线性离散系统的数学模型和分析方法

§10-2 线性离散系统的数学模型和分析方法

大多数计算机控制系统可以用线性时不变离散系统的数学模型来描述。对于单输入单输出线性离散系统，人们习惯用线性常系数差分方程或脉冲传递函数来表示。离散系统的线性常系数差分方程和脉冲传递函数，分别和连续系统的线性常系数微分方程和传递函数在结构、性质和运算规则上相类似。对于多变量、时变和非线性系统用状态空间方法处理比较方便。

一、线性离散系统的数学描述

1. 差分方程

对简单的单输入单输出线性离散系统，其输入)(kT u 和输出)(kT y 之间的关系可用下列线性常系数差分方程来表示

)()()()()()(101nT kT u b T kT u b kT u b nT kT y a T kT y a kT y n n -++-+=-++-+ (10.17)

(10.17)式也可以写成如下紧缩的形式

∑∑==-=-+n i n

i i i iT kT u b iT kT y a kT y 1

)()()( (10.18)

如果引入后移算子1

-q ，即

)()(1T kT y kT y q -=- (10.19)

则(10.18)式可写成多项式的形式

)()()()(11kT u q B kT y q A --= (10.20)

式中

n n q a q a q A ---+++= 1111)( n n q b q b b q B ---+++= 1101)(

方程(10.17)、(10.18)和(10.20)中假设左右两端阶次相同，这并不失一般性，差分方程中最高和最低指数之差n 被称为差分方程的阶数。如果(10.17)式中右端的系数项i b ，n i ,,1,0 =，不全为零，则此方程被称为非齐次方程。方程右端又被称为驱动项。方程的阶数和系数反映系统的结构特征。用差分方程作为物理系统的数学模型时，方程中各变量代表一定的物理量，其系数有时具有明显的物理意义。如果(10.17)式右端的系数全为零，则被称作齐次方程。齐次差分方程表征了线性离散系统在没有外界作用的情况下，系统的自由运动，它反映了系统本身的物理特性。

2. 差分方程的解

线性常系数差分方程求解方法和线性代数方程的求解相类似，其全解)(kT y 由齐次方程的通解

)(1kT y 和非齐次方程的特解)(2kT y 两部分组成， 即

)()()(21kT y kT y kT y += (10.21)

其中特解)(2kT y 可用试探法求出，非齐次差分方程的特解反映了离散系统在外界作用下，系统的强迫运动。(10.17)的特征方程为

0)))((2111=---=+++-n n n n q q q q q q a q a q ( (10.22)

其中n i q i ,,2,1, =为特征方程的根。根据特征根i q 的不同情况，齐次方程的通解形式也不同。考虑下面三种情况。

(1) 无重根，即当j i ≠时，j i q q ≠，则通解为

∑==

+++=n

i k i

i k n

n k k

q

c q c q c q c kT y 1

2

21

11)( (10.23)

式中待定系数n i c i ,,2,1, =，由系统的n 个初始条件确定。

(2) 全为重根，即 n i q q i ,,2,1,1 ==，则通解为

∑=--=+++=n

i k i i k n n k k q k c q k

c kq c q c kT y 1

111

1

1

2111)( (10.24)

其中i c 为待定系数。

(3) 有r 个重根，其余的不是重根，即

1q q i =，当r i ≤时；而j i q q ≠，当r j i >,且j i ≠时

则通解为

∑∑=+=-+

=r

i n

r i k i i k i i q c q k c kT y 1

1

1

1

1)( (10.25)

