河南中考22题新定义类比探究题

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2019年高考备考：河南中考数学真题(第22题)类比拓展探究题分类汇编-附答案精品

见微知著，闻弦歌而知雅意 2019-2020 届备考
青霄有路终须到，金榜无名誓不还！ 2019-2020 年备考类比、拓展探究题 17 年）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AD=AE，连接 DC，点 M， P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点．（1）观察猜想图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是 PM=PN ，位置关系是（2）探究证明把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD，CE，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD=4，AB=10，请直接写出△PMN 面积的最大值． PM⊥PN ；
BD
14 年）（1）问题发现如图 1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点 A、D、 E 在同一直线上，连接 BE 填空：（1）∠AEB 的度数为（2）线段 BE 之间的数量关系是；。
【分析】（1）利用三角形的中位线得出 PM= CE， PN= BD，进而判断出 BD=CE，即可得出结论，另为利用三角形的中位线得出平行线即可得出结论；（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出 BD=CE，同（1）的方法得出 PM= BD，PN= BD，即可得出 PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）先判断出 MN 最大时，△PMN 的面积最大，进而求出 AN，AM，即可得出 MN 最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）∵点 P，N 是 BC，CD 的中点， ∴PN∥BD，PN= BD， ∵点 P，M 是 CD，DE 的中点， ∴PM∥CE，PM= CE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴BD=CE， ∴PM=PN， ∵PN∥BD， ∴∠DPN=∠ADC， ∵PM∥CE， ∴∠DPM=∠DCA， ∵∠BAC=90°， ∴∠ADC+∠ACD=90°，

2019年河南中考22题类比探究专题训练

第1页共16页 ◎ 第2页共16页………外…………订…………○2019年中考类比探究专题训练1. 【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，求出的度数；思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，求出的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图，若点是正方形外一点，，，，求的度数．2. 如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，点为射线，的交点．（1）求证：；（2）若，，把绕点旋转， ①当时，求的长；②直接写出旋转过程中线段长的最小值与最大值．3. 如图，矩形中，＝，＝，是边上一点，将沿直线对折，得到．（1）当平分时，求的长；（2）连接，当＝时，求的面积；（3）当射线交线段于点时，求的最大值．4. 已知在矩形中，的平分线与边所在的直线交于点，点是线段上一定点（其中）（1）如图，若点在边上（不与重合），将绕点逆时针旋转后，角的两边、分别交射线于点、．①求证：； ②探究：、、之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．（2）拓展：如图，若点在的延长线上（不与重合），过点作，交射线于点，你认为（1）中、、之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．第3页共16页 ◎ 第4页共16页…………○……5. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，． Ⅰ 如图①，当点落在边上时，求点的坐标；Ⅱ 如图②，当点落在线段上时，与交于点． ①求证； ②求点的坐标．Ⅲ 记为矩形对角线的交点，为的面积，求的取值范围（直接写出结果即可）．6. 如图，在正方形中，是边上的一动点（不与点、重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接，过点作交的延长线于点，连接．（1）求证：；（2）用等式表示线段与的数量关系，并证明．第5页共16页 ◎ 第6页共16页○…………外… 参考答案与试题解析 2019年3月26日初中数学一、解答题（本题共计 6 小题，每题 10 分，共计60分） 1.【解答】（1）思路一、如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接， ∴ ，∴ ，，，在中，，∴ ，根据勾股定理得，， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ 是直角三角形，且， ∴ ；（2）如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接， ∴ ，∴ ，，，在中，，∴ ，根据勾股定理得，， ∵ ，∴ ， ∵ ， ∴ ，∴ 是直角三角形，且， ∴ ．2.【解答】（1）证明：如图中，∵ 和是等腰直角三角形，， ∴ ，，，在和中，∴ ， ∴ ．（2）①解：、如图中，当点在上时，．∵ ，∴ ，同（1）可证．第7页共16页 ◎ 第8页共16页…………装……………线…………○…∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴， ∴，∴、如图中，当点在延长线上时，．∵ ，∴ ，同（1）可证． ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴，综上，或．②解：、如图中，以为圆心为半径画圆，当在下方与相切时，的值最小．理由：此时最小，因此最小， ∵ ，∴ ，由（1）可知，，∴ ，， ∴ ， ∴ 四边形是矩形， ∴ ，∴ ．、如图中，以为圆心为半径画圆，当在上方与相切时，的值最大．理由：此时最，大，因此最大， ∵ ，∴ ，由（1）可知，，∴ ，， ∴ ， ∴ 四边形是矩形， ∴ ，∴ ．综上所述，长的最小值是，最大值是．第9页共16页 ◎ 第10页共16页3.【解答】由折叠性质得：， ∴ ＝，∵ 平分，＝， ∴ ＝＝， ∵ 四边形是矩形， ∴ ＝， ∴ ＝，∴ ＝＝＝；延长交延长线于点，如图所示： ∵ 四边形是矩形， ∴ ， ∴ ＝，由折叠性质得：，∴ ＝，＝＝，＝＝， ∴ ＝， ∴ ＝，设＝，则＝＝， ∵ ＝， ∴ ＝，在中，由勾股定理得：＝， ∴ ＝，解得：＝，∴ ＝，＝， ∵ ＝，＝，∴；过点作于点，如图所示： ∵ 四边形是矩形， ∴ ， ∴ ＝，∵ ＝＝， ∴ ， ∴，∵ ＝，＝，∴ 可以看到点是在以为圆心为半径的圆上运动，所以当射线与圆相切时，最大，此时、、三点共线，如图所示：由折叠性质得：＝， ∵ ＝， ∴ ＝，在和中，，∴ ， ∴ ＝，由勾股定理得：， ∴ ，∴ 的最大值＝＝．4.【解答】解：（1）①∵ ，， ∴ ， ∵ 平分，∴ ，∴ 为等腰直角三角形， ∴ ，在和中，第11页共16页 ◎ 第12页共16页………○………………○…∵，∴ ， ∴ ；②结论：，由①知，为等腰直角三角形，， ∴ ，， ∴ ， ∴ ；（2）不成立，数量关系式应为：，如图，过点作交射线于点，∵ ，∴ ， ∴ ，∵ 平分，且在矩形中，，∴ ，得到为等腰直角三角形， ∴ ，且，， ∴ ，在和中， ∵∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ． 5.【解答】Ⅰ 如图①中，∵ ，， ∴ ，， ∵ 四边形是矩形，∴ ，，， ∵ 矩形是由矩形旋转得到， ∴ ，在中，， ∴ ， ∴ ．Ⅱ ①如图②中，由四边形是矩形，得到， ∵ 点在线段上， ∴ ，由 Ⅰ 可知，，又，， ∴ ．②如图②中，由，得到，又在矩形中，， ∴ ， ∴ ，∴ ，设，则，在中，∵ ， ∴ ， ∴，∴，第13页共16页 ◎ 第14页共16页…………○…………∴．Ⅲ 如图③中，当点在线段上时，的面积最小，最小值，当点在的延长线上时，的面积最大，最大面积．综上所述，．6. 【解答】，理由是：证法一：如图，在线段上截取，使， ∵ ， ∴ ，由（1）知：，， ∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ ，即， ∵ ，∴ ，是等腰直角三角形， ∴ ，， ∴ ，在和中，∵，∴ ， ∴ ，中，，， ∴ ， ∴ ；证法二：如图，过点作于， ∴ ，由方法一可知：，，在和中， ∵，∴ ，∴ ，， ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ 是等腰直角三角形， ∴ ．第15页共16页◎第16页共16页。

