高考数学玩转压轴题专题7.2创新型问题

专题7.2 创新型问题

一．方法综述

对于创新型问题，包括：

（Ⅰ）将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模（如借助不等式、导数等工具加以解决）。 （Ⅱ）创新性问题

①以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键. ②以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力.

③以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解.

二．解题策略 类型一 实际应用问题

【例1】【北京市石景山区2018届第一学期期末】小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头方向经过点B 跑到点C ，共用时30s ，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为()t s ，他与教练间的距离为()y m ，表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（ ）

A ． 点M

B ． 点N

C ． 点P

D ． 点Q 【答案】D

【指点迷津】解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最后建立恰当的数学模型求解．其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型．

【举一反三】【辽宁省沈阳市郊联体2017-2018上学期期末】2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入月球球F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和II 的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I 和II 的长轴长，给出下列式子： ①1122a c a c -=- ②1122a c a c +=+ ③1212c a a c > ④1

2

12

c c a a < 其中正确的式子的序号是（ ）

A ． ②③ B． ①④ C． ①③ D． ②④ 【答案】B

类型二 创新性问题

【例2】设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝－x 0，则称x 0是f (x )的一个“次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”．若函数f (x )＝ax 2

－3x －a ＋52在区间[1,4]上存在

“次不动点”，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，0] B.? ????0，12

C.?

????－∞，12 D.????

??12，＋∞

【答案】C

【解析】由题意，方程ax 2－3x －a ＋52＝－x 在区间[1,4]上有解，显然x ≠1，所以方程ax 2

－3x －a ＋52＝－

x 在区间(1,4]上有解，即求函数a ＝2x －

52

x 2－1

在区间(1,4]上的值域，

令t ＝4x －5，则t ∈(－1,11]，a ＝8t

t 2＋10t ＋9

，当t ∈(－1,0]时，a ≤0；

当t ∈(0,11]时，0＜a ＝

8

t ＋9

t

＋10≤8

2

t ×9

t

＋10＝1

2

，当且仅当t ＝3时取等号． 综上，实数a 的取值范围是?

????－∞，12. 【指点迷津】高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新性问题应注意三点：认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合理推理，以便为逻辑思维定向．方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略． 【例3】定义：如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常，那么这个列叫作等差列，这个常叫作等差列的公差．已知向量列{a n }是以a 1＝(1,3)为首项，公差为d ＝(1,0)的等差向量列，若向量a n 与非零向量b n ＝(x n ，x n ＋1)(n ∈N *

)垂直，则x 10

x 1

＝________. 【答案】－4 480

243

【解析】易知a n ＝(1,3)＋(n －1,0)＝(n,3)，因为向量a n 与非零向量b n ＝(x n ，x n ＋1)(n ∈N *

)垂直， 所以

x n ＋1x n ＝－n 3，所以x 10x 1＝x 2x 1·x 3x 2·x 4x 3·x 5x 4·x 6x 5·x 7x 6·x 8x 7·x 9x 8·x 10x 9＝? ????－13×? ????－23×? ????－33×? ????－43×? ??

??－53×? ????－63×? ????－73×? ????－83×? ??

??－93＝－4 480243.

【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。

【举一反三】【2017·青岛一模】如果对定义在R 上的函数f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有

x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．

给出下列函数：①y ＝x 2

；②y ＝e x

＋1；③y ＝2x －sin x ；④f (x )＝?

??

??

ln|x |，x ≠0，

0，x ＝0.以上函数是“H 函

数”的所有序号为________． 【答案】②③

④显然，函数f (x )为偶函数，而偶函数在y 轴两侧的单调性相反，故不合题意． 综上，②③为“H 函数”．

3.如图，在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy ＝θ，平面上任意一点P 关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若OP ―→

＝xe 1＋ye 2(其中e 1，e 2分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y )，向量OP ―→

的斜坐标为 (x ，y )．

给出以下结论：

①若θ＝60°，P (2，－1)，则|OP ―→

|＝3；

②若P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则OP ―→＋OQ ―→

＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)； ③若OP ―→＝(x 1，y 1)，OQ ―→＝(x 2，y 2)，则OP ―→·OQ ―→

