排列数公式课件
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排列与排列数课件(最新)PPT
复习
1．排列的定义 2.排列数公式
Anm n(n 1)( n 2) (n m 1) 共有 m个整数相乘。（ m n)
n! Ann n(n 1)(n 2) 21
A
m n
n! （ 0 ( n m )!
m
n)
规定0！ 1，An0 1
珠海市斗门区第一中学
复习
思考 : Ax4 840, x ?
A22 A33 A44 288（种）
A44 A53 1440
A33 A44 144
练习3。由1,2,3,4组成的四位数，小于4123的 有多少个？
千位是3选1，其他任排。 A31 A33 18
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A93
二类：0被选中放在十位或个位 A21 A92
A93 A21 A92 648
A3 10
A2 9
A A3 10
2 9
．
10
9
8
9
8
648.
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思考：对于（4）用全排列减去（4）得：
（3）情形：甲————————乙 和乙————————甲
（4）甲乙不能在两端，包括不能： 甲——————————乙 乙——————————甲 甲——————————X 乙——————————X X-------------------------------甲 X--------------------------------乙
§ 1.2.1 排列与排列数
§
李森
珠海市斗门区第一中学
学习目标
重点难点
珠海市斗门区第一中学
1.熟练运用排列数计算 公式求解排列数问题。
2.掌握常见的带限制条 重点：用适合的方法解决排列问 件的排列数计算方法： 。
1-1.2.1第2课时排列与排列数公式
栏目导引
排列数与排列数公式
从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m(m≤n) 个 元 素 排列数 的 所有不同排列的个数 ，叫做从 n 个不同 定义 元素中取出 m 个元素的排列数． 排列数 表示法 乘积 形式 形式 性质 备注
工具
Anm
Anm＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) .
排列数 公式
工具
第一章 计算原理
栏目导引
(2)1！＋2·2！＋3·3！＋„＋n·n!
＝(2！－1)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋„＋[(n＋1)！－n！]
＝(n＋1)！－1.
[题后感悟]
(1)连续正整数的乘积可以写成某个排列数，其
中最大的数是排列元素的总个数，这是排列数公式的逆用．
(2)应用排列数公式的两种形式时，一般写出它们的式子后， 再提取公因式，然后计算，这样做往往会减少运算量．
数字的两位数？
(2)从1,2,3,4,5,6中选出三个数字，能构成多少个没有重复数
字的三位数？
(3)从1,2,3,4,5,6中选出四个数字，能构成多少个没有重复数 字的四位数？ 观察以上问题，你认为从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 排成一列，有多少种不同的排法？排列数公式是什么？
工具
第一章 计算原理
工具
第一章 计算原理
栏目导引
2A85＋7A84 An－1m 1· n－mn m A 1.计算：(1) ；(2) . － A88－A95 An－1n 1
－
－
2A85＋7A84 解析： (1) A88－A95 2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5 ＝ ＝1. 8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5 An－1m 1· n－mn A (2) － An－1n 1
2025高考数学一轮复习-7.2.2-排列数公式【课件】
二、阶乘的概念及性质
知识梳理
1.阶乘的概念
Ann ＝ n(n－1)(n－2)×…×3×2×1 . Ann 称为n的阶乘，通常用n！表示，
即 Ann ＝n！.
2.阶乘的相关应用
(1)规定：0！＝ 1 .
n！
(2)排列公式的阶乘式：Amn ＝ n－m！ (n≥m).
例 2 解方程：3Ax8＝4Ax9－1.
证明 方法一 因为 Amn＋1－Anm
＝n＋n＋1－1m！！－n－n！m！ ＝n－n！m！·n＋n＋1－1 m－1 ＝n－n！m！·n＋m1－m ＝m·n＋1n－！m！＝mAmn －1， 所以 Amn＋1－Amn ＝mAmn －1.