其中i c 为待定系数。

从上面讨论中，可以归纳出经典的解差分方程方法如下： (1) 求齐次方程的通解)(1kT y ； (2) 求非齐次方程的一个特解)(2kT y ；

(3) 差分方程的全解为 )()()(21kT y kT y kT y +=；

(4) 利用n 个初始条件或其它条件确定通解中的n 个待定系数。

[例10-1] 求解二阶差分方程

k kT y T kT y T kT y 3)(2)(3)2(=++-+，0)()0(==T y y

解：先设特解为k

c kT y 3)(2=，代入方程试探

k k k k c 3]32333[12=?+?-++

求出2

1

=

c 。再由特征方程 0)2)(1(232=--=+-q q q q

得出11=q 和22=q ，则齐次方程的通解为

k c c kT y 2)(211+=

方程的全解为

k k c c kT y 32

1

2)(21++=

代入初始条件得

23

20212121=++=+

+c c c c 求出2

1

1=

c 和12-=c 。因而，非齐次差分方程的解为 0,32

1

221)(≥+-=k kT y k k

二、z 变换

类似于连续实变函数)(t y 的拉氏变换)(s Y ，对序列{})(kT y 也有相应的z 变换)(z Y 。这里z 也是一个复变量。通过变换，在复数域内研究和运算有时比直接在时域内分析更为简便，因此z 变换是线性时不变离散系统时域分析和稳定性分析的基础，其主要局限性是它只能提取采样时刻的幅值信息，不能提供采样间的波动信息。

1. 定义

在线性连续系统中，连续时间函数)(t y 的拉氏变换为)(s Y ，同样在线性离散系统中，也可以对采样信号)(t y *

作拉氏变换。采样信号)(t y *

可描述为

∑∞

=*

-=0

)()()(k kT t kT y t y δ (10.26)

则对采样信号)(t y *

作拉氏变换得

[

]

[]∑∑?

∑∞

=-∞=∞∞

=-*

=-=-==0

*

)()()()()()()(k kTs k k st

e kT y kT t L kT y dt e

kT t kT y t y L s Y δδ

令sT e z =，则有

∑∞

=-==0

*

)()(?)(k k z kT y s Y z Y (10.27)

)(z Y 可看作是)(t y *的离散拉氏变换或采样拉氏变换。一般称)(z Y 为离散序列{})(kT y 的z 变换，

有时也称之为{})(kT y 的象，记作 [])()(kT y Z z Y =。

)(z Y 是复变量z 的函数，它被表示为一个无穷级数。如果此级数收敛，则序列的z 变换存在。

序列{})(kT y 的z 变换存在的条件是(10.27)式所定义的级数是收敛的，即k

N

k N z

kT y -=∞

→∑0

)(lim 存在。原

函数)(kT y 和象函数)(z Y 是一z 变换对，即

[])()(kT y Z z Y =

和

[])()(1z Y Z kT y -=

下面计算几种简单函数的z 变换，并列出一个常用的z 变换表（表10-1）。

(1) 单位脉冲时间序列

?

??≠==0 00

1)(k k kT δ

则

[]1)(=kT Z δ

延迟的单位脉冲时间序列

?

??>==- 00

1)(其他n k nT kT δ

则

[]n z nT kT Z -=-)(δ

(2) 单位阶跃时间序列

?

??<≥=0 00

1)(1k k kT

则

[]∑∞

=---=

=0

1

11

)(1k k z z kT Z

(3) 单位斜坡时间序列

kT kT y =)(

则

[]2

11

)1()(--∞

=--==∑z Tz kz

T kT y Z k k

(4) 衰减指数序列

kT e kT y α-=)(

则

[]1

11)(--∞

=---=

=∑z e z e kT y Z T k k kT αα

表10-1 常用拉氏变换及z 变换表

)(s Y )(t y )(z Y

1 )(t δ 1 kTs

e

- )(kT t -δ k

z

-

s 1 )(1t 1-z z 2

1s

t 2)1(-z Tz 3

1

s

22t 32)1(2)1(-+z z z T 1

1+n s !

n t n )(!)1(lim 0T n n n e z z

n ααα-→-??- a s +1 at

e - aT e z z -- 2

)

(1a s + at

te - 2)(aT aT e z Tze ---

)

