离散数学谓词逻辑课后总结

离散数学谓词逻辑课后总结

第二章谓词逻辑

2—1基本概念

例题1. 所有的自然数都是整数。

设N(x):x是自然数。I(x):x是整数。此命题可以写成?x(N(x)→I(x)) 例题2. 有些自然数是偶数。

设E(x):x是偶数。此命题可以写成?x(N(x)∧E(x))

例题3. 每个人都有一个生母。

设P(x):x是个人。M(x,y):y是x的生母。此命题可以写

成:?x(P(x)→?y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化

例题1. 如果x是奇数,则2x是偶数。

其中客体x与客体2x之间就有函数关系,可以设客体函数g(x)=2x, 谓词O(x):x是奇数,E(x):x是偶数,

则此命题可以表示为:?x(O(x)→E(g(x)))

例题2 小王的父亲是个医生。

设函数f(x)=x的父亲,谓词D(x):x是个医生,a:小王,此命题可以表示为D(f(a))。

例题3 如果x和y都是奇数,则x+y是偶数。

设h(x,y)=x+y ,此命题可以表示为:?x?y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y))

命题的符号表达式与论域有关系

两个公式:一般地,设论域为{a1,a2,....,an},则有

(1). ?xA(x)?A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an)

(2). ?xB(x)?B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an)

1.每个自然数都是整数。该命题的真值是真的。

表达式?x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的,

因?x(N(x)→I(x))?(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(a n)) 式中的x不论用自然数客体代入,还是用非自然数客体代入均为真。例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。

而?x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。

x(N(x)∧I(x))?(N(a1)∧I(a1))∧(N(a2)∧I(a2)) ∧…∧(N(an)∧I(an)) 比如x用0.2代入(N(0.2)∧I(0.2))就为假。所以此表达式不能表示这个命题。

2.有些大学生吸烟。此命题的真值也是真的。

x(S(x)∧A(x))?(S(a1)∧A(a1))∨(S(a2)∧A(a2))∨…∨(S(an)∧A(an)) 且x只有用吸烟的大学生代入才为真,例如a2不是大学生

或者不会吸烟的客体,则(S(a2)∧A(a2))为假。所以用?x(S(x)∧A(x))表示此命题是对的。

而?x(S(x)→A(x))中的x用非大学生的客体代入时也为真,例如

(S(a2)→A(a2))为真。所以表达式?x(S(x)→A(x))不能表示这个命题。

3.所有大学生都喜欢一些歌星。

令S(x):x是大学生,X(x):x是歌星,L(x,y):x喜欢y。则命题的表达式为: ?x(S(x)→?y(X(y)∧L(x,y)))

4.没有不犯错误的人。

此话就是“没有人不犯错误”,“没有”就是“不存在”之意。令P(x):x是人,F(x): x犯错误,此命题的表达式为:??x(P(x)∧?F(x)) 或者?x(P(x)→F(x))

5.不是所有的自然数都是偶数。

令N(x):x是自然数,E(x):x是偶数,命题的表达式为: ??x(N(x)→E(x)) 或者?x(N(x)∧?E(x))

1

6.如果一个人只是说谎话,那么他所说的每句话没有一句是可以相信的。

令A(x):x是人,B(x,y):y是x说的话,C(x):x是谎话,D(x):x是可以相信的命题的表达式为:

x(A(x)→(?y(B(x,y)→C(y))→??z(B(x,z)∧D(z))))

7.每个自然数都有唯一的后继数。

令N(x):x是自然数,A(x,y):y是x的后继数,E(x,y):x=y 则命题的表达式为?x(N(x)→?y(N(y)∧A(x,y)∧?z((N(z)∧A(x,z))→E(y,z))))

小结

1.命题的符号表达式形式与论域有关系。

论域扩大需要用特性谓词对客体进行说明.注意如何添加特性谓词(即要注意特性谓词后边是什么联结词)。

2.如果量词前有否定符号,如“没有...”“不是所有的...”等,可以按照字面直译。如“??x…”“??x...”

