一元一次方程例题讲解及答案.doc

去括号，得12 兀+ 66-25 + 10x30. 移项、合并同类项，得22 兀=-11.

解这个方程，得例3列方程求下列问题的解:

in = -6 —元一次方程

课标要求：1?解一元一次方程及其解的意义.

2.理解方程变形的基木原理，能在解方程屮正确应用.

3.掌握一元一次方程中移项、系数化为1等基本步骤，会解一元一次方程，

并会对方程的解进行检验.

4.能根据具体情境中的数量关系，列出方程，解决简单的实际问题.

中招考点

一元一次方程概念及解法，一元一次方程的应用，能利用一元一次方程解决生活屮的实际问题.

典型例题

例1解方程生巴一土空=1.

6(2X4-11)-5(5-2X)=1X 30.

系数化为1,得说明：注意在解方程过程中正确进行有理数及整式的运算，步骤不宜过于简单. 例2已知兀=-2是关于兀的方程2(x-m) = 8x-4m的解，求加的值.

分析：本题已知方程的解，要求方程中待确定的字母系数，可以像解数字系数的方程一样, 先求出方程的解，再进行比较；也可以根据方程的解的定义：能使方程两边代数式的值相等的未知数的取值叫做方程的解，将工=-2代入原方程，转化为关于加的方程求解.

解1解关于兀的方稈：lx-Im = 8x-4m .

因为已知方程的解是兀=-2,所以巴=-2,即m=-6

解2因为x = -2是方程的解，所以

2(-2-m) = 8(-2) 一4/n .

解：去分母,

强化训练1.选择题

(1)下列方程变形正确的是(

Y — 1

A?由 -- =0得x-l = 5

r — 1

C.由---- =1 得X -1 = 5

5 ）.

B.由一一1 = 0得x-l = 0

D?由兰一1 = 1得兀一5 = 1

(1)甲乙两车分别从相距360千米的两地相向开出，己知甲车速度是60千米/小时.乙车速度是40千米/小时.若甲车先开1小时，问乙车开出多少时间后两车相遇？

(2)小陈和老师一起整理了一篇教学材料，准备打印成稿.按篇幅估计老师单独打字需4个

小时，小陈单独打字需6个小时，后来小陈先打了一个小时后，老师开始一起打.问还需多少小时完成？

分析：方程是刻画现实世界数量之间相等关系的一个重要数学模型，通过对实际问题中数量关系的分析，列出相关的代数式，进而建立方程，可以把复杂的实际问题转化为纯数学问题来解决.这一过程的关键是要透过纷繁多变的问题的表象，抓住数量关系的实质，抽象为数学问题.因此，常有面目迥异的情形，在学习屮我们不能机械地记忆、套用某些题型而忽略了问题的本质.

像上述两个问题，不论是甲、乙两车还是师、生两人，主要的等量关系都是两个对象所完成数量的和等于总量，而其中一个对象所完成的数量又分为两部分；前一小时的和后來的.

请同学们注意强化训练第8题两个问题中数量关系和解法的比较.

解：(1)设乙车开出兀小时后两车相遇，根据题意，得

60（1 + 兀）+ 40x = 360 ?

解这个方程得

经检验，符合题意.

答乙车开出3小吋两车相遇.

(2)设老师开始打字后还需兀小时完成,

扣+兀）+*=1.

解这个方程得

答老师开始打字后还需要2个小时完成.

(2)下列方程后所列出的解不正确的是(

x 2 ----- 1—

(2) 0.7x +1.37 = 1.5x-0.23；

(3) x-3(20-x) = 3x-7(9-x)；

(4)

2x-l

l + 4x

(5)

A.7

B. ±7 C ?3 D ?7 或 3

(4) 一种书包经两次降价10%,现在售价Q 元，则原售价为( )元.

A. 81%? C ?80%a

D.-^

81% 80%

2 .填空题

(1) 若关于兀的方程、x = 5-k 的解是x = -3 ,则比= __________________ .

3 (2) 当兀= ___________ 时，代数式2x4-3与6-4兀的值相等. 3. 解下列方程：

(1) 3x-2 = -5(x-2)；

4.当x = -2时，代数式x 2+bx-2的值是12,求当x = 2时，这个代数式的值.

5. 初一 (4)班课外乒乓球组买了两副乒乓球板，若每人付9元，则多了 5元，后来组长收

了每人8元，自己多付了 2元，问两副乒乓球板价值多少？

3y+ 6

(6)

6 ?请你编制-道关于兀的方程，形如一咛冷使它的解在】到2之间.