(a s s a + at

e --1 ))(1()1(aT

aT e z z e z ----- 22ωω

+s t ωsin

1cos 2sin 2+-T z z T

z ωω

22ω+s s t

ωcos 1

cos 2)

cos (2+--T z z T z z ωω 2

2

)(ω

ω

++a s t e

at

ωsin - aT

aT aT e

T ze z T

ze 22

cos 2sin ---+-ωω 22)(ω+++a s a s t e at

ωcos - aT

aT aT e T ze z T ze z 222cos 2cos ---+--ωω

2. z 变换的基本性质 (1) 线性性质

z 变换是一种线性变换，即

[][][])()()()()()(z G z F kT g Z kT f Z kT g kT f Z βαβαβα+=+=+ (10.28)

其中α和β为两个任意常数。线性性质的证明可以由定义直接得到。

(2) 滞后性质

序列)(T kT y -的z 变换为

[]∑∑∑∞

=--∞

=-∞

=-==--=-=-0

1

10)()0)(( )()()(j j k k k k

z jT y T y z T kT y z T kT y T kT y Z (10.29)

)

()(10

1

z Y z z

jT y z

j j

-∞

=--==∑

同样，由于单边序列)(,),(nT y T y -- 均为零，故

[])()(z Y z nT kT y Z n -=- (10.30)

从这个性质可以看出n

z

-代表序列滞后了n 个周期。

(3) 超前性质

序列)(T kT y +的z 变换为

[])

0()()

0()()

0()0()()()()()(0

1101

zy z zY zy z jT y z zy zy z jT y z z jT y z z T kT y z z T kT y T kT y Z j j j j j j

k k k k

-=-=-+==+=+=+∑∑∑∑∑∞

=-∞

=-∞

=-∞

=--∞

=- (10.31)

推广到超前n 步序列)(nT kT y +，可得

[])()()0()()(1T nT zy T y z y z z Y z nT kT y Z n n n -----=+- (10.32)

(4) 象函数尺度的变化

[]

)())(()(0

az Y az kT y kT y a Z k k k

==∑∞

=-- (10.33)

(5) 初值定理 由

+++=--21)2()()0()(z T y z T y y z Y

可得

)0()(lim y z Y z =∞

→ (10.34)

(6) 终值定理 由

----+++=-------321211)2()()0()2()()()()1(z T y z T y z y z T y z T y T y z Y z

得

)(lim )()1(lim 11

kT y z Y z k z ∞

→-→=- (10.35)

(7) 卷积

)(k f 和)(k g 的卷积被定义为

∑∞

=-?=*0)()()()(i iT kT g iT f kT g kT f (10.36)

则

[])

()()

()()()()()()()()()(0

000000z G z F z G z iT f z iT kT g iT f z iT kT g iT f z iT kT g iT f kT g kT f Z i i i k k i k k k

k i ?==??

?

???-=??????-=??

?

???-=*-∞=∞=∞=-∞

=∞=--∞

=∞=∑∑

∑∑∑∑∑ (10.37)

以上是几个主要的z 变换性质，这些性质为z 变换的计算和离散系统的分析都带来很大方便。 3. z 变换的方法

在许多参考书中都附有z 变换表，可以利用它查出序列{})(kT y 的z 变换。但是即使所引用的z 变换表是如何的详细，在实际应用中还是常常遇到有的变换不能从变换表上直接查出来的时候。因

而熟悉z 变换的基本性质和运算方法是十分必要的。常用的z 变换方法有下列几种。

1) 级数求和法：这是最直接的方法，即由z 变换的定义出发，应用z 变换的基本运算规则和级数求和公式而求得。例如在前面定义一节中所用的例子。

2) 部分分式法：已知某函数的拉式变换)(s Y ，先把它分解为一些基本的部分分式

∑==n

i i s Y s Y 1

)()(，然后再分别求出与各基本部分分式相对应的原函数)(t y i ，对)(t y i 离散化得

)(kT y i ，对)(kT y i 取z 变换得到)(z Y i ，最后由z 变换的线性性质可得 ∑==n

i i z Y z Y 1

)()(。

[例10-2]

]1

1[)()(a

s s a K a s s K s Y +-=+=

[][]

