2019年小学数学奥林匹克试题16和解答
2019年小学数学奥林匹克预赛试卷(A)2019年3月20日上午 8：30—9：301．计算：8-1.2×1.5+742÷（2.544÷2.4）＝______。
2．计算：=______。
3．已知，那么x=______。
4．设a*b表示a/b＋b/a＋1/2，计算：(1992*996)*(996*498)＝______。
5．图中大长方形分别由面积为12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组成，那么图中的阴影面积为______。
6．按英国人的记法，2005年1月8日记作1-8-2005；按美国人的记法，2005年1月8日记作8-1-2005。
那么，2005年全年中共有______天会让英、美两国人在记法上产生误会。
7．某班在一次数学测验中，平均成绩是78分，男、女各自平均成绩是75.5与81分。
这个班男女生人数之比是______。
8．将+、－、×、÷四个运算符号分别填在下面算式的方格中，每个运算符号都用上，每一格内添一个符号，使这四个算式的答数之和尽可能的大，那么这四个数之和是______。
1/2□1/9，1/3□1/8，1/4□1/7，1/5□1/69．有四个正方体，棱长分别是1，1，2，3。
把它们的表面粘在一起，所得的立体图形的表面积可能取得的最小值是______。
10．已知两个不同的单位分数的和是1/2004，且这两个单位分数的分母都是四位数，那么这两个单位分数的分母的差最小值是______。
11．用同样大小的正方形瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线铺黑色（如图所示），其他地方铺成白色的瓷砖。
如果铺满这个地面共用了97块黑色的瓷砖，那么白色的瓷砖用了______块。
12．A、B两人以相同的速度先后从车站出发，10点钟时A与车站的距离是B与车站距离的5倍，10点24分时B正好位于A与车站距离的中点，那么A是在______时______分出发的。
1、706.22、50.53、4、25、56、1327、6∶5 8、5 9、72 10、1169 11、2304 12、9点20分1. 【解】原式＝8－1.8＋742÷1.06＝6.2＋700＝706.22. 【解】分母＝10＝100分子＝（2－1）＋（4－3）＋…＋（100－99）＝1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝5050原式＝5050÷100＝50.53．【解】1＋＝，＝－1＝。
＝，＝－2＝x＋＝，x＝－＝4．【解】（1992*996）*（996*498）＝（）*（）＝3*3＝＝25．【解】如图所示。
∵＝＝∴AB＝AC∵＝＝∴FE＝FD＝AC阴影部分面积为(FE－AB)CD÷2＝(AC－AC)CD÷2＝(－)AC×CD÷2＝[×(12＋24＋36＋48)]÷2＝(1＋2＋3＋4)÷2＝5(平方厘米)。
6．【解】在每个月的前12天中，当月份数不等于日期数时可能产生误会共有12－12－12×11＝132(天)。
7．【解】(81－78)∶(78－75.5) ＝3：2.5＝6∶5 8．【解】(÷)＋（－）＋（＋）＋（×）＝＝5 9．【解】如下图所示粘接。
10．【解】＝＝＝4676－3507＝1169．设 ba 1120041+=，a ＞b ，则（a-2004）（b-2004）＝20042＝24×32×1672。
要使a 、b 之差最小，则应将24×32×1672分解为两个数的乘积，并使得这两数之差为最小。
显然1672应分别在两个数里出现，否则a 、b 之差会很大。
又a ≠b ，则24×32不能分为两个22×3，故应将24×32×1672分解为（23×167）×（2×32×167）或（24×167）×（32×167），比较知（24×167）与（32×167）之差为最小。
故这两个单位分数的分母的差最小值是24×167-32×167＝7×167＝1169。
（这两个分数分别为1/3507、1/4676）11．【解】[(97＋1)÷2]－97＝2304(块)。
12．【解】因为两人的速度相同，所以两人距车站的距离之比等于两人行走时问之比，设10点时B 走了x 分，则甲走了5x 分。
根据10点24分的情况可列方程： 2(x ＋24) ＝5x ＋24, 解得x ＝8(分)。
10点时甲走了5x ＝40(分)，甲是9点20分出发的。
2005年全国小学奥林匹克预赛试卷（B）1．计算：2005＋2004－2003－2002＋2001＋2000－1999－1998＋1997＋1996－…―7－6＋5＋4－3－2＋1＝________。
2．计算＝________。
3．算式1/2＋1/3＋1/5＋1/7＋1/9的计算结果用循环小数表示是__________.4．从1开始依次把自然数一一写下去得到：12345678910111213141516…从第12个数字起，首次出现3个连排的1。