河南中考数学类比探究学生精选文档

河南中考数学类比探究学生精选文档TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-中考数学类比探究实战演练（一）22.（10分）如图1，在矩形ABCD 中，AB =mBC ，E 为BC 上一点，且BC =nBE ，连接AE ，过点B 作BM⊥AE ，交AE 于点M ，交AC 于点N ．（1）如图2，当m =1，n =3时，求证：AN =3CN ；（2）如图3，当m =1时，求AN 与CN 之间的数量关系；图1NM E DCBACBADE M N 图2图3N M E DCBA．中考数学类比探究实战演练（二）22. （10分）小华遇到这样一个问题：在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，边长为4，在菱形ABCD 内部有一点P ，连接PA ，PB ，PC ，求PA +PB +PC 的最小值．小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是：如图1，将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，恰好旋转至△DEC ，连接PE ，BD ，则BD 的长即为所求．（1）请你写出在图1中，PA +PB +PC 的最小值为________．（2）参考小华思考问题的方法，解决下列问题：①如图2，在△ABC 中，∠ACB =30°，BC =6，AC =5，在△ABC 内部有一点P ，连接PA ，PB ，PC ，求PA +PB +PC 的最小值．②如图3，在正方形ABCD 中，AB =5，P 为对角线BD 上任意一点，连接PA ，PC ，请直接写出PA +PB +PC 的最小值（保留作图痕迹）．图1PADBEC BCPA图2P图3DCBA图1F E DCBA 中考数学类比探究实战演练（三）22. （10分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =nAC ，CD ⊥AB 于D ，点E 是直线AC 上一动点，连接DE ，过点D 作FD ⊥ED ，交直线BC 于点F ，连接EF ．（1）探究发现：如图1，若n =1，点E 在线段AC 上，则tan ∠EFD =____．（2）数学思考：①如图2，若点E 在线段AC 上，则tan ∠EFD =____（用含n 的代数式表示）． ②当点E 在直线AC 上运动时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．从“点E 是线段AC 延长线上的任意一点”或“点E 是线段AC 反向延长线上的任意一点”中，任选一种情况，在图3中画出图形，给予相应的证明或理由．（3）拓展应用：若AC，BC=DF=，请直接写出CE 的长．图2F E DCBA图3DCBA中考数学类比探究实战演练（四）22. （10分）已知：在△AOB 与△COD 中，OA =OB ，OC =OD ，∠AOB =∠COD =90°．（1）如图1，点C ，D 分别在边OA ，OB 上，连接AD ，BC ，点M 为线段BC 的中点，连接OM ，则线段AD 与OM 之间的数量关系是__________，位置关系是_________．（2）如图2，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α（0°<α<90°）．连接AD ，BC ，点M 为线段BC 的中点，连接OM ．请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转到使△COD 的一边OD 恰好与△AOB 的一边OA 在同一条直线上时，点C 落在OB 上，点M 为线段BC 的中点，请你判断（1）中线段AD 与OM 之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明．O图1M D C BAO图2MDCBA图3中考数学类比探究实战演练（五）22.（10分）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG．（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a，BC=b，求EFEG的值．E(A)B CDFGGFDCBAE图1图1GFDCBAEEACDFG(B)图1图2图3图2EACDFG(B)图2图3图3中考数学类比探究实战演练（六）22. （10分）如图1，在等腰Rt △ABC 和等腰Rt △CDE （CD >BC ）中，点C ，B ，D 在同一直线上，点M 是AE 的中点，连接MD ，MB ．（1）探究线段MD ，MB 的位置关系及数量关系，并证明．（2）将图1中的△CDE 绕点C 顺时针旋转45°，使△CDE 的斜边CE 恰好与△ABC 的边BC 垂直，如图2，原问题中的其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若将图2中的△ABC 绕点C 逆时针旋转大于0°且小于45°的角，如图3，原问题中的其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．EMDCBA图1M DCBA图2ABCDM图3中考数学类比探究实战演练（七）22. （10分）已知：在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：①BD ⊥CF ；②CF =BC -CD ．（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系．（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．①请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系；②若连接正方形的对角线AE ，DF ，交点为O ，连接OC ，探究△AOC 的形状，并说明理由．EDBACF图1EDA C F图2OEDB ACF图3中考数学类比探究实战演练（八）22. （10分）在△ABC 中，∠A =90°，点D 在线段BC 上，∠EDB =12∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 与AB 相交于点F ．（1）如图1，若点D 与点C 重合，AB =AC ，探究线段BE 与FD 的数量关系.（2）如图2，若点D 与点C 不重合，AB =AC ，探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明；（3）如图3，若点D 与点C 不重合，AB =kAC ，求BEFD的值（用含k 的式子表示）． C B (D )AFE图1CB DAFE图2CBD AFE图3中考数学类比探究实战演练（九）22. （10分）点A ，B 分别是两条平行线m ，n 上任意一点，在直线n 上找一点C ，使BC =kAB ，连接AC ，在直线AC 上任取一点E ，作∠BEF =∠ABC ，EF 交直线m 于点F ．（1）如图1，当∠ABC =90°，k =1时，判断线段EF 和EB 之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当∠ABC =90°，k ≠1时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请重新判断线段EF 和EB 之间的数量关系．（3）如图3，当0°<∠ABC <90°，k =1时，探究EF 和EB 之间的数量关系，并证明．A FCB EA F ECBBCEFAnm图1 图2 图3中考数学类比探究实战演练（十）22.（10分）在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE=CF；（2）如图2，若∠ABC=90°，G是EF的中点，连接DB，DG，直接写出∠BDG的度数；（3）如图3，若∠ABC =120°，FG ∥CE ，且FG =CE ，连接DB ，DG ，求∠BDG 的度数．A BC EF D图1A BC EF DG图2A BC E FDG图3中考数学类比探究实战演练（十一）图2BC QP E FAAF E (P )Q CB图122. （10分）已知点P 是Rt △ABC 斜边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），分别过点A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E ，F ，Q 是斜边AB 的中点．（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是___________，QE 与QF 的数量关系是______________．（2）如图2，当点P 不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明．（3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？请画出图形并给予证明．中考数学类比探究实战演练（十二）22. （10分）问题解决：如图1，将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上的点E 处（不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AMBN的值．类比归纳：在图1中，若13CE CD =，则AM BN 的值为__________；若14CE CD =，则AMBN 的值为__________；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN的值为__________．（用含n 的式子表示）联系拓广：如图2，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上的点E 处（不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设1AB BC m =（1m >），1CE CD n =，则AMBN的值为_______．（用含m n ，的式子表示）图2图1CBD A FEM N CBDA FEM N。

