第13套量子力学自测题
《中科院量子力学考研真题及答案详解(1990—2010共40套真题)》
问： (1) 存在 s 波束缚态的条件是什么？ (2) 当粒子能量 E 0 时，求粒子的 s 波相移 0 ； (3) 证明 lim 0 n , n 为整数。
E 0
, z 0 (G 0) 中运动。 五、质量为 m 的粒子在一维势场 V ( z ) Gz , z 0 (1) 用变分法求基态能量，则在 z 0 区域中的试探波函数应取下列函数中的哪一 个？为什么？
E
n
n
E0 n x 0
2
常数
ˆ2 ˆ p 这里 En 是哈密顿量 H V ( x) 的本征能量，相应的本征态为 n 。求出该常数。 2m 三、设一质量为 的粒子在球对称势 V (r ) kr (k 0) 中运动。利用测不准关系估算其 基态的能量。 四、电子偶素（ e e 束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非 相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。今设在电子偶素的基态里，存在一 ˆ 和M ˆ 8 M ˆ M ˆ 其中 M ˆ 是电子和正电子的自旋磁矩 种接触型自旋交换作用 H e p e p 3 ˆ , q e) 。利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能 ˆ q S (M mc 量差，决定哪一个能量更低。对普通的氢原子，基态波函数： 1 r a e2 1 2 100 e , a , 3 2 me a c 137
ˆ ，证明能量表象中有 五、如系统的哈密顿量不显含时间，用算符对易关系 x, p
r3 2
常数（ 0 ）中运动，试用测不准关系估算基
En Em xnm
n
2
《量子力学》22套考研自测题+答案
⎜⎝ 0 3λ 3 + 2λ ⎟⎠ 的本征值至 λ 的二次项，本征矢至 λ 的一次
项。
五、（10 分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作
用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几
个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?
QQ：704999167
QQ：704999167
En
=
−
Z 2e2 2a
， ψ 100 =
1
⎜⎛
Z
⎟⎞ 3 /
2
− Zr
ea
π ⎝a⎠
，计算时，可利用积分公式
∫∞ xe−2ax dx = 1 。
0
4α 2
五、（本题 20 分）
设一维谐振子的能量本征函数为ψ n (x) ，求：
QQ：704999167
HY制作
HY制作
HY制作
量子力学自测题（5）
一、 填空题（本题 20 分）
1．Planck 的量子假说揭示了微观粒子
特性，Einstein 的光
量子假说揭示了光的
性。Bohr 的氢原子理论解决了经典
考研自测题精美汇总
电磁场理论和原子的
之间的矛盾，解决了原子的
的起源问题。
2．力学量算符必须是
10. n 为 Lz 的本征态，本征值为 n 。求在 L z 的本征态 n 下， Lx
和 Ly 的平均值。
11. 氢原子处于状态
⎜⎛
ψ
(r
,
s
z
)
=
⎜ ⎜
⎜− ⎝
1 2
R
21
Y 11
3 2 R 21 Y10
⎟⎞ ⎟ ⎟ ⎟
=
曾量子力学练习题答案
曾量子力学练习题答案曾量子力学练习题答案量子力学作为现代物理学的重要分支，涉及到微观世界中微粒的行为和性质。
它的理论体系由一系列基本原理和数学工具构成，为解释和预测微观粒子的行为提供了有效的方法。
在学习量子力学的过程中，练习题是巩固和应用知识的重要方式。
下面我将为大家提供一些曾量子力学练习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 问题：一个自旋为1/2的粒子处于自旋上态，经过一个自旋测量仪器后，测量结果为自旋向上。
求此时粒子的自旋态。
答案：根据量子力学的原理，自旋态可以用Dirac符号表示，自旋向上的态记作|↑⟩，自旋向下的态记作|↓⟩。
在这个问题中，自旋测量结果为自旋向上，即测量结果为|↑⟩。
因此，此时粒子的自旋态为|↑⟩。