那么从第_______个数字起将首次出现5个连排的2。
5．在二进制数中，12:表示1；102表示2；112表示3；1002表示4；1012表示5；……那么在六进制数中，1111。
所表示的十进制数为________。
6．如图所示，在长方形内有四条线段，把长方形分成若干块。
已知有三块图形的面积分别是13，35，49。
那么图中阴影部分的面积是________。
7．在1，2，3，…100这100个自然数中，取两个不同的数，使得它们的和是7的倍数，共有________种不同的取法。
8．在自然数中，恰好有4个约数的两位数共有________个。
9．已知一个自然数与199的乘积的末尾是13579，这个数至少是________。
10．一个长方体的长、宽、高是三个两两互质且均为大于1的自然数。
已知这个长方体的体积是8721，那么它的表面积________。
11．每天父亲下班后刚好可以在学校放学时赶到学校接女儿回家。
一天，学校提早放学，女儿自己回家，走10分钟后碰到父亲来接，坐父亲摩托车回家，到家时比平时迟到1分钟，原因是父亲下班迟了7分钟，那么学校提早放学________分钟。
12．A，B，C三名学生参加一次考试，试题共10道，每道都是判断题，每题1O分，答对得10分，答错得零分，满分为100分。
正确的打“√，”，错误的打“×”。
他们的答________。
1、20052、13、4、5565、2596、977、7078、309、10621 10、2590 11、6 12、1．【解】将后2004项每4项分为一组，每组的计算结果都是0，后2004项的计算结果是0。
剩下第一项，结果是2005。
2．【解】原式＝÷＝÷＝1÷＝13．【解】原式＝＝＝＝4．【解】在222与223之间第一次出现五个连排的2。
1～221共有555个数码。
5．【解】1111=6＋6＋6＋6＝216＋36＋6＋1＝259。
6．【解】如下图所示。
△FBC的面积是长方形ABCD面积的一半，△EAD与△EBC的面积之和也是长方形ABCD 面积的一半，所以(Ⅱ十Ⅴ＋Ⅳ) ＝(49＋Ⅱ＋35)+(13＋Ⅳ)V＝49＋35＋13＝97。
7．【解】100÷7＝14……2。
在1～100中，按被7除的余数分为7类：余1与余2的各15个，余3、余4、余5、余6、整除的各14个。
取两个不同的数，要使它们的和是7的倍数，必须是：一个余1一个余6，或一个余2一个余5，或一个余3一个余4，或两个都整除。
所以，不同的取法共有15×14＋15×14＋14×14＋14×13÷2＝2lO＋210＋196＋91＝707(种)。
8．【解】恰有4个约数的自然数形如：a或ab。
(其中a，b为不同的质数)满足题意的两位数有下列30个：10，14，15，21，22，26．27，33，34，35，38，39，46，51，55，57，58，62，65，69．74，77，82，85，86，87，91，93，94，95。
9．【解】利用从个位向前除的倒除法。
10．【解】8721＝3×17×19＝27×17×19.(27×17＋27×19＋17×19)×2＝2590．11．【解】父亲晚出发7分钟，晚到家1分钟，父亲从单位到相遇点再到家比从单位到学校再到家少用7－1＝6(分)，所以从相遇点到家比从学校到家少用3分钟(见下图)。
因为父亲晚出发7分钟，到相遇点的时间自然就比平时晚7分钟，此时按照正常情况学校已经放学7－3＝4(分)，而女儿走了10分钟，所以学校提前放学10－4＝6(分)。
12．【解】三人共错9题，所以至少有1题三人都对，表中只有第3题三人答案一致，所以第3题的正确答案是“√”。
因为只有1道题三人答案一致．所以其它9道题每道只有一人错，各题的正确答案就是有两人相同的那种。
2005全国数学奥林匹克决赛试题(A)1. 计算＝_____．2. 计算＝_____．3. 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是多少？4. 设M、N都是自然数，记PM是自然数M的各位数字之和，PN是自然数N的各位数字之和。
又记M*N是M除以N的余数。
已知M+N=4084，那么(PM+PN)*9的值是多少？5. 如图，已知CD=5，DE=7，EF=15，FG=6，直线AB将图形分成左右两部份，左边部份面积是38，右边部份面积是65，那么三角形ADG的面积是？6. 某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是？7. 已知甲酒精纯酒精含量为72%，乙酒精纯酒精含量为58%，两种酒精混合后纯酒精含量为62%。
如果每种酒精取的数量都比原来多15升，混合后纯酒精含量为63.25%，那么第一次混合时，甲酒精取了多少升？8. 在下面算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。