3.命题的符号表达式中所有客体变元必须都是约束变元,才表示命题。有时给定命题中有些量词没有明确给出,要仔细分析并写出这隐含的量词。例如

a) 金子闪光,但闪光的不一定都是金子。G(x),F(x)

x(G(x)→F(x))∧??x(F(x) →G(x))

b) 没有大学生不懂外语。S(x),K(x,y),F(x)??x(S(x)∧?y(F(y)→?K(x,y)))

2-3谓词演算的等价式与蕴涵式

例1.设论域D={1,2} a=1 b=2

f(1)=2 ,f(2)=1P(1,1)=T ,P(1,2)=T ,P(2 ,1)=F P(2,2)=F 求谓词公式?x?y(P(x,y)→P(f(x),f(y)))的真值。

解:?x?y(P(x,y)→P(f(x),f(y)))

y(P(1,y) →P(f(1),f(y))) ∧?y(P(2,y) →P(f(2),f(y)))

((P(1,1) →P(f(1),f(1)))∨ (P(1,2) →P(f(1),f(2))))∧

((P(2,1) →P(f(2),f(1)))∨(P(2,2) →P(f(2),f(2))))

((P(1,1) →P(2,2))∨(P(1,2) →P(2,1)))∧

((P(2,1) →P(1,2))∨(P(2,2) →P(1,1)))

((T→F )∨ (T→F))∧((F→T) ∨ (F→T))

(F∨ F)∧(T ∨ T)

F∧T ?F

量词辖域的扩充公式

1. ?xA(x)∨B??x(A(x)∨B)

2. ?xA(x)∧B??x(A(x)∧B)

3. ?xA(x)∨B??x(A(x)∨B)

4. ?xA(x)∧B??x(A(x)∧B)

5. B→?xA(x)??x(B→A(x))

6. B→?xA(x)??x(B→A(x))

7. ?xA(x)→B??x(A(x)→B)

8. ?xA(x)→B??x(A(x)→B)

量词分配公式

1. ?x(A(x)∨B(x))??xA(x)∨?xB(x)

2. ?x(A(x)∧B(x))??xA(x)∧?xB(x)

3. ?x(A(x)∧B(x))??xA(x)∧?xB(x)

4. ?xA(x)∨?xB(x)??x(A(x)∨B(x))

其它公式

1. ?x(A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x)

2. ?x A(x)→?xB(x)??x(A(x)→B(x))

两个量词的公式

1. ?x?yA(x,y)??y?xA(x,y)

2. ?x?yA(x,y)??y?xA(x,y)

3. ?y?xA(x,y)??x?yA(x,y)

4. ?x?yA(x,y)??x?yA(x,y)

5. ?y?xA(x,y)??x?yA(x,y)

6. ?x?yA(x,y)??y?xA(x,y)

7. ?y?xA(x,y)??x?yA(x,y)

8. ?x?yA(x,y)??y?xA(x,y)

下面证明公式1.。

证明:设论域为{a1,a2,....,an},

则?x?yA(x,y)??yA(a1,y)∧?yA(a2,y)∧…∧?yA(an,y) ?(A(a1,a1)∧A (a1,a2)∧…∧A(a1,an))∧(A(a2,a1)∧A(a2,a2)∧…∧A(a2,an))∧…∧(A(an,a1)∧A(an,a2)∧…∧A(an,an))

(A(a1,a1)∧A(a2,a1)∧…∧A(an,a1))∧(A(a1,a2)∧A(a2,a2)∧…∧A( an, a2))∧…∧

(A(a1,an)∧(A(a2,an)∧…∧A(an,an))

xA(x,a1)∧?xA(x,a2)∧…∧?xA(x,an)

y?xA(x,y)

例2. 令A(x,y)表示x+y=xy, 论域是{1,2,3}, 求谓词公式??x?yA(x,y)的真值。

解:??x?yA(x,y)??x?y?A(x,y)

y?A(1,y)∨?y?A(2,y)∨?y?A(3,y)

(?A(1,1)∧?A(1,2)∧?A(1,3))∨

(?A(2,1)∧?A(2,2)∧?A(2,3))∨(?A(3,1)∧?A(3,2)∧?A(3,3))

(T∧T∧T)∨(T∧F∧T)∨(T∧T∧T)

T∨F∨T?T

2-4 前束范式

例1. ?xA(x)→?xB(x)

xA(x)∨?xB(x) ??x?A(x)∨?xB(x)

x?A(x)∨?yB(y) (换元)

x(?A(x)∨?yB(y)) (量词辖域扩充)

x?y(?A(x)∨B(y))

