复旦大学数学分析考研试题及答案
复旦大学2005年数学分析考研试题
５、级数
∞
∑u
n =1 1
n
( x) 在 [a, b] 上收敛，且存在常数 G，使得对任何自然数 n 及实数 x ∈ [a, b] ，
∞
恒有
∑u
n =1
n
( x) < G ，证明级数 ∑ u n ( x) 在 [a, b] 上一致收敛。
n =1
设 f (u ) 是定义在 u ≥ u 0 上的实函数，在任意区间 [u 0 , x ] 上可积，且 uf (u ) 是递增函数。若
lim
1 f (u )du = a ，证明： lim f ( x) = a x →∞ x →∞ x ∫ u0
x
∫∫
D
sin(π x 2 + y 2 )
x +y
2 n 2
dxdy ，其中 D＝｛ ( x, y ) 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ｝
１． 设函数 H ( x1 , x 2 ,...x n ) = −
∑x
i =1
i
log 2 xi ，并且 xi > 0, ∑ xi = 1(i = 1,2,...n) ，证明：
i =1
n
H ( x1２． 设函数 f ( x ) 在 [ a, b] 上常义可积，函数 g ( x ) 以 T 为周期（ T > 0 ）在 [0, T ] 上可积， 且 g ( x) ≥ 0 ，则 lim
n →∞
∫
a
b
f ( x) g (nx)dx =
1 g ( x)dx ∫ f ( x)dx T∫ 0 a
20０５年复旦大学数学分析考研试题 ０５年复旦大学数学分析考研试题
一、严格表达下述概念（１５） １．请给出函数项级数一致收敛的定义。 ２．第一类曲线积分的数学定义。 ３．以
数学分析考研2021复旦与山东科大考研真题库
数学分析考研2021复旦与山东科大考研真题库一、山东科技大学《603数学分析》考研真题二、复旦大学数学系第1部分数项级数和反常积分第9章数项级数一、判断题1．若收敛，则存在．[重庆大学2003研] 【答案】错查看答案【解析】举反例：，虽然，但是发散．2．若收敛，，则收敛．[南京师范大学研] 【答案】错查看答案【解析】举反例：满足条件，而且很容易知道但是发散，所以发散．二、解答题1．求级数的和．[深圳大学2006研、浙江师范大学2006研] 解：2．讨论正项级数的敛散性．[武汉理工大学研]解：由于，所以当a＞1时收敛，当0＜a＜1时发散；当a＝1时，由于，故发散．3．证明：收敛．[东南大学研]证明：因为所以又因为而收敛，故收敛．4．讨论：，p∈R的敛散性．[上海交通大学研]证明：因为为增数列，而为减数列，所以．从而所以．于是当p＞0时，由积分判别法知收敛，故由Weierstrass判别法知收敛：当p＝0时，因为发散，所以发散：当p＜0时，发散．5．设级数绝对收敛，证明：级数收敛．[上海理工大学研]证明：因为绝对收敛，所以．从而存在N＞0，使得当n＞N 时，有，则有，故由比较判别法知级数收敛．6．求．[中山大学2007研]解：由于，所以绝对收敛．7．设，且有，证明：收敛．[大连理工大学研]证明：因为，所以对任意的ε，存在N，当n＞N时，有，即取ε充分小，使得，即．因为，所以单调递减，且现在证明．因为，即则．所以对任意的ε，存在N，当n＞N时，有．对任意的0＜c-ε＜r，有所以存在N，当n＞N时，，则因此，由两边夹法则可得．故由交错级数的Leibniz判别法知收敛．8．说明下面级数是条件收敛或绝对收敛[复旦大学研]解：数列是n的单调递减函数．且由莱布尼兹判别法，可知收敛．所以故当2x＞1，即时收敛，即绝对收敛；当2x≤1，即时，发散，即条件收敛．9．证明：若绝对收敛，则亦必绝对收敛．[华东师范大学研]证明：绝对收敛，从而收敛，记则由比较判别法知敛散性相同，而收敛，所以收敛，即绝对收敛．10．证明级数发散到[吉林大学研]证明：令则易知发散到所以又，所以所以原级数发散到。
复旦版数学分析答案全解ex13-2
1．证明重积分的性质 8。
证 不妨设 g(x) ≥ 0 ，M 、m 分别是 f (x) 在区域 Ω 上的上确界、下确界，
由 mg(x) ≤ f (x)g(x) ≤ Mg(x) 、性质 1 和性质 3，可得
m∫ g(x)dV ≤ ∫ f (x)g(x)dV ≤ M ∫ g(x)dV ，
1
dz
1
dx
1−x f (x, y, z)dy +
1
dzΒιβλιοθήκη ∫ba∫x
dx a
f
(
x,
y)dy
=
∫b dy
a
∫b y
f
(
x,
y)dx
。
∫ ∫ （2）
2a
dx
2ax
f (x, y)dy
0
2ax− x2
∫ ∫ =
a
dy
0
a− y2
a2 − y2
f
(x,
y)dx
+
∫0ady
∫2a
a+
a2 − y2
f
( x,
y)dx
+
∫ ∫ 2a dy
a
2a y2
f
(x,
y)dx 。
2π 3
≤
∫∫∫
Ω
1
+
dxdxdz x2 + y2 +
z
2
≤
4π 3
。
4．计算下列重积分：
(1) ∫∫(x3 + 3x2 y + y3 )dxdy ，其中 D 为闭矩形[0,1] × [0,1] ；
D
(2) ∫∫ xy e x2+y2 dxdy ，其中 D 为闭矩形[a,b] × [c,d ]；
数学分析(复旦大学版)课后题答案40-45
§udÃF¼êPÂÈ©§y{'4Gª§& 1 ln xy dx9uy Q[ , b ](b > 1)þÂñ. b
+∞ a A
ln
0
b dx x
Âñ
#f (x, y)Q[ a, +∞; c, d ]ë§é[ c, d)þzy§ f (x, y) dxÂñ§¢È©Qy = duÑ. y²ùÈ©Q[ c, d ]Âñ. y²µd f (x, d) dxuѧ&∃ε > 0, ∀A > a, ∃A , A A §¦ f (x, d) dx ε
dx [ p1 , p2 ]
Q
ë
2−p
dx [ p1 , p2 ]
Q
ë
6.