2. 问题：一个电子处于自由状态，其波函数为Ψ(x) = Ae^(-α|x|)，其中A和α为常数。
求该电子的概率密度分布。
答案：概率密度分布可以通过波函数的模的平方来计算。
在这个问题中，波函数的模的平方为|Ψ(x)|^2 = |Ae^(-α|x|)|^2 = A^2e^(-2α|x|)。
因此，该电子的概率密度分布为A^2e^(-2α|x|)。
3. 问题：一个处于束缚态的粒子，其波函数为Ψ(x) = Csin(kx)，其中C和k为常数。
求该粒子的能量。
答案：根据量子力学的原理，能量可以通过波函数的哈密顿量来计算。
在这个问题中，波函数的哈密顿量为HΨ(x) = EΨ(x)，其中E为能量。
将波函数代入哈密顿量的表达式中，得到-HCsin(kx) = ECsin(kx)。
两边同时除以sin(kx)，得到-HC = EC。
因此，该粒子的能量为E = -H/C。
4. 问题：一个自由粒子的波函数为Ψ(x) = Ae^(i kx) + Be^(-ikx)，其中A和B为常数。
求该粒子的动量。
答案：根据量子力学的原理，动量可以通过波函数的波矢来计算。
在这个问题中，波函数的波矢为k。
根据动量的定义，动量p = hk，其中h为普朗克常数。
高等量子力学试题库
高等量子力学试题库一、简述题1. (§1.4)试以一维线性谐振子基函数所构成的空间为例，说明一般矢量空间的维数与位形空间维数的区别 2. (§2.4)试述幺正算符的性质 3. (§3.2)试述本征子空间的概念 4. (§3.3)试述厄米算符完备组的概念和建立厄米算符完备组的必要性 5. (§6.2)试述量子力学的基本原理 6. (§11)试述相互作用绘景与薛定谔绘景、海森伯绘景的区别和联系7. (§17.2)设氢原子的定态狄拉克方程为 ψψβαE r e mc P c =-+⋅)ˆ(212 ，为求氢原子哈密顿算符Hˆ 确切的本征矢量，试确定包含Hˆ在内的厄米算符完备组 8. (§19)若系统的哈密顿具有下列对称性（1）空间反演（2）空间平移（3）空间转动（4）SO(4)（5）时间平移，试分别给出这些对称性所带来的守恒量9. (§21.2)对于 Fermi 子，试讨论由时间反演引起的简并。
（提示：参阅曾书335页） 10. (§23)试述角动量耦合与3j ，6j 和9j 符号之间的关系11. (§23.7)对具有两个价电子的原子，设两电子的轨道和自旋角动量分别为21,L L 和21,S S，试在希尔伯特空间中给出两组可能的耦合基矢 12. (§34.4)试给出位置表象中的Hartree-Fock 方程并叙述其物理意义 二、证明题1. (§1.1)利用矢量空间的加法运算法则证明零矢量是唯一的2. (§1.1)利用矢量空间的数乘运算法则证明：若0=a ψ，则0=a 或0=ψ3. (§1.2)对于任意ψ和ϕ，试证：ϕψϕψ+≤+4. (§1.5)试证明：若三个右矢ψ、ϕ和χ满足χϕψ=+，则有χϕψ=+5. (§2.3)证明定理：在复矢量空间中，若算符A 对其定义域中的任意ψ满足0=ψψA ，则必有0=A6. (§2.4)证明定理：算符H 为厄米算符的充要条件是对其定义域中的所有矢量ψ满足=ψψH 实数7. (§2.4)证明：若I U U =+，则对任意ψ和ϕ，U 满足ϕψϕψ=U U ，进而证明，幺正变换不改变矢量的模8. (§2.4)设U 是幺正算符，试证明：在矢量空间中，若{}iν是一组基矢，则{iU ν也是一组基矢9. (§2.5)证明投影算符是厄米算符，并由全空间的投影算符证明基矢的完全性关系 10. (§3.1)证明：复空间中厄米算符的本征值都是实数11. (§3.1)证明：厄米算符属于不同本征值的两个本征矢量互相正交12. (§3.1)证明：若B A ,两算符相似，则二者有相同的本征值谱，且每一本征值都有相同的简并度 13. (§6.6)设i a 是算符A 属于本征值i a 的本征函数，即满足i i i a a a A =，且定义物理量在状态ψ中的平均值为ψψA A =。
2013全国高考题13套
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试（北京卷）13.下列说法正确的是A.液体中悬浮的无规则运动称为布朗运动B.液体分子的无规则运动称为布朗运动C.物体从外界吸收热量，其内能一定增加D.物体对外界做功，其内能一定减少14.如图所示，一束可见光射向半圆形玻璃砖的圆心O ，经折射后分为两束单色光a 和b 。
