二次函数与一元二次方程和一元二次不等式

二次函数与一元二次方程和一元二次不等式

二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，

函数在2b x a =-处取得最小值2

44ac b a

-，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得

最大值2

44ac b a

-，无最小值．

方程与函数不仅是初中数学中的重要内容，也是高中数学学习的重要内容，方程与函数之间存在着密切的联系，二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即为相应的二次方程的解，课程标准要求我们能利用二次函数的图象求二次方程的近似解。

本节我们将进一步研究一元二次方程与函数问题，研究当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 【例1】已知二次函数2

2y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程

220x x m -++=的解为 ．

分析：因为二次方程220x x m -++=的根为二次函数2

2y x x m =-++的图象与x 轴交点横坐标。根据已知条件2

2y x x m =-++ ，可知抛物线的对称轴为直线1x =；根据图象可知抛物线与x 轴的一个交点的横坐标为3x =，所以利用抛物线的对称性知抛物线与x 轴的另一个交点横坐标为―1，因此，方程220x x m -++=的解为3和－1。本题利用抛物线的轴对称性求抛物线与轴的交点坐标，从而求出相应的一元二次方程的根。 【例2】 二次函数2

(0y ax bx c a a b c =++≠，，，是常数)中，自变量x 与函数y 的对应值如下表：

x

1-

1

2

-

12

1

32

2

52

3

y

2-

14

-

1

74

2

74

1

14

-

2-

（1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标．

（2）一元二次方程2

0(0ax bx c a a b c ++=≠，，，是常数)的两个根12x x ，的取值范围是下列选项中的哪一个 ．

①1213

0222x x -

<<<<，

②1215

1222x x -<<-<<

，

③12150222

x x -<<<<，

④1213

1222x x -<<-<<，

分析：本题以表格的形式给出二次函数2

y ax bx c =++的部分对应值，解题时可以选定三

对值，求出二次函数解析式，再判断开口方向，求出顶点坐标。但这样去做计算量较大，观察表格的特征发现，与1x =等距离的x 对应的函数值相等，所以直线1x =是抛物线的对称轴，因此抛物线的顶点坐标为（1，2）；观察表格发现：当1x >时，y 随着x 的增大而减小，当1x <时，y 随着x 的增大而增大，所以抛物线的开口向下。（2）一元二次方程

20(0ax bx c a a b c ++=≠，，，是常数)的根即为抛物线2y ax bx c =++与x 轴交点的

横坐标，观察表格发现：12-

与0之间一定有一个x 的值，使2

y ax bx c =++＝0；2与52

之间一定有一个x 的值，使2

y ax bx c =++＝0，所以20ax bx c ++=的两根12x x ，的取值范围是1215

0222

x x -

<<<<，，故答案为③ 【例3】已知函数2

y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++=的根的情况是（ ） A ．无实数根

B ．有两个相等实数根

C ．有两个异号实数根

D ．有两个同号不等实数根

分析：本题以图象的形式给出信息,要判断关于x 的方程2

20ax bx c +++=的根的情况，因为220ax bx c +++=可化为2

2ax bx c ++=-，即2

2y ax bx c =++=-，所以，方程

220ax bx c +++=的根即为抛物线与直线y ＝－2的交点横坐标，作直线y ＝－2，观察图

象可知直线与抛物线的交点在第四象限，因此交点横坐标都为正，故答案为D 。本题把方程的根转化为抛物线与直线的交点横坐标

。

【例4】二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根． （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．

（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．

（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k

的取值范围． 分析：本题以图象的形式给出信息,考查了二次函数、二次方程、二次不等式这三个二次之间的关系。

（1）方程20ax bx c ++=的根即抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交点的横坐标，观察图象得方程20ax bx c ++=的两根为11x =，23x =；

（2）不等式20ax bx c ++>的解集即抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠位于x 轴上方的那一段的x 的范围，观察图象得不等式20ax bx c ++>的解集为13x <<；

（3）抛物线的增减性是以对称轴为界，抛物线的对称轴为2x =，结合图象得对称轴右边y 随x 的增大而减小，所以2x >；

（4）方程2ax bx c k ++=的解为抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠与直线y k =的交点，所以当2k <时，抛物线与直线有两个交点，即方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根的

k 的取值范围是2k <。

【例5】当22x -≤≤时，求函数2

23y x x =--的最大值和最小值．

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．

解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．

x y 3 3 2 2 1

1 4 1- 1-

2- O