《1.4.2 空间图形的公理公理4、定理》课件 2-优质公开课-北师大必修2精品
分别证明角的解答】(1)连接BD、B1D1， ∵E、F分别为AD、AB的中点， ∴在△ABD中有EF∥BD，
且 EF 1 BD.
2
∵E1 、F1分别为B1C1、C1D1的中点，
1 ∴在△C1D1B1中有E1F1∥B1D1且 E1F1 B1D1. 2
而在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，BB1 ∴四边形BB1D1D为平行四边形. ∴BD∥B1D1且BD=B1D1. ∴EF E1F1.
四边形EFGH为菱形. 理由：由(1)知，若
则四边形EFGH为平行四边形. 且 EF 3 AC，EH 2 BD.
5 5 2 3 2 若 AC BD， 则 EF AC BD EH. 3 5 5
∴平行四边形EFGH为菱形.
【互动探究】在本例中若条件不变，请回答下列问题并证
明
(1)满足什么条件时，四边形EFGH为矩形；
【例2】如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1 中，E、F、E1、F1分别 为所在边的中点. 求证：(1)EF E1F1；
(2)∠EA1F=∠E1CF1. 【审题指导】空间中证明线线平行，线段与线段长度相等，
可以利用平行关系和线段长度关系的传递性，选择“中间
线段”证明.空间中证明角与角相等，可以利用“等角定理”
(2)满足什么条件时，四边形EFGH为正方形. 【解题提示】解答本题一方面要应用公理4证明平行关 系，另一方面要利用异面直线所成角的定义证明垂直关系.
【解析】(1)当
AH CG 2 且AC⊥BD时，四边形EFGH HD GD 3
为矩形.
AH CG 2 时，四边形EFGH为平行四边 理由：由例题知 HD GD 3
由 AC BD 及AC⊥BD得四边形EFGH为正方形.
2 3
【例】如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中， AE=A1E1，AF=A1F1，P∈E1F1，(1)过P作 一条直线与棱CD平行，说明作法；
(2)求证：EF E1F1.
【审题指导】在空间中作已知直线的平行线，通常要考虑
用公理4；要证EF
∴EQ B1C1，
B1C1，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E C1Q.
又∵Q、F分别是DD1、C1C两边的中点， ∴QD C1F.
∴四边形DQC1F为平行四边形，
∴C1Q DF.
又∵B1E
∴B1E
C1Q，
DF，
∴四边形B1EDF是平行四边形.
【误区警示】证明此类问题时，同学们容易出现证明过程 太简单，推理依据不充足，“想当然”地认为结论成立的 情况，这种思维定势是学好立体几何的障碍之一.
AE CF 2 【审题指导】由 EB FB 3，可想到利用平行线分线段成
比例定理证明EF∥AC；为使四边形EFGH为平行四边形，根 据公理4需证明GH AC；为使四边形EFGH为菱形，在(1)成
立的情况下，还需证明EH=EF，进一步可得AC、BD的关系.
【规范解答】(1)当 四边形.
AH CG 2 , 时，四边形EFGH为平行 HD GD 3
正确性是需要证明的，这一点在今后的学习中要特别注意.
【例1】空间四边形ABCD中，E、F、G、
H分别为AB、BC、CD、AD上的点且
AE CF 2 ， 请回答并证明当空间 EB FB 3
四边形ABCD的四条边及点G、H
(1)满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？ (2)满足什么条件时，四边形EFGH为菱形？
F1F，即四边形EFF1E1为平行四边形，
∴EF E1F1.
【变式备选】如图所示，E、F分别是 长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A、C1C的 中点. 求证：四边形B1EDF是平行四边形.
【证明】设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1， ∵E是AA1的中点， ∴EQ A1D1，
又在矩形A1B1C1D1中，A1D1
理由： AE CF 2 ，
EB FB
3 若 EF AC且EF 3 AC. AH CG 2 , 5 HD GD 3 3 HG AC. ∴EF HG， 则HG∥AC且 5
∴四边形EFGH为平行四边形.
( 2) 当
2 AH CG 2 且 AC BD 时， 3 HD GD 3 AH CG 2 , HD GD 3
形，
且EF∥HG∥AC，EH∥GF∥BD. ∴当AC⊥BD时，EF⊥EH， ∠HEF为90°. ∴四边形EFGH为矩形.
AH CG 2 2 , AC BD 且AC⊥BD时，四边形EFGH ( 2) 当 HD GD 3 3
为正方形. 理由：由例题(2)及上面所得(1)可知.
AH CG 2 由 HD GD 3 可知四边形EFGH为平行四边形.
