新湘教版九年级数学上册习题课件 第2章 一元二次方程 (共228张PPT)
九年级数学上册第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法2.2.1配方法第1课时直接开平方法素材湘
2018年秋九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 2.2.1 配方法 第1课时 直接开平方法素材 （新版）湘教版
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2.2.1 配方法 第1课时 直接开平方法素材 （新版）湘教版
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第1课时 直接开平方法素材 （新版）湘教版的全部内容。
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2 / 52 2.2 一元二次方程的解法
2．2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
素材一 新课导入设计
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
情景导入 在实际生活中，我们常常会遇到一些问题，需要用一元二次方程来解决．例如:要修一个正方形场地，使其面积为16平方米，正方形的边长应是多少米？
［说明与建议] 说明：从实际问题出发,让学生感受到“生活中处处有数学”,并感受到问题的存在，从而激发学生的求知欲．建议：在处理时要把握好两点：第一，要求学生能找准等量关系,并列出方程;第二,正确求解．
教育最新2018年秋九年级数学上册第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法2.2.2公式法练习新版湘教版
小学+初中+高中
小学+初中+高中 2.2.2 公式法
知|识|目|标
1．经过自学、探究，能推导一元二次方程的求根公式，能准确识记一元二次方程的求根公式．
2．在理解求根公式的基础上，能够用求根公式解一元二次方程．
目标一 能推导一元二次方程的求根公式
例1 教材补充例题用配方法解一元二次方程：
解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
移项，得______________，
二次项系数化为1，得______________，
配方，得______________________，
即(x＋b2a)2＝b2－4ac4a2.
因为a≠0，4a2>0，所以当b2－4ac≥0时，b2－4ac4a2≥0，
所以x＋b2a＝______________，
所以x1＝__________，x2＝__________．
目标二 能用求根公式解一元二次方程
例2 教材例6针对训练解方程：2x2＋x－6＝0.
小学+初中+高中
小学+初中+高中
【归纳总结】 用公式法解一元二次方程的“两点注意”
(1)利用公式法解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，确定a，b，c的值，再判断b2－4ac的取值范围，只有当b2－4ac≥0时，方程才有解；
(2)当一元二次方程有两个相等的实数根时，解方程的结果应写成x1＝x2＝－b2a，而不能写成x＝－b2a.
例3 教材例6针对训练解方程：4x2＋4x＋10＝1－8x.
【归纳总结】 用求根公式解一元二次方程的“四点注意”
(1)化成一元二次方程的一般形式后，可能缺少对应的b或c，此时它们的值为0；(2)当计算出b2－4ac<0时，此时方程无实数根，就不需要再代入求根公式进行求解；(3)当计算出b2－4ac＝0时，此时方程有两个相等的实数根；(4)当b为负数时，一定要注意代入公式时b所含有的“负”号不能漏掉．
知识点一 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式
2023-2024学年初中湘教版数学九年级上册第2章 一元二次方程：2.4一元二次方程根与系数的关系
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(共21张PPT)
2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点）
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.（重点）
1.一元二次方程的求根公式是什么？
想一想：方程的两根x1和x2与系数a，b，c还有其它关系吗？
2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a ≠ 0)
b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac 0，
∴方程有两个实数根.
那么 x1 + x2 = ， x1 x2 = .
二、一元二次方程的根与系数的关系的应用
例1 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根 x1，x2的和与积： 第 2 页 共 5 页 （2）x2 - 3x + 2 =10.
解：（2）整理，得 x2 - 3x - 8 = 0，
这里 a = 1 ， b = -3 ， c = -8.
Δ = b2 - 4ac
= (- 3)2 – 4 × 1 × (-8)
= 41 > 0，
∴方程有两个实数根.
那么 x1 + x2 = 3 ，x1 x2 = -8 .
（3）7x2 – 5 = x + 8.
（3）整理，得7x2 – x – 13 = 0，
这里 a = 7 ，b = -1 ， c = -13.
Δ = b2 - 4ac
= (- 1)2 – 4 × 7 ×(-13)
= 365 > 0，
∴方程有两个实数根.