))(1()1(]1[)()()1()()(1aT aT aT at e z z z e a K e z z z z a K kT y Z z Y e a

K

s Y L t y --------=

---=

=-=

=

3) 留数计算法：由复变函数中留数定理可知，如果函数)(s Y 除有限个极点),,2,1(n i s i =外，

在某域G 内是解析的，则

??????-=-=

-==-∑?11

1

11)

(s Re 11

)(21)(z e s Y ds z e s Y j z Y TS n

i s s c Ts i π (10.38)

其中c 为G 内一段封闭的积分回路，[] s Re ?表示函数[] ?在极点i s s =的留数。留数的计算方法因

)(s Y 是否有重极点而异，

1）当无重极点时，即当j i ≠时，j i s s ≠，则

∑=-→???

???--=n

i Ts i s s z e s Y s s z Y i

1

111)()(lim )( 2）当所有极点都相同时，即n i s s i ,,2,1,1 ==，则

??

????---=---→111

1

11)()()!1(1lim

)(z e s Y s s ds d n z Y Ts n

n n s s i 3）当有r 个重极点时，即r i s s i ≤=,1，而j i s s ≠，r j i >,且j i ≠，则

∑+=-→---→??

????--+??????---=n

r i Ts i s s Ts r

r r s s z e s Y s s z e s Y s s ds d r z Y i i 11111

1

11)()(lim 11)()()!1(1lim

)( [例10-3] )

()(a s s K s Y +=

))(1()1(111111

)()(lim 11)(lim )(11

1

10

aT aT aT Ts a s Ts s e z z a z e K z e z a K z e a s s K a s z e a s s K s z Y -------→-→---=

???

???---=

-?

+++-?+?

=

[例10-4]

2

12202

)1()111(lim

)(1)(-=

-??==

-→z Tz z e s s ds d z Y s s Y Ts s 4. z 反变换

由)(z Y 求出相应的脉冲序列{})(kT y 称为z 反变换。记作

[])()(1z Y Z kT y -= (10.39)

下面给出几种常用的求z 反变换的方法。

1) 幂级数展开法：把)(z Y 展开为z 的负幂级数，即把它展开为1-z 的幂级数，k z -的系数相应于在第k 个采样时刻的时间函数的值。当)(z Y 是有理函数时，z 反变换可以用长除法得到。例如

∑∞

=-----=++++=++++++=

01110110)()()()0()(k k

k n

n n n

n n z kT y z kT y z T y y a z a z a b z b z b z Y (10.40) 如果能够找到)(kT y 的一般数学表达式则最好，否则也可以写出)(kT y 若干项的数值来。 [例10-5]

1

)(1 1

)(21=+++=-=

--kT y z z z z z Y 2) 部分分式法

设)(z Y 是z 的有理分式，当其实根互不相同时，利用部分分式法求z 反变换的步骤为：

① 展开 ∑=-=n

i i

i z z c z z Y 1)(，其中 ??????-=→z z Y z z c i z z i i )()(l i m ② 把展开式乘以 z ，得 ∑=-=

n

i i

i z z z

c z Y 1)( ③ 反演展开式得 ∑==n

i i

kT y kT y 1)()(，其中 ??

????-=-i i i z z z c Z kT y 1)( [例10-6]

k

k kT y z z

z z z Y z z z z Y z z z

z z Y )1(1.0)3

7

(3.1)(11

.0373.1)(11

1

.03713.1)(7

432)(2

2--=+--=+--=--+= 现在讨论如果)(z Y 中至少包含一对共轭复根{}T j T e

z aT

ωωsin cos 2,1±=-的情形，即

)(cos 2sin )cos ()

()cos 2()

()(12212

022z Y e

T ze z T

ze b T ze z b z p e T ze z z N z Y aT

aT aT

aT

aT aT

++-+-=

+-=

------ωωωω

其中)(1z Y 是把具有共轭复根的项分离出来后的剩余分式。由z 变换表知

[

][

]

aT

aT aT

akT aT

aT aT akT

e T ze z T

ze kT e Z e T ze z T

ze z kT e Z 22

22

2cos 2sin sin cos 2cos cos --------+-=+--=ωωωωωω 则

[])(sin cos )(1110z Y Z kT e b kT e b kT y akT akT ---++=ωω

)(1z Y 的反变换可由前面介绍的方法求得。

[例10-7]