“等角定理”的应用 对“等角定理”的理解 (1)本质：“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广 . (2)作用：①解决空间中角的平移的问题.②揭示空间中两
条边对应平行的两个角的大小关系.
(3)两个推论：
推论1 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且
方向相同，那么这两个角相同. 推论2 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并 且有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两 个角互补.
《1.4.2 空间图形的公理(公理4、定理)》课 件
公理4的应用
对公理4的理解
(1)本质：表明了空间中线线平行的传递性.
(2)作用：公理4给出了空间两条直线平行的一种证明方法.
它是论证平行问题的主要依据之一，也是研究空间两直线 的位置关系、直线与平面位置关系的基础.
(3)应用：“等角定理”的证明是公理4的直接应用. (4)关键：寻找第三条直线分别与前两条直线平行是应用公 理4证明线线平行的关键.也就是说，要证空间中的两直线 平行，就要找一条与之平行的直线，利用传递性证明. 平面几何中的结论推广到空间之后，未必成立，其
四边形即可.
E1F1，只需证明四边形EFF1E1是平行
【规范解答】(1)如图，
在平面A1B1C1D1内过P作
直线l∥C1D1，∵CD∥C1D1，
∴l∥CD，故l为所求作直线.
(2)连接EE1，FF1.
∵AE A1E1，∴四边形AEE1A1为平行四边形， ∴AA1 ∴EE1 E1E，同理AA1 F1F，
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北师大版高中数学必修二课件§4.2空间图形的公理
总结：公理1、公理2及三个推论
公理1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上 所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）. 公理2.经过不在同一条直线上的三点，有且只一个平面（不共线 3点确定一个平面）.
推论1.经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面 推论2.经过两条相交直线，可以确定一个平面 推论3.经过两条平行直线，可以确定一个平面
公理3揭示了两个平面相交的主要特征，是判
定两平面相交的依据，提供了确定两个平面
新疆 王新敞
奎屯
交线的方法． 新疆 王新敞 奎屯
指出:今后所说的两个平面(或两条直线),如 无特殊说明,均指不同的平面(或直线).
问题5、长方体中，棱AA1，BB1D，1 CC1是否平行C1？
A1
B
D
1
C
A
B
公理4：平行于同一条直线的两直线平行
C
C
A D
B
A
B(D)
问题4：图中的两个平面有几个交点？ α
β
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么有且只有一条通过这个点的公共直线.
即：两平面若相交，则公共部分必是一
条直线.
a
Aα
推理模式：A A
A
l
β
或者： A , A l，Al
应用：①确定两相交平面的交线位置； ②判定点在直线上
或者： A，B，C不共线
新疆 王新敞
奎屯
存在唯一的平面，使得A，B，C
应用：①确定平面；②证明两个平面重合
问题3：
（1）经过一条直线和这条直线外一 点，可以确定一个平面吗？ （2）经过两条相交直线，可以确定 一个平面吗？ （3）经过两条平行直线，可以确定 一个平面吗？
北师大版高中数学必修2课件1.4空间图形的公理课件(北师大版)
(1)四个公理及推论的概念及作用；
(2)等角定理的概念及应用。
作业：课本28页习题1-4A组5题
证明：∵梯形 ABCD 中，AD∥BC，∴AB，CD 是梯形 ABCD 的两腰， ∴AB，CD 必定相交于一点．如图，设 AB∩CD=M。 又∵ AB ，CD ， M ，且M ， M ， 又
， M l ， 即 AB，CD， l 共点。
课堂小结
四边形EFGH 为平行四边形
例 2 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线 AB, CD 在原正方体中的位置关系是(
A.平行 B.相交且垂直 C.异面直线 D.相交成600
D
)
巩固练习
1.已知 AB ∥ PQ , BC ∥ QR , ABC 300 ,则 PQR =
300 或1500
。
1 。 2.以下四个命题中，正确命题的个数是________
A, B, C 不共线 符号语言： A, B, C 与 重合 A, B, C
或者：∵ A, B, C 不共线， ∴存在唯一的平面
图形语言：
，使得 A, B, C 。
②证明两个平面重合
公理2应用：①确定平面
思考交流
1. 经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面吗？（ 推论1） 2. 经经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？ （ 推论3）
面的位置关系。
公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点
都在这个平面内。
符号语言： A AB B 或者：∵ A , B ，∴ AB
图形语言：
公理1说明了平面与曲面的本质区别。通过直线的“直”来刻划平
面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，
(2)等角定理的概念及应用。
作业：课本28页习题1-4A组5题
证明：∵梯形 ABCD 中，AD∥BC，∴AB，CD 是梯形 ABCD 的两腰， ∴AB，CD 必定相交于一点．如图，设 AB∩CD=M。 又∵ AB ，CD ， M ，且M ， M ， 又
， M l ， 即 AB，CD， l 共点。
课堂小结
四边形EFGH 为平行四边形
例 2 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线 AB, CD 在原正方体中的位置关系是(
A.平行 B.相交且垂直 C.异面直线 D.相交成600
D
)
巩固练习
1.已知 AB ∥ PQ , BC ∥ QR , ABC 300 ,则 PQR =
300 或1500
。
1 。 2.以下四个命题中，正确命题的个数是________
A, B, C 不共线 符号语言： A, B, C 与 重合 A, B, C
或者：∵ A, B, C 不共线， ∴存在唯一的平面
图形语言：
，使得 A, B, C 。
②证明两个平面重合
公理2应用：①确定平面
思考交流
1. 经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面吗？（ 推论1） 2. 经经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？ （ 推论3）
面的位置关系。
公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点
都在这个平面内。
符号语言： A AB B 或者：∵ A , B ，∴ AB
图形语言：
公理1说明了平面与曲面的本质区别。通过直线的“直”来刻划平
面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，
北师大版高中数学必修2课件第一章空间图形的公理(二)
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提示
3．空间中有两个角 α，β，且角 α，β 的两边分别平行．若 α＝60°，则 β ＝________.
