《解直角三角形的应用》练习题1
4.4解直角三角形的应用
一、选择题（每题4分，共28分）
1．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=6，∠ACB=60°，则AD•
的长是（ ）
A．5 B．33 C．3 D．32
2 如图2，沿AC方向开山修路，为了加快施工速度，要在小山的另一边同时施工。从
AC上的一点B，取ABDBD145500，米，D55。要使A、C、E成一直线，
那么开挖点E离点D的距离是（ ）
A. 50055sin米 B. 50055cos米
C. 50055tan米 D. 500米
3．如图6，一电线杆AB的高为10m，当太阳光线与地面的夹角为60度时，其影长AC
约为（3取1.732，结果保留3个有效数字）．（ ）
A．5.00m B．8.66m C．17.3m D．5.77m
4、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm，那么底角的余弦等于（ ）．
A．513 B. 1213 C.1013 D．512
5、如图19-3，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落
在CB的延长线上的D/处，那么tanBAD/等于（ ）
A. 1 B.2 C.22 D.22
6．如图2，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高24m，斜坡AB的坡角为45°，
斜坡CD的坡度i=1：2，则坝底AD的长为（ ）
A．42m B．（30+243）m C．78m D．（30+83）m
7．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B
A D
D/ B C
图19-3
地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（ ）
A．150m B．503m C．100m D．1003
二、填空题（每题4分，共28分）
8．如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形
的面积是_______cm2．
9．在平行四边形ABCD中，已知∠B＝600，AB＝4cm，BC＝6cm，则平行四边形ABCD的
面积是 2cm；
10．如果某人沿坡度i=1：3的斜坡前进100米后，•他所在的位置比原来的位置升高了
____ __米．
11．如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC∥OA•交
OB于点C．若∠AOB=60°，OC=4，则点P到OA的距离PD等于____ ____．
12．如图，C、D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端A•和B
的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，CD=6km，则
AB=______km．
13、如图，沿倾斜角为30的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC
为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB为 m。(精确到0.1m)
14．在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则BC的长是_______．
三、解答题（共44分）
15（8分） 如图1，在ABC中，AD是BC边上的高，tancosBDAC。
（1）求证：AC＝BD
（2）若sinCBC121312，，求AD的长。
16．（8分）如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M
处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30•分钟后到达B处，此时再
测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9•海里的区域内有暗礁，若继续向正东
方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．
17．（8分）如图，某校九年级3•班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动．部
分同学在山脚点A测得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180米；另一部分
同学在山顶点B测得山脚点A的俯角为45°，山腰点D的俯角为60°，请你帮助他们计算
出小山的高度BC（计算过程和结果都不取近似值）．
18．（10分）如图，某居民小区内A、•B•两楼之间的距离MN=30米，两楼的高都是20
米，A楼在B楼正南，B楼窗户朝南．B•楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离DN=2米，
窗户高CD=1.8米．当正午时刻太阳光线与地面成30•°角时，A楼的影子是否影响B楼
的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户多高？若不影响，•请说明理由．
（参考数据：2=1.414，3=1.732，5=2.236）
19. （10分）公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，
AP=160m，一辆拖拉机以3.6km/h的速度在公路MN上沿PN方向行驶，假设拖拉机行驶时，
周围100m以内会受噪声影响，那么，学校是否会受到噪声影响？如果不受影响，请说明理
由；如果受影响，会受影响几分钟？
N
P A Q
M
参考答案：
一、选择题（每题4分，共28分）
1. C
2.B.解析：在RtBED中可用三角函数求得DE长。
解：A、C、E成一直线
ABDDBED1455590，，
在RtBED中，coscosDDEBDDEBDD，
BD500
米，D55
DE50055cos
米，故应选B。
3. D
4. A．
5. B. 解析： 根据勾股定理得
BD＝22CDBC=2222=22
又BD/＝BD＝22，AB＝2，
在Rt△ABD/中，tanBAD/= 2222/ABBD
故选B.
6. C
7. D
二、填空题（每题4分，共28分）
8. 30
9.12.
10. 1010
11. 23
12. 33
13.约2.3
14.22
15. 解析：由于AD是BC边上的高，则有RtADB和RtADC，这样可以充分利用锐角三
角函数的概念使问题求解。
解：（1）在RtABD中，有tanBADBD， RtADC中，有cosDACADAC
tancosBDAC
ADBDAD
AC
ACBD，故
（2）由sinCADAC1213；可设ADxACBDx1213，
由勾股定理求得DCx5， BCBDDCx121812
即x23 AD12238
16. 解：设岛C到货船航行方向的距离为x海里．
根据题意，得tan30tan60xx=12．
解得x=63（海里）．
因为63>9，所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险．
17. 解：过D点作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．
∵∠DAB=∠BAC-∠DAC=15°，
∠DBA=∠HBD-∠HBA=15°，
∴∠DAB=∠DBA，∴DA=DB．
∵AD=18米，∴BD=180米．
在Rt△ADF中，DF=AD·sin30°=90（米）．
在Rt△BDE中，BE=DB·cos30°=903（米）．
∴BC=EC+BE=（90+903）（米）．
18. 解：如图，设光线FE影响到B楼的E处．
作EG⊥FM于G，由题知．
EG=MN=30m，∠FEG=30°，
则FG=30×tan30°=30×33=103=17.32．
则MG=FM-GF=20-17.32=2.68，
因为DN=2，CD=1.8，所以ED=2.68-2=0.68，
即A楼影子影响到B楼一楼采光，挡住该户窗户0.68米．
19. 解：1008030sin1APAPAPBRt中，）在（
会影响
N
B
D
P A Q
M
100
30o
160
（）在中（米）2100806022RtABDBD
6023610006022.（分钟）分钟
(完整word)解直角三角形练习题1(含答案),推荐文档
3 3 33 解直角三角形练习题一. 选择题：（每小题 2 分，共 20 分） 1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则13.在 Rt △ABC 中，∠C=90°， sin A = 3，5a +b +c = 36 ，则cotE=（ ）A. 3 4B. 4 3C. 3 5D.5 3 a= ，b= ，c= ，cotA= 。
2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ A. 1B. C. 1 D. 14. 若一个等腰三角形的两边长分别为 2cm 和 6cm ，则底边上的高为 cm ，底角的余弦值 为 。
2 3 15. 酒店在装修时，在大厅的主楼梯上铺设某种红 3. 在△ABC 中，若cos A = 个三角形一定是（ ）2 ， tan B = 2，则这色地毯，已知这种地毯每平方米售价 30 元，主楼梯宽 2 米，其侧面如图 21 所示，则购买地毯至少需要 元。
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角 形D. 等腰三角形4. 如图 18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ， 下面等式中，错误的是（ ）三. 解答题：（16、17 每小题 5 分，其余每小题 6 分共 70 分） 16. 计算A. sin G = EFEGC. sin G = GHFGB. sin G = EH EF D. sin G = FH FG(1 + tan 60 - sin 60 )(1 - cot 30 + cos 30 )5. sin65°与 cos26°之间的关系为（ ） A. sin65°<cos26° B. sin65°>cos26° C. sin65°=cos26° D. sin65°+cos26°=16. 已知 30°<α<60°，下列各式正确的是（ ）A.B.C.D.7. 在△ABC 中，∠C=90°， sin A = 值是（ ）2 ，则 sinB 的5A. 23 B. 25 C. 45D. 2158. 若平行四边形相邻两边的长分别为 10 和 15，它们的夹角为 60°，则平行四边形的面积是（ ）米 2 A. 150 B. 75 C. 9 D. 79. 如图 19，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为 i=2∶3，顶宽是 3 米，路基高是 4 米，则路基的下底宽是 （ ） A. 7 米 B. 9 米 C. 12 米 D. 15 米 10. 如图 20，两条宽度都为 1 的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为 α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ）117. 如图 22，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°， AD=AB ，求 tanD 。
解直角三角形的应用测试题带答案
解直角三角形的应用测试题之迟辟智美创作一、选择题（本年夜题共10小题，共30.0分）1.小明利用测角仪和旗杆的拉绳丈量学校旗杆的高度如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等小明将PB 拉到的位置，测得为水平线，测角仪的高度为1米，则旗杆PA的高度为A. B. C. D.2.如图，长4m的楼梯AB的倾斜角为，为了改善楼梯的平安性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角为，则调整后的楼梯AC的长为A. B. C. D.2 3 43.楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为现要在楼梯上铺一条地毯，已知米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要A. 米B. 米C. 米D. 米4.上午9时，一条船从A处动身，以每小时40海里的速度向正西方向航行，9时30分达到B处如图从A、B 两处罚别测得小岛M在北偏东和北偏西方向，那么在B处船与小岛M的距离为 A. 20海里B. 海里C. 海里D. 海里5.如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为a，那么滑梯长m为A. B. C. D.6.如图所示，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为，再向电视塔方向前进120米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为，则这个电视塔的高度单元：米为A. B. 61C. D. 1216 7 87.某校八年级生物兴趣小组租两艘快艇去微山湖生物考察，他们从同一码头动身，第一艘快艇沿北偏西方向航行50千米，第二艘快艇沿南偏西方向航行50千米，如果此时第一艘快艇不动，第二艘快艇向第一艘快艇靠拢，那么第二艘快艇航行的方向和距离分别是A. 南偏东，千米B. 北偏西，千米C. 南偏东，100千米D. 北偏西，100千米8.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏西方向，距离灯塔60nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，达到位于灯塔P的北偏西方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为 A. nmileB. nmileC.nmileD. nmile9.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度：，则坝底AD 的长度为A. 26米B. 28米C. 30米D. 46米9 101110.如图是某水库年夜坝的横截面示意图，已知，且AD、BC之间的距离为15米，背水坡CD的坡度：，为提高年夜坝的防洪能力，需对年夜坝进行加固，加固后年夜坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度：4，则年夜坝底端增加的长度CF 是米．A. 7B. 11C. 13D. 20二、填空题（本年夜题共10小题，共30.0分）11.为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形已知迎水坡面米，背水坡面米，，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，，则CE的长为______ 米12.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为，测得底部C的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为______ 米精确到1米，参考数据：12 14 1513.