2020河南中考数学复习专题专题类比探究题

专题七类比探究题专题类型突破类型一图形旋转引起的探究 (2019·河南)在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB＝α.点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP.(1)观察猜想如图1，当α＝60°时，BD CP的值是________，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是________．(2)类比探究如图2，当α＝90°时，请写出BD CP的值及直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．(3)解决问题当α＝90°时，若点E ，F 分别是CA ，CB 的中点，点P 在直线EF 上，请直接写出点C ，P ，D 在同一直线上时AD CP的值．【分析】(1)延长CP 交BD 的延长线于E ，设AB 交EC 于点O.证明△CAP≌△BAD，即可解决问题．(2)设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E.证明△DAB∽△PAC，即可解决问题．(3)分两种情况：当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H.证明AD＝DC即可解决问题；当点P在线段CD上时，同法可证DA＝DC，解决问题．【自主解答】1．(2018·河南)(1)问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M.填空：①ACBD的值为________；②∠AMB的度数为________；(2)类比探究如图2，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC 交BD 的延长线于点M.请判断AC BD的值及∠AMB 的度数，并说明理由； (3)拓展延伸在(2)的条件下，将△OCD 绕点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M ，若OD ＝1，OB ＝7，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长．2．(2017·河南)如图1，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．(1)观察猜想图1中，线段PM 与PN 的数量关系是________，位置关系是________；(2)探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把△ADE 绕A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．图1 图23．(2015·河南)如图1，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，BC ＝2AB ＝8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE.将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)问题发现①当α＝0°时，AE BD＝________；②当α＝180°时，AE BD＝________； (2)拓展探究试判断：当0°≤α<360°时，AE BD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． (3)解决问题当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．类型二动点引起的探究(2016·河南)(1)发现如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝a ，AB ＝b.填空：当点A 位于________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为________(用含a ，b 的式子表示)；(2)应用点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值；(3)拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P的坐标．【分析】(1)根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；(2)①根据等边三角形的性质得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD＝BE；②由于线段BE的最大值＝线段CD的最大值，根据(1)中的结论即可得到结果．(3)将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN ，得到△APN 是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN ＝PA ＝2，BN ＝AM ，根据当N 在线段BA 的延长线时，线段BN 取得最大值，即可得到最大值为22＋3；过P 作PE⊥x 轴于E ，根据等腰直角三角形的性质即可得到点P 的坐标．【自主解答】4．(2019·河南模拟)(1)问题发现如图1，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，ABAC ＝1，点P 是边BC 上一动点(不与点B重合)，∠PAD＝90°，∠APD＝∠B，连接CD.填空：①PB CD＝________； ②∠ACD 的度数为________；(2)拓展探究如图2，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB AC＝k.点P 是边BC 上一动点(不与点B 重合)，∠PAD＝90°，∠APD＝∠B，连接CD ，请判断∠ACD 与∠B 的数量关系以及PB 与CD 之间的数量关系，并说明理由；(3)解决问题如图3，在△ABC 中，∠B＝45°，AB ＝42，BC ＝12，P 是边BC 上一动点(不与点B 重合)，∠PAD＝∠BAC，∠APD＝∠B，连接CD.若PA ＝5，请直接写出所有CD 的长．类型三图形形状变化引起的探究(2019·信阳一模)(1)观察猜想如图1，点B，A，C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC，且∠DAE＝90°，AD＝AE，则BC，BD，CE之间的数量关系为________；(2)问题解决如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝4，AB＝2，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连接BD，求BD的长；(3)拓展延伸如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，CB＝4，AB＝2，DC＝DA，请直接写出BD的长．【分析】(1)通过证明△ADB≌△EAC，可得结论：BC＝AB＋AC＝BD＋CE；(2)过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，同理证明△ABC≌△DEA，可得DE＝AB ＝2，AE＝BC＝4，最后利用勾股定理求BD的长；(3)同理证明三角形全等，设AF＝x，DF＝y，根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论．【自主解答】5．(2014·河南)(1)问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE. 填空：①∠AEB的度数为________；②线段AD，BE之间的数量关系为________；(2)拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；(3)解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．参考答案类型一【例1】(1)1 60°(2)BDCP 的值为2，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数为45°.理由如下：如图，设BD 交AC 于点O ，BD 交PC 于点E.∵∠PAD＝∠CAB＝45°， ∴∠PAC＝∠DAB. ∵AB AC ＝ADAP ＝2， ∴△DAB∽△PAC，∴∠PCA＝∠DBA，BD PC ＝ABAC＝ 2.∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠OAB＝45°，∴直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数为45°. (3)ADCP的值为2＋2或2－ 2. 如图，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H.∵CE＝EA ，CF ＝FB ，∴EF∥AB， ∴∠EFC＝∠ABC＝45°.∵∠PAO＝45°，∴∠PAO＝∠OFH.∵∠POA＝∠FOH，∴∠H＝∠APO.∵∠APC＝90°，EA＝EC，∴PE＝EA＝EC，∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∴∠H＝∠BAH，∴BH＝BA.∵∠ADP＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°.∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，D，C，B四点共圆，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC.设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝2 2a，∴ADCP＝aa＋22a＝2－ 2.如图，当点P在线段CD上时，同法可证DA＝DC.设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD ＝22a，∴PC＝a－22a，∴AD PC ＝a a －22a＝2＋ 2. 综上所述，点C ，P ，D 在同一直线上时，ADCP 的值为2－2或2＋ 2.跟踪训练 1．解：(1)①1提示：∵∠AOB＝∠COD＝40°， ∴∠COA ＝∠DOB.∵OC＝OD ，OA ＝OB ，∴△COA≌△DOB(SAS)， ∴AC＝BD ，∴ACBD ＝1.②40°提示：∵△COA≌△DOB， ∴∠CAO＝∠DBO.∵∠AOB＝40°，∴∠OAB＋∠ABO＝140°.在△AMB 中，∠AMB＝180°－(∠CAO＋∠OAB＋∠ABD)＝180°－(∠DBO＋∠OAB ＋∠ABD)＝180°－140°＝40°. (2)ACBD ＝3，∠AMB＝90°.理由如下：在Rt△OCD 中，∠DCO＝30°，∠DOC＝90°， ∴OD OC ＝tan 30°＝33. 同理得OB OA ＝tan 30°＝33.∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD， ∴AC BD ＝OCOD＝3，∠CAO＝∠DBO， ∴∠AMB＝180°－∠CAO－∠OAB －MBA ＝180°－(∠DAB＋∠MBA＋∠OBD)＝180°－90°＝90°. (3)23或3 3.提示：①点C 与点M 重合时，如图，同理得△AOC∽△BOD， ∴∠AMB＝90°，ACBD ＝ 3.设BD ＝x ，则AC ＝3x. 在Rt△COD 中， ∵∠OCD＝30°，OD ＝1， ∴CD＝2，∴BC＝x －2.在Rt△AOB 中，∠OAB＝30°，OB ＝7. ∴AB＝2OB ＝27.在Rt△AMB 中，由勾股定理得AC 2＋BC 2＝AB 2，即(3x)2＋(x －2)2＝(27)2，解得x 1＝3，x 2＝－2(舍去)， ∴AC＝3 3.