那么“新年好”所代表的三位数是多少？9. 有两家商场，当第一家商场的利润减少15%，而第二家商场利润增加18%时，这两家商场的利润相同。
那么，原来第一家商场的利润是第二家商场利润的多少倍？10. 从1~9这9个数字中取出三个，由这三个数字可以组成六个不同的三位数。
2、列方程解应用题
知识点梳理
三、列方程解应用题
（一）、列方程解应用题 是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，然后解出未知数的值．这个
含有未知数的等式就是方程．列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运 算．解这类应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程．
知识点梳理
三、列方程解应用题
【例 6】小军原有故事书的本数是小力的3倍，小军又买来7本书 ，小力买来6本书后，小军所有的书是小力的2倍，两人原来各有 多少，则小军原有故事书3x本
3x 7 （2 x 6） 3x 2x 2 6 7
x5
35 15（本） 答：小力原有故事书5本，小军原有故事书15本．
难点：隐藏的因数或错看的未知数容易成为此类问题的难点和易错点。
④、 其它方程（方程两边都出现未知数的情况）
要解决两边都出现未知数的方程，就必须通过“等式的基本性质”，消去一边的未知数，成为我们熟悉的一般 形式。因此，常常要将若干个未知数看成整体，共同加上或者减去。
难点：方程两边都有未知数，且未知数是除数（即非0），则可以同时乘以未知数（这时方程的两边都 各看作一个整体，里面的每一项都要乘以未知数），再消去一边的未知数。
所以西瓜和白兰瓜共 480 480 2 1440（个）．
法一：(涉及到分数，慎重选讲)
注意到两种瓜卖的天数相等这一等量关系，设白兰瓜进了x个，则西瓜进了2x个，
列方程得： x 2x 360 ，解得 x 480 ， 2x 960 ，
所以西瓜和白兰40瓜共
50 480 960 1440
个．
法二：
方程：
(x 2) x (x 2) 75
x 25
把 x 25 代入后可得 ： x 2 25 2 23 ， x 2 25 2 27
2019年小学五年级下册基础奥数教程含答案
五年级下册基础奥数教程含答案第一讲等差数列例1下面各数的和是多少？0 1 2 3 4 5 (4849)1 2 3 4 5 6 (4950)2 3 4 5 6 7 (5051)……………………484950515253 (9697)495051525354 (9798)解：先逐行求和，再化简。
(0＋49)×50÷2＋(1＋50)×50÷2＋…＋(49＋98)×50÷2＝25×(49＋51＋ (147)＝25×(49＋147)×50÷2＝25×25×196＝625×200－625×4＝125000－2500＝122500例2一本图书除了封面和封底以外，每张纸的两面都标有页码，如果中央一张纸两面的页码之积是2450，则这本书的所有页码之和是多少？解：根据题意，2450应该是两个相邻自然数的积。
试算发现2450＝49×50，所以中央这张纸两面的页码分别是49和50，由此可以想到这一张是全书的第25张，全书共有24＋1＋24＝49(张)，合计共2×49＝98(页)。
这样就可以用等差数列的求和公式，计算出所有页码之和是：1＋2＋3＋…＋98＝(1＋98)×98÷2＝4851。
答：这本书的所有页码之和是4851。
例3盒子里放有编号为1到10的十个球，小明先后三次从盒中共取出9个球。
如果从第二次开始，每次取出的球的编号之和都是前一次的2倍，那么未取出的球的编号是多少？解：这了便于思考，设第一次取出的球的编号是a，第二次取出的球的编号之和就是2a，第三次取出的球的编号之和就是4a，三次共取出的9个球的编号之和就是a＋2a＋4a＝7a，即三次共取出的9个球的编号之和是7的倍数。
10个球的编号之和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝55, 55除以7余6，余数是6，说明未取出的球的编号是6。
2019年浙江省中考数学真题分类汇编 专题16 统计与概率之解答题(原卷版)