小明沿着坡度i为1：的直路向上走了50m，则小明沿垂直方向升高了______14.如图，长4m的楼梯AB的倾斜角为，为了改善楼梯的平安性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角为，则调整后楼梯AC长为______ 米15.如图，一名滑雪运带动沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行至B，已知米，则这名滑雪运带动的高度下降了______米参考数据：，，16.如图，为丈量某栋楼房AB的高度，在C点测得A点的仰角为，朝楼房AB方向前进10米达到点D，再次测得A点的仰角为，则此楼房的高度为______ 米结果保管根号．16 171817.如图，从热气球C处测得空中A、B两点的俯角分别为、，如果此时热气球C处的高度为200米，点A、B、C在同一直线上，则AB两点间的距离是______米结果保管根号．18.如图，水库堤坝的横断面是梯形，测得BC长为30m，CD长为，斜坡AB的坡比为1：3，斜坡CD的坡比为1：2，则坝底的宽AD为______19.如图，某堤坝的斜坡AB的斜角是，坡度是，则______．20.某兴趣小组借助无人飞机航拍，如图，无人飞机从A处飞行至B处需12秒，在空中C处同一方向上分别测得A处的仰角为，B处的仰角为已知无人飞机的飞行速度为3米秒，则这架无人飞机的飞行高度为结果保管根号______ 米三、计算题（本年夜题共4小题，共24.0分）21.如图，某数学兴趣小组要丈量一栋五层居民楼CD的高度该楼底层为车库，高米；上面五层居住，每层高度相等测角仪支架离地米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为，在B处测得四楼顶部点E的仰角为，米求居民楼的高度精确到米，参考数据：22.某兴趣小组借助无人飞机航拍校园如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在空中C处同一方向上分别测得A处的仰角为，B处的仰角为已知无人飞机的飞行速度为4米秒，求这架无人飞机的飞行高度结果保管根号23.如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为，教学楼底部B的俯角为，量得实验楼与教学楼之间的距离．求的度数．求教学楼的高结果精确到，参考数据：，24.如图，在年夜楼AB的正前方有一斜坡CD，米，坡角，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为，其中点A、C、E在同一直线上．求斜坡CD的高度DE；求年夜楼AB的高度结果保管根号四、解答题（本年夜题共2小题，共16.0分）25.如图，年夜楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C 的俯角为，测得年夜楼顶端A的仰角为点B，C，E在同一水平直线上，已知，，求障碍物B，C两点间的距离结果精确到参考数据：，26.如图，某湖中有一孤立的小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PQ通往小岛，某同学在观光道AB上测得如下数据：米，，请求出小桥PQ的长，结果精确到米谜底和解析【谜底】1. A2. B3. D4. B5. A6. C7. B8. B9. D10. C11. 812. 20813. 2514.15. 28016.17.18. 13019.20.21. 解：设每层楼高为x米，由题意得：米，，，在中，，，在中，，，，，解得：，则居民楼高为米．22. 解：如图，作，水平线，由题意得：，，，，，，，，，则．23. 解：过点C作，则有，，；由题意得：，在中，，在中，，教学楼的高，则教学楼的高约为．24. 解：在中，米，，，米；过D作，交AB于点F，，，，即为等腰直角三角形，设米，四边形DEAF为矩形，米，即米，在中，，米，米，米，，，，在中，根据勾股定理得：，解得：，则米．25. 解：如图，过点D作于点F，过点C作于点H．则，在直角中，，，．在直角中，，，，．答：障碍物B，C 两点间的距离约为．26. 解：设米，在直角中，，，在直角中，，，米，，解得：米．答：小桥PQ的长度约是米．【解析】1. 解：设，在中，，，，，．故选：A．设，在中，根据，列出方程即可解决问题．本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．2. 解：在中，，，在中，，．故选B．先在中利用正弦的界说计算出AD，然后在中利用正弦的界说计算AC即可．本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的峻峭水平，一般用i暗示，常写成：m的形式把坡面与水平面的夹角叫做坡角，坡度i与坡角之间的关系为：．3. 解：在中，米，米，地毯的面积至少需要米；故选：D．由三角函数暗示出BC，得出的长度，由矩形的面积即可得出结果．本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数暗示出BC是解决问题的关键．4. 解：如图，过点B作于点N．由题意得，海里，．作于点N．在直角三角形ABN中，．在直角中，，则，所以海里．故选B．过点B作于点根据三角函数求BN的长，从而求BM的长．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．5. 解：，．故选A．根据三角函数的界说即可求解．本题考查了三角函数的界说，理解界说是关键．6. 【分析】根据题意求出CE的长，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质求出AE的长，根据正弦的界说计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，理解仰角的概念、熟记锐角三角函数的界说是解题的关键．【解答】解：由题意得，，，，，，．故选：C．7. 解：第一艘快艇沿北偏西方向，第二艘快艇沿南偏西方向，，，，，第二艘快艇沿南偏西方向，，，第二艘快艇航行的方向和距离分别是：北偏西，千米．故选：B．根据题意得出以及，进而得出第二艘快艇航行的方向和距离．此题主要考查了方向角以及勾股定理，正确掌控方向角的界说是解题关键．8. 解：如图作于E．在中，，，，在中，，，故选：B．如图作于在中，求出PE，在中，根据即可解决问题．本题考查方向角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．9. 解：坝高12米，斜坡AB的坡度：，米，米，米，故选：D．先根据坡比求得AE的长，已知，即可求得AD．此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．10. 解：过D作于G，于H，，，背水坡CD的坡度：，背水坡EF的坡度：4，，，米，故选C．过D作于G，于H，解直角三角形即可获得结论．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数暗示相关线段的长度，难度一般．11. 解：分别过A、D作，，垂点分别为F、G，如图所示．在中，米，，，，．在中，，米，．在中，，，，．即CE的长为8米．故谜底为8．分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、在中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就获得了DG的长；在中，由勾股定理求CG的长，在中，根据正切函数界说获得GE的长；根据即可求解．本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，锐角三角函数的界说，勾股定理作辅助线构造直角三角形是解答此类题的一般思路．12. 解：由题意可得：，解得：，，解得：，故该建筑物的高度为：，故谜底为：208．分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度．此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．13. 解：如图，过点B作于点E，坡度：：，：，，，．他升高了25m．故谜底为：25．首先根据题意画出图形，由坡度为1：，可求得坡角，又由小明沿着坡度为1：的山坡向上走了50m，根据直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，即可求得谜底．此题考查了坡度坡角问题此题比力简单，注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．14. 解：在中，，，在中，，．故谜底是：．先在中利用正弦的界说计算出AD，然后在中利用正弦的界说计算AC即可．本题考查了解直角三角形的实际应用中的坡度坡角问题，难度不年夜，注意细心运算即可．15. 解：如图在中，，这名滑雪运带动的高度下降了280m．故谜底为280如图在中，，可知这名滑雪运带动的高度下降了280m．本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的界说，属于中考常考题型．16. 解：在直角三角形ADB中，，，，在直角三角形ABC中，，，，，解得：．故谜底为：．首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及构造方程关系式，进而可解，即可求出谜底．本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．17. 解：从热气球C处测得空中A、B两点的俯角分别为、，，，，，是等腰直角三角形，，在中，，，，．故谜底为：．先根据从热气球C处测得空中A、B两点的俯角分别为、可求出与的度数，再由直角三角形的性质求出AD与BD的长，根据即可得出结论．本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的界说是解答此题的关键．18. 解：作于E，于F，斜坡CD的坡比为1：2，即，，又，，，由题意得，四边形BEFC是矩形，，，斜坡AB 的坡比为1：3，，即，，故谜底为：130m．作于E，于F，根据坡度的概念分别求出AE、DF，结合图形计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键，掌握矩形的判定和性质的应用．19. 解：：，则．故谜底是：．根据坡度就是坡角的正切值即可求解．本题主要考查了坡度的界说，理解坡度和坡角的关系是解题的关键．20. 解：如图，作，水平线，由题意得：，，，，，，，，，．故谜底为：．作，水平线，根据题意确定出与的度数，利用锐角三角函数界说求出AD与BD的长，由求出BC的长，即可求出BH的长．此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数界说是解本题的关键．21. 设每层楼高为x米，由求出的长，进而暗示出与的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数界说暗示出，同理暗示出，由求出AB的长即可．此题属于解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数界说是解本题的关键．22. 如图，作，水平线，根据题意确定出与的度数，利用锐角三角函数界说求出AD与BD的长，由求出BC的长，即可求出BH的长．此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数界说是解本题的关键．23. 过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数界说求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数界说求出DE的长，由求出BD的长，即为教学楼的高．此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数界说是解本题的关键．24. 在直角三角形DCE中，利用锐角三角函数界说求出DE的长即可；过D作DF垂直于AB，交AB于点F，可得出三角形BDF为等腰直角三角形，设，暗示出BC，BD，DC，由题意获得三角形BCD为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解获得x的值，即可确定出AB的长．此题考查了解直角三角形仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．25. 如图，过点D作于点F，过点C作于点通过解直角获得DF的长度；通过解直角获得CE 的长度，则．本题考查了解直角三角形仰角俯角问题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．26. 设米，在直角和直角中分别利用x暗示出AQ和BQ的长，根据，即可列方程求得x的值．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数暗示出相关线段的长度，难度一般．。
解直角三角形应用专题带答案
解直角三角形应用专题带答案解直角三角形应用专题练1.在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度。
用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45°。
求该雕塑的高度（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值）。
2.一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处。
它沿XXX方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处。
求此时船距灯塔的距离（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，结果取整数）。
3.2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，XXX用直升机航拍技术全程直播。
在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°，B处的俯角为45°。
如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）4.XXX在某桥附近试飞无人机。
为了测量无人机飞行的高度AD，XXX通过操控器指令无人机测得桥头B、C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D、B、C在同一水平线上。
已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD（精确到0.01米，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）。
5.我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰。
其中山脚A、C两地海拔高度约为1000米，山顶B处的海拔高度约为1400米。
由B处望山脚A处的俯角为30°，由B处望山脚C处的俯角为45°。
若在A、C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据√3≈1.732）。
6.随着航母编队的成立，我国海军日益强大。