那么 x1 + x2 = ，x1 x2 = - .
解：设方程的两个根分别是 x1、x2，其中 x1 = -3 .
九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.2 一元二次方程的解法 2.2.2 公式法素材 (新版)湘教版
2．2.2 公式法
素材一 新课导入设计
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入
悬念激趣
置疑导入 在上一节课已学的用配方法解一元二次方程的基础上创设情景．
解下列一元二次方程：
(1)x2＋4x＋2＝0；(2)3x2－6x＋1＝0；(3)4x2－16x＋17＝0；(4)3x2＋4x＋7＝0.
然后让学生仔细观察四个题目的解答过程，寻找有什么相同之处和不同之处？
接着再改变上面每道题的其中一个系数，得到四个新的方程：
(1)3x2＋4x＋2＝0；(2)3x2－2x＋1＝0；(3)4x2－16x－3＝0；(4)3x2＋x＋7＝0.
思考1：新的题目与原题的解题过程相比，会有什么变化？
由学生的观察讨论得到：用配方法解不同一元二次方程的过程中，相同之处是配方的过程(程序化的操作)，不同之处是方程的根的情况及其方程的根．
思考2：既然过程是相同的，为什么会出现根不同的情况？方程的根与什么有关？有怎样的关系？如何进一步探究？
[说明与建议] 说明：1.复习巩固旧知识，为本节课的学习打下更好的基础；2.让学生充分感受用配方法解题既存在着共性，也存在着不同的现象，由此激发学生的求知欲望；3.通过问题引导学生感受、猜测方程的根与系数有一定的关系，从而引导学生去探究．建议：在学生利用配方法解一元二次方程时，为了节约时间，可以让学生分组解答，比如将同学按列随机分成四组分别解答题目，再分别展示答案，让学生感受到解答过程的共性．
复习导入 用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
因为a≠0，所以可以把方程的两边都除以二次项系数a，得__x2＋bax＋ca＝0__，
移项，得__x2＋bax＝－ca__，
配方，得__x2＋bax＋(b2a)2＝－ca＋(b2a)2__，即(x＋b2a)2＝b2－4ac4a2.
因为a≠0，所以4a2＞0，当b2－4ac≥0时，得__x＋b2a＝±b2－4ac4a2__，
广西九年级数学上册第2章一元二次方程2.4一元二次方程根与系数的关系作业课件(新版)湘教版
2・4 一元二次方程根与系数的关系
如果a%2 +6% +c = 0(a#0)的两根是兀i,%2,那么兀i +%2二 a
^2= - •即俩根的和等于一次项系数与二次项系数的迪it虬
(I 两根的积等于常数项与二次项系数的比•J /、Y
知识点1:直接利用根与系数的关系求两根之和与两根之积
1. ［真题体验］（2014 •钦州）若坷,%2是一元二次方程%2 +血+ 根，则绸+%2的值是 二0的两 A. -10 B. 10 C. -16 D. 16J /、Y
2. 下列-元二次方程中，两实数根之积为-4的是
A.?+2x-4=0 B.X2-4X+4=0
C.%2-4%+ 10=0 D・/+4—5 二0 3. （2017 •江西）已知一元二次方程2/ -5% +1二0的两个根为%）如下列 结论正确的是 （D ）
A. %! +%2 = B. %] • %2 二 1
乙
C.%"2都是有理数 。则再都是正数4. 已知x -5x+2=0的两个根分别为X］如则坷+%2 -如* %2的值为 (D )
A. -7 B. -3 C.7 D.3
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9.H
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总us-曲孙w・哮JIBg
oz+哼J曜帜4氷勰E無•「
埋猊疋巔宇闵审时圧謝收—快爍6.已知a和b是方程2%2-5X-3
A<4 c-4-0的两根，则丄+
*二 a 0
B. D.7.［真题体釦（2015・来宾）已知实数皿2满足孙E二7冋“2二2则 以"2为根的一元二次方程是 （A）
AI/_7X + 12-0 B. %2+7%+ 12=0
B. %2+7%-12-0 D. %2-7%-12=0&反比例函数了二£的图象过点P@，b），其中"是一元二次方程” +尬 +4=0的两根，那么点P的坐标是（-2,-2）
9.［真题体验］（2017 •来宾）已知％“2是方程2『+
宀0的两个实数根，则并+£的值是（C
A. -y B.1 4 C・¥ D.9
湘教版九年级上册第二章第一节一元二次方程
2.1一元二次方程导学案
【学习目标】
1.会根据实际问题建立一元二次方程的模型，形成对一元二次方程的感性认识；
2.理解一元二次方程的概念，并知道一元二次方程的一般形式；
3.会将一元二次方程化为一般形式并能写出二次项系数、一次项系数和常数项.