专题16 统计与概率之解答题一．解答题（共10小题）1．（2019•舟山）在“创全国文明城市”活动中，某社区为了了解居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．其中A、B两小区分别有500名居民，社区从中各随机抽取50名居民进行相关知识测试，并将成绩进行整理得到部分信息：【信息一】A小区50名居民成绩的频数直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）；【信息二】图中，从左往右第四组的成绩如下【信息三】A、B两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）：根据以上信息，回答下列问题：（1）求A小区50名居民成绩的中位数．（2）请估计A小区500名居民中能超过平均数的有多少人？（3）请尽量从多个角度比较、分析A，B两小区居民掌握垃圾分类知识的情况．2．（2019•台州）安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表．（1）宣传活动前，在抽取的市民中哪一类别的人数最多？占抽取人数的百分之几？（2）该市约有30万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数；（3）小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为178，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法．#JY3．（2019•嘉兴）在推进嘉兴市城乡生活垃圾分类的行动中，某社区为了了解居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．其中A、B两小区分别有500名居民参加了测试，社区从中各随机抽取50名居民成绩进行整理得到部分信息：【信息一】A小区50名居民成绩的频数直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）：【信息二】上图中，从左往右第四组的成绩如下：【信息三】A、B两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）：根据以上信息，回答下列问题：（1）求A小区50名居民成绩的中位数．（2）请估计A小区500名居民成绩能超过平均数的人数．（3）请尽量从多个角度，选择合适的统计量分析A，B两小区参加测试的居民掌握垃圾分类知识的情况．4．（2019•绍兴）小明、小聪参加了100m跑的5期集训，每期集训结束时进行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如下两个统计图．根据图中信息，解答下列问题：（1）这5期的集训共有多少天？小聪5次测试的平均成绩是多少？（2）根据统计数据，结合体育运动的实际，从集训时间和测试成绩这两方面，说说你的想法．5．（2019•杭州）称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．实际称量读数和记录数据统计表（1）补充完成乙组数据的折线统计图．（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为，，写出与之间的等量关系．②甲，乙两组数据的方差分别为S甲2，S乙2，比较S甲2与S乙2的大小，并说明理由．6．（2019•宁波）今年5月15日，亚洲文明对话大会在北京开幕．为了增进学生对亚洲文化的了解，某学校开展了相关知识的宣传教育活动．为了解这次宣传活动的效果，学校从全校1200名学生中随机抽取100名学生进行知识测试（测试满分100分，得分均为整数），并根据这100人的测试成绩，制作了如下统计图表．100名学生知识测试成绩的频数表由图表中给出的信息回答下列问题：（1）m＝，并补全频数直方图；（2）小明在这次测试中成绩为85分，你认为85分一定是这100名学生知识测试成绩的中位数吗？请简要说明理由；（3）如果80分以上（包括80分）为优秀，请估计全校1200名学生中成绩优秀的人数．7．（2019•衢州）某校为积极响应“南孔圣地，衢州有礼”城市品牌建设，在每周五下午第三节课开展了丰富多彩的走班选课活动．其中综合实践类共开设了“礼行”“礼知”“礼思”“礼艺”“礼源”等五门课程，要求全校学生必须参与其中一门课程．为了解学生参与综合实践类课程活动情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果绘制了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）请问被随机抽取的学生共有多少名？并补全条形统计图．（2）在扇形统计图中，求选择“礼行“课程的学生人数所对应的扇形圆心角的度数．（3）若该校共有学生1200人，估计其中参与“礼源”课程的学生共有多少人？8．（2019•金华）某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．请根据图中信息回答问题：（1）求m，n的值．（2）补全条形统计图．（3）该校共有1200名学生，试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数．9．