贵州省贵阳市第一中学2020-2021学年高三上学期第五次月考数学(理)试题
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18．为了解高中学生对数学课是否喜爱是否和性别有关，随机调查220名高中学生，将他们的意见进行了统计，得到如下的 列联表.
喜爱数学课
不喜爱数学课
合计
男生
90
20
110
女生
70
40
110
合计
160
60
220
（1）根据上面的列联表判断，能否有 的把握认为“喜爱数学课与性别”有关；
（2）为培养学习兴趣，从不喜爱数学课的学生中进行进一步了解，从上述调查的不喜爱数学课的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出2名进行电话回访，求抽到的2人中至少有1名“男生”的概率.
m
经计算年个人消费支出总额x与恩格尔系数y满足线性回归方程 ，则 ______.
15．在椭圆 上有两个动点P，Q， 为定点， ，则 的最小值为______.
16． （ ），且满足 的整数a共有n个，则这n个a的和为______.
三、解答题
17．已知向量 ， ， .
（1）若 时， ，求 的值；
（2）已知在三角形 中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，且 ，求三角形周长的取值范围.
A． B． C．2D．
7．函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示，若把 的图象向右平移2个单位长度后得到函数 的图象，则 （）
A． B．
C．1D．0
8．已知 ，则 （）
A． B．180
C．45D．
9．已知某几何体的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最长棱长为（）
A． B． C． D．
贵州省贵阳市第一中学2020-2021学年高三上学期第五次月考数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各图中，可表示函数 的图象只可能是（）
A． B．Hale Waihona Puke Baidu
C． D．
2．下列不等式正确的是（）
A． B．
3．B
【分析】
设向量 ， 的夹角为 ，根据向量的数量积公式，求出 ，利用 的范围，得到 的不等量关系，即可求解.
【详解】
设向量 ， 的夹角为 ， ， ，
，
，且 ，
， ，
，解得 ，即 的最小值是1.
故选:B.
【点睛】
本题考查向量的数量积和解不等式，解题的关键是理解向量关系，灵活转换，属于中档题.
4．C
则 ，解得 ， ，
∵ ， ，
∴ 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
∴ ，
，则m的最小值为 .
故选:D.
【点睛】
本题考查等比数列的性质、等比数列的前 项和、不等恒成立的等价转化，属于中档题.
7．D
【分析】
由函数图像的最低点求出 ，与 轴两相邻交点坐标求出周期，进而求出 ，再由五点画法点坐标关系结合 的范围，求出 ，得出 ，根据三角函数平移变换关系，求出 ，即可求解.
10．小毛跟姐姐、父母、爷爷奶奶一同观看电影《中国机长》，6人坐成一排，若小毛的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为（）
A．360B．420C．432D．720
11．双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，P为双曲线右支上一点，I是 的内心，且 ，则 （）
A． B． C． D．
12．定义在 上的函数 满足 ， ，且当 时， ，则方程 在 上所有根的和为（）
C． D．
3．平面向量 ， 满足 ， ，则 的最小值是（）
A．3B．1
C．2D．4
4．如图，4片花瓣由曲线 与曲线 围成，则每片花瓣的面积为（）
A． B．
C． D．
5．已知复数 （x， ），且 ，则 的最大值为（）
A． B．
C． D．
6．已知在各项均正的等比数列 中， ， ，若 对任意 都成立，则m的最小值为（）
【详解】
∵复数 （x， ），且 ，
∴ ，∴ .
设圆的切线l： ，则 ，
化为 ，解得 ，
∴ 的最大值为 .
故选:C.
【点睛】
本题考查复数的几何意义、轨迹方程、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.
6．D
【分析】
根据已知可得 为等比数列，求出前 项和的范围，即可求出结论.
【详解】
， ，设数列的公比为q，
A．0B．8C．16D．32
二、填空题
13．集合 ， ，若 ，则实数m的值是______.
14．恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数越小，消费结构越完善，生活水平越高.某学校社会调查小组得到如下数据：
年个人消费支出总额x/万元
1
1.5
2
2.5
3
恩格尔系数y
0.9
0.8
0.5
0.2
参考公式： .