＝x 1x 2＋y 1y 2；

④若θ＝60°，以O 为圆心、1为半径的圆的斜坐标方程为x 2

＋y 2

＋xy －1＝0. 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④

三．强化训练

1．【北京市朝阳区2018届第一学期期末】伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大

自然界的基本问题．一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：

()

()()

2

2222ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”．

证明思路：

（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；

（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含,,,a b c d ， θ的式子表示）；

（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式()(

)()

2

2

2

2

2ac bd a b

c

d +≤++． 当且仅当,,,a b c d 满足条

件__________________时，等号成立．

【答案】 2

2

2

2

sin a b c d θ+?+? ad bc =

2．若直角坐标平面内不同两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；

②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )可看成同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝()21,0{ 1,0

k x x x x +<+≥有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是

______________．

【答案】()

2++∞

【解析】设点()(),0m n m >是函数()y f x =的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点

(),m n --必在该函数图象上，故()21

{

1n m n k m =+-=-+，消去n ，整理得210m km k -++=．若函数()f x 有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不等的正实数根，得()2410

{0 10

k k k k ?=-+>>+>

，解得2k >+实数k

的取值范围是()

2++∞

，故答案为()

2++∞．

3．【湖北省襄阳市2018届1月调研统测】若函数()y f x =对定义域D 内的每一个x 1，都存在唯一的x 2∈D，使得()()121f x f x ?=成立，则称f (x)为“自倒函数”．给出下列命题： ①(

)sin 22

f x x x ππ???=∈-??????

，是自倒函数；

②自倒函数f (x)可以是奇函数； ③自倒函数f (x)的值域可以是R ；

④若()()y f x y g x ==，都是自倒函数，且定义域相同，则()()y f x g x =?也是自倒函数． 则以上命题正确的是_______(写出所有正确命题的序号)． 【答案】①②

4．已知函数f (x )＝a log 2|x |＋1(a ≠0)，定义函数()()(),0{ ,0

f x x F x f x x >=-<给出下列命题：

①F (x )＝|f (x )|； ②函数F (x )是奇函数；

③当a >0时，若x 1x 2<0，x 1＋x 2>0，则F (x 1)＋F (x 2)>0成立； ④当a <0时，函数y ＝F (x 2

－2x －3)存在最大值，不存在最小值． 其中所有正确命题的序号是________． 【答案】②③

【解析】 ①因为()()()11,2

{

,02

a a

f x x f x f x x -

-≥=-<<，而()()(),0{

,0

f x x F x f x x >=-<，这两个函数的定义域不

同，不是同一函数，即()()F x f x =不成立，①错误； ②当0x >时， ()()2log 1,0F x f x a x x ==+-<，

()()][()22log 1log 1F x f x a x a x F x ??-=--=--+=-+=??；

当0x <时， ()()2log 1,0F x f x a x x ??=-=-+->??，

()()()22log 1log 1F x f x a x a x F x -=-=-+=+=-，

所以函数()F x 是奇函数，②正确；

③当0a >时， ()()2log 1F

x f x

a x ==+在()0,+∞上是单调增函数．若12120,0x x x x +，不妨设

120x x >->，所以()()120F x F x >->，又因为函数()F x 是奇函数， ()()22F x F x -=-，所以

()()120F x F x +->，③正确；

④函数(

)

()

()()()

()

222

2

2log 231,,13,23{

log 231,1,3a x x x y F x x a x x x --+∈-∞-?+∞=--=--++-∈-，

当()(),13,x ∈-∞-?+∞时，因为0a <，

所以()

223y F x x =--既没有最大值，也没有最小值．

5．如图所示，放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则对函数y ＝f (x )有下列判断： ①若－2≤x ≤2，则函数y ＝f (x )是偶函数； ②对任意的x ∈R，都有f (x ＋2)＝f (x －2)； ③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减； ④函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数．

其中判断正确的序号是________．(写出所有正确结论的序号)

【答案】①②④

∴函数的周期是4，因此最终构成的图象如下：

①根据图象的对称性可知函数y ＝f (x )是偶函数， ∴①正确；

②由图象可知函数的周期是4，∴②正确；

③由图象可判断函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递增，∴③错误； ④由图象可判断函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数，∴④正确． 故答案为①②④．

6．【河北省定州中学2017-2018上学期第二次月考】设函数()f x 的定义域为D ，若函数()y f x =满足下列两个条件，则称()y f x =在定义域D 上是闭函数．①()y f x =在D 上是单调函数；②存在区间

[],a b D ?，使()f x 在[],a b 上值域为[],a b ．如果函数()21f x x k =

++为闭函数，则k 的取值范围是

_______． 【答案】11,2

??-- ??