方法二 Amn＋1表示从 n＋1 个元素中取出 m 个元素的排列数，其中不含元 素 a1 的有 Anm个. 含有a1的可这样进行排列： 先排 a1，有 m 种排法，再从另外 n 个元素中取出 m－1 个元素排在剩下 的 m－1 个位置上，有 Amn －1种排法.
故 Amn＋1＝mAmn －1＋Amn ，
所以 mAmn －1＝Amn＋1－Anm.
反思感悟 对含有字母的排列数的式子进行变形式有关的论证时，一 般用阶乘式.
解析 对于 A，(n＋1)Amn ＝(n＋1)·n－n！m！＝nn－＋m1！！＝[n＋1n－＋1m！＋1]！＝ Amn＋＋11，正确； 对于 B，nnn！－1＝nn－1n－n2n×－…1×3×2×1＝(n－2)！，正确； 对于 C，Amm≠nA！mn ，错误； 对于 D，n－1 mAmn ＋1＝n－1 m·n－mn！－1！＝n－n！m！＝Amn ，正确.
知识梳理
1.排列数公式 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有排列的个数 ，叫 作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn 表示，Amn＝_n_(n_－__ 1)(n－2)…(n－m＋1) ，其中n，m∈N*，且m≤n. 2.n个不同元素全部取出的一个排列，叫作n个不同元素的一个全排列. 注意点： (1)乘积是m个连续正整数的乘积. (2)第一个数最大，是A的下标n. (3)第m个数最小，是n－m＋1.
6.2.2排列数-【精品课件】高中数学人教A版选择性必修第三册
3
学习新知
2、排列数：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做
从n个不同的元素中取出m个元素的排列数。用符号
表示。
排列数与一个排列相同吗？
如：问题1中从4个不同的元素a,b,c,d中任取2个元素的排列有
ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc共12个，
：
邢
启
强
14
课堂小结
排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺序排成
一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不同，就视为
完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）．
由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关，也就是说与
位置有关的问题才能归结为排列问题．当元素较少时，可以
根据排列的意义写出所有的排列．
讲
(n m)!
(n m)! (n m)!
m
讲
课
人
：
邢
启
强
m
A
n
9
练习1：证明：
证明：
讲
课
人
：
邢
启
强
A 8A 7 A A
8
7
6
7
8
7
6
7
A 8A 7 A 8A 8A A A
8
7
6
7
7
7
7
8
7
6
7
7
7
7
10
巩固练习
3
7
1．与 A10·A7不相等的是( B )
8
问题5：证明：（1）
证明：
（1）
m1
n An-1
高中数学第5章计数原理§22.1排列与排列数2.2排列数公式课件
[跟进训练] 2．(1)计算A316A－35 A66； (2)已知 Amn －1＝5×6×7×…×2 020，求 m，n 的值． [解] (1)原式＝16×15×14－5×6×4×5×3 4×3×2×1＝4×14－12＝ 44．
(2)∵5×6×7×…×2 020 中最大的数为 2 020，共有 2 020－5＋ 1＝2 016 个数，
[解] (1)A215＝15×14＝210； (2)A88＝8！＝8×7×6×5×4×3×2×1＝40 320； (3)Amn－－A11nn·－ －A11nn－ －mm＝[n－1n－－m1－！1]！·(n－m)！·n－11！ ＝nn－－m1！！·(n－m)！·n－11！＝1；