（2019•湖州）我市自开展“学习新思想，做好接班人”主题阅读活动以来，受到各校的广泛关注和同学们的积极响应，某校为了解全校学生主题阅读的情况，随机抽查了部分学生在某一周主题阅读文章的篇数，并制成下列统计图表．某校抽查的学生文章阅读的篇数统计表请根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）求被抽查的学生人数和m的值；（2）求本次抽查的学生文章阅读篇数的中位数和众数；（3）若该校共有800名学生，根据抽查结果，估计该校学生在这一周内文章阅读的篇数为4篇的人数．10．（2019•温州）车间有20名工人，某一天他们生产的零件个数统计如下表．车间20名工人某一天生产的零件个数统计表（1）求这一天20名工人生产零件的平均个数．（2）为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施．如果你是管理者，从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个“定额”？。
2019年国际数学卓越奥林匹克
2019年国际数学卓越奥林匹克 1.设非直角△ABC 的外接圆为θ.过A 作圆θ的切线交直线BC 于点D,BC 的中点为 M,直线AM 与圆θ不同于A 的交点为N 。
取一点K 。
使得四边形ADMK 为平行四边形。
求证kA=KN.2.考虑有2019个点的图G.定义对顶点v 的“反转”操作如下： 对于其它的任意一个顶点u 。
若u 与v 之间有边,则将其边删掉。
若u 与v 之间没有边，就在这两点间连一条边。
我们想通过若干次"反转”操作(先许多次“反转”相同的顶点),使得图中的边数最小。
求M 的最小值，使得对任意的2019个点的图G 。
我们可以通过若干次“反转”之后，使得图G 的边数不大于M 。
3. 求所以函数,:R R f →使得对任意实数x,y.有()()()()()()y f x f y x f f y x f y x +•+=++。
4. 若正整数集的某个二元子集有且仅有一个素数和一个合数，则称这个二元子集是“可爱子集”。
试求所有整数系多项式()x f ，使得对所有“可爱子集”的集合｛p,q ｝,集合()(){}p q f q p f ++,也是“可爱子集”。
5. 找出所有正整数对（s,t ）,满足对任意两个不同的正整数a,b.都存在正整数n,使得1+++n n t s b a b a .6. 在非直角△ABC 中.内心为I 。
,其外接圆为ω。
∠ABC 的内、外角平分线分别交直线BC 于点D 、E 。
M 在直线AC 上。
满足MC=MB.过B 作圆ω的切线交MD 于S 。
△ADE 的外接圆交△BIC 的外接圆于点P 、Q.设AS 与圆ω另一个交点为K ，求证：K 在PQ 上。
2019年第十六届中国东南地区数学奥林匹克高一试题
第十六届中国东南地区数学奥林匹克1. 求最大的实数k ，使得对任意正数a ，b ，均有()()()211a b ab b kab +++≥. 2. 如图，两圆1P ，2P 交于A ，B 两点，C ，D 为1P 上两点，E ，F 为2P 上两点，满足A ，B 分别在线段CE ，DF 内，且线段CE ，DF 不相交.设CF 与1P ，2P 分别交于点()K C ≠，()L F ≠，DE 与1P ，2P 分别交于点()M D ≠，()N E ≠.证明：若ALM ∆的外接圆与BKN ∆的外接圆相切，则这两个外接圆的半径相等.3. 函数:f N N **→满足：对任意正整数a ，b 均有()f ab 整除(){}max ,f a b .是否一定存在无穷多个正整数k ；使得()1f k =？证明你的结论.4. 将一个25⨯方格表按照水平方向或者竖直方向放置，然后去掉其四个角上的任意一个小方格，剩下由9个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”，或“八一旌旗”，简称为“旌旗”，如图所示.现有一个固定放置的918⨯方格表.若用18面上述旌旗将其完全覆盖，问共有多少种不同的覆盖方案？说明理由.第十六届中国东南地区数学奥林匹克 江西吉安高二年级 第一天2019年7月30日 上午8:00-12:001. 对任意实数a ，用[]a 表示不超过a 的最大整数，记{}[]a a a =−.是否存在正整数m ，n 及1n +个实数0x ，1x ，…，n x ，使得0428x =，1928n x =，110105k k k x x x m +⎡⎤⎧⎫=++⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭(0k =，1，…，1n −)成立？证明你的结论. 2. 如图，在平行四边形中ABCD ，90BAD ∠≠︒，以B 为圆心，BA 为半径的圆与AB ，CB 的延长线分别相交于点E ，F ，以D 为圆心，DA 为半径的圆与AD ，CD 的延长线分别相交于点M ，N ，直线EN ，FM 相交于点G ，直线AG ，ME 相交于点T ，直线EN 与圆D 相交于点()P N ≠，直线MF 与圆B 相交于点()Q F ≠.