P（ ）
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
19．如图，在四棱锥 中， ∥AB， ， ， ， ， ， ，E是 的中点.
（1）求证： ；
（2）求二面角 的余弦值.
20．已知椭圆C： （ ）经过点 ，离心率为 ， ， 分别为椭圆的左、右焦点.
因此可知A，B，D不符合.
故选:C.
【点睛】
本题考查函数的定义，属于基础题.
2．C
【分析】
根据诱导公式，将三角函数值角化小，并判断正负值，结合三角函数的有界性和对数函数的单调性，逐项判断，即可得出结论.
【详解】
，所以A错；
， ，所以B错；
，C正确；
， ，所以D错.
故选:C.
【点睛】
本题考查比较数的大小关系，涉及到诱导公式、三角函数的性质、对数函数的单调性，要注意与特殊数对比，属于基础题.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点 （ ）在椭圆C上，求证；直线 与直线 关于直线l： 对称.
21．已知函数 ， .
（1）若 在 上恒成立，求满足条件的a的最小正整数；
（2）证明： （参考数据： ， ）
22．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程是 （t是参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程是 .
（1）写出圆 的直角坐标方程；
（2）若曲线 与 有且仅有三个公共点，求 的值.
23．设函数 .
（1）若不等式 的解集为 ，求实数a的值；
（2）若 ，求证；对任意的实数x，y， .
参考答案
1．C
【分析】
根据函数的定义结合图像，即可得出结论.
【详解】
因为函数图象要满足对于定义域内任意一个x都有唯一的y与其相对应，
【分析】
由题得，两曲线在第一象限的函数解析式分别为 ，联立可得， 或 ，所以每片叶子的面积为 ，解定积分即可得到本题答案.
【详解】
如图1所示，由 解得 或 可得每片叶子的面积为 .
故选:C
【点睛】
本题主要考查利用微积分基本定理求曲边图形的面积，属基础题.
5．C
【分析】
根据模长公式，求出复数 对应点的轨迹为圆， 表示 与 连线的斜率，其最值为过 点与圆相切的切线斜率，即可求解.
喜爱数学课
不喜爱数学课
合计
男生
90
20
110
女生
70
40
110
合计
160
60
220
（1）根据上面的列联表判断，能否有 的把握认为“喜爱数学课与性别”有关；
（2）为培养学习兴趣，从不喜爱数学课的学生中进行进一步了解，从上述调查的不喜爱数学课的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出2名进行电话回访，求抽到的2人中至少有1名“男生”的概率.
m
经计算年个人消费支出总额x与恩格尔系数y满足线性回归方程 ，则 ______.
15．在椭圆 上有两个动点P，Q， 为定点， ，则 的最小值为______.
16． （ ），且满足 的整数a共有n个，则这n个a的和为______.
三、解答题
17．已知向量 ， ， .
（1）若 时， ，求 的值；
（2）已知在三角形 中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，且 ，求三角形周长的取值范围.
A． B． C．2D．
7．函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示，若把 的图象向右平移2个单位长度后得到函数 的图象，则 （）
A． B．
C．1D．0
8．已知 ，则 （）
A． B．180
C．45D．
9．已知某几何体的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最长棱长为（）
A． B． C． D．
贵州省贵阳市第一中学2020-2021学年高三上学期第五次月考数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各图中，可表示函数 的图象只可能是（）
A． B．Hale Waihona Puke Baidu
C． D．
2．下列不等式正确的是（）
A． B．
3．B
【分析】
设向量 ， 的夹角为 ，根据向量的数量积公式，求出 ，利用 的范围，得到 的不等量关系，即可求解.
【详解】
设向量 ， 的夹角为 ， ， ，
，
，且 ，
， ，
，解得 ，即 的最小值是1.
故选:B.
【点睛】
本题考查向量的数量积和解不等式，解题的关键是理解向量关系，灵活转换，属于中档题.
4．C
则 ，解得 ， ，
∵ ， ，
∴ 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
∴ ，
，则m的最小值为 .
