排列数公式的证明
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证明
用P(n,r)、C(n,r)表示。
1)证明P(n,r)=n(n-1)…(n-r+1)=n!/(n-r)!
P(n,r)=n(n-1)…(n-r+1)是定义，不用证明。
下面证明n(n-1)…(n-r+1)=n!/(n-r)!
n!/(n-r)!=n(n-1)…(n-r+1)(n-1)(n-r-1)…2*1/[(n-r)(n-r-1)…2*1]=n(n-1)…(n-r+1)。
2)证明C(n,r)=P(n,r)/r!=n!/[r!(n-r)!]
C(n,r)=P(n,r)/r!是定义，不用证明。
下面证明P(n,r)/r!=n!/[r!(n-r)!]
由1)知，P(n,r)=n!/(n-r)!。
所以，P(n,r)/r!=[n!/(n-r)!]/r!=n!/[r!(n-r)!]
3)C(n,r)=n!/[r!(n-r)!]
C(n,n-r)=n!/[(n-r)!r!]
所以，C(n,r)=C(n,n-r)