②点C 与点M 重合时，如图，同理得∠AMB＝90°，ACBD＝ 3.设BD ＝x ，则AC ＝3x ，在Rt△AMB 中，由勾股定理得AC 2＋BC 2＝AB 2，即(3x)2＋(x ＋2)2＝(27)2. 解得x 1＝－3，解得x 2＝2(舍去)， ∴AC＝2 3.综上所述，AC 的长为33或2 3. 2．解：(1)PM ＝PN PM⊥PN 提示：∵点P ，N 是BC ，CD 的中点， ∴PN∥BD，PN ＝12BD.∵点P ，M 是CD ，DE 的中点， ∴PM∥CE，PM ＝12CE.∵AB＝AC ，AD ＝AE ，∴BD＝CE ，∴PM＝PN. ∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC， ∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA.∵∠BAC＝90°，∴∠ADC＋∠ACD＝90°， ∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCA＋∠ADC＝90°， ∴PM⊥PN.(2)△PMN 为等腰直角三角形．理由如下：由旋转知，∠BAD＝∠CAE.∵AB＝AC ，AD ＝AE ，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠AB D ＝∠ACE，BD ＝CE.同(1)的方法，利用三角形的中位线定理得 PN ＝12BD ，PM ＝12CE ，∴PM＝PN ，∴△PMN 是等腰三角形．同(1)的方法得PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCE. 同(1)的方法得PN∥BD， ∴∠PNC＝∠DBC.∵∠DPN＝∠DCB＋∠PNC＝∠DCB＋∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCE＋∠DCB＋∠DBC＝∠BCE＋∠DBC＝∠ACB ＋∠ACE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABD＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABC. ∵∠BAC＝90°，∴∠ACB＋∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°， ∴△PMN 是等腰直角三角形． (3)492.提示：同(2)的方法得△PMN 是等腰直角三角形， ∴当MN 最大时，△PMN 的面积最大， ∴DE∥BC 且DE 在顶点A 上面， ∴MN 最大＝AM ＋AN. 如图，连接AM ，AN.在△ADE 中，AD ＝AE ＝4，∠DAE＝90°， ∴AM＝2 2.在Rt△ABC 中，AB ＝AC ＝10，AN ＝52， ∴MN 最大＝22＋52＝72，∴S △PMN 最大＝12PM 2＝12×12MN 2＝14×(72)2＝492.3．解：(1)①52提示：当α＝0°时， ∵在Rt△ABC 中，∠B＝90°，∴AC＝AB 2＋BC 2＝（8÷2）2＋82＝4 5. ∵点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点， ∴AE＝45÷2＝25，BD ＝8÷2＝4， ∴AE BD ＝254＝52. ②25提示：如图，当α＝180°时，则可得AB∥DE.∵AC AE ＝BC BD， ∴AE BD ＝AC BC ＝458＝52. (2)当0°≤α≤360°时，AEBD的大小没有变化．∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB. 又∵EC DC ＝AC BC ＝52，∴△ECA∽△DCB， ∴AE BD ＝EC DC ＝52. (3)BD 的长为45或125 5提示：a.如图，∵AC＝45，CD ＝4，CD⊥AD ，∴AD＝AC 2－CD 2＝（45）2－42＝80－16＝8. ∵AD＝BC ，AB ＝DC ，∠B＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形， ∴BD＝AC ＝4 5.b ．如图，连接BD ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点Q ，过点B 作AC 的垂线交AC 于点P.∵AC＝45，CD ＝4，CD⊥AD，∴AD＝AC 2－CD 2＝（45）2－42＝80－16＝8. ∵点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点， ∴DE＝12AB ＝12×(8÷2)＝12×4＝2，∴AE＝AD －DE ＝8－2＝6，由(2)得AE BD ＝52，∴BD＝652＝1255.综上所述，BD 的长为45或1255.类型二【例2】(1)CB 的延长线 a ＋b (2)①CD＝BE.理由：∵△ABD 与△A CE 是等边三角形， ∴AD＝AB ，AC ＝AE ，∠BAD＝∠CAE＝60°， ∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB. 在△CAD 和△EAB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，∠CAD＝∠EAB，AC ＝AE ， ∴△CAD≌△EAB， ∴CD＝BE. ②4提示：∵线段BE 长的最大值等于线段CD 的最大值，由(1)知，当线段CD 取得最大值时，点D 在CB 的延长线上， ∴线段BE 的最大值为BD ＋BC ＝AB ＋BC ＝4.(3)线段AM的最大值为22＋3，点P的坐标为(2－22，2)．提示：如图，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN 是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM.∵点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，∴OA＝2，OB＝5，∴AB＝3，∴线段AM的最大值等于线段BN的最大值，∴当点N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即最大值为AB＋AN.∵AN＝2AP＝22，∴线段AM的最大值为22＋3.如图，过点P作PE⊥x轴于点E.∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝2，∴OE＝BO－AB－AE＝5－3－2＝2－2，∴P(2－2，2)．跟踪训练4．解：(1)①1②45°(2)∠ACD＝∠B，PB CD＝k. 理由如下：∵∠BAC＝∠PAD＝90°，∠B＝∠APD，∴△ABC∽△APD，∴AB AC ＝AP AD＝k. ∵∠BAP＋∠PAC＝∠PAC＋∠CAD＝90°，∴∠BAP＝∠CAD，∴△ABP∽△CAD，∴∠ACD＝∠B，PB CD ＝AB AC＝k. (3)102或7102. 类型三【例3】(1)BC ＝BD ＋CE提示：∵∠B＝90°，∠DAE＝90°，∴∠D＋∠DAB＝∠DAB＋∠EAC＝90°，∴∠D＝∠EAC.∵∠B＝∠C＝90°，AD ＝AE ，∴△ADB≌△EAC，∴BD＝AC ，EC ＝AB ，∴BC＝AB ＋AC ＝BD ＋CE.(2)如图，过D 作DE⊥AB，交BA 的延长线于E.由(1)同理得△ABC≌△DEA，∴DE＝AB ＝2，AE ＝BC ＝4.在Rt△BDE 中，BE ＝6，∴由勾股定理得BD ＝62＋22＝210.(3)如图，过点D 作DE⊥BC 于E ，作DF⊥AB，交BA 的延长线于F.同理得△CED≌△AFD，∴CE＝AF ，ED ＝DF.设AF ＝x ，DF ＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，2＋x ＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，∴BF＝2＋1＝3，DF ＝3，由勾股定理得BD ＝32＋32＝3 2.跟踪训练5．解：(1)①60°提示：∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴CA＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE.在△ACD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD＝∠BCE，CD ＝CE ，∴△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC.∵△DCE 为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°.∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC＝120°，∴∠BEC＝120°，∴∠AEB ＝∠BEC－∠CED＝60°.②AD＝BE(2)∠AEB＝90°，AE ＝BE ＋2CM.理由如下：∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴CA＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE.在△ACD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CA ＝CB ，∠ACD＝∠BCE，CD ＝CE ，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE ，∠ADC＝∠BEC.∵△DCE 为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°.∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC＝135°，∴∠BEC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90°.∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME.∵∠DCE＝90°，∴DM＝ME＝CM，∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM.(3)点A到BP的距离为3－12或3＋12.提示：∵PD＝1，∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．∵∠BPD＝90°，∴点P在以BD为直径的圆上，∴点P是这两圆的交点．(i)当点P在如图所示位置时，连接PD，PB，PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A 作AE⊥AP，交BP于点E.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝45°，AB＝AD＝DC＝BC＝2，∠BAD＝90°，∴BD＝2.∵DP＝1，∴BP＝ 3.∵∠BPD＝∠BAD＝90°，∴点A，P，D，B在以BD为直径的圆上，∴∠APB＝∠ADB＝45°，∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，点B，E，P共线，AH⊥BP，∴由(2)中的结论可得BP＝2AH＋PD，∴3＝2AH＋1，∴AH＝3－1 2.(ii)当点P在如图所示位置时，连接PD，PB，PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E.同理可得BP＝2AH－PD，∴3＝2AH－1，∴AH＝3＋1 2.综上所述，点A到BP的距离为3－12或3＋12.（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