另一个方法:?xA(x)→?xB(x)

xA(x)∨?xB(x) ??x?A(x)∨?xB(x)

x(?A(x)∨B(x)) (量词分配公式)

例2.?x(P(x)∧R(x))→(??xP(x)∧Q(x))

x(P(x)∧R(x))∨(??xP(x)∧Q(x)) (去→)

x?(P(x)∧R(x))∨(?x?P(x)∧Q(x)) (量词转换)

x(?P(x)∨?R(x))∨(?x?P(x)∧Q(x)) (后移?)

x(?P(x)∨?R(x))∨(?y?P(y)∧Q(z)) (换变元)

x(?P(x)∨?R(x))∨?y(?P(y)∧Q(z)) (扩量词辖域)

x?y((?P(x)∨?R(x))∨(?P(y)∧Q(z)))(扩量词辖域)

2-5 谓词演算的推理理论

例1. 令A(x)表示x是自然数,B(x)表示x是整数。

⑴?x(A(x)→B(x)) P

⑵A(c)→B(c) US 如c=0.1

⑶?xA(x) P

⑷A(c) ×ES A(0.1)为F

⑴?xB(x) P

⑵B(c) ES 如c=-1

⑶?xA(x) P

⑷A(c) ×ES A(-1)为F

正确解法如下:

⑴?xA(x) P

⑵A(c) ES

⑶?x(A(x)→B(x)) P

⑷A(c)→B(c) US

⑸B(c) T ⑵⑷I11

例2 所有金属都导电。铜是金属。故铜导电。

令M(x):x是金属。C(x):x导电。a:铜。符号化为:

x(M(x)→C(x)),M(a) ?C(a)

⑴?x(M(x)→C(x)) P

⑵M(a)→C(a) US ⑴

⑶M(a) P

⑷C(a) T ⑵⑶I11

例3 所有自然数都是整数。有些数是自然数。因此有些数是整数。令A(x)表示x是自然数,B(x)表示x是整数。

x(A(x)→B(x)),?xA(x) ??xB(x)

⑴?xA(x) P

⑵A(c) ES ⑴

⑶?x(A(x)→B(x)) P

⑷A(c)→B(c) US ⑶

⑸B(c) T ⑵⑷I11

⑹?xB(x) EG ⑸

例4不认识错误的人,也不能改正错误。有些诚实的人改正了错误。所以有些诚实的人是认识了错误的人。

设A(x):x是认识错误的人。B(x):x改正了错误。C(x):x是诚实的人。符号化为:

x(?A(x)→?B(x)),?x(C(x)∧B(x)), ??x(C(x)∧A(x))

⑴?x(C(x)∧B(x)) P

⑵C(c)∧B(c) ES ⑴

⑶C(c) T ⑵I1

⑷B(c) T ⑵I2

⑸?x(?A(x)→?B(x))P

⑹?A(c)→?B(c) US ⑸

⑺??A(c) T ⑷⑹I12

⑻A(c) T ⑺E1

⑼C(c)∧A(c) T ⑶⑻I9

⑽?x(C(x)∧A(x)) EG ⑼

例5.“鸟都会飞。猴子都不会飞。所以,猴子都不是鸟。”

设B(x):x是鸟;F(x):x会飞;M(x):x是猴子。

x(B(x)→F(x)),?x(M(x)→?F(x))??x(M(x)→?B(x))

证明:⑴?x(B(x)→F(x)) P

⑵B(a)→F(a) US ⑴

⑶?x(M(x)→?F(x)) P

⑷M(a)→?F(a) US ⑶

⑸?F(a)→?B(a) T ⑵E18

⑹M(a)→?B(a) T ⑷⑸I13

⑺?x(M(x)→?B(x)) UG ⑹

例6.?x(A(x)∨B(x)),?x(B(x)→?C(x)),?xC(x)??xA(x)

(1) ?x(A(x)∨B(x)) P

(2) A(a)∨B(a) ES (1)

(3) ?x(B(x)→?C(x)) P

(4) B(a)→?C(a) US (3)

(5) ?xC(x) P

(6) C(a) US (5)

(7) ?B(a) T (4)(6) I12

(8) A(a) T (2)(7) I10

(9) ?xA(x) EG (8)