π −1 p 2−p 1 2 1 p π π −1 p 2−p p 2−p p1 2−p1 1 2 1−p1 x→π −0 1 p1 2−p1 p1 π 1 π −1 p−1 2−p1 π π −1 p 2−p 1 2 π p 2−p 1 2 π −1 p 1 2 π 0 p 2−p +∞ +∞
2−p
π −1 1 p 2−p
1 π −1 π sin x sin x sin x sin x dx = dx + dx + dx p (π − x)2−p p (π − x)2−p p (π − x)2−p p (π − x)2−p x x x x 0 0 1 π −1 1 sin x dx p 2−p 0 x (π − x) sin x sin x (0 x 1, 0 < p1 p p2 < 2) p 2 − p p 2 x (π − x) x (π − x)2−p2 sin x 1 lim xp2 −1 p = 2−p 2 − p 2 2 2 x→+0 x (π − x) π 1 sin x p2 < 2 p2 − 1 < 1 dx p2 (π − x)2−p2 x 0 1 sin x dx p ∈ [ p1 , p2 ] p (π − x)2−p x 0 1 sin x sin x (0 , 1 ] × [ p , p ] dx [ p1 , p2 ] 1 2 p (π − x)2−p xp (π − x)2−p x 0 π
复旦大学数学系陈纪修数学分析(第二版)习题答案ex2-3,4
一解 a = 0 舍去），因此
lim
n→∞
xn
=
2。
（3）首先有 x1 =
2 > −1，设 xk > −1，则 xk+1 =
−1 > −1 ，由数学
2 + xk
25
归纳法可知 ∀n ，xn
> −1。由 xn+1
− xn
=
−1 2 + xn
− xn
=
−
(xn + 1)2 2 + xn
< 0 ，可知{xn}
)n
= 0。
证（1）设
lim
n→∞
an
=
+∞ ，则 ∀G
>
0, ∃N1
>
0, ∀n
>
N1
: an
>
3G
。对固定的
N1 ，
∃N > 2N1,∀n > N :
a1 + a2 + " + aN1 n
< G ，于是
2
a1 + a2 + " + an ≥ aN1+1 + aN1+2 + " + an − a1 + a2 + " + aN1 > 3G − G = G 。
n→∞ ⎝ n ⎠
⑴ lim ⎜⎛1 − 1 ⎟⎞n ;
n→∞ ⎝ n ⎠
⑵ lim ⎜⎛1 + 1 ⎟⎞n ;
n→∞ ⎝ n + 1⎠
⑶ lim ⎜⎛1 + 1 ⎟⎞n ;
n→∞ ⎝ 2n ⎠
数学分析习题集9复旦大学
ln n
2
2n 2 ; ⑵ ∑ 3 n =1 n + 3n ∞ 1 ⑷ ∑ ; n =1 n ! ∞ π⎞ ⎛ ⑹ ∑ ⎜1 − cos ⎟ ; n⎠ n =1 ⎝
⑻ ⑽
∞
1
n
∑(
n =1
∞
n
n − 1) ;
n2 ; ∑ n n =1 2
∞
∑n
n =1 ∞ n =1
∞
2
e −n ;
[2 + (−1) n ]n ; ∑ 2 2 n +1 n =1 ∞ 2 n n! ⑿ ∑ n ; n =1 n
1+ 15. 利用级数的 Cauchy 乘积证明： (1)
1 ∞ (−1) n ⋅∑ = 1； ∑ n! n =0 n ! n =0
∞
(2) ⎜
⎛
∞ ⎞ n ⎞ ⎛ q qn ⎟ = ⎟ ⎜ ∑ ∑ ⎝ n =0 ⎠ ⎝ n =0 ⎠ ∞
∑ (n + 1)q
n =0
∞
n
=
1 (｜q｜＜1 ) 。 (1 − q ) 2
12. 已知任意项级数
14. 利用
1 1 1 + + … + - ln n → γ ( n → ∞ )， 2 3 n ∞ (−1) n +1 其中 γ 是 Euler 常数(见例 2.4.8)，求下述 ∑ 的更序级数的和： n n =1 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + - + … 。 3 2 5 7 4 9 11 6
(a＞0)。
2. 利用级数收敛的必要条件，证明： (1) lim
n →∞
(2)
复旦考研试题及答案