)

8.0)(64.013.1()(22-+-+=z z z z

z z Y

8

.078.464.013.1576.278.422-++-+-=z z z z z z 把具有共轭复根项化为标准形式，有

5656

.0sin 707

.0sin 565.0cos 706.0cos 13.1cos 28.0 64.022=======-----T e T T e

T T e e e aT aT

aT aT aT ωωωωω

于是

k

k k k k kT y z z

z z z z z z z z Y )8.0(78.4)786.0sin()8.0(219.0)786.0cos()8.0(78.4)(8

.078.464.013.15656.0219.064.013.1)565.0(78.4)(222+--=-+

+--+---=

3) 留数计算法 由留数定理，得

[]

1

1

1

)(s Re )(21)(-==-∑?==

k n i z z c k z z Y dz z z Y j

kT y i

π (10.41)

其中),,2,1(n i z i =是)(z Y 的n 个极点。留数的计算方法随)(z Y 是否有重极点而异，

1）当无重极点时，即当j i ≠时，j i z z ≠，则

[]

∑=-→-=n

i k i z z z z Y z z kT y i

1

1)()(lim )(

2）当所有极点都相同时，即n i z z i ,,2,1,1 ==，则

[]

1

1

1

1)()()!1(1lim )(1------=k n n n z z z z Y z z dz d n kT y 3）当有r 个重极点时，即r i z z i ≤=,1，而j i z z ≠，r j i >,且j i ≠，则

[][]

∑+=-→---→-+--=n

r i k i

z z k r r r z z z s Y z z z z Y z z dz d r kT y i

i 1

1

1111)()(lim )()()!1(1lim )(

[例10-8]

25

)8.0(5.4)6.0(20)

8.0)(6.0(lim )1)(6.0(lim )1)(8.0(lim )()

1)(8.0)(6.0()(1211

28.0126.02+-=--++--++--+=---+=

-→-→-→k k k z k z k z z z z z z z z z z z z z z z z kT y z z z z

z z Y

[例10-9]

kT z z Tz z dz d kT y z Tz z Y k z =??

????--=-=

-→12212

)1()1(lim )()1()(

5. 用z 变换法求解差分方程

类似于用拉氏变换可以求解微分方程，利用z 变换中的滞后和超前性质，以及已知函数的z 变换，也可以求线性常系数差分方程的解。它把解差分方程变为以z 为变量的代数运算问题。考虑差分方程

)

()()()()()(101kT u b T mT kT u b mT kT u b kT y a T nT kT y a nT kT y m n ++-+++=++-+++ (10.42)

利用z 变换的线性性质，对差分方程两边作z 变换，得

[][][][][][]

)()()()()()(101kT u Z b T mT kT u Z b mT kT u Z b kT y Z a T nT kT y Z a nT kT y Z m n ++-+++=

++-+++ (10.43)

由超前性质，得

[])()()()()0()()(1z P z Y z z T iT y z T y z y z Y z iT kT y Z i i i i i -=-----=+- (10.44)

式中)(z P i 代表(10.44)式第一个等式右端第二项起所具有的多项式。如果把(10.43)右端的z 变换记为

)(z B ，并把(10.44)代入(10.43)，可得

[]

∑=--=-+++n

i i i n n n n

z B z P a z Y a z

a z

1

1

1)()()(

它是一个z 的代数方程，可把它写成

)

()

()()(?

)

()

()(11111

z A z B z A z N a z a z z B a z a z z P a

z Y n n n n n n n

i i i

n +

=++++

+++=

--=-∑ (10.45)

式中)(z A 为(10.45)第一个等号右端的分母所代表的特征多项式。)(z N 是第一个分式的分子，它由

)(kT y 的n 个初始条件所决定。对(10.45)作z 反变换，可得

??