提示：60°或 120° 因为 α 与 β 两边对应平行，但方向不确定，所以 α 与 β 相等或互补．
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解析
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3．如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是棱 BC，CC1 的中 点，则异面直线 EF 与 B1D1 所成的角为________．
答案 60°
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答案
解析 连接 BC1，BD，DC1，因为 EF∥BC1，B1D1∥BD，所以∠C1BD 即为异面直线 EF 与 B1D1 所成的角或其补角．因为△C1BD 为正三角形，所 以∠C1BD＝60°，即异面直线 EF 与 B1D1 所成的角为 60°.
求证：(1)D1E∥BF； (2)∠B1BF＝∠D1EA1.
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证明 (1)取 BB1 的中点 M，连接 EM，C1M. 在矩形 ABB1A1 中，易得 EM 綊 A1B1，
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答案
∵A1B1 綊 C1D1，∴EM 綊 C1D1，
答案
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类题通法 求两条异面直线所成的角的一般步骤
2021学年高中数学第1章立体几何初步§4第2课时空间图形的公理4及等角定理ppt课件北师大版必修2
4．异面直线所成的角
定义
过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，
l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是
异面直线a，b所成的角
取值范围 异面直线所成的角θ的取值范围： 0，π2
特例 当θ＝ π 时，a与b互相垂直，记作a⊥b 2
思考 2：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ 提示：不一定．可能是相交，平行或异面．
合作 探究 释疑 难
公理 4 的应用 【例 1】 如图，已知 E，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的 边 AB，BC，CD，DA 的中点．
(1)求证：四边形 EFGH 是平行四边形； (2)若四边形 EFGH 是矩形，求证：AC⊥BD.
[解] (1)证明：如题图，在△ABD 中， ∵EH 是△ABD 的中位线， ∴EH∥BD，EH＝21BD. 又 FG 是△CBD 的中位线， ∴FG∥BD，FG＝21BD， ∴FG∥EH，∴E，F，G，H 四点共面，又 FG＝EH， ∴四边形 EFGH 是平行四边形．
70°或 110° [若 A 的两边与 B 的两边方向均相同或均相反，则 B ＝70°；若两个角的一组边方向相同，另一组方向相反，则 B＝110°.]
4．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，直线 AA1 与 BC1 所成的角的大 小为________．
45° [∵BB1∥AA1，∴∠B1BC1 为直线 AA1 与 BC1 所成的角，其 大小为 45°.]
1．如果两条直线 a 和 b 没有公共点，那么 a 与 b 的位置关系是
() A．共面
B．平行
C．异面
D．平行或异面
[答案] D
2．已知 a，b 是平行直线，直线 c∥直线 a，则 c 与 b( ) A．不平行 B．相交 C．平行 D．垂直 C [∵a∥b，c∥a，∴c∥b.]
高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理第二课时公理4与等角定理课件北师大版必修2
OA OB OA OC 证明： ∵OA1＝OB1，OA1＝OC1，
OA OB OC ∴OA1＝OB1＝OC1. 在平面 OAB 和平面 OAC 中，有 A1B1∥AB， A1C1∥AC， ∴∠BAC＝∠B1A1C1. 同理可证∠ABC＝∠A1B1C1. ∴△ABC∽△A1B1C1.