复旦考研试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪项是复旦大学的校训？A. 自由、平等、博爱B. 博学而笃志，切问而近思C. 厚德载物，自强不息D. 格物致知，诚意正心答案：B2. 复旦大学位于我国的哪个城市？A. 北京B. 上海C. 广州D. 成都答案：B3. 复旦大学的创立年份是？A. 1896年B. 1905年C. 1911年D. 1921年答案：A4. 下列哪项不是复旦大学的学术机构？A. 复旦大学附属中山医院B. 复旦大学附属肿瘤医院C. 复旦大学附属妇产科医院D. 华东师范大学附属中学答案：D5. 复旦大学的校徽中，哪项元素代表“复旦”？A. 火炬B. 书籍C. 校训D. 校名答案：A6. 复旦大学的校庆日是每年的哪一天？A. 5月27日B. 9月1日C. 10月1日D. 12月31日答案：A7. 下列哪项是复旦大学的著名校友？A. 马云B. 鲁迅C. 钱学森D. 陈独秀答案：B8. 复旦大学的校歌名称是什么？A. 复旦之歌B. 复旦校歌C. 复旦校训歌D. 复旦校庆歌答案：B9. 复旦大学的校色是什么？A. 蓝色B. 红色C. 绿色D. 黄色答案：A10. 复旦大学的校园内，哪座建筑是标志性建筑？A. 光华楼B. 逸夫楼C. 思源楼D. 钟楼答案：A二、多项选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪些是复旦大学的学科门类？A. 哲学B. 经济学C. 法学D. 医学答案：ABCD2. 复旦大学在哪些方面有突出的学术成就？A. 人文科学B. 自然科学C. 社会科学D. 工程技术答案：ABCD3. 复旦大学的哪些学院是国家重点学科？A. 经济学院B. 管理学院C. 法学院D. 医学院答案：ABCD三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述复旦大学的发展历程。
答案：复旦大学创建于1905年，原名复旦公学，是中国最早由民间创办的高等教育机构之一。
1917年定名为复旦大学，1942年成为国立复旦大学。
数学分析复旦答案
数学分析复旦答案【篇一：复旦《数学分析》答案第四章1、2节】题 4.1 微分和导数⒈半径为1cm的铁球表面要镀一层厚度为0.01cm的铜，试用求微分的方法算出每只球需要用铜多少克？（铜的密度为8.9g/cm3。
）解球体积v?43?r3，每只球镀铜所需要铜的质量为2m???v?4??r?r?1.12g。
?0⒉用定义证明，函数y点之外都是可微的。
证当x?0时，?y?微。
当x?0时，?y???3x2在它的整个定义域中，除了x这一?x2是?x的低阶无穷小，所以y?x2在x?0不可?x?x?o(?x),所以y?x2在x?0是可微的。
习题 4.2 导数的意义和性质1．设f?(x0)存在，求下列各式的值：⑴⑵⑶lim?x?0f(x0??x)?f(x0) ?x；limx?x0f(x)?f(x0)x?x0；。
f(x0?(??x))?f(x0) (??x)??f(x0)。
limh?0f(x0?h)?f(x0?h) h解 (1)lim⑵⑶f(x0??x)?f(x0) ?xf(x)?f(x0)x?x0?x?0??lim?x?0x?x0lim?limf(x0?(x?x0))?f(x0) x?x0x?x0?0?f(x0)。
limf(x0?h)?f(x0?h) hf(x0?h)?f(x0)hh?0f(x0?h)?f(x0)hh?0?limh?0?lim?2f(x0)。
2．⑴用定义求抛物线y?2x2?3x?1的导函数；⑵求该抛物线上过点(?1,?2)处的切线方程；⑶求该抛物线上过点(?2,1)处的法线方程；⑷问该抛物线上是否有(a,b)，过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行？解 (1)因为?y?x?2(x??x)?3(x??x)?1?(2x?3x?1)?xf(x)?lim?y?x?4x?3。
22?4x?3?2?x，所以?x?0(2)由于(3)由于f(?1)??1，切线方程为y??1?[x?(?1)]?(?2)??x?3。
f(?2)??5，法线方程为y??1?5[x?(?2)]?1?x?75。