????+??????=--)()()()()(11z A z B Z z A z N Z kT y (10.46) (10.46)表示差分方程(10.42)的解由与初始条件有关的通解和与驱动项有关的特解两部分组成。

[例10-10] 求解二阶系统

)()()()2(21kT bu kT y a T kT y a T kT y =++++

的阶跃响应。设0)()0(==T y y ，)(1)(kT kT u =。

解：对方程两端取z 变换，得

1

)1)(()(1

)()(3

2211212212-+-+-=-++=-=

++z z c z z z c z z z c z a z a z bz

z Y z bz z Y a z a z

其中1z 和2z 为二阶方程的根，1c ，2c 和3c 为展成部分分式后的系数。求z 反变换得

0,)()()(32211≥++=k c z c z c kT y k k

此二阶系统的响应曲线形状将与1z 和2z 取值的大小及正负号有关。

三、脉冲传递函数

1. 定义

一个线性时不变离散系统的脉冲传递函数)(z G 定义为：在初始静止的条件下，)(z G 是系统输出脉冲序列的z 变换和输入脉冲序列的z 变换之比。即

[][])

()

()()()(z U z Y kT u Z kT y Z z G =

=

(10.47) )(z G 有时又被称为z 传递函数。对用线性常系数差分方程(10.42)所代表的离散系统，当考虑初始条

件为零时，两边取z 变换得

)()()()(11011z U b z b z b z Y a z a z m m m n n n +++=+++--

)()

(?)(1

1110z A z B a z a z b z b z b z G n

n n m m m =++++++=-- (10.48) 系统的特征方程为

0)(=z A (10.49)

由特征方程可求出系统的极点，由0)(=z B 可求出系统的零点。系统的极点数目表示系统的阶数。但要注意在决定系统阶数时，传递函数要写成z 的正幂形式。

[例10-11] 求系统)(5.1)()()2(2)3(kT u T kT u T kT y T kT y T kT y ++=+++++的脉冲传递函数。

解：

2

13

223215.125.1)(----+++=+++=z z z z z z z z z G

现在我们进一步分析脉冲传递函数)(z G 和系统的单位冲激响应)(kT h 之间的关系。所谓系统的单位冲激响应是指输入为单位脉冲序列)(kT δ时系统的输出序列。即

1

)()()(==z U kT kT u δ

代入(10.47)，得

∑∞

=-==0)()

()(k k

z kT h z G z Y (10.50)

或

)()(kT h kT y = (10.51)

因此，系统的脉冲传递函数和单位冲激响应是一对z 变换，见图10-6。其中

[][]

)()()()(1z G Z kT h kT h Z z G -==

图10-6 系统的脉冲传递函数和单位冲激响应

或记为

)()(z G kT h ? (10.52)

如果系统的输入为任意函数)(kT u ，则输出为

∑∞

=-=*=0)

()()

()()(i iT kT u iT h kT u kT h kT y (10.53)

由z 变换的卷积定理，得

)()()(z U z G z Y =

)(kT u )

(kT y )

(z U )

(z Y )(kT h )

(z H

表10-2 简单环节的脉冲传递函数)(z G

)(s G )(z G

s 1 1-z z

2

1s 2)1(-z Tz

sT e - 1-z

a s +1 aT

e z z

-- )

(1

a s s + ))(1()1(aT aT e z z e z -----

222ωω+s 1

cos 2sin 2

+-T z z T

z ωω 22ω+s s 1cos 2)

cos (2

+--T z z T z z ωω )

)((b s a s ab

++ ）bT aT aT bT e z e z e e z b a ab --------)(()(

2222ωξωω++s s T T T e

T ze z T ze ξωξωξωξωξωξω

222221cos 21sin 1---+----

2. 系统的脉冲传递函数

实际系统常常是由一些子系统组成的，子系统之间又以一定的方式相互联系着。最基本的联系

形式有三种：串联、并联和反馈。下面将分析这三种基本系统和一些复杂系统的脉冲传递函数。

首先介绍一些写法，为简便起见，记

[]{}

[])(?)()(1s G Z s G L Z z G ==- 表示根据)(s G 利用冲激不变法得到的与)(s G 相对应的脉冲

传递函数)(z G 。

[])(?)()()(2121z G G s G s G Z z G == 表示传递函数)(),(21s G s G 乘积的脉冲响应函数经采样后

的z 变换。

1) 串联系统

两个子系统串联的情况如图10-7所示。图10-7(a)表示两个离散系统串联，此时整个系统的脉冲

传递函数为

)()()(21z G z G z G ?= (10.54)