?

故答案为11,2

??-- ??

?

7．【湖南省长郡中学2018届高三月考】设函数()f x 的定义域为D ，如果x D ?∈， y D ?∈，使

()()

2

f x f y C +=（C 为常数）成立，则称函数()f x 在D 上的均值为C ．给出下列四个函数：①2y x =；

②2x

y =；③ln y x =；④2sin 1y x =+．则其中满足在其定义域上均值为2的函数是__________． 【答案】③

8．【北京丰台二中2018届上学期期中考试】对于{}12100,,,E a a a =的子集{}

12,,

,k i i i X a a a =，定义X

的“特征数列”为1x ，2x ，

，100x ，其中121k i i i x x x ==

==，其余项均为0．例如：子集{}23,a a 的

“特征数列”为0， 1， 1， 0， 0，

， 0．

（1）子集{}135,,a a a 的“特征数列”的前3项和等于__________． （2）若E 的子集P 的“特征数列”1p ， 2p ， ， 100p 满足11p =， 11i i p p ++=， 199i ≤≤； E

的子集Q 的“特征数列”1q ， 2q ， ， 100q 满足11q =， 121j j j q q q ++++=， 198i ≤≤，则P Q

?的元素个数为__________． 【答案】 2 17

【解析】（1）据“特征数列”的定义可知子集{}135,,a a a 的“特征数列”为1， 0， 1， 0， 1， 0， ， 0，故其前三项和为2．

9．【2016·开封联考】如图所示，由曲线y ＝x 2

，直线x ＝a ，x ＝a ＋1(a >0)及x 轴围成的曲边梯形的面积介

于相应小矩形与大矩形的面积之间，即()1

2

2

21a a

a x dx a +<

<+?．运用类比推理，若对?n ∈N *

， 11

111

1

12

21

21

A n n n n n n +++

<<+++

+++-恒成立，则实数A ＝________．

【答案】ln2 【解析】令

12111111

,,,

121

221

n A A A n n n n n n <<<<<<

+++-， 依据类比推理可得A 1＝

1

1n n

x +?

d x ＝ln(n ＋1)－ln n ，A 2＝2

11n n x ++?d x ＝ln(n ＋2)－ln(n ＋1)，…，A n ＝221

1

n

n x -?d x ＝ln(2n )－ln(2n －1)，所以A ＝A 1＋A 2＋…＋A n ＝ln(n ＋1)－ln n ＋ln(n ＋2)－ln(n ＋1)＋…＋ln(2n )－ln(2n －1)＝ln(2n )－ln n ＝ln 2．

10．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图3-2-5所示．现给出下列说法：

图3-2-5

①前5min 温度增加的速度越来越快；②前5min 温度增加的速度越来越慢；③5min 以后温度保持匀速增加；④5min 以后温度保持不变．

其中正确的说法是________．(填序号) 【答案】②④

【解析】由图像可知前5min 中温度增加，但是增加速度越来越慢，所以②对，①错。5min 以后温度图像是一条水平线，所以温度保持不变，④对，③错，选②④。

11．【湖北省枣阳市高级中学2018届上学期10月份月考】如图，多边形ABCEFGD 由一个矩形ABCD 和一个去掉一个角的正方形组成， 4,3AD EF CE DG ==== 现有距离为2且与AB 边平行的两条直线

12,l l 截取该多边形所得图形（阴影部分）的面积为()S t ，其中表示1l 与AB 间的距离，当34t << 时，

()S t =__________．

【答案】2

4224t t -++

12．【湖南省株洲市2018届质量统测】如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列， ij a 表示位于第i 行第j 列的数．则112在这“等差数阵”中出现的次数为__________．