专题6类比、拓展探究题

类型2 动点引起的探究
(2016·河南)(1)发现如图 1，点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC＝a，AB＝b. 填空：当点 A 位于________时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为________(用含 a，b 的式子表示)．
图1
(2)应用点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC＝3，AB＝1.如图 2 所示，分别以 AB，AC 为边，作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE，连接 CD，BE. ①请找出图中与 BE 相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段 BE 长的最大值．
(3)线段 AM 的最大值为 3＋2 2，此时点 P 的坐标为(2－ 2， 2)．
【提示】连接 BM，将△APM 绕着点 P 顺时针旋转 90°得到△PBN，连接 AN，如解图 1 所示. 根据旋转的性质可知， △APN 是等腰直角三角形，PN＝PA＝2，BN＝AM，∴AN＝
2AP＝2 2.∵点 A 的坐标为(2,0)，点 B 的坐标为(5,0)，∴OA ＝2，OB＝5，∴AB＝OB－OA＝5－2＝3.∵BN＝AM，∴线段 AM 的最大值＝线段 BN 的最大值，∴当点 N 在线段 BA 的延长
(2)△PMN 为等腰直角三角形．理由如下：由旋转的性质可知，∠BAD＝∠CAE. 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE. ∵点 P，M 分别为 DC，DE 的中点， ∴PM 是△DCE 的中位线，
∴MP＝12EC，MP∥EC. 同理可证 NP＝12BD，NP∥BD. ∴PM＝PN，∠MPD＝∠ECD，∠PNC＝∠DBC， ∴∠MPD＝∠ECD＝∠ACD＋∠ACE＝∠ACD＋∠ABD， ∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ACD＋∠ABD＋∠DBC＋ ∠PCN＝∠ABC＋∠ACB＝90°， ∴△PMN 为等腰直角三角形；

河南中考22类比探究专题(四)——中点结构(含答案)

类比探究专题（四）——中点结构1.如图1，在△ABC中，P为BC边的中点，直线a绕顶点A旋转，若B，P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．要证PM=PN，只需延长MP交CN 于点E，通过说明某对三角形全等就可以证明此结论．此时，证明结论成立的理论基础是( )A.全等三角形的对应边相等B.直角三角形斜边中线等于斜边一半C.等腰三角形等角对等边D.等量代换如图，延长MP交CN于点E.此时可证△MBP≌△ECP，∴MP=EP，∵∠MNE=90°，∴PN=PM=PE，即利用的是直角三角形斜边上中线等于斜边一半．故选B2.（上接第1题）若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点B，P在直线a的同侧，其他条件不变，要证明PM=PN，我们可以进行和上题一样的操作，则需要证明的全等三角形是( )A.△APB≌△APEB.△CAN≌△ABMC.△NPB≌△NPED.△MBP≌△ECP按照要求，作出符合题意的辅助线：延长MP交NC的延长线于点E．则△MBP≌△ECP，∴PM=PE，则在Rt△NME中，PM=PN，∴要证明PM=PN需要证明△MBP≌△ECP．故选D3.如图，直线AM∥BN，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线与两条直线MA，NB分别相交于点D，E．如图1所示，当直线与直线MA垂直时，则线段AD，BE，AB之间的数量关系是( )A. B. C. D.如图，延长AC交BN于点F．∵AM∥BN，∴∠DAB+∠EBA=180°，∵∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，∴∠CAB+∠CBA=90°，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=∠DAC=∠BFC，∴AB=BF，∵BC⊥AF，∴AC=FC，∵∠DCA=∠ECF，∴△DCA≌△ECF，∴AD=FE，∴AB=BF=BE+FE=BE+AD．故选C4.（上接第3题）如图2所示，当直线与直线MA不垂直，且交点D，E在AB的异侧时，则线段AD，BE，AB之间的数量关系是( )A. B. C.D.如图，延长AC交BN于点F．∵AM∥BN，∴∠DAB+∠NBA=180°，∵∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，∴∠CAB+∠CBA=90°，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=∠DAC=∠BFC，∴AB=BF，∵BC⊥AF，∴AC=FC，∵∠DCA=∠ECF，∴△DCA≌△ECF，∴AD=FE，∴AB=BF=FE-BE=AD-BE．故选D。

2024河南考数学二轮中考题型研究题型四类比、拓展探究题题(课件)

和三角形的内外角关系，得到∠DPC＝2∠BAC，
通过题干得到∠BAC的度数，即可求解．
例1题图①
【解法提示】
∵∠ACB＝90°，点P为AE的中点，∴PC为Rt△AEC斜边AE的中线，
∴CP＝ 1 AE，同理可证，DP＝ 1 AE，∴DP＝CP；
2
2
∴∠DPE＝2∠DAE，∠CPE＝2∠CAE，
∵AC＝BC，∴∠BAC＝45°，∴∠DPC＝2∠BAC＝90°，
例1题图①
填空：①DP与CP的数量关系是________； ②DP与CP的位置关系是____________；
【思维教练】①要求DP与CP的数量关系，通过直角三角形的性质：
斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到CP＝1 AE，DP＝1 AE，即
2
2
可求解；②要求DP与CP的位置关系，
即求∠DPC的度数，通过等腰三角形性质
பைடு நூலகம்∴DP⊥CP.
填空：①DP与CP的数量关系是_D_P_＝__C__P_； ②DP与CP的位置关系是_D__P_⊥__C_P_；
例1题图①
(2)类比探究把△BDE绕点B逆时针旋转45°至如图②的位置，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请就图②的情形给出证明；若不成立，请说明理由；
【思维教练】要求DP与CP的数量关系和位置关系，过点P作AC的垂线，并构造出DP 与PC所在的两个直角三角形，结合旋转的性质可证明DP和PC所在的两个三角形全等，即可求解．
②如解图③，由(2)可知DP⊥CP，DP＝CP，
例1题解图②
∴△PCD为等腰直角三角形，
∵BC＝3BD＝3 2，∴CD＝BC－BD＝2 2，∴CP＝2. 综上所述，CP的长为4或2.

