ，也就是说，决定于体系是否处于该力学量的 ，无论该力学量是否守恒量。
二、（本题15分）
1．设全同二粒子的体系的Hamilton 量为H ˆ（1，2，），波函数为ψ（1，2，），试证明
交换算符12
ˆP 是一个守恒量。
2．设U ˆ是一个幺正算符，求证+⋅=U dt
U d i H ˆˆˆ 是厄米算符。
3．设y σ为Pauli 矩阵，
（1）求证：θσθθσsin cos y i i e y +=
（2）试求：y
i Tre θσ 三、（本题10分）
求证：z y x xyz ++=)(ψ是角动量平方算符2ˆl 的本征值为2
2 的本征函数。
四、（本题15分） 设一量子体系处于用波函数)cos sin (41
),(θθπϕθψϕ+=i e 所描述的量子态。
求：（1）在该态下，z l ˆ的可能测值和各个值出现的几率。
（2）z l ˆ的平均值。
如有必要可利用，
θπcos 4310=Y ，ϕθπ
i e Y ±±=sin 8311 。
五、（本题20分）
已知，在一维无限深方势阱中运动粒子的能量本征值和本征函数分别为
22
222m a n E n π=，a
x n a n πψsin 2=， （n=1，2，3…） 设粒子受到微扰：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='),(2,2)(ˆx a a
k x a k x H a x a a x <<<<220 求基态（n=1）能量的一级近似值。
如有必要，可利用积分公式⎰
+=y y y ydy y sin cos cos 。
六、（本题20分） 设),3,2,1( =n n 表示一维谐振子的能量本征态，且已知 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=
121211n n n n n x α， ωαm = （1）求矩阵元n x m 2。
（2）设该谐振子在t=0时处于基态0，从t>0开始受微扰kt e x H 22-='的作用。
求：经充分长时时)(∞→t 以后体系跃迁到2态的几率。