2018年4月12日，XXX在南海海域隆重举行海上阅兵。
在阅兵之前我军加强了海上巡逻。
巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离XXX为400海里。
解直角三角形练习试题1(含答案解析)
解直角三角形练习题1一. 选择题：（每小题2分，共20分）1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（ ） A.43 B. 34 C. 53 D. 35 2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A.21B. 33C. 1D. 33. 在△ABC 中，若22cos =A ，3tan =B，则这个三角形一定是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误的是（ ）A.EGEF G =sin B. EFEH G =sinC. FGGH G =sin D. FGFH G =sin 5. sin65°与cos26°之间的关系为（ ）A. sin65°<cos26°B. sin65°>cos26°C. sin65°=cos26°D. sin65°+cos26°=1 6. 已知30°<α<60°，下列各式正确的是（ ） A.B.C.D.7. 在△ABC 中，∠C=90°，52sin =A ，则sinB 的值是（ ） A.32 B.52 C.54D.521 8. 若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（ ）米2A. 150B.375C. 9D. 79. 如图19，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i= 2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（ ）A. 7米B. 9米C. 12米D. 15米 10. 如图20，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ） A.αsin 1 B. αcos 1C. αsinD. 1二. 填空题：（每小题2分，共10分）11. 已知0°<α<90°，当α=__________时，21sin =α，当α=__________时，Cota=3. 12. 若，则锐角α=__________。
解直角三角形的应用-坡度坡角问题-初中数学习题集含答案
解直角三角形的应用-坡度坡角问题（北京习题集）（教师版）一．选择题（共2小题）1．（2019秋•石景山区期末）如图，某斜坡的长为，坡顶离水平地面的距离为，则这个斜坡的坡度为 A ．B ． CD ． 2．（2016秋•丰台区期末）如果某个斜坡的坡度是，那么这个斜坡的坡角为 A ．B ．C ．D ．二．填空题（共3小题）3．（2019•朝阳区模拟）2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，一位同学乘滑雪板沿斜坡笔直滑下了200米，若斜坡与水平面的夹角为，则他下降的高度为 米．（用含的式子表示）4．（2018秋•通州区期中）一运动员乘雪橇沿坡比的斜坡笔直滑下，若下滑的垂直高度为1000米．则这名运动员滑到坡底的路程是 米．5．（2017秋•石景山区期末）“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为．如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图．根据图中的数据，如果要使坡面的坡度达到，那么立柱的长为 米．三．解答题（共4小题）6．（2017秋•昌平区校级期中）深圳市民中心广场上有旗杆如图1所示，某学校数学兴趣小组测量了该旗杆的高100m 50m ()30︒60︒12()30︒45︒60︒90︒ααBC 1:1.2AC度．如图2，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为16米，落在斜坡上的影长为8米，；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为，1米的标杆竖立在斜坡上的影长为2米，求旗杆的高度．7．（2017春•西城区校级期中）上海迪士尼乐园，是中国内地首座迪士尼主题乐园，于2016年6月16日正式开园．小明和妈妈在游玩迪士尼乐园的过程中，发现了一些娱乐设施中蕴含着数学问题，请你利用所学的知识帮助小明解答这些问题：（1）游乐园里的跷跷板（如图是深受大人和孩子青睐的娱乐设施之一，如图2是跷跷板示意图，横板绕其中点上下转动，立柱与地面垂直．若，那么点被跷起的最大高度为 ．若将横板换成横板，且，仍为的中点，设点的最大高度为，则 （填“”、“ ”或“” （2）游乐园中的滑梯（如图是另一个备受小朋友喜爱的游戏．小朋友需从左侧攀爬上楼梯，再水平走至滑梯口，然后从右侧滑梯滑下，完成整个游戏过程．如图4为滑梯简图，已知左侧楼梯的倾斜角，右侧滑梯的倾斜角，整个过程中，小朋友运动的距离为，其中水平通道，那么楼梯 ，滑梯 ．8．（2015秋•北京期末）北京联合张家口成功申办2022年冬奥会后，滑雪运动已成为人们喜爱的娱乐健身项目．如AB BC CD AB BC ⊥45︒EF FG 1)AB O OC 1OC m =B h m AB A B ''2A B AB ''=O A B ''B 'h 'h 'h ><=)3)45A ∠=︒30C ∠=︒5+1BD m =AB =m DC =m图是某滑雪场为初学者练习用的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将斜坡的倾角由降为，已知原斜坡坡面长为200米，点，，在同一水平地面上，求改善后的斜坡坡角向前推进的距离．（结果保留整9．（2016•朝阳区校级模拟）如图，是某公园“六一”前新增设的一架滑梯，该滑梯高度，滑梯着地点与梯架之间的距离．（1）求滑梯的长．（2）若规定滑梯倾斜面不超过45度属于安全范围，通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？45︒30︒AB D B C BD 1.41≈ 1.73≈ 2.45)≈2AC cm =B 4BC cm =AB ()ABC ∠解直角三角形的应用-坡度坡角问题（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2019秋•石景山区期末）如图，某斜坡的长为，坡顶离水平地面的距离为，则这个斜坡的坡度为 A ．B ． CD ． 【分析】首先根据，求出，再求正切即可．【解答】解：，， ， ，， 故选：．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是掌握特殊角的三角函数值．2．（2016秋•丰台区期末）如果某个斜坡的坡度是，那么这个斜坡的坡角为 A ．B ．C ．D ．【分析】根据坡角的正切坡度，列式可得结果．【解答】解：设这个斜坡的坡角为，由题意得：， ； 故选：．【点评】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，明确坡度实际就是一锐角的正切值；在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．100m 50m ()30︒60︒12100AB m =50BC m =30α=︒100AB m =Q 50BC m =501sin 1002α∴==30α∴=︒tan 30∴︒=∴C ()30︒45︒60︒90︒=αtan α==30α∴=︒A -二．填空题（共3小题）3．（2019•朝阳区模拟）2022年在北京将举办第24届冬季奥运会，很多学校都开展了冰雪项目学习．如图，一位同学乘滑雪板沿斜坡笔直滑下了200米，若斜坡与水平面的夹角为，则他下降的高度为 米．（用含的式子表示）【分析】如图，设下滑的距离为米，下降的高度为线段．解直角三角形求出即可；【解答】解：如图，设下滑的距离为米，下降的高度为线段．在中，（米，故答案为．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．4．（2018秋•通州区期中）一运动员乘雪橇沿坡比的斜坡笔直滑下，若下滑的垂直高度为1000米．则这名运动员滑到坡底的路程是 2000 米．【分析】由坡比可得垂直高度与对应的水平宽度的比值，因而可求出垂直高度为1000米对应的水平宽度，再用勾股定理求出斜坡长即可．【解答】解：由坡比的定义得，坡面的铅直高度1000米与水平宽度之比为，所以水平宽度为（米，答：这名运动员滑到坡底的路程是2000米．故答案为：2000米．【点评】此题考查了解直角三角形坡度坡角问题，正确理解坡比的定义是解题的关键，注意坡比与坡角的区别．坡α200sin αg α200AB =AC AC 200AB =AC Rt ABC ∆sin 200sin AC AB αα==g g )200sin αg 2000=)-度是坡面的铅直高度和水平宽度的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用表示，常写成的形式．把坡面与水平面的夹角叫做坡角，坡度与坡角之间的关系为：．5．（2017秋•石景山区期末）“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为．如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图．根据图中的数据，如果要使坡面的坡度达到，那么立柱的长为 2.5 米．【分析】由坡度的概念得出，根据可得的长度． 【解答】解：根据题意知， ，， 解得：，故答案为：2.5．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握坡度的定义．三．解答题（共4小题）6．（2017秋•昌平区校级期中）深圳市民中心广场上有旗杆如图1所示，某学校数学兴趣小组测量了该旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为16米，落在斜坡上的影长为8米，；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为，1米的标杆竖立在斜坡上的影长为2米，求旗杆的高度．【分析】由同一时间内，太阳光线照射的影长，都是成比例的，所以可过点作，交于点，则，则可求出的长；由太阳光线与水平面的夹角为，可过点作，可解得h l i 1:i m =αi α:tan i h l α==BC 1:1.2AC 11.2AC AB =3AB =AC 11.2AC AB =3AB =Q ∴13 1.2AC = 2.5AC =-AB BC CD AB BC ⊥45︒EF FG C PC BC ⊥AD P PCD EFG ∆∆∽PC 45︒P PQ AB ⊥米，从而解出答案．【解答】解：过点作，交于点，过点作，垂足为，，，， （米，四边形为矩形，（米，（米，在中，，（米，（米．答：旗杆的高度为 20 米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是平行投影的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，关键是根据题意画出辅助线，得出相似三角形．7．（2017春•西城区校级期中）上海迪士尼乐园，是中国内地首座迪士尼主题乐园，于2016年6月16日正式开园．小明和妈妈在游玩迪士尼乐园的过程中，发现了一些娱乐设施中蕴含着数学问题，请你利用所学的知识帮助小明解答这些问题：（1）游乐园里的跷跷板（如图是深受大人和孩子青睐的娱乐设施之一，如图2是跷跷板示意图，横板绕其中点上下转动，立柱与地面垂直．若，那么点被跷起的最大高度为 2 ．若将横板换成横板，且，仍为的中点，设点的最大高度为，则 （填“”、“ ”或“”（2）游乐园中的滑梯（如图是另一个备受小朋友喜爱的游戏．小朋友需从左侧攀爬上楼梯，再水平走至滑梯口，16AQ PQ BC ===C PC BC ⊥AD P P PQ AB ⊥Q PCD EFG ∆∆Q ∽∴PC CD EF FG =∴812PC =4PC ∴=)Q PQBC 16PQ BC ∴==)4BQ PC ==)Q Rt APQ ∆45APQ ∠=︒16AQ PQ ∴==)16420AB AQ BQ ∴=+=+=)1)AB O OC 1OC m =B h m AB A B ''2A B AB ''=O A B ''B 'h 'h 'h ><=)3)然后从右侧滑梯滑下，完成整个游戏过程．如图4为滑梯简图，已知左侧楼梯的倾斜角，右侧滑梯的倾斜角，整个过程中，小朋友运动的距离为，其中水平通道，那么楼梯 ，滑梯 ．【分析】（1）利用三角形的中位线定理即可解决问题．（2）如图4中，作于，于．则四边形是矩形，设，构建方程求出即可解决问题．【解答】解：（1）如图2中，作于．，，，，若将横板换成横板，且，仍为的中点，设点的最大高度为，同法可得， ，故答案为2，．（2）如图4中，作于，于．则四边形是矩形，，设，在中，，，，在中，，，45A ∠=︒30C ∠=︒5+1BD m =AB =m DC =m BE AC ⊥E DF AC ⊥F BEFD BE DF xm ==x BH AC ⊥H OA OB =Q OC BH ⊥AC CH ∴=22BH OC m ∴==AB A B ''2A B AB ''=O A B ''B 'h '2h m '=h h ∴='=BE AC ⊥E DF AC ⊥F BEFD BE DF ∴=BE DF xm ==Rt ABE ∆45A ∠=︒Q AE BE xm ∴==AB ∴=Rt DCF ∆30C ∠=︒Q 22CD DF xm ∴==，，，，故答案为4．【点评】本题考查解直角三角形的应用，三角形的中位线定理，梯形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（2015秋•北京期末）北京联合张家口成功申办2022年冬奥会后，滑雪运动已成为人们喜爱的娱乐健身项目．如图是某滑雪场为初学者练习用的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将斜坡的倾角由降为，已知原斜坡坡面长为200米，点，，在同一水平地面上，求改善后的斜坡坡角向前推进的距离．（结果保留整【分析】根据题意和正切的概念分别求出、的长，计算即可．【解答】解：，，米，，5AB BD CD ++=+Q ∴125x ++=+2x ∴=AB ∴=24CD x m ==45︒30︒AB D B C BD 1.41≈ 1.73≈ 2.45)≈CB CD 90C ∠=︒Q 45ABC ∠=︒141AC BC ∴==≈tan AC D CD∠=米， 米，答：改善后的斜坡坡角向前推进的距离为104米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．9．（2016•朝阳区校级模拟）如图，是某公园“六一”前新增设的一架滑梯，该滑梯高度，滑梯着地点与梯架之间的距离．（1）求滑梯的长．（2）若规定滑梯倾斜面不超过45度属于安全范围，通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？【分析】（1）直接利用勾股定理得出的长，进而得出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值，再结合，得出答案． 【解答】解：（1）由题意可得：在直角三角形中，，答：滑梯的长为；（2）因为：，， 所以，故符合要求．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用以及坡角问题，正确把握坡角的定义是解题关键．245tan 30AC CD ∴==≈︒104BD CD CB ∴=-=BD -2AC cm =B 4BC cm =AB ()ABC ∠AB 1tan 2AC B BC ==ABC )AB cm ==AB 1tan 2AC B BC ==tan 451︒=045B ︒<<︒。