(4)1！＋2·2！＋…＋n·n！＝(2！－1)＋(3！－2！)＋…＋[(n＋1)！ －n！]＝(n＋1)！－1；
A．4 B．6 C．8 D．12
D [共有 A24＝4×3＝12 种选法．]
3．将 3 张电影票分给 10 人中的 3 人，每人 1 张，共有________
种不同的分法．
720
[问题相当于从
10
张电影票中选出
3
张排列起来，共有
A3 10
＝10×9×8＝720 种分法．]
4．解方程：3A3x＝2A2x＋1＋6A2x．
【例 3】 (1)写出从 4 个不同元素 a、b、c、d 中任取 3 个元素 的所有排列，并指出有多少种不同的排列？
(2)从 3、5、7、8 中任意选两个分别作为对数的底数与真数，能 构成多少个不同的对数值？
[思路点拨] (1)依据排列的定义，用枚举法求解；(2)看能不能把 问题归结为排列问题，若能，进一步确定 m 与 n 的取值．
∴5×6×7×…×2 020＝A22 001260， ∴m－1＝2 016，n＝2 020， ∴m＝2 017，n＝2 020．
排列与排列数 (课件)
有多少种不同的纸牌方案？
它们的答案是否一致？
如果用A、B、C分别表示上述问题（1）中的三所大学，用（A,B）表示，第一志愿
是A，第二志愿是B，你能列出小张所有的选择方式吗？上述问题，（2）（3）的结
果是否也能用类似的方法表示？
概念解析
一、排列的定义
一般地,从n个不同对象中,任取m(m≤n)个对象,按照一定的顺序排成一列,
典例解析
例1.求从A,B,C这3个对象中取出3个对象的所有排列的个数，并写出所有
的排列。
解：所求排列数为33 = 3 × 2 × 1 = 6.
所有的排列可用图表示
由图可知，所有排列为
ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA.
概念解析
2.排列数公式的阶乘表示
全排列数公式的阶乘表示:A =n!=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1.
(2)从10名同学中随机抽取2名同学去学校参加座谈会;
(3)某商场有四个大门,从一个门进去,购买物品后再从另一个门出来的不同的出入方式.
解:(1)由于取出的两个数组成的点的坐标与哪一个数作为横坐标,哪一个数作为纵坐标
的顺序有关,所以这是排列问题.
(2)抽取2人参加座谈会不用考虑2人的顺序,所以不是排列问题.
− !
!
− −1 !
!
=
× 1+
− !
− −1
!
+1
=
×+
− !
− −1
=
( + 1)!
=
+1
+1 − !
典例探究
探究2.假设有 + 1加一个对象，甲是其中一个，从 + 1对象中取出m个做
它们的答案是否一致？
如果用A、B、C分别表示上述问题（1）中的三所大学，用（A,B）表示，第一志愿
是A，第二志愿是B，你能列出小张所有的选择方式吗？上述问题，（2）（3）的结
果是否也能用类似的方法表示？
概念解析
一、排列的定义
一般地,从n个不同对象中,任取m(m≤n)个对象,按照一定的顺序排成一列,
典例解析
例1.求从A,B,C这3个对象中取出3个对象的所有排列的个数，并写出所有
的排列。
解：所求排列数为33 = 3 × 2 × 1 = 6.
所有的排列可用图表示
由图可知，所有排列为
ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA.
概念解析
2.排列数公式的阶乘表示
全排列数公式的阶乘表示:A =n!=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1.
(2)从10名同学中随机抽取2名同学去学校参加座谈会;
(3)某商场有四个大门,从一个门进去,购买物品后再从另一个门出来的不同的出入方式.
解:(1)由于取出的两个数组成的点的坐标与哪一个数作为横坐标,哪一个数作为纵坐标
的顺序有关,所以这是排列问题.
(2)抽取2人参加座谈会不用考虑2人的顺序,所以不是排列问题.
− !
!
− −1 !
!
=
× 1+
− !
− −1
!
+1
=
×+
− !
− −1
=
( + 1)!
=
+1
+1 − !