一、新知探究
1. 请阅读教材第26、27页的内容，回答下列问题：
（1）在教材中，“动脑筋”中两个问题得出的两个方程有什么共同点？未知数的个数和最高次数各是多少？
（2）类比一元一次方程的定义，试着写出一元二次方程的定义,并写出两个一元二次方程。
（3）写出一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
（4）写出教材中动脑筋的两个方程的二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数？
二、基础演练
1. 找出下列方程中是一元二次方程的是.（只填正确的序号）
①2751xx；②2172x；③264xx；④2253xy；⑤20x；
⑥23(2)(2)xxxx；⑦20axbxc；
2. 将方程2(1)3(2)xxx化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数. 学法指导：
（1）判断一元二次方程的三个条件：
① 方程；②含有 个未知数；③未知数的 次数是2
（2）方程需先整理，再利用三个条件进行判断。 思考：为什么规定0a？如果
对b、c有什么要求吗？
归纳：在找一元二次方程的系数时应注意什么？ 3. 若关于x的方程2(3)10kxkx是一元一次方程，求k的值？若该方程是一元二次方程，求k的取值范围？
三、综合提升
4. 当m为何值时，关于x的方程：0527)124mxxmm（是一元二次方程.
【当堂检测】
1. 下列关于,xy的方程一定是一元二次方程的有 。
湘教版九年级上册数学第2章 一元二次方程含答案(完美版)
湘教版九年级上册数学第2章 一元二次方程含答案
一、单选题(共15题，共计45分)
1、已知a，b是方程x2+（m+2）x+1=0的两根，则（a2+ma+1）（b2+mb+1）的值（ ）
A.4 B.1 C.-1 D.与m有关，无法确定
2、以﹣2和3为两根的一元二次方程是（ ）
A.x 2+x﹣6=0 B.x 2﹣x﹣6=0 C.x 2+6x﹣1=0 D.x 2﹣6x+1=0
3、关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A.a≤0 B.a≥0 C.a＜0 D.a＞0
4、关于 的一元二次方程 的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有且只有一个实数根 D.没有实数根
5、某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是43．若设主干长出x个支干，则可列方程（ ）
A.(x＋1) 2＝43 B.x 2＋2x＋1＝43 C.x 2＋x＋1＝43 D.x(x＋1)＝43
6、设a，b为整数，方程 的一根是 ，则 的值为（ ）
A.2 B.0 C.-2 D.-1
7、已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.8
8、方程x2﹣9=0的两个根为（ ） A.x 1=﹣3，x 2=3 B.x 1=﹣9，x 2=9 C.x 1=﹣1，x 2=9 D.x 1=﹣9，x 2=1
9、已知一元二次方程x2+x﹣1=0，下列判断正确是（ ）
A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有一个根为1 C.该方程没有实数根 D.该方程有一个根为负数
10、关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值是（ ）
湘教版九年级数学上册第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法说课稿
湘教版九年级数学上册第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法说课稿
一. 教材分析
湘教版九年级数学上册第2章《一元二次方程》的2.2节主要介绍了一元二次方程的解法。这部分内容是在学生已经掌握了方程的基本概念和一元一次方程的解法的基础上进行学习的，旨在让学生掌握一元二次方程的解法，为后续学习函数和不等式打下基础。
本节内容共包括三种解法：因式分解法、公式法和对症下药法。因式分解法是通过对方程左边进行因式分解，使其成为两个一次因式的乘积等于0的形式，从而求出方程的解；公式法是利用一元二次方程的根的公式，直接计算出方程的解；对症下药法是根据方程的特点，选择合适的解法进行求解。
二. 学情分析
九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元一次方程的解法有一定的了解。但一元二次方程的解法相对于一元一次方程的解法更加复杂，需要学生能够灵活运用已学的知识，进行适当的变形和运算。同时，学生需要具备一定的逻辑思维能力，能够根据方程的特点，选择合适的解法。
三. 说教学目标
1. 知识与技能目标：使学生掌握一元二次方程的解法，能够灵活运用因式分解法、公式法和对症下药法解一元二次方程。