解直角三角形的应用测试题带答案
解直角三角形的应用测试题 b一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等.小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为()A. 11−sinαB. 11+sinαC. 11−cosαD. 11+cosα2.如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60∘，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45∘，则调整后的楼梯AC的长为()A. 2√3mB. 2√6mC. (2√3−2)mD. (2√6−2)m2 3 43.楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要()A. (4+4sinθ)米 2B. 4cosθ米 2 C. (4+4tanθ)米 2 D. (4+4tanθ)米 24.上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处(如图).从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45∘和北偏东15∘方向，那么在B处船与小岛M的距离为()A. 20海里B. 20√2海里C. 15√3海里D. 20√3海里5.如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为a，那么滑梯长m为()A. ℎsinαB. ℎtanαC. ℎcosαD. ℎ−sinα6.如图所示，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30∘，再向电视塔方向前进120米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60∘，则这个电视塔的高度AB(单位：米)为()A. 60√3B. 61C. 60√3+1D. 1216 7 87.某校八年级生物兴趣小组租两艘快艇去微山湖生物考察，他们从同一码头出发，第一艘快艇沿北偏西70∘方向航行50千米，第二艘快艇沿南偏西20∘方向航行50千米，如果此时第一艘快艇不动，第二艘快艇向第一艘快艇靠拢，那么第二艘快艇航行的方向和距离分别是()A. 南偏东25∘，50√2千米B. 北偏西25∘，50√2千米C. 南偏东70∘，100千米D. 北偏西20∘，100千米8.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45∘方向，距离灯塔60nmile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30∘方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为()A. 60√3nmileB. 60√2nmileC. 30√3nmileD. 30√2nmile9.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为()A. 26米B. 28米C. 30米D. 46米9 10 1110.如图是某水库大坝的横截面示意图，已知AD//BC，且AD、BC之间的距离为15米，背水坡CD的坡度i=1：0.6，为提高大坝的防洪能力，需对大坝进行加固，加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米，背水坡EF的坡度i=3：4，则大坝底端增加的长度CF是()米．A. 7B. 11C. 13D. 20二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=12√3米，∠B=60∘，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE=313√3，则CE的长为________米.12.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30∘，测得底部C的俯角为60∘，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为______ 米.(精确到1米，参考数据：√3≈1.73)12 14 1513.小明沿着坡度i为1：√3的直路向上走了50m，则小明沿垂直方向升高了______ m.14.如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60∘，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45∘，则调整后楼梯AC长为______ 米.15.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34∘的斜坡，从A滑行至B，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了______米.(参考数据：sin34∘≈0.56，cos34∘≈0.83，tan34∘≈0.67)16.如图，为测量某栋楼房AB的高度，在C点测得A点的仰角为30∘，朝楼房AB方向前进10米到达点D，再次测得A点的仰角为60∘，则此楼房的高度为______ 米(结果保留根号)．16 17 1817.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30∘、45∘，如果此时热气球C处的高度为200米，点A、B、C在同一直线上，则AB两点间的距离是______米(结果保留根号)．18.如图，水库堤坝的横断面是梯形，测得BC长为30m ，CD 长为20√5m，斜坡AB的坡比为1：3，斜坡CD的坡比为1：2，则坝底的宽AD为______m.19.如图，某堤坝的斜坡AB的斜角是α，坡度是1：√3，则α=______．20.某兴趣小组借助无人飞机航拍，如图，无人飞机从A处飞行至B处需12秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75∘，B处的仰角为30∘.已知无人飞机的飞行速度为3米/秒，则这架无人飞机的飞行高度为(结果保留根号)______ 米.三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等.测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60∘，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30∘，AB=14米.求居民楼的高度(精确到0.1米，参考数据：√3≈1.73)22.某兴趣小组借助无人飞机航拍校园.如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75∘，B处的仰角为30∘.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度.(结果保留根号)23.如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18∘，教学楼底部B的俯角为20∘，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．(1)求∠BCD的度数．(2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m，参考数据：tan20∘≈0.36，tan18∘≈0.32)24.如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30∘，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60∘，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45∘，其中点A、C、E在同一直线上．(1)求斜坡CD的高度DE；(2)求大楼AB的高度(结果保留根号)四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30∘，测得大楼顶端A的仰角为45∘(点B，C，E在同一水平直线上)，已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离(结果精确到0.1m)(参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732)26.如图，某湖中有一孤立的小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PQ通往小岛，某同学在观光道AB上测得如下数据：AB=100米，∠PAB=45∘，∠PBA=30∘.请求出小桥PQ的长.(√2≈1.414,√3≈1.732，结果精确到0.1米)答案和解析【答案】1. A2. B3. D4. B5. A6. C7. B8. B9. D10. C11. 812. 20813. 2514. 2√615. 28016. 5√317. 200(√3+1)18. 13019. 30∘20. 9√3+921. 解：设每层楼高为x米，由题意得：MC′=MC−CC′=2.5−1.5=1米，∴DC′=5x+1，EC′=4x+1，在Rt△DC′A′中，∠DA′C′=60∘，∴C′A′=DC′tan60∘=√33(5x+1)，在Rt△EC′B′中，∠EB′C′=30∘，∴C′B′=EC′tan30∘=√3(4x+1)，∵A′B′=C′B′−C′A′=AB，∴√3(4x+1)−√33(5x+1)=14，解得：x≈3.17，则居民楼高为5×3.17+2.5≈18.4米．22. 解：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，由题意得：∠ACH=75∘，∠BCH=30∘，AB//CH，∴∠ABC=30∘，∠ACB=45∘，∵AB=32m，∴AD=CD=16m，BD=AB⋅cos30∘=16√3m，∴BC=CD+BD=(16√3+16)m，则BH=BC⋅sin30∘=(8√3+8)m．23. 解：(1)过点C作CE⊥BD，则有∠DCE=18∘，∠BCE=20∘，∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18∘+20∘=38∘；(2)由题意得：CE=AB=30m，在Rt△CBE中，BE=CE⋅tan20∘≈10.80m，在Rt△CDE中，DE=CD⋅tan18∘≈9.60m，∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4m，则教学楼的高约为20.4m．24. 解：(1)在Rt△DCE中，DC=4米，∠DCE=30∘，∠DEC=90∘，∴DE=12DC=2米；(2)过D作DF⊥AB，交AB于点F，∵∠BFD=90∘，∠BDF=45∘，∴∠BFD=45∘，即△BFD为等腰直角三角形，设BF=DF=x米，∵四边形DEAF为矩形，∴AF=DE=2米，即AB=(x+2)米，在Rt△ABC中，∠ABC=30∘，∴BC=ABcos30∘=x+2√32=2x+4√3=√3(2x+4)3米，BD=√2BF=√2x米，DC=4米，∵∠DCE=30∘，∠ACB=60∘，∴∠DCB=90∘，在Rt△BCD中，根据勾股定理得：2x2=(2x+4)23+16，解得：x=4+4√3，则AB=(6+4√3)米．25. 解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE=BF=CH=10m，在直角△ADF中，∵AF=80m−10m=70m，∠ADF=45∘，∴DF=AF=70m．在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30∘，∴CE=DEtan30∘=10√33=10√3(m)，∴BC=BE−CE=70−10√3≈70−17.32≈52.7(m)．答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．26. 解：设PQ=x米，在直角△PAQ中，tan∠PAQ=x AQ，∴AQ=xtan45∘=x，在直角△PBQ中，tan∠PBQ=x BQ，∴BQ=xtan30∘=√3x，∵AB=100米，∴x+√3x=100，解得：x=50√3−50≈36.6(米)．答：小桥PQ的长度约是36.6米．【解析】1. 解：设PA =PB=PB′=x，在RT△PCB′中，，∴x−1x=sinα，∴x−1=xsinα，∴(1−sinα)x=1，∴x=11−sinα．故选：A．设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根据，列出方程即可解决问题．本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．2. 解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=ADAB，∴AD=4sin60∘=2√3(m)，在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=ADAC，∴AC=2√3sin45∘=2√6(m)．选B．先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可．本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式.把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=tanα．3. 解：在Rt△ABC中，BC=AC⋅tanθ=4tanθ(米)，∴AC+BC=4+4tanθ(米)，∴地毯的面积至少需要1×(4+4tanθ)=4+4tanθ(米 2)；故选：D．由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键．4. 解：如图，过点B作BN⊥AM于点N．由题意得，AB=40×12=20海里，∠ABM=105∘．作BN⊥AM于点N．在直角三角形ABN中，BN=AB⋅sin45∘=10√2．在直角△BNM中，∠MBN=60∘，则∠M=30∘，所以BM=2BN=20√2(海里)．故选B．过点B作BN⊥AM于点N.根据三角函数求BN的长，从而求BM的长．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．5. 解：∵sina=hm，∴m=hsina．故选A．根据三角函数的定义即可求解．本题考查了三角函数的定义，理解定义是关键．6. 【分析】根据题意求出CE的长，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质求出AE的长，根据正弦的定义计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，理解仰角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．