图10-7(b)显示串联系统之间带有采样器，则整个系统的脉冲传递函数为

[][])()()()()(2121z G z G s G Z s G Z z G ?=?= (10.55)

图10-7(c)表示两个连续系统串联后再离散化，则整个系统的脉冲传递函数为

[])()()()(2121z G G s G s G Z z G =?= (10.56)

注意，)()()(2121z G z G z G G ?≠

图10-7 串联系统

[例10-12] 图10-7中设 s s G 1)(1=

，a s s G +=1)(2，则对图10-7(a)中情况有 ))(1(1)

()()(2

21aT aT

e z z z e

z z z z z G z G z G ----=

-?-=

?= 而对于图10-7(c)中直接串连的情况有

(a)

(b)

)(s U )

(z Y

(c)

)

(s U )

(z Y

[])

)(1()1(111)(1)()()

(1)()(211

21aT aT aT

akT aT

e z z a z e e z z z z a a e Z z G a

e s G s G L a s s s G s G ---------=

??

????--

-=?

??

???-=-=

?+=

?

2) 并联系统

图10-8所示并联系统的脉冲传递函数为

)()()(21z G z G z G += (10.57)

图10-8 并联系统

3) 反馈系统

设线性离散闭环系统如图10-9所示。

图10-9 线性离散闭环系统

)

(s U )

(z Y )

(s U

(U )

(z Y

由图10-9可得到

[])()()()()(11z G z E s G Z z E z Y ?=?= [][])

()()()()()()()()()()(2121z G G z E s G s G Z z E z B z B z U z B s U Z z E ?=??=-=-=

)()()()(21z E z G G z U z E -= )()

(11

)(21z U z G G z E +=

故

)()

(1)

()(211z U z G G z G z Y +=

线性离散闭环系统的脉冲传递函数为

)

(1)

()(211z G G z G z G c +=

从上述例子的推导过程可以看出，闭环传递函数)(z G c 或输出量的z 变换)(z Y 的推导步骤大致可分为三步：

(1) 在主通道上建立输出)(z Y 与中间变量)(z E 的关系； (2) 在闭环回路中建立中间变量)(z E 与输入)(z U 的关系； (3) 消去中间变量)(z E ，建立)(z Y 和)(z U 的关系。

图10-10给出了几种典型反馈系统的原理框图及其脉冲传递函数或输出量的z 变换，由此可看出线性离散系统的闭环传递函数)(z G c 或输出量的z 变换)(z Y 具有以下特点：

（1）分子部分与主通道上的各个环节有关； （2）分母部分与闭环回路中的各个环有关；

（3）采样开关的位置对分子、分母部分都有影响，不仅闭环脉冲传递函数的形式不同，而且会有不能写出闭环系统脉冲传递函数的情况，只能写出输出的z 变换表达式。

图10-10 典型线性离散反馈系统及其脉冲传递函数或输出量的z 变换

四、z 平面和s 平面之间的映射关系

可以把z 变换看成是一种离散拉氏变换，于是有

sT e z = (10.58)

(10.58)关系式反映了z 平面和s 平面之间的映射关系：

s 平面 z 平面 极点：ωσj s ±= 极点：θ

j re z ±=，其中T e

r T

ωθσ==,

虚轴：ωj s = 单位圆上：1 =z 右半平面：0>σ 单位圆外：1 >z 左半平面：0<σ

单位圆内：1

(U )

()

(11

)121z UG z G G

z +=

(U )

()

(1)

()13212z UG z G G G z G z +=

)

(U )

()(1)()211z G z G z G z +=

)

()(1)()()

32121z G G z G z G z G z +=

(U