典例探究
探究2.假设有 + 1加一个对象，甲是其中一个，从 + 1对象中取出m个做
排列组合公式课件
斯特林数、贝尔数等特殊计数方法介绍
1 2 3
第一类斯特林数 表示将n个不同元素分成k个圆排列的方案数，记 作$s(n,k)$。
第二类斯特林数 表示将n个不同元素分成k个集合的方案数，记作 $S(n,k)$。
贝尔数 表示将n个元素分成任意个集合的方案数，记作 $B_n$。
排列组合在计算机科学中应用举例
组合性质
C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n。
组合公式推导过程
推导思路
通过排列数公式A(n,m)与组合数公 式C(n,m)之间的关系，推导出组合 公式C(n,m)=A(n,m)/m!。
推导过程
首先明确排列数公式A(n,m)的定义及 性质，然后利用排列数与组合数之间 的关系，推导出组合公式，并解释公 式中各符号的含义。
典型例题分析与解答
例题选择
选择具有代表性和针对性 的例题，如基础题型、易 错题型等；
解题步骤
详细阐述解题思路和步骤， 包括问题建模、公式应用、 计算过程等；
答案解析
给出最终答案，并对解题 过程进行解析和评价。
PART 03
组合公式详解
组合定义及性质
组合定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同取法，记作C(n,m)。
分组竞赛
将学生分成若干小组，每组选一名 代表上台解题，看哪一组解得又快 又准，增强学生的团队协作和竞争 意识。
PART 05
知识拓展与延伸
阶乘、双阶乘等相关概念引入
阶乘
n!=n×(n-1)×...×2×1，0!=1。
双阶乘
n!!，当n为奇数时，n!!=n×(n-2)×...×3×1；当n为偶数时，n!!=n×(n-2)×...×4×2。
高中数学排列组合常用方法与技巧精讲 PPT课件 图文
结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题, 可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为 一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元 素内部也可以作排列.
例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学 生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我 们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方 法简单,结果容易理解.
种选A法74 .根据乘法原理,共有的不同坐法为
种A.88 A74
结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的 元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 的空档之中即可.
例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法?
结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种 剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化 为求剩法.
例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的 话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他 们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能 够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题 的复杂性.
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程.
解 43人中任抽5人的方法有C 453种,正副班长,团支部书
记都不在内的抽法有 种C 450,所以正副班长,团支部书记至
解数学不之加前任考何”限,与制“条数件学,整安个排排在法语有文之种A前99 ,“考语”文的安排排法在是
例3 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学 生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我 们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方 法简单,结果容易理解.
种选A法74 .根据乘法原理,共有的不同坐法为
种A.88 A74
结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的 元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 的空档之中即可.
例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法?
结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种 剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化 为求剩法.
例5 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有 多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的 话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他 们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能 够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题 的复杂性.
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程.
解 43人中任抽5人的方法有C 453种,正副班长,团支部书
记都不在内的抽法有 种C 450,所以正副班长,团支部书记至
解数学不之加前任考何”限,与制“条数件学,整安个排排在法语有文之种A前99 ,“考语”文的安排排法在是
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P n nn (n 1 )(n 2 )L321 n ! n (n 1 )(n 2 )L 3 2 1
Pnm
(n
n! m)!
今日思考
A、若n∈N*且55＜n＜69，则 (55－n)(56－n)……(68－n)(69－n)用排列数符号如何表示。
P 15 69 n
B、三张卡片的正反面分别写着数字2和3，4和5，7和8，若将 这三张卡片的正面或反面并列组成一个三位数，可以得到多 少个不同的三位数？
探究分析
根据分 步计数
原理
分析：
P
2 4
计算方法?
归纳研究步骤：
⑴ 理解P42的含义…… ⑵ 完成这件事需要几步……
⑶ 根据乘法原理计算……
P4243LL
Pnm ？
探究分析
探究4：符号
P
m n
表示：
从n个不同元素中，任取m个元素 所有排列的个数是多少？
分析4：P n m 计算方法?