【解答】解：由题意得，CE=DF=120m，∠EAC=∠AEG−∠ACE=30∘，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=DF=120m，∴AG=AE×sin∠AEG=60√3m，∴AB=AG+GB=(60√3+1)m．故选：C．7. 解：∵第一艘快艇沿北偏西70∘方向，第二艘快艇沿南偏西20∘方向，∴∠BOA=90∘，∵BO=AO=50km，∴AB=50√2km，∠B=∠OAB=45∘，∵第二艘快艇沿南偏西20∘方向，∴∠1=∠CAO=20∘，∴∠2=45∘−20∘=25∘，∴第二艘快艇航行的方向和距离分别是：北偏西25∘，50√2千米．故选：B．根据题意得出AO=BO以及∠BOA=90∘，进而得出第二艘快艇航行的方向和距离．此题主要考查了方向角以及勾股定理，正确把握方向角的定义是解题关键．8. 解：如图作PE⊥AB于E．在Rt△PAE中，∵∠PAE=45∘，PA=60nmile，∴PE=AE=√22×60=30√2nmile，在Rt△PBE中，∵∠B=30∘，∴PB=2PE=60√2nmile，故选：B．如图作PE⊥AB于E.在Rt△PAE中，求出PE，在Rt△PBE中，根据PB=2PE即可解决问题．本题考查方向角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识.解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．9. 解：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，∴AE=1.5BE=18米，∵BC=10米，∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，故选：D．先根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．10. 解：过D作DG⊥BC于G，EH⊥BC于H，∴GH=DE=2，∵DG=EH=15，背水坡CD的坡度i=1：0.6，背水坡EF的坡度i=3：4，∴CG=9，HF=20，∴CF=GH+HF−CG=13米，故选C．过D作DG⊥BC于G，EH⊥BC于H，解直角三角形即可得到结论．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般．11. 解：分别过A、D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示．∵在Rt△ABF中，AB=12米，∠B=60∘，∴sin∠B=AFAB，∴AF=12×√32=6√3，∴DG=6√3．∵在Rt△DGC中，CD=12√3，DG=6√3米，∴GC=√CD2−DG2=18．∵在Rt△DEG中，tanE=313√3，∴6√3GE =313√3，∴GE=26，∴CE=GE−CG=26−18=8．即CE的长为8米．故答案为8．分别过A、D作下底的垂线，设垂足为F、G.在Rt△ABF中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度AF的值，也就得到了DG的长；在Rt△CDG中，由勾股定理求CG的长，在Rt△DEG中，根据正切函数定义得到GE的长；根据CE=GE−CG即可求解．本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，锐角三角函数的定义，勾股定理.作辅助线构造直角三角形是解答此类题的一般思路．12. 解：由题意可得：tan30∘=BDAD=BD90=√33，解得：BD=30√3，tan60∘=DCAD=DC90=√3，解得：DC=90√3，故该建筑物的高度为：BC=BD+DC=120√3≈208(m)，故答案为：208．分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度．此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．13. 解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，∵坡度：i=1：√3，∴tan∠A=1：√3=√33，∴∠A=30∘，∵AB=50m，∴BE=12AB=25(m)．∴他升高了25m．故答案为：25．首先根据题意画出图形，由坡度为1：√3，可求得坡角∠A=30∘，又由小明沿着坡度为1：√3的山坡向上走了50m，根据直角三角形中，30∘所对的直角边是斜边的一半，即可求得答案．此题考查了坡度坡角问题.此题比较简单，注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．14. 解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=ADAB，∴AD=4sin60∘=2√3(m)，在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=ADAC，∴AC=2√3sin45∘=2√6(m)．故答案是：2√6．先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可．本题考查了解直角三角形的实际应用中的坡度坡角问题，难度不大，注意细心运算即可．15. 解：如图在Rt△ABC中，AC=AB⋅sin34∘=500×0.56≈280m，∴这名滑雪运动员的高度下降了280m．故答案为280如图在Rt△ABC中，AC=AB⋅sin34∘=500×0.56≈280m，可知这名滑雪运动员的高度下降了280m．本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．16. 解：∵在直角三角形ADB中，∠D=30∘，∴ABBD=tan30∘，∴BD=ABtan30∘=√3AB，∵在直角三角形ABC中，∠ACB =60∘，∴BC=ABtan60∘=√33AB，∵CD=10，∴CD=BD−BC=√3AB−√33AB=10，解得：AB=5√3．故答案为：5√3．首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=BD−BC=10构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．17. 解：∵从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30∘、45∘，∴∠BCD=90∘−45∘=45∘，∠ACD=90∘−30∘=60∘，∵CD⊥AB，CD=200m，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD=200m，在Rt△ACD中，CD=200m，∠ACD=60∘，∴AD=CD⋅tan60∘=200×√3=200√3m，∴AB=AD+BD=200√3+200=200(√3+1)m．故答案为：200(√3+1)．先根据从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30∘、45∘可求出∠BCD与∠ACD的度数，再由直角三角形的性质求出AD与BD的长，根据AB=AD+BD即可得出结论．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．18. 解：作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，∵斜坡CD的坡比为1：2，即CFDF =12，∴DF=2CF，又CD=20√5m，∴CF=20m，DF=40m，由题意得，四边形BEFC是矩形，∴BE=CF=20m，EF=BC=30m，∵斜坡AB的坡比为1：3，∴BEAE =13，即AE=3BE=60m，∴AD=AE+EF+DF=130m，故答案为：130m．作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，根据坡度的概念分别求出AE、DF，结合图形计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键，掌握矩形的判定和性质的应用．19. 解：tanα=1：√3，则α=30∘．故答案是：30∘．根据坡度就是坡角的正切值即可求解．本题主要考查了坡度的定义，理解坡度和坡角的关系是解题的关键．20. 解：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，由题意得：∠ACH=75∘，∠BCH=30∘，AB//CH，∴∠ABC=30∘，∠ACB=45∘，∵AB=3×12=36m，∴AD=CD=18m，BD=AB⋅cos30∘=18√3m，∴BC=CD+BD=(18√3+18)m，∴BH=BC⋅sin30∘=(9√3+9)m．故答案为：9√3+9．作AD⊥BC，BH⊥水平线，根据题意确定出∠ABC与∠ACB的度数，利用锐角三角函数定义求出AD与BD的长，由CD+BD求出BC的长，即可求出BH的长．此题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．21. 设每层楼高为x米，由MC−CC′求出MC′的长，进而表示出DC′与EC′的长，在直角三角形DC′A′中，利用锐角三角函数定义表示出C′A′，同理表示出C′B′，由C′B′−C′A′求出AB的长即可．此题属于解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．22. 如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，根据题意确定出∠ABC与∠ACB的度数，利用锐角三角函数定义求出AD与BD的长，由CD+BD求出BC的长，即可求出BH的长．此题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．23. (1)过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可；(2)在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由BE+DE求出BD的长，即为教学楼的高．此题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．24. (1)在直角三角形DCE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可；(2)过D作DF垂直于AB，交AB于点F，可得出三角形BDF为等腰直角三角形，设BF=DF=x，表示出BC，BD，DC，由题意得到三角形BCD为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AB的长．此题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．25. 如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H.通过解直角△AFD得到DF的长度；通过解直角△DCE得到CE的长度，则BC=BE−CE．本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题.要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．26. 设PQ=x米，在直角△PAQ和直角△PBQ中分别利用x表示出AQ和BQ的长，根据AB=AQ+BQ，即可列方程求得x的值．本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般．。
【浙教版】2022年九年级(上)期末复习培优提分专项训练：解直角三角形的应用(方位角问题)(原卷)
【浙教版】2022年九年级（上）期末复习培优提分专项训练解直角三角形的应用（方位角问题）1．（2022·浙江宁波·一模）如图，某渔船沿正东方向以10海里／小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东60°方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛周围9海里内有暗礁．参考数据：√3≈1.732，sin75°≈0.966，cos75°≈0.259．(1)B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？(2)如果渔船在B处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？2．（2022·浙江宁波·九年级专题练习）我国海域辽阔，渔业资源丰富，如图，现有渔船以18√2km/ℎ的速度在海面上沿正东方向航行，当行至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，船续向东航行30min后达到C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向．(1)求此时渔船与灯塔B的距离．(2)若渔船继续向东行驶，还要行驶多少千米与B的距离达到最小值．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）3．（2022·浙江宁波·一模）如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向．(1)直接写出∠ACB的度数是；(2)测量发现∠BAC=20°，A岛与C岛之间的距离AC=20海里，求A岛与B岛之间的距离．（结果精确到0.1海里）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）4．（2021·浙江丽水·一模）如图，某海岸边有B，C两个码头，C码头位于B码头的正东方向，距离B码头60海里．甲、乙两船同时从A岛出发，甲船向位于A岛正北方向的B码头航行，乙船向位于A岛北偏东30°方向的C码头航行，当甲船到达距离B码头45海里的E 处时，乙船位于甲船北偏东60°方向的D处，求此时乙船与C码头之间的距离．（结果保留根号）5．（2022·浙江·一模）小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D 点，测得C点在D点的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离．（结果保留0.1km．参数数据√3≈1.732）6．（2022·浙江金华·一模）某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛北偏西30°方向上，距A岛120海里．有一艘船从A岛出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B岛南偏东75°方向的C处．(1)求∠BCA的度数．(2)求BC的长．7．（2022·浙江宁波·九年级期末）如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在A处测得小岛C在北偏东70∘方向，2小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东45∘方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁．（参考数据：sin70∘≈0.94,cos70∘≈0.34,tan70∘≈2.75,√2≈1.41）(1)求B处距离小岛C的距离（精确到0.1海里）；(2)为安全起见，渔船在B处向东偏南转了25∘继续航行，通过计算说明船是否安全？8．（2021·浙江·杭州外国语学校九年级阶段练习）阅读下列材料，并解决问题．如图（1），在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，过点A作AD∠BC于点D，则sinB=ADc ，sinC=ADb，即AD＝c sin B，AD＝b sin C．于是c sin B＝b sin C，即bsinB=csinC．同理有：csinC =asinA，asinA=bsinB，所以asinA=bsinB=csinC．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．（1）如图（2），一货轮在B处测得灯塔A在货轮的北偏东15°的方向上，随后货轮以80海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达C处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，求此时货船距灯塔A的距离AC．（2）在（1）的条件下，试求75°的正弦值．（结果保留根号）9．（2020·浙江衢州·九年级期末）某社会实践活动小组实地测量河两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走50m 到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，如图．（1）求∠CBA的度数；（2）求这段河的宽度．（结果精确到1m）10．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校九年级期中）期中测试临近学生都在紧张的复习中，小甘和小西相约周末去图书馆复习，如图，小甘从家A地沿着正东方向走900m 到小西家B地，经测量图书馆C地在B地的北偏东15°，C地在A地的东北方向．(1)求AC的距离：(2)两人准备从B地出发，实然接到疾控中心通知，一名确诊的新冠阳性患者昨天经过了C 地，并沿着C地南偏东22°走了1800m到达D地，根据相关要求，凡是确诊者途径之处800m 区域以内都会划为管控区，问：小西家会被划为管控区吗？请说明理由（参考数据：√3≈1.73,√2≈1.41,√6≈2.45,sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75）．11．（2021·河南·辉县市太行中学九年级期中）如图，一位自行车爱好者沿宿鸭湖湖边正东方向笔直的公路BC骑行，在B地测得湖中小岛上某建筑物A在北偏东45°方向，行驶12min 后到达C地，测得建筑物A在北偏西60°方向，如果此自行车爱好者的速度为60km/h，求建筑物A到公路BC的距离．（结果保留根号）【分母有理化：√3+1=√3−1(√3+1）)(√3-−1)=√3−12】12．（2022·上海市民办新复兴初级中学九年级期中）如图，一艘海岸巡逻快艇在基地A的正东方向，且距A地13海里的B处巡逻．突然接到基地A命令，要该快艇前往C岛，接送一名病人到基地A的医院救治．已知C岛在基地A的南偏东α的方向，且在B处南偏东β的方向，巡逻快艇从B处出发，平均每小时行驶30海里，需要多少时间才能把病人送到基地A的医院？（参考数据：tanα=158，sinβ=45）13．（2022·山东青岛·九年级期中）九年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了220米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向走了200米，到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了200米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处．(1)求从手工坊D处回到门口A处的距离．(2)求从手工坊D处回到门口A处的方位角．[参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75]14．（2022·重庆一中九年级阶段练习）公园大门A的正东方向原本有一条通往湖心小岛B的景观步道AB，但为了让市民朋友多角度欣赏公园景色，市政府决定新修一条景观步道通往湖心小岛B，新步道从A出发通向C地，C位于A的北偏西45°方向，AC=800米，再从C 地到达湖心小岛B，其中C位于B的北偏西60°方向，甲工程队以每天60米的速度进行单独施工，2天后，为了加快工程进度，乙工程队以每天90米的速度加入项目建设，直到两队起完成景观步道的修建．（参考数据：√2≈1.4）(1)求A、B两地的距离（结果保留根号）；(2)新的景观步道能否在15天内完成？请说明理由．15．（2022·山东·济南市大学城实验学校九年级阶段练习）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD=100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．(1)求步道DE的长度（精确到个位）；(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7）16．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东45°方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东22°方向上．（参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.927，tan22°≈0.404，√3≈1.732．）(1)求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）(2)如果轮船M沿着南偏东30°的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．17．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为AC=3千米，灯塔B到航线l的距离为BD=4千米，灯塔B位于灯塔A南偏东60°方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西53°方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点C（在航线l上）处．（参考数据：√3≈1.73，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）(1)求两个灯塔A和B之间的距离；(2)求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．18．（2022·重庆八中九年级阶段练习）如图，在竖直的海岸线上有长为68米的码头AB，现有一艘货船在点P处，从码头A处测得货船在A的东南方向，若沿海岸线向南走30米后到达点C，在C处测得货船在C的南偏东75°方向．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）(1)求货船到A的距离（结果精确到1米）；(2)若货船从点P出发，沿着南偏西60°的方向行驶，请问该货船能否行驶到码头所在的线段AB上？请说明理由．19．（2022·四川·仁寿县黑龙滩镇光相九年制学校九年级期末）小明周未与父母一起到眉山湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B，C处各有一棵被湖水隔开的银杏树.他在A处测得B在西北方向，C在北偏东30°方向.他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．(1)求∠C的度数；(2)求两棵银杏树B，C之间的距离．（结果保留根号）20．（2022·广东·广州市越秀区育才实验学校二模）如图，我国一艘海监执法船在南海海域进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向距离为40海里的B处有一艘可疑船只正在向正东方向航行，我海监执法船便迅速沿北偏东75°方向前往监视巡查，经过一段时间在C处成功拦截可疑船只．求我海监执法船前往监视巡查的过程中行驶的路程（即AC长）？（结果精确到0.1海里，√3≈1.732，√2≈1.414，√6≈2.449）21．（2021·山东·泰安市泰山区大津口中学九年级阶段练习）如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）22．（2022·湖南湘潭·八年级期末）如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群，在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向；40min后，渔船行至B处，此时测得小岛C在船的北偏东30°方向．已知以小岛C为中心，周围10海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？23．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级阶段练习）如图，海中有一个小岛A，它周围8n mile 内有暗礁. 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60∘方向上，航行12n mile 到达D点，这时测得小岛A在北偏东30∘方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？24．（2022·黑龙江·大庆市祥阁学校九年级期中）为了维护我国海域安全，某巡逻艇从码头A 出发向东航行40海里后到达B处，再从B处沿北偏东30°方向行驶40海里到达C处，然后沿北偏西60°方向航行到D处，发现码头A在正南方向．求此时巡逻艇与码头A的距离．(结果保留根号）25．（2022·四川资阳·中考真题）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100√3米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道AB的长度．（结果保留根号）26．（2022·重庆市江津中学校八年级阶段练习）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r 为10(3+√3)海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20√5海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．(1)求A、P之间的距离AP；(2)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．27．（2022·重庆市第三十七中学校九年级阶段练习）海洋安全预警系统为海洋安全管理起到了巨大作用，某天海洋监控中心收到信息，在A的北偏西60°方向的120海里的C处，疑似有海盗船在沿CB方向行驶，C在B的北偏西30°方向上，监控中心向A正西方向的B处海警船发出指令，海警船立即从B出发沿BC方向行驶，在距离A为60√2海里的D处拦截到该可疑船只．(1)求点A到直线CB的距离；(2)若海警船的速度是30海里/小时，那么海警船能否在1小时内拦截到可疑船只？请说明理由．（结果保留一位小数，参考数据：√3≈1.73）28．（2021·河南·油田十中九年级阶段练习）如图，是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图；为增强体质，他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB，BC，CA跑步（小路的宽度不计），观测得点B在点A的南偏东30°方向上，点C在点A的南偏东60°的方向上，点B 在点C的北偏西75°方向上，AC间距离为400米．小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米？（结果精确到1米，参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7）29．（2022·贵州安顺·中考真题）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善．某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G 基站塔AB ，小明在坡脚C 处测得塔顶A 的仰角为45°，然后他沿坡面CB 行走了50米到达D 处，D 处离地平面的距离为30米且在D 处测得塔顶A 的仰角53°．（点A 、B 、C 、D 、E 均在同一平面内，CE 为地平线）（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）(1)求坡面CB 的坡度；(2)求基站塔AB 的高．30．（2022·辽宁丹东·中考真题）如图，我国某海域有A ，B ，C 三个港口，B 港口在C 港口正西方向33.2nmile （nmile 是单位“海里”的符号）处，A 港口在B 港口北偏西50°方向且距离B 港口40nmile 处，在A 港口北偏东53°方向且位于C 港口正北方向的点D 处有一艘货船，求货船与A 港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）。
解直角三角形练习题
解直角三角形练习题解直角三角形练习题一、基础知识练习题：1. 在一个直角三角形ABC中，∠A = 90°， AB = 6cm， AC = 8cm，求BC的长度。
2. 若一个直角三角形的另外两个角的度数分别是30°和60°，求斜边的长。
3. 已知一个直角三角形的斜边长是10cm，一个锐角的度数是45°，求直角边的长度。
4. 在一个直角三角形PQR中，∠P = 90°， PQ = 5cm， QR = 13cm，求PR的长度。
5. 若一个直角三角形的直角边长分别是3cm和4cm，求斜边的长。
二、综合运用练习题：1. 一个直角三角形ABC，∠A = 90°， AB = x cm， AC = 8cm，BC = 10cm。
求x的值。
2. 已知一个直角三角形的斜边长是8cm，一个锐角的度数是30°，求直角边的长度。
3. 在一个直角三角形MNP中，∠N = 90°， MN = x cm， NP = 12cm， MP = 20cm。
求x的值。
4. 若一个直角三角形的直角边长分别是2x cm和3x cm，求斜边的长。
5. 已知一个直角三角形的斜边长是15cm，一个锐角的度数是60°，求直角边的长度。
三、挑战练习题：1. 在一个直角三角形DEF中，∠D = 90°， DE = 12cm， DF = x cm， EF = x + 2cm。
求x的值。
2. 若一个直角三角形的直角边长是4x cm和5x cm，求斜边的长。
3. 在一个直角三角形XYZ中，∠Z = 90°， XY = 10cm， XZ = 3x cm， YZ = 4x cm。
求x的值。
4. 已知一个直角三角形的斜边长是20cm，一个锐角的度数是45°，求直角边的长度。
5. 在一个直角三角形GHI中，∠G = 90°， GH = x cm， GI = 15cm， HI = 3x cm。
2021春九年级数学中考一轮复习《解直角三角形应用(仰角俯角)》达标测评(附答案)