7.已y = ax3 +bx-8,当x = 3时，y = 5 .求当兀=一3日寸，y的值.

8.应用方程解下列问题：

(1)某车间原计划每周装配36台机床，预计若干周完成任务，在装配了三分之一后，改进操作技术，功效提高了一倍，结果提前一周半完成任务?求这次任务需装配的机床总台数.

(2)某人有急事，预定搭乘一辆小货车从A地赶住B地，实际上他乘小货车行了三分路后改乘出租车，车速提高了一倍，结果提前一个半小时到达.己知小货车的车速是36千米 /小时，求两地间的路程.

一元一次方程参考答案

13 1

1.(1) C (2) C (3) D (4) B

2. (1) 6 (2) 一3?(1) x = - (2) x = 2(3) x = -

2 2 2

(4) x = —(5) y = 2(6) j = -6 4. -8 (提示：先求得方=一5 ) 5?两副乒乓球拍

价值58元6?略(提示：本题解答不唯一，任収符合条件的一个根，如x = -,代入原方程，

即能得到一个对应的加的值)7. -21 (提示：将已知条件代入后可求得27a + 36 = 13,当

兀=一3 时，j =-27a-3^-8 =-(27a+ 3*)-8 = -13-8 = -21 )

2 2

8. (1)装配机床总台数162台(提示：设共装配机床x台，根据题意，3—二一--；或

72 36 2

设共装配机床3兀台，根据题意，得竺二—

72 36 2

(2)两地间的路程为162千米(提示：与第(1)题具有相同的等量关系和方程)

解：(1)由②得

代入①，得

解得

代入③，得

所以方程组的解是(2)①+(§)x6,得

即

代入①，得

x = 7 -3y.

3(7-3J)-4J =-5.

y = 2.

x = 1.

x = l,

y = 2.

32 兀= 16,

x =—,

J = -l

第6部分二元一次方程组

课标要求

1.了解二元一次方程组及其解的概念，会将二元一次方程化为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，会检验未知数的一组对应值是否为二元一次方程的解.

2.了解二元一次方程组、方程组的解、解方程组等基本概念，掌握用消元法解方程组的基本思想；通过“消元”，转化为一元一次方程.

3.会灵活应用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组.

4.能应用二元一次方程组解决简单的实际问题.

中招考点

二元一次方程概念及解法，代入法和加减法解方程组，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，会检验未知数的一组对应值是否为二元一次方程的解，能应用二元一次方程组解决简单的实际问题.

典型例题

例1解下列方程组：

j3x-4J = -5, ①小严①

(1)—(2) 5 1 _

x+ 3j = 7; ②5x + — y = 2.②

分析：要结合方程组中方程的系数特征，合理选择消元的方法?通常方程中系数比较简单，尤其当一个未知数系数的绝对值是1时，可选用代入消元法，一般常采用加减消元法.

Y =—

所以方程组的解是2'

y=~1 2

例2已知关于工、y的方程组戶[尸& 与[x-2y = 5y有相同的解，求

（l-2m）x + 2y = \-n ?[兀兀 + 丿=m + 1.

“2、兀值?

分析：这里两个方程组屮都有待定系数，但并未知道具体的解，不能应用方程解的定义，代入后转化为关于加、H的方程来解.注意到两个方程组中都有一个方程的系数是已知的.且根据方程组的解的定义，本题“相同的解”也就是方程组!2x_3j=8,的解，因此，这个解可[x-2y = 5.

y* — 1 f 1 — 2"? — 4 _ 1 —U

以先予求出：~ :这时再将它代入另两个方程组，得几 ~ '

[y = -2. [n-2 = m + 1.

解这个方程组，得m = -l,7i = 2.

例3某公园的学生门票价格如下：

1 初一甲、乙两个班共104人，若分别购票，需1240元.两个班合起来购票，能否节约一些？或己知甲班人数稍多一些，请求出两班各有多少人？

2若不知道两班学生总数及各班人数的多少，你能求出各班人数吗？

分析本题具有较大的开放性?在第（1）个问题中，首先应根据题意，判断各班人数的大致范围：两班共104人，则至少有一个班级人数50,但总票价1240元不是11的倍数，说明另一个班级人数不超过50.根据这些信息，可以着手应用列方程组求解.