例7 一些病人喜欢所有医生。任何病人都不喜欢庸医。所以没有医生是庸医。

设: P(x):x是病人, D(x):x是医生, Q(x):x是庸医, L(x,y): x喜欢y.请同学将上述各个命题符号

化:?x(P(x)∧?y(D(y)→L(x,y))),?x(P(x)→?y(Q(y)→?L(x,y))) y(D( y)∧Q(y ))

x(P(x)∧?y(D(y)→L(x,y))),?x(P(x)→?y(Q(y)→?L(x,y))) y(D(y)∧Q (y))

⑴?x(P(x)∧?y(D(y)→L(x,y))) P

⑵P(a)∧?y(D(y)→L(a,y)) ES ⑴

⑶P(a) T ⑵I1

⑷?y(D(y)→L(a,y)) T ⑵I2

⑸?x(P(x)→?y(Q(y)→?L(x,y))) P

⑹P(a)→?y(Q(y)→?L(a,y)) US ⑸

⑺?y(Q(y)→?L(a,y)) T ⑶⑹I11

⑻D(b)→L(a,b) US ⑷

⑼Q(b)→?L(a,b) US ⑺

⑽L(a,b) →?Q(b) T ⑼E18

⑾D(b)→?Q(b) T ⑻⑽I13

⑿?D(b)∨?Q(b) T ⑾E16

⒀?(D(b)∧Q(b)) T ⑿E8

⒁?y?(D(y)∧Q(y)) UG ⒀

⒂??y(D(y)∧Q(y)) T ⒁E25

例8 ?x(P(x)→Q(x)) ??xP(x)→?xQ(x) 用条件论证证明:

⑴?xP(x) P(附加前提)

⑵?x(P(x)→Q(x)) P

⑶P(a)→Q(a) ES ⑵

⑷P(a) US ⑴

⑸Q(a) T ⑶⑷I11

⑹?xQ(x) EG ⑸

⑺?xP(x)→?xQ(x) CP

用反证法证明例5:

x(P(x)→Q(x))??xP(x)→?xQ(x)

⑴?(?xP(x)→?xQ(x)) P(假设前提)

⑵?(??xP(x)∨?xQ(x)) T ⑴E16

⑶?xP(x)∧??xQ(x) T ⑵E9

⑷?xP(x) T ⑶I1

⑸??xQ(x) T ⑶I2

⑹?x(P(x)→Q(x)) P

⑺P(a)→Q(a) ES ⑹

⑻P(a) US ⑷

⑼Q(a) T ⑺⑻I11

⑽?xQ(x) EG ⑼

⑾??xQ(x)∧?xQ(x) T ⑸⑽I9

例9.给定谓词如下:S(x):x是学生;L(x):x是校领导;G(x):x是好的;T(x):x 是老师;P(x): x受过处分;C(x,y):y表扬x

用上述谓词表达下面各个命题,并且用谓词逻辑推理方法证明下面推理的有效性。

“没有受过处分的学生,都受到过校领导的表扬;有些好学生,仅仅受到老师的表扬;所有好学生,都没有受过处分。所以,有的老师是校领导。”

先请同学将上述各个命题符号化,然后推理。

x((S(x)∧?P(x))→?y(L(y)∧C(x,y))),?x((S(x)∧G(x))∧?y(C(x,y)→T(y ) )) ,?x((S(x) ∧G(x)) →?P(x))??y(T(y)∧L(y))

⑴?x((S(x)∧G(x))∧?y(C(x,y)→T(y))) P

⑵(S(a)∧G(a))∧?y(C(a,y)→T(y)) ES ⑴

⑶S(a)∧G(a) T ⑵I1

⑷?x((S(x) ∧G(x)) →?P(x)) P

⑸(S(a) ∧G(a)) →?P(a) US ⑷

⑹?P(a) T ⑶⑸I11

⑺S(a) T ⑶I1

⑻S(a) ∧?P(a) T ⑹⑺I9

⑼?x((S(x)∧?P(x))→?y(L(y)∧C(x,y))) P

⑽(S(a)∧?P(a))→?y(L(y)∧C(a,y)) US ⑼

⑾?y(L(y)∧C(a,y)) T ⑻⑽I11

⑿?y(C(a,y)→T(y)) T ⑵I2

⒀L(b) ∧C(a,b) ES ⑾

⒁C(a,b)→T(b) US ⑿

⒂L(b) T ⒀I1

⒃C(a,b) T ⒀I2 ⒄T(b) T ⒁⒃I11

⒅T(b)∧L(b) T ⒂⒄I9 ⒆?y(T(y)∧L(y)) EG ⒅

例10.用推理证明公式:?y?xA(x,y)??x?yA(x,y)