2. 过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的勇气。
四. 说教学重难点
1. 教学重点：一元二次方程的解法。
2. 教学难点：因式分解法的运用，公式法的记忆和运用，对症下药法的选择。
五. 说教学方法与手段
1. 教学方法：采用自主学习、合作交流、教师讲解相结合的方法。
2. 教学手段：利用多媒体课件进行教学，引导学生直观地理解一元二次方程的解法。
六. 说教学过程 1. 导入新课：通过复习一元一次方程的解法，引出一元二次方程的解法。
2. 自主学习：让学生自主探究一元二次方程的解法，引导学生发现解法之间的联系。
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湘教版九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2．4 一元二次方程根与系数的关系
同步练习题
1．若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是( )
A．－10 B．10
C．－16 D．16
2．已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1·x2等于( )
A．－4 B．－1 C．1 D．4
3．x1，x2是关于x的一元二次方程x2－mx＋m－2＝0的两个实数根，是否存在实数m使1x1＋1x2＝0成立？则正确的结论是( )
A．m＝0时成立 B．m＝2时成立
C．m＝0或2时成立 D．不存在
4．根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x1，x2的和与积．
(1)2x2－4x－3＝0；
(2)x2－4x＋3＝7；
(3)5x2－3＝10x＋4.
5．设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两个根，利用根与系数的关系求：
(1)(x1＋1x2)(x2＋1x1)；
(2)(x1－x2)2.
6．已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，求另一个根及c的值．
7. 已知关于x的一元二次方程x2＋2(m＋1)x＋m2－1＝0.
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足(x1－x2)2＝16－x1x2，求实数m的值.
8．若 3是关于方程x2－5x＋c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是( )
A．－2 B．2 C．－5 D．5
9．若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，则b＋c的值是( )
A. －10 B．10
C．－6 D．－1
湘教版九年级上册数学第2章 一元二次方程含答案(完美版) 2
湘教版九年级上册数学第2章 一元二次方程含答案
一、单选题(共15题，共计45分)
1、一元二次方程x2-2x-3=0配方后可变形为（ ）
A.（x-1） 2=2 B.（x-1） 2=4 C.（x-1） 2=1 D.（x-1） 2=7
2、已知x=1是方程的一个根，则方程的另一个根是（ ）
A.1 B.2 C.-1 D.-2
3、若一元二次方程x2﹣2x﹣a=0无实数根，则一次函数y=（a+1）x+（a﹣1）不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4、用公式法解﹣x2+3x=1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（ ）
A.﹣1，3，﹣1 B.1，﹣3，﹣1 C.﹣1，﹣3，﹣1 D.1，﹣3，1
5、若方程x2-cx+4=0有两个不相等的实数根，则c的值不能是（ ）
A.c=10 B.c=5 C.c=-5 D.c=4
6、方程x=x(x-1)的根是
A.x=0； B.x=2； C. D. 7、已知关于x的一元二次方程x2+ x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A.k>－1 B.k≥－1 C.k≥1 D.k≥0
8、下列方程中，一元二次方程有（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤
．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9、若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 A. B. C. D.
10、方程x2＝4x的根是（ ）
A.x＝4 B.x＝0 C.x 1＝0，x 2＝4 D.x 1＝0，x 2＝﹣4
11、某厂通过改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品250元降低到每件160元，则平均每月降低的百分率为（ ）
A.10% B.5% C.15% D.20%