证明：G ，P ，T ，Q 四点共圆.3. 今有n 人排成一行，自左至右按1，2，…，n 的顺序报数，凡序号为平方数者退出队伍；剩下的人自左至右再次按1，2，3，…的顺序重新报数，凡序号为平方数者退出队伍；如此继续.在此过程中，每个人都将先后从队伍中退出.用()f n 表示最后一个退出队伍的人在最初报数时的序号.求()f n 的表达式(用n 表示)；特别地，给出()2019f 的值.4. 在55⨯矩阵X 中，每个元素为0或1.用,i j x 表示中第行第列的元素(，，…，).考虑的所有行、列及对角线上的元有序数组(共个数组)：（,1i x ，,2i x ，...，,5i x ），（,5i x ，,4i x ，...，,1i x ，）（1i =，2， (5)（1,j x ，2,j x ，...，5,j x ），（5,j x ，4,j x ，...，1,j x ）（1j =，2， (5)（1,1x ，2,2x ，…，5,5x ，），（5,5x ，4,4x ，…，1,1x ），（1,5x ，2,4x ，…，5,1x ），（5,1x ，4,2x ，…，1,5x ）.若这些数组两两不同，求矩阵X 中所有元素之和的可能值.第十六届中国东南地区数学奥林匹克 江西吉安高一年级 第二天2019年7月31日 上午8:00-12:005. 称集合{}1928192919301949S =⋯，，，，的一个子集M 为“红色”的子集，若M 中任意两个不同的元素之和均不被4整除.用x ，y 分别表示S 的红色的四元子集的个数，红色的五元子集的个数.试比较x ，y 的大小，并说明理由.6. 设a ，b ，c 为给定的三角形的三边形.若正实数x ，y ，z 满足1x y z ++=，求axy byz czx ++的最大值.7. 设ABCD 为平面内给定的凸四边形.证明：存在一条直线上的四个不同的点P ，Q ，R ，S 和一个正方形''''A B C D ，使得点P 在直线AB 与''A B 上，点Q 在直线BC 与''B C 上，点R 在直线CD 与''C D 上，点S 在直线DA 与''D A 上.8.对于正整数1x >，定义集合()(){}=v mod 2x p S P P x P x x αααα=为的素因子，为非负整数，，且 其中()p v x 表示x 的标准分解式中素因子p 的次数，并记()f x 为x S 中所有元素之和.约定()11f =.今给定正整数m .设正整数数列1a ，2a ，…，n a ，…满足：对任意整数n m >，()()(){}11max ,1,...,n n n n m a f a f a f a m +−−=++.（1）证明：存在常数A ，B ()01A <<，使得当正整数x 有至少两个不同的素因子时，必有()f x Ax B <+； （2）证明：存在正整数Q ，使得对所有n N *∈，n a Q <. 第十六届中国东南地区数学奥林匹克江西吉安高二年级 第二天5. 对任意正整数n ，用n a 表示三边长均为整数且最长边的长为2n 的三角形的个数.（1）求n a 关于的表达式；（2）设数列{}n b 满足：()()11n n k k n k n k C b a n N −*=−=∈∑.求使2019n n b a ≤成立的正整数n 的个数.6. 在ABC ∆中，AB AC >，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，ACB ∠的平分线交AB 于点E ，过A 作ABC ∆的外接圆的切线，交ED 的延长线于点P .已知AP BC =.证明：//BD CP .7. 甲、乙两人从0，1，2，…，81中轮流挑选互不重复的数，甲先选，每次每人从剩下的数中选1个数.当这82个数被选定完之后，记A 为甲选择的所有数之和，B 为乙选择的所有数之和.在挑选数的过程中，甲希望A ，B 的最大公约数越大越好，而乙希望A ，B 的最大公约数越小越好.在甲、乙各自的最佳策略下，求挑选完毕之后A ，B 的最大公约数.8. 对于正整数1x >，定义集合()(){}=v mod 2x p S P P x P x x αααα=为的素因子，为非负整数，，且其中()p v x 表示x 的标准分解式中素因子p 的次数，并记()f x 为x S 中所有元素之和.约定()11f =.今给定正整数m .设正整数数列1a ，2a ，…，n a ，…满足：对任意整数n m >，()()(){}11max ,1,...,n n n n m a f a f a f a m +−−=++.（1）证明：存在常数A ，B ()01A <<，使得当正整数x 有至少两个不同的素因子时，必有()f x Ax B <+； （2）证明：存在正整数N ，l ，使得对所有n N ≥，1n n a a +=成立.。