椭圆离心率求法总结23157
椭圆离心率的解法
一、 运用几何图形中线段的几何意义。
基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=
｜AO ｜
｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜
｜AO ｜
评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。
∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜
BO ｜= a2
c
∴有③。
题目1：椭圆x2 a2 +y2
b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆
恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？
思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点B ，连接BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。 解：∵｜F1F2｜=2c ｜BF1｜=c ｜BF2｜=3c c+3c=2a ∴e=
c a
= 3-1
变形1：椭圆x2 a2 +y2
b2
=1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，点P 在椭圆上，使△OPF1 为正
三角形，求椭圆离心率？
解：连接PF2 ,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP ｜,∠F1PF2 =90°图形如上图，e=3-1
变形2: 椭圆x2 a2 +y2
b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 、F2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一
点，且PF1 ⊥X 轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率？
解：∵｜PF1｜=
b2
a
｜F2 F1｜=2c ｜OB ｜=b ｜OA ｜=a PF2 ∥AB ∴｜PF1｜ ｜F2 F1｜= b
a 又 ∵b=
a2-c2
∴a2=5c2 e=
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点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。
二、运用正余弦定理解决图形中的三角形
题目2：椭圆x2 a2 +y2
b2 =1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠
ABF=90°，求e?
解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a2+b2
a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-5
2
(舍去)
变形：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，e=-1+ 5
2, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶
点，求∠ABF ？
点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90° 引申：此类e=
5-1
2
的椭圆为优美椭圆。 性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。
总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e 的方程式。
题目3：椭圆x2 a2 +y2
b2 =1(a>b >0)，过左焦点F1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB 两点，
若｜F1A ｜=2｜BF1｜,求e?
解：设｜BF1｜=m 则｜AF2｜=2a-am ｜BF2｜=2a-m
在△AF1F2 及△BF1F2 中，由余弦定理得：?
??a2 –c2=m(2a-c) 2(a2-c2)=m(2a+c) 两式相除：2a-c 2a+c =12 ?e=23
题目4：椭圆x2 a2 +y2
b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c ，0）、F2 (c,0)，P 是以｜F1F2｜为直
径的圆与椭圆的一个交点，且 ∠PF1F2 =5∠PF2F1 ,求e?
分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。
解：由正弦定理：｜F1F2｜sin F1PF2 = ｜F1P ｜sin F1F2P = ｜PF2｜
sin PF1F2
根据和比性质：
｜F1F2｜sin F1PF2 = ｜F1P ｜+｜PF2｜
sinF1F2P+sin PF1F2
变形得： ｜F1F2｜ ｜PF2｜+｜F1P ｜ =sin F1PF2
sin F1F2P +sin PF1F2
=
=2c 2a
=e ∠PF1F2 =75°∠PF2F1 =15° e= sin90° sin75°+sin15° =63
点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 e=sin F1PF2 sin F1F2P +sin PF1F2
变形1：椭圆x2 a2 +y2
b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c ，0）、F2 (c,0)，P 是椭圆上一点，且
∠F1PF2 =60°，求e 的取值范围？ 分析：上题公式直接应用。
解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-α
e=sin F1PF2 sin F1F2P +sin PF1F2 = sin60°
sin α+sin(120°-α)
= 1 2sin(α+30°)≥12 ∴1
2
≤e<1
变形2：已知椭圆x24+ y2 4t2 =1 (t>0) F1F2 为椭圆两焦点，M 为椭圆上任意一点（M 不与长