⑴?y?xA(x,y) P

⑵?xA(x,b) ES ⑴

⑶A(a,b) US ⑵

⑷?yA(a,y) EG ⑶

⑸?x?yA(x,y) UG ⑷

补充题

1.每个人的叔叔都是他父亲的弟弟。

设:P(x):x是人,U(x,y):y是x的叔叔,

B(x,y):x是y的弟弟,f(x)=x的父亲?x(P(x)→?y(U(x,y)→B(y,f(x)))

2.下面是判定一个年号是否为闰年的命题:

“年号能被4整除并且不能被100整除的为闰年,或者年号能被400整除的也

是闰年。”设Y(x):x是年号; D(x,y):x可整除y; R(x):x是闰年

x(Y(x)→(((D(4,x)∧?D(100,x))→R(x))∨(D(400,x) →R(x))))

此式有些问题,因为它等价于

x(Y(x)→(((D(4,x)∧?D(100,x))∧D(400,x))→R(x)))

正确答案:1)?x(Y(x)→((D(4,x)∧?D(100,x))→R(x)))∧?x(Y(x)→(D(400,x) →R(x)))

2)?x(Y(x)→(((D(4,x)∧?D(100,x))∨D(400,x)) →R(x)))

小杨、小刘和小林为高山俱乐部成员,该俱乐部的每个成员是个滑雪者或登山者。没有一个登山者喜欢雨。而所有滑雪者都喜欢雪。凡是小杨喜欢的,小刘就不

喜欢。小杨喜欢雨和雪。试证明该俱乐部是否有个是登山者而不是滑雪者的成员。如果有,他是谁?

设:M(x):x是高山俱乐部成员。H(x):x是滑雪者。D(x):x是登山者。

L(x,y):x喜欢y。

a:小杨;b:小刘;c:小林;d:雨;e:雪。

命题符号化为:M(a), M(b),

M(c), ?x(M(x)→( H(x)∨D(x))), ??x(D(x)∧L(x,d)), ?x(H(x)→L(x,e)) x(L(a ,x)→L(b,x)), L(a,d)∧L(a,e)

⑴L(a,d)∧L(a,e) P

⑵L(a,e) T ⑴

⑶?x(L(a,x)→?L(b,x)) P

⑷L(a,e)→?L(b,e) US ⑶

⑸?L(b,e) T ⑵⑷I11

⑹?x(H(x)→L(x,e)) P

⑺H(b)→L(b,e) US ⑹

⑻?H(b) T ⑸⑺I12

⑼?x(M(x)→(H(x)∨D(x))) P

⑽M(b)→(H(b)∨D(b)) US ⑼

⑾M(b) P

⑿H(b)∨D(b) T ⑽⑾I11

⒀D(b)T ⑻⑿I10

⒁D(b)∧?H(b) T ⑻⒀

一.将下面命题符号化

1.只有你考试和体检都合格,才会被

录取。

2.上大学的人都需要参加高考。

(A(x):x是人,B(x):x上大学, C(x,y):x参加y,D(x):x是高考。) 二.将命题公式A(P,Q,R)化简。其中

A(P,Q,R)?(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧?Q∧R)∨

(P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R)

三.令f(x)=x2,P(x):x是奇数,Q(x,y):x

≥y,论域 D

D={-1,0,1},求谓词公式?x(?P(f(x))→Q(f(x),x))

的真值.(要求有解题的过程)

四.用谓词逻辑推理证明下面推理的有

效性。(按照教材格式写出推理过程) ?x(A(x)→?y(B(y)→?C(x,y))), ?x(A(x)→?y(C(x,y)∨D(y))), x(A(x)∧?y?D(y))

y?B(y)

第二章小结

本章重点掌握内容:

1.各基本概念清楚。

2.会命题符号化。

3.熟练掌握等价公式和永真蕴涵式。

4.会写前束范式。

5.熟练掌握谓词逻辑的三种推理方法。