在第二个问题中，减弱了条件，两班学生的总数也是未知数.比较上述分析，共同之处是两班人数不可能是同一范围内的数（因为1240不是13、11、9的倍数），不同之处是少了一个方程.则应该用到求二元一次方程的整数解的知识，同吋还应根据实际情况，选取合适的解.

解（1）设初一甲班学生兀人，初一乙班学生y人，根据题意，两班票价总数1240不是13 或11的倍数，所以甲班人数大于50,乙班人数小于50.可得方程组

x + y = 104,

llx + 13j = 1240?

1240-13兀n = 112—

兀 +

8-2x

= 112—

兀 +

2(4-兀)

(1)

3兀一丿=2,

5x + 4y = 1.

3x + 5y = 42.

(4)

j5/n +7" = 26,

[4,72 + 6〃= 18. 解这个方程组，得经检验，符合题意.

y = 4&

答：初一甲班学生56人，初一乙班学生48人.

(2)设两个班级人数分别为兀人和y人，根据实际情况，其屮兀、J的值是不超过100的

?正整数，且X ＜卩根据题意，得方程

13x + llj = 124 0?

将方程变形为含X的代数式表示”得

所以4-x是11的倍数，依次取

工=4,15,26,37,48.

求出对应的y = l 0& 95,82,69,56.

根据实际情况，我们选取甲、乙两班人数分别为37人、69人、69人、37人、48人、56人或56人、48人四种比较合理的解答.

强化训练

1?填空题

(1)已知4兀+ 5y — 20 = 0 ,用含工的代数式表示只得___________________________

当y = _4 时，X= ______________________________ .

(2)己知x = 3』=一2是关于兀、丿的方程2兀一加丿+ 2加一2 = 0的解，贝【J：m= _______ .

(3)己知|2x +J-3|+(X-3J +2)2 =0 ,贝ij x-y= ___________________

(4)己知关于的方程组：%二亠的解’与y相等’则" ------------------------------------

2.解下列方程组:

(2) x

-t 丄、，十

门.e 小「2兀一y = 2a + b 3.已知关于兀、丿的万程组彳 .

[x^2y = a-b.

的解是｛二求…的值.

4.已知当x = l 吋,代数式ax + b 的值等于2；当x = 2吋,代数式ax+ b 的值是1.求当x = 5 时，这

个代数式的值.

5?甲、乙两件商品成本共400元，甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价.

后应顾客的要求，两种商品都按定价的90%出售，商店仍获利55?4元.求两种商品的成本各是多少？

6. 求方程4x + 3y = 31的正整数解.

7. 探索用适当的方法解下

列方程组:

(1)

8. 某校课外阅读小组同学每人订甲、乙两份杂志，甲杂志是月刊，每月一期定价2?2元：乙杂

志是双月刊，两个月一期定价2?6元.每位同学都是一份杂志订半年，另一份杂志订全年. 经统计，甲杂志订费858元，乙杂志订费429元，求这个阅读小组的人数.

J17x + 23j = 57, [23

兀+ 17y = 63;

x + y-z = 5, (3) ? 2x + 3j+ z = 10,

x-2y-z = 20.

第6部分二元一次方程组

1. (1) 丁=20一4兀］0

5 (2) -1 (3) 0 (4) 4 2. (1)

x ——,

17 (2)

7 y = ?

口⑶

y = 6.

X =29 7 = -!

(4)

m = 15.

n = —7.

a = 2

° 4. -2 5?甲商品成本260元，乙商品成本140元

b = -5.

商品成本兀元，乙商品成本J元，根据题意得方程组

x + j = 400,

x(l + 30%) x 90% + y (1 + 20%) x 90% = 400 + 55.4 6.

x2 =4,

兀1 =

y=9; J2=5;l j3=l.

（提示:

I — x

先将方程化为y = 10-x + —；或先确定y是1与9之间的奇数）

7. (1) X =29

J = 1

（提示：将两式分别相减和相加，得

x-y = t)

x+j=3?

(2) x = l,

y = -2

(3)

X~T,

j = -5, 8?这个阅读小组有40人（提示：设订甲种杂志全年的学5

Z_3'

生兀人，订乙种杂志全年的学生y人，列方程组

2.2x12兀+ 2?2x6y = 85& 曰

解得＜

〔2.6x3 兀+ 2?6x6y = 429.

x = 25,)

y = 15.