2021春九年级数学中考一轮复习《解直角三角形应用（仰角俯角）》达标测评（附答案）1．一天，小明和朋友一起到小区测量小明所住楼房的高度，他们首先在A测得楼房顶部E 的仰角为37°，然后沿着斜坡AB走了7.8米到B处，再测得楼房顶部E的仰角为45°，身高忽略不计．已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4，楼房EF所离BC高度CD为1.8米．则楼房自身高度EF大约为（）米（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．40.8B．33.6C．31.8D．30.62．在西昌卫星发射中心，长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道．如图，火箭从地面P处发射，当火箭达到A点时，从位于地面Q处雷达站测得的距离是9千米，仰角∠AQP为a，则发射台P与雷达站Q之间的距是（）A．9sin a千米B．9cos a千米C．千米D．千米3．小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，在地面D处用高为1米的测角仪测得路灯A的仰角为30°，再向路灯方向前进2米到达E处，又测得路灯A的仰角为45°（点A，B，C，D，E，G在同一平面内），则路灯A离地面的高度为（）A．3米B．（+1）米C．（+2）米D．2米4．如图，一艘潜水艇在海面下300米的点A处发现其正前方的海底C处有黑匣子，同时测得黑匣子C的俯角为30°，潜水艇继续在同一深度直线航行960米到点B处，测得黑匣子C的俯角为60°，则黑匣子所在的C处距离海面的深度是（）A．（480+300）米B．（960+300）米C．780米D．1260米5．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测倾器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为（）米（小平面镜的大小忽略不计）A．16.5B．17C．17.5D．186．如图，小明为了测量照母山上“览星塔”AB的高度，先从与塔底中心B在同一水平面上的点D出发，沿着坡度为1：0.75的斜坡DE行走10米至坡顶E处，再从E处沿水平方向继续前行若干米后至点F处，在F点测得塔顶A的仰角为63°，塔底C的俯角为45°，B与C的水平距离为4米（图中A、B、C、D、E、F在同一平面内，E、F和D、C、B分别在同一水平线上），根据小明的测量数据，计算出“览星塔”AB的高度约为（计算结果精确到0.1米，参考数据：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96）（）A．17.8米B．23.7米C．31.5米D．37.4米7．如图，学校某数学兴趣小组想测量操场对面旗杆AB的高度，他们在C点测得旗杆顶部A的仰角为35°，再沿着坡度为3：4的楼梯向下走了3.5米到达D处，再继续向旗杆方向走了15米到达E处，在E处测得旗杆顶部A的仰角为65°，已知旗杆AB所在平台BF的高度为3.5米，则旗杆的高度AB为（）（结果精确到0.1，参考数据：tan35°≈0.7，tan65°≈2.1）．A．19.8米B．19.7米C．18.3米D．16.2米8．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度为i＝1：2.4，坡长为26米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（）米（结果精确到1米）（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°＝0.45）A．27B．28C．29D．309．如图，在某居民楼AB楼顶有一广告牌BC，在距楼底A点左侧水平距离30m的D点处有一个山坡，山坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，山坡坡底D点到坡顶E点的距离DE ＝26m，在坡底D点处测得居民楼楼顶B点的仰角为45°，在坡顶E点处测得居民楼楼顶广告牌上端C点的仰角为27°，居民楼AB，广告牌BC与山坡DE的剖面在同一平面内，则广告牌BC的高度约为（）（结果精确到0.1，参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．4.5m B．4.8m C．7.1m D．7.5m10．如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，通过测量可知河的宽度CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，则AC＝m（计算结果用含根号的式子表示）．11．已知甲、乙两楼相距30米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为45°，从乙楼顶看甲楼顶，测得俯角为30°，那么甲楼高是米．12．如图，物理老师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA的位置时俯角，在OB的位置时俯角．若OC⊥EF，点A比点B高7cm．则从点A摆动到点B经过的路径长为cm．13．如图，建筑物的高CD为10m．在其楼顶C，测得旗杆底部B的俯角α为45°，旗杆顶部A的仰角β为20°，则旗杆AB的高度为m．（结果精确到0.1m）[sin20°＝0.342，cos20°＝0.940，tan20°＝0.364．]14．如图，海面上有一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，在B处测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，则∠ACB的度数为．15．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A 和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）16．如图，小明为测量大树MN的高度，在点A处测得大树顶端M的仰角是30°，沿NA 的方向后退50米到达点B，测得大树顶端M的仰角是15°，A，B，N在同一水平线上，若小明的身高忽略不计，则大树高约为米．17．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝30m，在教学楼AC的底部C点测实验楼顶部B点的仰角为α，且sinα＝，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，则教学楼AC的高度是m（结果保留根号）．18．如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是10米，梯坎坡长BC是10米，梯坎坡度i BC＝1：，则大楼AB的高为米．19．如图，楼房AB建在山坡BC上，其坡度为i＝1：2，小明从山坡底部C处测得点A的仰角为56.35°，已知山坡的高度BD为10米，求楼房AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度BD与水平宽度CD的比）（结果精确到1米，参考数据：sin56.35°≈0.83，cos56.35°≈0.55，tan56.35°≈1.50）20．数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度．小明同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了．他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）．室内测量组来到教室内窗台旁，在点E处测得旗杆顶部A的仰角α为45°，旗杆底部B的俯角β为60°．室外测量组测得BF的长度为5米，求旗杆AB的高度．21．某学习小组，为了测量旗杆AB的高度，他们在大楼MN第10层D点测得旗杆底端B 的俯角是32°，又上到第35层，在C点测得旗杆顶端A的俯角是60°，每层楼高度是2.8米，请你根据以上数据计算旗杆AB的高度．（精确到0.1米，已知：sin32°≈0.37，cos32°≈0.93，tan32°≈0.62，≈1.73）22．某中学门口新装了一批太阳能路灯，在路面A点观察点D的仰角为60°，观察点C的仰角为45°，灯管安装处D点与太阳能电池板安装处E点在同一水平线上，已知灯管支架CD长度为1.4米，且∠DCE＝53°，求路灯杆BE的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.732）23．吴兴区某中学开展研学实践活动，来到了“两山”理论发源地﹣﹣安吉余村，看到了“两山”纪念碑．如图，想测量纪念碑AB的高度，小明在纪念碑前D处用测角仪测得顶端A 的仰角为60°，底端B的俯角为45°；小明又在同一水平线上的E处用测角仪测得顶端A的仰角为30°，已知DE＝8m，求该纪念碑AB的高度．（≈1.7，结果精确到0.1m）24．为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）．（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；（2）当下引桥坡度i＝1：2时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）．25．汝阳某公司举办热气球表演来庆祝开业，如图，小敏、小亮从A，B两地观测空中C处一个气球，分别测得仰角为37°和45°，A、B两地相距100m．当气球沿与BA平行地飘移100秒后到达D处时，在A处测得气球的仰角为60°．（1）求气球的高度；（2）求气球飘移的平均速度．（参考数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75，≈1.7．）26．如图，某建筑AB与山坡CD的剖面在同一平面内，在距此建筑AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得建筑楼顶A点的仰角为30°，求此建筑AB的高度．（结果用无理数表示）参考答案1．解：过A作AH⊥BC交CB的延长线于点H，延长BC交EF的延长线于点G，作AJ⊥EF于点J，如图所示：则四边形AHGJ与四边形DCGF都是矩形，∴FG＝CD＝1.8米，AH＝JG，在Rt△AHB中，AB＝7.8米，＝，∴AH＝3（米），BH＝7.2（米），∵∠EBG＝45°，∠G＝90°，∴BG＝EG，设BG＝EG＝x米．则HG＝AJ＝（x+7.2）米，EJ＝（x﹣3）米，在Rt△AEJ中，tan∠EAJ＝≈0.75，∴≈0.75，解得：x≈33.6，即EG≈33.6米∴EF＝EG﹣FG≈33.6﹣1.8＝31.8（米），故选：C．2．解：在Rt△APQ中，cos∠AQP＝，∴PQ＝AQ×cos∠AQP＝9cosα（千米），即发射台P与雷达站Q之间的距是9cosα千米，故选：B．3．解：如图，过点B作BH⊥AG于点H，则∠BHA＝90°．由题意可知：∠ABC＝30°，∠ACH＝45°，BC＝DE＝2（米）．BD＝EC＝GH＝1（米），∵∠CAH＝∠ACH＝45°．∴AH＝CH，设AH＝x，则CH＝x．∴BH＝BC+CH＝2+x．在Rt△ABH中，∠ABH＝30°，∴tan30°＝，即＝，解得x＝+1，即AH＝+1，∴AG＝AH+HG＝+1+1＝（+2）m．答：路灯A离地面的高度为（+2）m．故选：C．4．解：由C点向AB作垂线，交AB的延长线于E点，并交海面于F点．已知AB＝960米，∠BAC＝30°，∠EBC＝60°，∵∠BCA＝∠EBC﹣∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠BCA．∴BC＝BA＝960（米）．在Rt△BEC中，sin∠EBC＝，∴CE＝BC•sin60°＝960×＝480（米）．∴CF＝CE+EF＝（480+300）米，故选：A．5．解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝0.5米．在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，∴AH＝CH＝BD，∴AB＝AH+BH＝BD+0.5．∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°．由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABG（AA），∴＝即＝，解得：BD＝17.5，∴AB＝17.5+0.5＝18（m）．∴这棵古树的高AB为18m．故选：D．6．解：过F作FG⊥AB于G，过C作CH⊥FG于H，如图所示：则PE＝CH＝BG，GH＝BC＝4，∵斜坡DE的坡度为1：0.75，∴＝＝，设PD＝3x，则PE＝4x，在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝5x，∴5x＝10，∴x＝2，∴CH＝BG＝PE＝8，∵∠CFH＝45°，∴△CFH是等腰直角三角形，∴FH＝CH＝8，∴FG＝FH+GH＝12，在Rt△AFG中，tan∠AFG＝，∴AG＝FG×tan63°≈12×1.96＝23.52，∴AB＝AG+BG＝23.52+8＝31.5（米），即“览星塔”AB的高度约为31.5米，故选：C．7．解：作CG⊥AF于G，DH⊥CG于H，如图所示：则HG＝DF，FG＝DH，∵楼梯CD的坡度为3：4，CD＝3.5，∴FG＝DH＝2.1，CH＝2.8，在Rt△ACG中，∠ACG＝35°，tan∠ACG＝＝tan35°≈0.7，∴AG≈0.7CG，∴AF＝AG+FG＝0.7CG+2.1，∵DF＝HG＝CG﹣CH＝CG﹣2.8，∴EF＝DF﹣DE＝CG﹣2.8﹣15＝CG﹣17.8，在Rt△AEF中，∠AEF＝65°，tan∠AEF＝＝tan65°≈2.1，∴AF＝2.1EF，∴0.7CG+2.1＝2.1（CG﹣17.8），解得：CG＝28.2，∴AF＝0.7×28.2+2.1＝21.84，∴AB＝AF﹣BF＝21.84﹣3.5≈18.3（米），即旗杆的高度AB约为18.3米；故选：C．8．解：如图，延长AB交ED的延长线于F，作CG⊥EF于G，由题意得：FG＝BC＝20米，DE＝40米，BF＝CG，在Rt△CDG中，i＝1：2.4，CD＝26米，∴BF＝CG＝10米，GD＝24米，在Rt△AFE中，∠AFE＝90°，FE＝FG+GD+DE＝84米，∠E＝24°，∴AF＝FE•tan24°≈84×0.45＝37.8（米），∴AB＝AF﹣BF＝37.8﹣10≈28（米）；即建筑物AB的高度为28米；故选：B．9．解：作EF⊥AB于F，作DG⊥EF于G，如图所示：则GF＝AD＝30m，AF＝DG，∠CEF＝27°，∵山坡DE的坡度i＝＝，∴EG＝2.4DG，∵DE＝26m，DE2+EG2＝DE2，∴AF＝DG＝10m，EG＝24m，∴EF＝EG+GF＝54m，在Rt△CEF中，tan∠CEF＝＝tan27°≈0.51，∴CF≈0.51×54＝27.54（m），∴AC＝AF+CF＝10+27.54＝37.54（m），又∵∠ADB＝45°，∠A＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝AD＝30m，∴BC＝AC﹣AB＝37.54﹣30≈7.5（m）；故选：D．10．解：作AB⊥CD交CD的延长线于点B，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝∠CAE＝30°，∠ADB＝∠EAD＝45°，∴AC＝2AB，DB＝AB．