2021年河南省中考数学总复习：类比、拓展探究题

【解法提示】①如解图①，∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴AC＝BC， CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∵∠ACD＋∠DCB＝∠DCB＋∠BCE＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠ADC＝∠BEC，AD＝BE， ∵∠CDE＝∠CED＝60°，∴∠ADC＝∠BEC＝120°， ∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝60°. ②∵△ACD≌△BCE， ∴AD＝BE.
(2)类比探究如图②，当α＝90°时，请写出 BD 的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的
CP 度数，并就图②的情形说明理由.
中招22题类比、拓展探究题
(2)【思维教练】要求线段BD与CP的比值，可以转化为求BD和CP所在的
△CAP和△BAD的相似比，根据题意可知∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABC为
得到线段DP，连接AD，BD，CP.
(1)观察猜想如图①，当α＝60°时，BD 的值是
CP 直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是
， .
中招22题类比、拓展探究题
(1)【思维教练】要求 BD 的值，可将转化为求BD和CP所在的△CAP和△BAD
CP
的相似比，由α＝60°，结合CA＝CB，得到△ABC为等边三角形，由旋转性质可得，PA＝PD，∠APD＝60°，得到△APD为等边三角形，结合∠PAB为公共角，继而证明△CAP≌△BAD，最后利用全等三角形的性质可得BD＝CP， ∠ACP＝∠ABD，继而求得 BD 的值，最后作直线BD与直线CP的夹角，利用三
的值.
备用图
中招22题类比、拓展探究题
(3)【思维教练】要求当点C，P，D在同一直线上时 AD 的值，需分两种情况进行
CP
讨论：第一种当点P在线段EF上时，结合第(2)问的结论，和中位线的性质得到CP 与AD的数量关系；第二种当点D在线段PC上时，利用第(2)问的结论和中位线的性质，得到CP和AD的数量关系，即可求解. 【自主作答】