下列判断正确的是 A.玻璃对a 光的折射率小雨对b 光的折射率 B.a 光的频率大于b 光的频率C.在真空中a 光的波长大于b 光的波长D.a 光光子能力小于b 光光子能量15. 一列沿x 轴正方向传播的间谐机械横波，波速为4m/s 。
某时刻波形如图所示，下列说法正确的是 A.这列波的振幅为4cm B.这列波的周期为1sC.此时x=4m 处质点沿y 轴负方向运动D.此时x=4m 处质点的加速度为016。
倾角为α、质量为M 的斜面体静止在水平桌面上，质量为m 的木块静止在斜面体上。
下列结论正确的是A.木块收到的摩擦力大小事mgcos αB.木块对斜两体的压力大小是mgsin αC.桌面对斜面体的摩擦力大小是mgsin αcos αD.桌面对斜面体的支持力大小是（M+m ）g17. 如图，在磁感应强度为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，金属杆MN 在平行金属导轨上以速度V 向右匀速滑动, MN 中产生的感应电动势为E l ;若磁感应强度增为2B,其他条件不变，MN 中产生的感应电动势变为E 2。
则通过电阻R 的电流方向及E 1与E 2之比E l : E 2分别为 A. c →a ，2：1 B. a →c ，2：1 C. a →c ，1：2 D. c →a ，1：218.某原子电离后其核外只有一个电子，若该电子在核的静电力作用下绕核做匀速圆周运动，那么电子运动A.半径越大，加速度越大B.半径越小，周期越大C.半径越大，角速度越小D.半径越小，线速度越小19.在实验操作前应该对实验进行适当的分析。
2013年十三校联考物理试卷-
高三年级物理试卷2013年3月考生注意：本卷满分150分，考试时间120分钟。
g 取10m/s 2。
第30、31、32、33题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤. 只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不能得分。
有关物理量的数值计算问题，答案中必须明确写出数值和单位。
第I 卷（共56分）一．单项选择题.（16分，每小题2分。
每小题只有一个正确选项。
）1、恒星的寿命取决于它的（ ）A ．质量B ．体积C ．温度D ．亮度2、下列射线在真空中的速度与光速相同的是（ ）A ．阴极射线 B. γ射线 C. α射线 D. β射线3、下列运动过程中，在任何相等的两段时间内，物体速度的变化量均相同的一组是（ ）A. 简谐振动，平抛运动B. 匀速圆周运动，匀变速直线运动C. 平抛运动，匀变速直线运动D. 匀速圆周运动，简谐振动4、用单色光照射双缝，在光屏上出现明、暗相间的条纹（ ）A. 这是光的衍射现象B. 这是相干光波叠加的结果C. 明条纹呈现出中央宽两边窄D. 若把其中一缝挡住，屏上条纹不会改变5、如图所示为一定质量的理想气体的p-V 图线，其中图A 是双曲线，其余为直线，下列图像中表示气体在状态A 的温度一定高于状态B 的是（ ）6、如图所示为正点电荷周围的电场线（实线）和等势线（虚线），A 、B 、C 是其中三个位置，场强大小分别为E A 、E B 、E C ，电势分别为C B A ϕϕϕ、、，则（ ）A ．E A =EB ＞EC B ．E A =E B ＜E CC ．C B A ϕϕϕ＜＝D ．C B ϕϕϕ＞＞A7、如图所示是一个玩具陀螺，a、b、c是陀螺上的三个点。
当陀螺绕垂直于地面的轴线以恒定角速度ω旋转时，下列叙述中正确的是（）A.a、b两点线速度相同B.a、b两点的向心加速度相同C.b、c两点的向心加速度相同D.b、c两点的转速相同8、下列四个图中，F1、F2、F3都恰好构成封闭的直角三角形（顶角为直角），这三个力的合力最大的是（）二．单项选择题.（24分，每小题3分。
量子力学试题含答案
一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。
3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。