求异面直线所成的角 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，求异面直线 AC1 与 B1D1 所成的角． [思路探究] 找作异面直线的平行线 ―→ 确定所求的角 ―→ 构造找出含该角的三角形 ―→ 解三角形求角
等角定理
空 间 中 ， 如 果 两 个 角 的 两 条 边 分 别 _对__应___平__行___ ， 那 么 这 两 个 角 __相__等__或__互__补___．
[强化拓展] (1)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个 角相等．这称之为“同向平行角相等”． (2)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐 角(或直角)相等． (3)此定理可以用来证明空间两角相等，也为度量两条异面直线所成的角提供 了理论基础，与公理 4 一样，它是研究空间两条直线位置关系的基础．
公理4 文字语言
平行于同一条直线的两条直线 __平__行___.
图形语言
符号语言 若 a∥b，b∥c，则_a_∥__c__.
[强化拓展] (1)公理 4 表述的性质通常叫作空间平行线的传递性，它给出了判断两条直线 平行的依据． (2)证明空间两条直线平行的方法 方法一(利用定义)：用定义证明两条直线平行，一要证两直线在同一平面内， 二要证两直线没有公共点． 方法二(利用公理 4)：用公理 4 证明两条直线平行，只需找到直线 c，使得 a ∥c，同时 b∥c，由公理 4 得到 a∥b.
第一章 4 第2课时 空间图形的公理4和等角定理
答案：A
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3.如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，判断下列直线的位置关系： (1)直线 A1B 与 D1C 的位置关系是________； (2)直线 A1B 与 B1C 的位置关系是________； (3)直线 D1D 与 D1C 的位置关系是________； (4)直线 AB 与 B1C 的位置关系是________．
答案：D
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3．在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，异面直线 BA1 与 CC1 所成的角为( A．30° C．60°
解析：∵CC1∥BB1， ∴∠A1BB1 即为 BA1 与 CC1 所成的角． ∵∠A1BB1＝45° ， ∴BA1 与 CC1 所成的角为 45° .
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3．在空间四边形 ABCD 中，AD＝BC＝2a，E、F 分别是 AB、CD 的中点，EF＝ 3 a，求 AD、BC 所成的角．
解析：如图，取 BD 中点 M，连接 EM，MF，由题意可知 EM 为△BAD 的中位线， 1 ∴EM 綊 AD. 2 1 同理 MF 綊 BC， 2 ∴EM＝a，MF＝a，且∠EMF(或其补角)即为所求角．
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[随堂训练]
1．已知 a、b 是异面直线，直线 c∥直线 a，那么 c 与 b( A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
解析：若 c∥b，又 c∥a，所以 a∥b，与 a、b 异面矛盾．
)
答案：C
2018_2019高中数学第一章立体几何初步1.4.2空间图形的公理二课件北师大版必修2ppt版本
语言 ∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
图形 语言
作用
判断或证明两个角相等或互补
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× √ ×
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在等腰△MEF 中，取 EF 的中点 N，
连接 MN，则 MN⊥EF.
又因为 EF＝
3a，所以
EN＝
3 2 a.
故有
sin∠EMN＝EEMN ＝
3 2.
所以∠EMN＝60°，所以∠EMF＝2∠EMN＝120°.
因为∠EMF＝120°＞90°， 所以 AD，BC 所成的角为∠EMF 的补角， 即 AD 和 BC 所成的角为 60°.
AB与B1C不同在任何一个平面内
答案 (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
互动 探究
题型三 异面直线所成的角
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且 EG＝12CD，GF＝12AB. 所以∠GFE 就是 EF 与 AB 所成的角或其补角，EG＝GF. 因为 AB⊥CD， 所以 EG⊥GF.所以∠EGF＝90°. 所以△EFG 为等腰直角三角形． 所以∠GFE＝45°，即 EF 与 AB 所成的角为 45°.
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图形 语言
作用
判断或证明两个角相等或互补
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在等腰△MEF 中，取 EF 的中点 N，
连接 MN，则 MN⊥EF.
又因为 EF＝
3a，所以
EN＝
3 2 a.
故有
sin∠EMN＝EEMN ＝
3 2.
所以∠EMN＝60°，所以∠EMF＝2∠EMN＝120°.
因为∠EMF＝120°＞90°， 所以 AD，BC 所成的角为∠EMF 的补角， 即 AD 和 BC 所成的角为 60°.
AB与B1C不同在任何一个平面内
答案 (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
互动 探究
题型三 异面直线所成的角
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且 EG＝12CD，GF＝12AB. 所以∠GFE 就是 EF 与 AB 所成的角或其补角，EG＝GF. 因为 AB⊥CD， 所以 EG⊥GF.所以∠EGF＝90°. 所以△EFG 为等腰直角三角形． 所以∠GFE＝45°，即 EF 与 AB 所成的角为 45°.
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