故选:D.
【点睛】
本题考查等比数列的性质、等比数列的前 项和、不等恒成立的等价转化，属于中档题.
7．D
【分析】
由函数图像的最低点求出 ，与 轴两相邻交点坐标求出周期，进而求出 ，再由五点画法点坐标关系结合 的范围，求出 ，得出 ，根据三角函数平移变换关系，求出 ，即可求解.
10．小毛跟姐姐、父母、爷爷奶奶一同观看电影《中国机长》，6人坐成一排，若小毛的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为（）
A．360B．420C．432D．720
11．双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，P为双曲线右支上一点，I是 的内心，且 ，则 （）
A． B． C． D．
12．定义在 上的函数 满足 ， ，且当 时， ，则方程 在 上所有根的和为（）
C． D．
3．平面向量 ， 满足 ， ，则 的最小值是（）
A．3B．1
C．2D．4
4．如图，4片花瓣由曲线 与曲线 围成，则每片花瓣的面积为（）
A． B．
C． D．
5．已知复数 （x， ），且 ，则 的最大值为（）
A． B．
C． D．
6．已知在各项均正的等比数列 中， ， ，若 对任意 都成立，则m的最小值为（）
【详解】
∵复数 （x， ），且 ，
∴ ，∴ .
设圆的切线l： ，则 ，
化为 ，解得 ，
∴ 的最大值为 .
故选:C.
【点睛】
本题考查复数的几何意义、轨迹方程、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.
6．D
【分析】
根据已知可得 为等比数列，求出前 项和的范围，即可求出结论.
【详解】
， ，设数列的公比为q，
A．0B．8C．16D．32
二、填空题
13．集合 ， ，若 ，则实数m的值是______.
14．恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数越小，消费结构越完善，生活水平越高.某学校社会调查小组得到如下数据：
年个人消费支出总额x/万元
1
1.5
2
2.5
3
恩格尔系数y
0.9
0.8
0.5
0.2
参考公式： .
P（ ）
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
19．如图，在四棱锥 中， ∥AB， ， ， ， ， ， ，E是 的中点.
（1）求证： ；
（2）求二面角 的余弦值.
20．已知椭圆C： （ ）经过点 ，离心率为 ， ， 分别为椭圆的左、右焦点.
因此可知A，B，D不符合.
故选:C.
【点睛】
本题考查函数的定义，属于基础题.
2．C
【分析】
根据诱导公式，将三角函数值角化小，并判断正负值，结合三角函数的有界性和对数函数的单调性，逐项判断，即可得出结论.
【详解】
，所以A错；
， ，所以B错；
，C正确；
， ，所以D错.
故选:C.
【点睛】
本题考查比较数的大小关系，涉及到诱导公式、三角函数的性质、对数函数的单调性，要注意与特殊数对比，属于基础题.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点 （ ）在椭圆C上，求证；直线 与直线 关于直线l： 对称.
21．已知函数 ， .
（1）若 在 上恒成立，求满足条件的a的最小正整数；
（2）证明： （参考数据： ， ）
22．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程是 （t是参数）.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程是 .
（1）写出圆 的直角坐标方程；
（2）若曲线 与 有且仅有三个公共点，求 的值.
23．设函数 .
（1）若不等式 的解集为 ，求实数a的值；
（2）若 ，求证；对任意的实数x，y， .
参考答案
1．C
【分析】
根据函数的定义结合图像，即可得出结论.
【详解】
因为函数图象要满足对于定义域内任意一个x都有唯一的y与其相对应，
【分析】
由题得，两曲线在第一象限的函数解析式分别为 ，联立可得， 或 ，所以每片叶子的面积为 ，解定积分即可得到本题答案.
【详解】
如图1所示，由 解得 或 可得每片叶子的面积为 .
故选:C
【点睛】
本题主要考查利用微积分基本定理求曲边图形的面积，属基础题.
5．C
【分析】
根据模长公式，求出复数 对应点的轨迹为圆， 表示 与 连线的斜率，其最值为过 点与圆相切的切线斜率，即可求解.