河南省中考数学专题复习专题七类比探究题训练

专题七类比探究题类型一线段数量关系问题1 (2018 -河南)(1)问题发现如图①，在△ OAB 和厶OCD 中，OA= OB OC= OD / AOB=Z COD= 40°,连接 AC, BD 交于点 M.填空: AC① 击的值为：BD② / AMB 的度数为 _______ ; (2) 类比探究如图②，在△ OAB 和厶OCD 中，/ AOB=Z COD= 90°,/ OAB=Z OCD= 30°,连接 AC 交BD 的延长线于点 ACM.请判断乔的值及/ AMB 的度数，并说明理由；BD(3) 拓展延伸在⑵ 的条件下，将△ OCD 绕点O 在平面内旋转，AC , BD 所在直线交于点 M 若OD= 1, OB=Q7，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长.图① 图② 备用图例1题图②由△ COA^A DOB,得/CAO=/ DBQ 根据三角形的内角和定理 =180°— 140°= 40°;一AC OC 厂一(2)根据两边的比相等且夹角相等可得△ AO &A BOD 则 BD = OD = 3,由全等三角形的性质得/ AMB 的度数； ⑶ 正确画出图形，当点 C 与点M 重合时，有两种情况：如解图①和②，同理可得厶 AO &A BOD 则/ AMB AC 厂=90° , BD = 3 ,可得 AC 的长. 【自主解答】【分析】 (1)①证明△ COA^A DOB(SAS,)得AC= BD,比值为1;,得/ AMB= 180°— ( / DBO-/ OABH / ABD)解：⑴问题发现①1【解法提示】•••/ AOB=Z CO 空40•••/ COA F Z DOB .•/ OC= OD OA= OB ，•••△ COA^ DOB(SAS,)• AC= BD, AC 二一=1 BD②40°【解法提示】•/△ COA^A DOB•••/ CAO / DBO. •••/ AO = 40°, •••/ OABH / ABO= 140°,在厶 AMB 中，/ AM = 180°— ( / CAO- / OABH / ABD = 180°— ( / DBO- / OABH / ABD = 180°— 140° =(2)类比探究ACBD = ,3,/ AM = 90°，理由如下:在 Rt △ OCD 中,/ DC(= 30°,/ DO = 90°,同理，得OB = tan 30•••/ AO =/ CO = 90°,• / AO(= BOD • △ AOC^ BOD• AC = …BD =• / AM = 180°—/ CAO- / OA — MBA 180°— ( / DA —/ MB —/ OBD^180°— 90° = 90° (3)拓展延伸①点C 与点M 重合时，如解图①，同理得△ AO &A BOD AC 厂 • / AM = 90°,侖,3,BD 设 BD= x ，贝U AC = • 3x ,OD• OC = tan 303OD = . 3, / CAO / DBO.在Rt△ COD中,•••/ 0C空30°, OD= 1, ••• CD= 2,BC= x —2.在Rt△ AOB中，/ OA= 30°, OB= '7.•AB= 2OB= 2 ：7 ,在Rt△ AMB中，由勾股定理，得AC+ BC= Ah,即（：3 x）2+ （x —2）2= （2 ：7）2,解得x i= 3, X2=—2（舍去），•AC= 3=：.f3;AC②点C与点M重合时，如解图②，同理得：/ AM= 90°,BD= ；'3,设BD= x，贝U AC= _：3x,在Rt△ AMB中，由勾股定理，得AC+ BC = AB",即（:'3x）2+ （x + 2）2= （2 ；7）2解得x i=—3,解得x2 = 2（舍去）.• AC= 2\ 3.综上所述，AC的长为3 '3或2 ：'3.图①图②例1题解图1 . （2016 -河南）（1）发现如图①，点A为线段BC外一动点，且BC= a, AB= b.填空：当点A位于___________________ 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_____________ (用含a, b 的式子表示)•(2) 应用点A 为线段BC 外一动点，且BC= 3, AB= 1，如图②所示，分别以 AB AC 为边，作等边三角形 ABD 和等边三角形ACE 连接CD BE.① 请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由； ② 直接写出线段BE 长的最大值. ⑶拓展如图③，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(2 ,且PA = 2, Pg PB,Z BP 昨90°,请直接写出线段备用图2. (2015 -河南)如图①，在 Rt △ ABC 中，/ B = 90°, BC = 2AB= 8，点D, E 分别是边 BC, AC 的中点，连接DE.将厶EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为 ⑴问题发现(2)拓展探究0)，点B 的坐标为(5 , 0)，点P 为线段AB 外一动点, AM 长的最大值及此时点 P 的坐标.图③ (X .①当a= 0°时,B D = —"F —；②当a = 180°时,AE = _5 ；BD — 2 一'AE的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明.BD (3)解决问题当厶EDC 旋转至A, D, E 三点共线时，直接写出线段 BD 的长.3. (2014・河南) ⑴问题发现如图①，△ ACB 和厶DCE 均为等边三角形，点 A, D, E 在同一直线上，连接 BE. 填空：① / AEB 的度数为 __________ ;② 线段AD BE 之间的数量关系为 _______________ . (2)拓展探究如图②，△ ACB^n ^ DCE 均为等腰直角三角形， / ACB=Z DCE= 90°,点A, D E 在同一直线上，DCE 中DE 边上的高，连接 BE,请判断/ AEB 的度数及线段 CM AE, BE 之间的数量关系，并说明理由. (3) 解决问题如图③，在正方形 ABCD 中, CD=〔 2,若点P 满足PD= 1,且/ BPD= 90°,请直接写出点 A 到BP 的距离.试判断：当O °Wa <360°时, 图①图① 图② 图③4. （2018 •南阳二模）在厶ABC中，/ ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE,连接EC.（1）操作发现若AB= AC / BAC= 90°，当D在线段BC上时（不与点B重合），如图①所示，请你直接写出线段CE和BD 的位置关系和数量关系是（2）猜想论证在（1）的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图②所示，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断.（3）拓展延伸如图③，若AB^AC / BAO90°，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角/ ACB等于 _______________ 度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立（点C, E重合除外）？此时若作DF丄AD交线段CE于点F,且当AC= 3匹时，请直接写出线段CF的长的最大值是_______ .D C 图③图①图②5. 已知，如图①，△ ABC △ AED是两个全等的等腰直角三角形（其顶点B E重合），/ BAC=Z AED= 90°,O为BC的中点，F为AD的中点，连接OF.⑴问题发现类型二图形面积关系问题W^.-(2017 •河南)如图①，在 Rt △ ABC 中，/ A = 90°, AB = AC 点 D, E 分别在边 AB, AC 上, A» AE , 连接DC 点M, P, N 分别为DE, DC BC 的中点. (1) 观察猜想图①中，线段PM 与 PN 的数量关系是 ________ ,位置关系是 _________ ; ⑵探究证明把厶ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图②的位置，连接 MN BD CE,判断△ PMN 的形状，并说明理由； (3) 拓展延伸把厶ADE 绕A 在平面内自由旋转，若 AD= 4 , AB= 10，请直接写出△ PMN 面积的最大值.①如图①,OF EC②将△ AED 绕点A 逆时针旋转45°,如图②, OF EC =⑵类比延伸将图①中厶AED 绕点A 逆时针旋转到如图③所示的位置，请计算出 OC 勺值，并说明理由.(3)拓展探究将图①中厶AED 绕点A 逆时针旋转，旋转角为a, 0°WaW 90°, AD= ：2, △ AED 在旋转过程中，存在△ ACD 为直角三角形，请直接写出线段 CD 的长.Ca N例2题图1 1【分析】⑴ 利用三角形的中位线定理得出pg2°E PN^尹D,进而判断出BD= CE即可得出结论，再利用三角形的中位线定理得出PM/CE继而得出/ DPM^Z DCA最后用互余即可得出结论；1 1⑵先判断出厶ABD^A ACE得出BD= CE同⑴的方法得出PMk qBD PN^ qBD即可得出PMk PN,同⑴的方法即可得出结论；⑶ 先判断出MN最大时，△ PMN的面积最大，进而求出AN, AM,即可得出MN最大=A腑AN,最后用面积公式即可得出结论.【自主解答】解：（1）•••点P , N是BC, CD的中点,1••• PN// BD PN=-BD.〜2•••点P , M是CD DE的中点，1•PM/ CE PMI= qCE.•/ AB= AC, AD= AE,•BD= CE•PM= PN.•/ PN// BD•/ DPN=Z ADC•/ PM/ CE• / DP=/ DCA.•••/ BAC= 90° ,• / ADCF Z ACD= 90° , • / MPN=Z DPMM DPN=Z DCAb Z ADC= 90° ,••• PML PN⑵由旋转知，/ BAD=Z CAE•/ AB= AC, A» AE,•△ABD^A ACE(SAS)•••/ ABD=Z ACE BD= CE.1同⑴ 的方法，利用三角形的中位线定理，得PN=尹D,1pg 2CE•PM k PN•••△PMN是等腰三角形，同⑴的方法得，PM/ CE•••/ DPM=/ DCE同⑴的方法得，PN// BD•••/ PNC=Z DBC.•••/ DPN=Z DCBF Z PNC=Z DCBH Z DBC•••/ MPN=Z DPMk Z DPN=Z DCEb Z DCBF Z DBC=Z BCEF Z DBC=Z ACBF Z ACEF Z DBC=Z ACBF Z ABD + Z DBC=Z ACBF Z ABC.•••/ BAC= 90° ,•••/ ACBF Z ABC= 90° ,•••/ MPN= 90° ,•△ PMN是等腰直角三角形，8 N Cl例2题解图(3)如解图，同(2)的方法得，△ PMN是等腰直角三角形,•••当MN最大时，△ PMN的面积最大，• DE// BC且DE在顶点A上面，MN最大=AW AN连接AM AN在厶ADE 中，AD= AE= 4, / DAE= 90° ,••• AMk 2 2在Rt△ ABC中，AB= AC= 10, AN k 5 -'2,• MN最大=2 :'2 + 5 ,：2 = 7 :'2,1 2 1 1 2 1 - 2 49△PMN最大=2^ gMNh 4 X （7、；2）=—.1. (2013 -河南)如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中/ C= 90°,/ B=/E =30(1) 操作发现如图②，固定△ ABC使厶DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是______________ ;②设△ BDC的面积为$,△ AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是__________________ .(2) 猜想论证当厶DEC绕点C旋转到如图③所示的位置时，小明猜想(1)中S与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△ BDC和厶AEC中BC, CE边上的高，请你证明小明的猜想.(3) 拓展探究已知/ABC= 60°，点D是角平分线上一点，BD= CD= 4, DE// AB交BC于点E(如图④).若在射线BA上存在点F,使S^DCF= S^BDE, 请直接写出相应的BF的长.图①图②D为AB边的中点，/ ED「90°,将/ EDF 绕点D旋转，它的两边分2 .已知Rt△ ABC中，BC= AC, / C= 90°,别交AC CB(或它们的延长线)于E, F.当/EDF绕点D旋转到DEL AC 于E时，如图①所示，试证明1S^DEF+ &CEF= •S A ABC・(1)当/EDF绕点D旋转到DE和AC 不垂直时，如图②所示，上述结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，试说明理由.⑵直接写出图③中，&DEF, & CEF与SU BC之间的数量关系.图①图②图③3. (2018 -郑州模拟)如图①所示，将两个正方形ABCD^正方形CGFE如图所示放置，连接DE, BG.(1)图中/ DC曰/ BCG= _________ ° ;设厶DCE的面积为S i,A BCG的面积为S,则S与S的数量关系为猜想论证：⑵如图②所示，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG连接DE BG设厶DCE的面积为S,A BCG的面积为S，猜想S i和S2的数量关系，并加以证明；⑶如图③所示，在△ ABC中，AB= AC= 10 cm,/ B= 30°，把△ ABC沿AC翻折得到厶AEC过点A作AD 平行CE交BC于点D,在线段CE上存在点巳使厶ABP的面积等于△ ACD的面积，请写出CP的长.RG4. (2018 •驻马店一模)如图①，△ ABC与厶CDE都是等腰直角三角形，直角边AC, CD在同一条直线上，点M, N分别是斜边AB, DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD, PM，PN, MN.(1)观察猜想图①中，PM与PN的数量关系是_______________ ，位置关系是 ______________ ；⑵探究证明将图①中的△ CDE绕着点C顺时针旋转a (0 ° <a< 90° )，得到图②，AE与MP BD分别交于点G H判断A PM”的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把厶CDE绕点C任意旋转，若AC= 4, CD= 2,请直接写出△ PMN面积的最大值.图①参考答案类型一针对训练1解：⑴•••点A为线段BC外一动点，且BO a, AB= b,•••当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+ AB= a + b.⑵①CD= BE理由：•••△ ABD与厶ACE是等边三角形，•AD= AB, AC= AE,Z BAD=Z CAE= 60°,•••/ BADb Z BAC=Z CABF Z BAC 即/ CAD=Z EAB.AD= AB在^。