4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。
7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。
8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。
9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。
10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。
二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。
物理前沿测试题及答案
物理前沿测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 光在真空中的传播速度是：A. 299,792,458 m/sB. 299,792,458 km/sC. 299,792,458 mm/sD. 299,792,458 cm/s2. 根据量子力学，电子在原子中的运动状态可以用以下哪个物理量来描述？A. 位置B. 动量C. 能量D. 波函数3. 以下哪个选项是正确的能量守恒定律表述？A. 能量不能被创造或销毁B. 能量可以被创造或销毁C. 能量只能被转移D. 能量只能在特定条件下转移4. 牛顿第三定律指出：A. 作用力和反作用力总是相等的B. 作用力和反作用力总是相反的C. 作用力和反作用力总是同时发生的D. 作用力和反作用力总是同时消失的5. 以下哪个选项是正确的热力学第一定律表述？A. 能量可以被创造或销毁B. 能量守恒C. 能量不能被创造或销毁D. 能量只能被转移6. 电磁波的频率和波长之间的关系是：A. 成正比B. 成反比C. 无关D. 相等7. 根据狭义相对论，当一个物体接近光速运动时，其质量会：A. 增加B. 减少C. 保持不变D. 先增加后减少8. 以下哪个选项是正确的海森堡不确定性原理表述？A. 粒子的位置和动量可以同时被精确测量B. 粒子的位置和动量不能同时被精确测量C. 粒子的位置和动量可以被近似测量D. 粒子的位置和动量测量的精确度无关9. 光的波粒二象性指的是：A. 光有时表现为波动，有时表现为粒子B. 光总是表现为波动C. 光总是表现为粒子D. 光的波长和频率可以互换10. 以下哪个选项是正确的麦克斯韦方程组的描述？A. 描述了电场和磁场如何相互作用B. 描述了重力场和磁场如何相互作用C. 描述了电场和磁场如何独立存在D. 描述了电场和磁场如何相互转换二、填空题（每题2分，共20分）1. 根据普朗克关系，能量量子化可以表示为 \( E = h\nu \)，其中\( h \) 是_______，\( \nu \) 是_______。
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1 量子力学考自测题（13）
一、（20分）质量为m 的粒子做一维自由运动，如果粒子处于)(sin )(2
kx A x =ψ的状态上，求其动量p 与动能T 的取值概率分布及平均值。
二、（20分）质量为m 的粒子处于如下一维势阱中 ⎪⎩⎪⎨⎧>∞=)0(0)(0
V x V )()0()0(a x a x x >≤≤< 若已知粒子在此势阱中存在一个能量2
0V E =的本征态，试确定此势阱的宽度a 。
三、（20分）在三维希尔波特空间中，已知两个算符B H
ˆˆ和的矩阵形式为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100010
001ˆω H ； ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=010100001ˆb B 其中ｂ、ω为实常数。
证明算符B H
ˆˆ和是厄米算符，并且两者相互对易，进而求出它们的共同本征函数。
四、（20分）固有磁矩为M 的电子，t=0时处于2 =x s 的状态，同时进入均匀磁场k B B 0=中。
给出t>0时的波函数，在此状态下测量z s 得2
-的概率是多少。
五、（20分）一个电荷为q 、质量为μ和角频率为ω的线谐振子，受到恒定弱电场ε的
作用，即x q W
ε-=ˆ，求其能量近似到二级修正，波函数近似到一级修正。