设AB＝x，则BD＝x，AC＝2x，CB＝50+x，∵tan∠ACB＝tan30°，∴AB＝CB•tan∠ACB＝CB•tan30°．∴x＝（50+x）•．解得：x＝25（1+），∴AC＝50（1+）（米）．答：缆绳AC的长为50（1+）米．故答案为：50（1+）11．解：如图，甲楼为CD、乙楼为AB，BD＝30米，∠ADB＝45°，∠CAF＝30°，过C作CE⊥AB于E，则四边形BDCE为矩形，CE∥AF，∴CE＝BD＝30米，CD＝BE，∠ACE＝∠CAF＝30°，∴AE＝CE＝10（米），在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴△ABD为等腰直角三角形，∴BD＝AB＝30米，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝（30﹣10）米，即甲楼的高为（30﹣10）米，故答案为：（30﹣10）．12．解：如图，过点A作AP⊥OC于点P，过点B作BQ⊥OC于点Q，∵∠EOA＝30°、∠FOB＝60°，且OC⊥EF，∴∠AOP＝60°、∠BOQ＝30°，设OA＝OB＝x，则在Rt△AOP中，OP＝OA cos∠AOP＝x，在Rt△BOQ中，OQ＝OB cos∠BOQ＝x，由PQ＝OQ﹣OP可得x﹣x＝7，解得：x＝（7+7）cm，∴OA＝OB＝（7+7）（cm），∴∠AOB＝90°，则从点A摆动到点B经过的路径长为＝πcm，答：从点A摆动到点B经过的路径长为πcm，故答案为：π．13．解：由题意得：四边形CDBE是矩形，∴CE＝BD，BE＝CD＝10m，在Rt△BCE中，∠BEC＝90°，α＝45°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴CE＝BE＝10m，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，tanβ＝，∴AE＝10•tan20°，∴AB＝AE+BE＝10×0.364+10≈13.6（m），故答案为：13.6．14．解：由题意得：∠BAC＝31°，∠CBD＝45°，∵∠CBD＝∠BAC+∠ACB，∴∠ACB＝∠CBD﹣∠BAC＝45°﹣31°＝14°，故答案为：14°．15．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝30°，∠DCF＝45°．在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴tan30°＝，即＝，∴AE＝30，∵AB＝57，∴BE＝AB﹣AE＝57﹣30，∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝57﹣30．在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°．∴DF＝CF＝57﹣30，∴BC＝EF＝30﹣57+30＝（30﹣27）米．答：教学楼BC高约（30﹣27）米．故答案为：（30﹣27）米．16．解：∠MAN是△ABM的一个外角，∴∠AMB＝∠MAN﹣∠ABM＝30°﹣15°＝15°，∴∠AMB＝∠ABM，∴AM＝AB＝50米，在Rt△AMN中，∠MAN＝30°，∴MN＝AM＝25米；故答案为：25．17．解：过点B作BE⊥AB于点E，在Rt△BEC中，∠CBE＝α，BE＝CD＝30；可得CE＝BE×tanα，∵sinα＝，∴tanα＝，∴CE＝30×＝40．在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝30，可得AE＝BE×tan30°＝10．故教学楼AC的高度是AC＝（10+40）m．答：教学楼AC的高度是＝（10+40）m，故答案为：（10+40）m．18．解：如图，过点E作EF⊥AB于点E，作BG⊥CD于点G，∵ED⊥CD，∴四边形DEFG是矩形，∴EF＝DG，ED＝FG，根据题意可知：∠AEF＝α＝45°，∴AF＝EF，∵坡度i BC＝1：，∴BG；CG＝3；4，设BG＝3x，CG＝4x，则BC＝5x，∴5x＝10，解得x＝2，∴CG＝8，BG＝6，∴EF＝DG＝CG+CD＝8+10＝18，∴AF＝EF＝18，∵FG＝ED＝15，∴FB＝FG﹣BG＝15﹣6＝9，∴AB＝AF+FB＝18+9＝27（米）．答：大楼AB的高为27米．故答案为：27．19．解：根据题意可知：∠ACD＝56.35°，BC的坡度为i＝1：2，∵BD＝10（米），∴CD＝20（米），在Rt△ACD中，AD＝CD•tan∠ACD≈20×1.50＝30（米），∴AB＝AD﹣BD＝30﹣10＝20（米）答：楼房AB的高度为20米．20．解：如图所示：由题意可得，EN＝BF＝5米，EN⊥AB，∵α为45°，∴△AEN是等腰直角三角形，∴AN＝EN＝5米，∵tanβ＝＝＝tan60°＝，解得：BN＝5，则旗杆AB＝AN+BN＝（5+5）米．21．解：过C作CE⊥BA交BA的延长线于点E，过点D作DF⊥BA交BA于点F．由题意知：∵点D在第10层，点C在第35层，每层楼高为2.8米，∴MD＝2.8×10＝28（米），CM＝2.8×35＝98（米），在Rt△DFB中，∠FDB＝32°，BF＝MD＝28，∴DF＝＝≈≈45.16（米），在Rt△CEA中，∠ACE＝60°，CE＝DF≈45.16，∴EA＝CE•tan∠ACE＝45.16×tan60°≈45.16×1.73≈78.13（米），∵BE＝CM＝98（米）∴BA＝BE﹣AE≈98﹣78.13＝19.87≈19.9（米），答：旗杆AB的高度约为19.9米．22．解：如图，作DF⊥AB于F，设BE的长度为x米，在Rt△DEC中，∠DCE＝53°，∴∠CDE＝90°﹣53°＝37°，∴CE＝CD•sin37°≈0.84，DE＝CD•cos37°≈1.12，∵∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°，∴四边形DEBF是矩形，∴DE＝BF≈1.12，DF＝BE＝x，在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC≈x﹣0.84，∴AB＝BC≈x﹣0.84，∴AF≈x﹣0.84﹣1.12＝x﹣1.96，在Rt△AFD中，∠DAF＝60°，AF≈x﹣1.96，DF＝x，∴DF＝AF•tan60°，∴x＝（x﹣1.96），解得：x≈4.6，答：路灯杆BE的高度约为4.6米．23．解：设CD＝xm，∵∠ADC＝60°，∠CDB＝45°，∴AC＝x•tan60＝x，CB＝x•tan45°＝x（m），∵∠AED＝30°，DE＝8m，∵∠AEC＝30°，∴CE＝AC，∴×x＝x+8，解得x＝4（m），∴AB＝x+x＝4+4≈10.8（m）．答：该纪念碑AB的高度约为10.8m．24．解：（1）由题意，∠PBQ＝∠TPB＝60°，∵∠PQB＝90°，∴∠BPQ＝30°，∴BQ＝PQ•tan30°＝9×＝3（米）．（2）如图，过点A作AM⊥QB于M，AH⊥PQ于H．由题意，∠P AH＝∠TP A＝30°，设AM＝a米，则BM＝2a米，∵∠AHQ＝∠HQM＝∠AMQ＝90°，∴四边形AHQM是矩形，∴AH＝QM＝（3+2a）米，QH＝AM＝a米，PH＝PQ﹣HQ＝（9﹣a）米，在Rt△APH中，tan∠P AH＝，∴＝，解得a＝2，∴AM＝2（米），BM＝4（米），∴AB＝＝＝2（米）．25．解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△ACE中，∵∠CAE＝37°，∴CE＝AE×tan37°＝0.75AE，∴AE＝CE，在Rt△BCE中，∵∠CBE＝45°，∴BE＝CE，∴AB＝AE﹣BE＝CE﹣CE＝CE＝100，∴CE＝300（米），答：气球的高度为300米；（2）如图，过点D作DF⊥AB于点F，则四边形DFEC是矩形，在Rt△ADF中，∵∠DAF＝60°，∴AF＝DF＝CE＝100≈170（米），∴AE＝CE＝400（米），∴CD＝EF＝400﹣170＝230（米），∴速度为：230÷100＝2.3．答：气球飘移的平均速度每分钟为2.3米．26．解：如图，过点D作DF⊥AB于F，作DE⊥BC交BC的延长线于点E，由题意得，∠ADF＝28°，CD＝50m，BC＝60m，在Rt△DEC中，∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，∴＝＝，设DE＝4x，则EC＝3x，由勾股定理可得：CD＝＝5x，又∵CD＝50，∴5x＝50，∴x＝10，∴EC＝3x＝30（m），DE＝4x＝40（m）＝FB，∴BE＝BC+EC＝60+30＝90（m）＝DF，在Rt△ADF中，AF＝tan30°×DF＝×90＝30（m），∴AB＝AF+FB＝（30+40）m，即此建筑AB的高度为（30+40）m．。
九年级数学人教版下册28.2解直角三角形及其应用同步测试题
九年级数学人教版下册28.2解直角三角形及其应用同步测试题28.2解直角三角形及其应用同步测试题（满分120分；时间：90分钟）一、选择题（本题共计小题，每题分，共计27分，）1.在Rt△ACB中，∠C=90∘，AB=10，sinA=35，cosA=45，tanA=34，则BC的长为（）A.6B.7.5C.8D.12.52.兰州是古丝绸之路上的重镇，以下准确表示兰州市的地理位置的是（）A.北纬34∘03＇B.在中国的西北方向C.甘肃省中部D.北纬34∘03＇，东经103∘49＇3.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（）A.450a元B.300a元C.225a元D.150a元4.如图，在坡度为1:2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6m，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是（）A.3mB.35mC.12mD.6m5.如图，梯形ABCD中，AD // BC，∠B＝45∘，∠D＝120∘，AB ＝8cm，则DC的长为（）A.863cmB.463cmC.46cmD.8cm6.一束阳光射在窗子AB上，此时光与水平线夹角为30∘，若窗高AB=1.8米，要想将光线全部遮挡住，不能射到窗子AB上，则挡板AC （垂直于AB）的长最少应为（）A.1.83米B.0.63米C.3.6米D.1.8米7.在河岸边一点A测得与对岸河边一棵树C的视线与河岸的夹角为30∘，沿河岸前行100米到点B，测得与C的视线与河岸的夹角为45∘，则河的宽度为（）A.200米B.1003米C.1003-1米D.1003+1米8.如图，小黄站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30∘，若小黄的眼睛与地面的距离DG是1.6米，BG=0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡AB的坡度为i=4:3，坡长AB=10.5米，则此时小船C 到岸边的距离CA的长为（）米．（3≈1.7，结果保留两位有效数字）A.11B.8.5C.7.2D.109.某班的同学想测量一教楼AB的高度，如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为16米，它的坡度i＝1:3，在离C点45米的D处，测得以教楼顶端A的仰角为37∘，则一教楼AB的高度约为（）米．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75，3≈1.73）A.44.1B.39.8C.36.1D.25.9二、填空题（本题共计7小题，每题分，共计21分，）10.在△ABC中，AC=6，BC=5，sinA=23，∠B为锐角，则tanB=________．11.如图，一艘轮船以20海里/小时速度从南向北航行，当航行至A处时，测得小岛C在轮船的北偏东45度的方向处，航行一段时间后到达B处，此时测得小岛C在轮船的南偏东60度的方向处．若CB=40海里，则轮船航行的时间为________．12.在Rt△ABC中，∠C=90∘，a=2，b=3，则cosA=________．如果港口A的南偏东52∘方向有一座小岛B,那么从小岛B观察港口A的方向是________.14.若一个等腰三角形的两边长分别为2cm和6cm，则底边上的高为________cm，底角的余弦值为________．如图，长为4m的梯子搭在墙上与地面成60∘角，则梯子的顶端离地面的高度为________m（结果保留根号）．如图，A，B之间是一座山，一条高速公路要通过A，B两点，在A地测得公路走向是北偏西111∘32＇．如果A，B两地同时开工，那么在B地按________方向施工，才能使公路在山腹中准确接通．三、解答题（本题共计小题，共计70分，）17.如图是大型超市扶梯的平面示意图．为了提高扶梯的安全性，超市欲减小扶梯与地面的夹角，使其由45∘改为30∘．已知原扶梯AB 长为42米．（1）求新扶梯AC的长度；（2）求BC的长．18.某校数学兴趣小组的同学为了利用所学知识，测量校园内一棵树DE的高度（如图所示），当这棵树顶点D的影子刚好落在旗台的台阶下点C处时，他们测得此时树顶点D的仰角为60∘；当点D的影子刚好落在台阶上点A时，树顶点D的仰角为30∘，台阶坡度为3:3，台阶高度AB=2米，点B、C、E在同一水平线上，求树高DE（测角仪高度忽略不计）．19.某小区举行放风筝比赛，一选手的风筝C距离地面的垂直高度CD为226米，小明在火车站广场A处观测风筝C的仰角为21.8∘，同时小花在某楼顶B处观测风筝C的仰角为30∘，其中小花观测处距水平地面的垂直高度BE为100米，点A，E，D在一条直线上．试求小明与楼BE间的水平距离AE．(结果保留整数)(3≈1.73,sin21.8∘≈0.37,cos21.8∘≈0.93,tan21.8∘≈0.40)20.如图，我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将奉校的办学理念做成宣传牌(CD)，放置在教学楼的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60∘，沿坡面AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45∘．已知山坡AB的坡度为i＝1:3，AB＝10米，AE＝15米．（i＝1:3是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732）21.如图，要环绕A、B、C、D四地修筑一条高等级公路ABCDA．已知A、B、C三地在同一直线上，D地在A地的北偏东45∘方向，在B地的正北方向，在C地北偏西60∘方向，C地在A地的北偏东75∘方向，B、D两地相距10km．如果该公路每公里造价为2000万元，求该公路全长的造价是多少万元？（用根号表示）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF // MN，小聪在河岸MN上点A处测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30∘方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度．（结果保留根号）23.有一款如图(1)所示的健身器材，可通过调节AB的长度来调节椅子的高度，其平面示意图如图(2)所示，经测量，AD与DE的夹角为75∘，AC与AD的夹角为45∘，且DE // AB．现调整AB的长度，当∠BCA为75∘时测得点C到地面的距离为25cm．请求出此时AB的长度（结果保留根号）．。