河南中考第22题类比探究题(一)汇编试卷

2020中考第22题类比探究题（一）如图,△ABC 与△CDE 为等腰直角三角形,△BAC=△DEC=90°,连接AD,取AD 的中点P,连接BP,并延长到点M,使BP=PM,连接AM,EM,AE,将△CDE 绕点C 顺时针旋转.(1)如图1,当点D 在BC 上,点E 在AC 上时,AE 与AM 的数量关系是 ,△MAE= ;(2)判断当△CDE 绕点C 顺时针旋转到如图2所示的位置时,(1)中的结论是否仍然成立.若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;(3)若CD=21BC,将△CDE 由图1位置绕点C 顺时针旋转α(0°<α<360°),当ME=26CD 时,请直接写出α的值.2020中考第22题类比探究题（二）问题发现:如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=60°,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,连接EC,则:(1)①∠ACE的度数是;②线段AC,CD,CE之间的数量关系是 ;拓展探究:(2)如图2,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,请写出∠ACE的度数及线段AD,BD,CD之间的数量关系,并说明理由;解决问题:(3)如图3,在Rt△DBC中,DB=3,DC=5,∠BDC=90°,若点A满足AB=AC,∠BAC=90°,请直接写出线段AD的长度.2020中考第22题类比探究题（三）(1)【问题发现】如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,△BAC=△DAE=90°,延长CA到点F,使得AF=AC,连接DF,BE,则线段BE与DF的数量关系为,位置关系为;(2)【拓展研究】将△ADE绕点A旋转,(1)中的结论有无变化?仅就(2)的情形给出证明;(3)【解决问题】当AB=2,AD=2,△ADE旋转得到D,E,F三点共线时,直接写出线段DF的长.图（1）2020中考第22题类比探究题（四）在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中,△BAC=△DAE=90°,AB=4,AE=2,其中△ABC固定,将△ADE绕点A作360°旋转,点F,M,N分别为线段BE,BC,CD的中点,连接MN,NF.问题提出:(1)如图1,当AD在线段AC上时,则△MNF的度数为,线段MN和线段NF的数量关系为;深入讨论:(2)如图2,当AD不在线段AC上时,请求出△MNF的度数及线段MN和线段NF的数量关系;拓展延伸:(3)如图3,在△ADE持续旋转过程中,若CE与BD的交点为点P,则△BCP面积的最小值为.2020中考第22题类比探究题（五）(1)问题发现如图1,在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,则线段BD与CE的数量关系是,位置关系是;(2)探究证明如图2,在Rt△ABC与Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A旋转,当点D落在BC的延长线上时,连接EC,写出此时线段AD,BD,CD之间的等量关系,并证明;(3)拓展延伸如图3,在四边形ABCF中,△ABC=△ACB=△AFC=45°.若BF=13,CF=5,请直接写出AF的长.2020中考第22题类比探究题（六）如图1,在Rt△ABC中,△ACB=90°,△BAC=30°,点D是AC边上一点,过点D作DE△AB于点E,连接BD,点F 是BD的中点,连接EF,CF.(1)发现问题线段EF,CF之间的数量关系为;△EFC的度数为;(2)拓展与探究若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角(0°<α<30°),如图2所示,判断(1)中的结论是否成立,请说明理由;(3)拓展与运用如图3所示,若△AED绕点A旋转的过程中,当点D落到AB边上时,AB边上另有一点G,AD=DG=GB,BC=3,连接EG,请直接写出EG的长度.2020中考第22题类比探究题（七）已知△AOB=90°,点C是△AOB的平分线OP上的任意一点,现有一个直角△MCN绕点C旋转,两直角边CM, CN分别与直线OA,OB相交于点D,E.(1)如图1,若CD△OA,猜想线段OD,OE,OC之间的数量关系,并说明理由;(2)如图2,若点D在射线OA上,且CD与OA不垂直,则(1)中的数量关系是否仍成立?若成立,请说明理由;若不成立,请写出线段OD,OE,OC之间的数量关系,并加以证明;(3)如图3,若点D在射线OA的反向延长线上,且OD=2,OE=8,请直接写出线段CE的长度.2020中考第22题类比探究题（八）如图1,在Rt△ABC中,△BAC=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,BE,点P为DC的中点.(1)【观察猜想】图1中,线段AP与BE的数量关系是,位置关系是;(2)【探究证明】把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置,(1)中的猜想是否仍然成立?若成立,请证明,否则请说明理由; (3)【拓展延伸】把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出线段AP长度的最大值和最小值..2020中考第22题类比探究题（九）(1)问题发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE.请填空：△△ACE的度数为；△线段AC，CD，CE之间的数量关系为；(2)拓展探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，△BAC＝△DAE＝90°，点D在边BC上，连接CE.请判断△ACE的度数及线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；(3)解决问题如图3，在四边形ABCD中，△BAD＝△BCD＝90°，AB＝AD＝2，CD＝1，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC的长度．图1图2图3。

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1.给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．
①求证：△BCE是等边三角形；
②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
2.我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”．其中∠B=∠C．
（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；
（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中∠B=∠C．E为边BC上一点，若AB∥DE，AE
∥DC，求证：
（3）在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的
平分线交于点E．若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论．（不必说明理由）
3.我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在ABC△中，点DE，分别在AB,AC，上，设CD,BE，相交于点O，
请你写出图中一个与
等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（3）在△ABC中，如果60°的锐角，点D,E分别在AB,AC上，且
边形，并证明你的结论．。