轴两端点重合）设∠PF1F2 =α,∠PF2F1 =β若13 2 ,求e 的取值范围？ 分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。 解;根据上题结论e=sin F1PF2 sin F1F2P +sin PF1F2 =sin(α+β) sin α+sin β = 2sin α+β 2 cos α+β 2 2sin α+β 2 cos α-β 2 = cos α 2cos β 2 -sin α 2 sin β 2 cos α 2cos β 2 +sin α 2 sin β 2 =1- tan α 2 tan β2 1- tan α 2 tan β 2 =e ∵13<1-e 1+e <12 ∴13 2 三、 以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而不求的方法找e 所符合的关系式. 题目5：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两 点，→OA +→OB 与→ a =(3,-1)共线，求 e? 法一：设A(x1,y1) ,B(x2,y2) ???b2x2+a2y2=a2b2 y=x-c (a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0 x1+x2=2a2c a2+b2 y1+y2=2a2c a2+b2-2c=-2b2c a2+b2 →OA +→ OB =(x1+x2,y1+y2)与（3，-1）共线，则 -（x1+x2）=3(y1+y2)既 a2=3b2 e=63 法二：设AB 的中点N ，则2→ON =→OA +→ OB ?????x12a2+ y12 b2 =1 ① x22a2+ y22 b2 =1 ② ① -② 得： y1-y2x1-x2 =- b2a2 x1 +x2 y1+y2 ∴1=- b2a2 (-3) 既a2=3b2 e=6 3 四、 由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。 题目6：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c ，0）、F2 (c,0)，满足→MF 1·→ MF 2 =0的 点M 总在椭圆内部，则e 的取值范围？ 分析：∵→MF 1·→ MF 2 =0∴以F1F2 为直径作圆，M 在圆O 上，与椭圆没有交点。 解：∴c a2=b2+c2 >2c2 ∴0 22 题目7：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(a>b >0)的两焦点为F1 （-c ，0）、F2 (c,0)，P 为右准线L 上一点， F1P 的垂直平分线恰过F2 点，求e 的取值范围？ 分析：思路1,如图F1P 与 F2M 垂直，根据向量垂直，找a 、b 、c 的不等关系。 思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e 解法一：F1 （-c ，0） F2 (c,0) P(a2 c ,y0 ) M( a2c -c 2 ,y0 2 ) 既( b22c , y0 2 ) 则→ PF 1 =-( a2c +c, y0 ) →MF 2 =-( b22c -c, y0 2 ) →PF 1·→MF 2 =0 ( a2c +c, y0 ) ·( b22c -c, y0 2 )=0 ( a2c +c)·( b22c -c)+ y02 2 =0 a2-3c2≤0 ∴ 3 3 ≤e<1 解法2：｜F1F2｜=｜PF2｜=2c ｜PF2｜≥a2c -c 则2c ≥a2c -c 3c ≥a2 c 3c2≥a2 则3 3 ≤e<1 设椭圆x a y b a b 222 210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点P ，使 ∠=?F PF 1290，求离心率e 的取值范围。 解法1：利用曲线范围 设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则 F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 121212122222 9000→→ → → → → =+=-∠=?⊥?=+-+=+=()()()()，，，由，知， 则， 即得 将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得 x a c a b a b F PF x a a c a b a b a 2 222222 1222 2222 222 9000= --∠=? ≤<≤--<但由椭圆范围及知即 可得，即，且从而得，且所以，） c b c a c c a e c a e c a e 2222222 2212 2 1≥≥-<= ≥=<∈[ 解法2：利用二次方程有实根 由椭圆定义知 ||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=?++= 又由，知 则可得这样，与是方程的两个实根，因此 ∠=?+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 1212221222122 2 122229042220||||||||||() ||||() ?=--≥?=≥ ?≥ 480 1 22 2 2222 22a a c e c a e () 因此，e ∈[ )2 2 1 解法3：利用三角函数有界性 记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有 ||sin ||sin || sin ||||sin sin ||||||||sin sin sin cos cos PF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211 22 2 122 βααβ αβ αβ αβ αβ == ??++=+=== =+=+-= -又，，则有 而知从而可得09002 45222 12 21 ≤- - cos αβαβαβ e 解法4：利用焦半径 由焦半径公式得 ||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x c a e x c x c a e P x y x a x a 1212221222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22224220=+=-+=+++-+=+== -≠±≤<，又由，所以有 即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即 022 2 1222 2≤-<∈c a e a e 得，） [ 解法5：利用基本不等式 由椭圆定义，有212a PF PF =+|||| 平方后得 42228212221212221222 a PF PF PF PF PF PF F F c =++?≤+==||||||| |(||||)|| 得c a 221 2≥ 所以有，）e ∈[221 解法6：巧用图形的几何特性 由∠=?F PF 1290，知点P 在以||F F c 122=为直径的圆上。 又点P 在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P 故有c b c b a c ≥?≥=-2 2 2 2 离心率的五种求法 椭圆的离心率10< 一、直接求出a 、c ，求解e 已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式a c e = 来解决。 例1：已知双曲线122 2 =-y a x （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ） A. 23 B. 23 C. 2 6 D. 332 解：抛物线x y 62 -=的准线是23=x ，即双曲线的右准线2 3122=-==c c c a x ，则 02322=--c c ，解得2=c ，3=a ，3 32== a c e ，故选D 变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）