观察数据 间的规律
第1步
n种
第2步
(n-1)种
第3步
……
(n-2)种 ……种
第m步
?[n-(m-1)]种
P n m n ( n 1 ) ( n 2 ) ( n 3 ) … … （ n m 1 ）
基本公式
1、排列数公式⑴:
P n m n ( n 1 ) ( n 2 ) L ( n m 1 ) ， ( m , n N * , m n )
例2：用1，2，3……9这九个数字，可以组成多少个 没有重复数字的四位数？
解: P 9498763024
例3、从若干个元素中选出2个进行排列，可得210种 不同的排列，那么这些元素共有多少个？
解：设元素共有n个，由题意可得！
Pn2nn1210 n115 n214舍
强化训练
1．计算：（1）5P53 4P42 348（2） P41P42P43P4464 5 P 5 3 4 P 4 2 5 5 4 3 4 4 3 3 4 8 P 4 1 P 4 2 P 4 3 P 4 4 4 4 3 4 3 2 4 3 2 1 6 4
那么完成这件事共有：N=m1×m2×……×mn种不同的方法．
典型例题
*（思考）某商场有1号、2号、3号、4号4个大门，若从一个 门进去，购物后从一个门出来，有多少种不同的出入方式？
1号入
2号入
?
2号出 3号出 4号出 1号出 3号出 4号出
3号入
4号入
2号出 1号出 4号出 2号出 3号出 1号出
2．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地
上进行试验，有 24 种不同的种植方法？
P4343224
3．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比
赛，并排定他们的出场顺序，有 60 种不同的方法？
P5354360
4、用红、黄、蓝三面小旗（三面都要用）竖挂在绳子上表示信 号，试问能表示多少种不同的信号？
2、全排列数公式:
P n nn (n 1 )(n 2 )L321
n ! 注意：正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 表示。
n ! n (n 1 )(n 2 )L 3 2 1 Pnn n !
3、排列数公式⑵:
Pnm
(nn! m)!Fra bibliotek思考题
典型例题
例解1:、P 计44算：4 P 43 4 2124
56个
课后作业
课本P210 练习A组、1、2、3做在书上 4、5、6做在作业本上
重 要
*元素不能重复!
说 n个中不能重复，m个中也不能重复。 明
典型例题
（A）以圆上的10个点为端点作弦，共能画出多少条弦？ （B）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点
的射线，共能画出多少条射线？
P 表示为： 2 10 重 要 *“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断 说 一个问题是否是排列问题的关键。 明
（B）从2,3,5,7,11中任取两个数相除，共有多少种商？
P 表示为： 2 5 重 要 *两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全 说 相同，而且元素的排列顺序也完全相同。 明
典型例题
（A）20位同学互通一次电话，共通多少次电话？
（B）20位同学互通一封信，共写多少封信？
P 表示为： 2 20
回顾与思考
分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1 种不同的方法， 在第2类方式中有m2 种不同的方法，…，在第n 类方式中有mn
种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1+m2+……+mn 种不
同的方法．
分步计数原理（乘法原理）
P42=?
完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m1 种不同的方法， 做第2步有m2 种不同的方法，…，做第n步有mn 种不同的方法，
（B）从50名学生中选5人组成班委会，并且进行分工，共 有多少种选法？
表示为：
P
5 50
重 1、选排列： 如果m<n，那么从n个不同中取出m个不同元素
要
的排列，叫做选排列。
说
明 2、全排列： 如果m＝n，那么从n个不同中取出m个不同元
素的排列，叫做全排列。
典型例题
（A）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘，共有多少种乘积？
基本概念
1、排列： 从n个不同元素中，任取m (m≤n)个不同元素，
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中 取出m个元素的一个排列。
2、排列数： 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排
列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排 列数。
用符号 P n m 表示。
典型例题
比一比、看一看
判断下列问题是否是排列？如果是请用排列数符号表示其结果！
第一题
第二题
第三题
第四题
选做题
游戏规则：1、每个小组都可以给其他小组选题； 2、被选小组完成问题解答，其他小组为评委； 3、学习班长记录比赛结果，评选优秀学习小组。 4、组长记录组员的积极表现，推荐学习明星。
典型例题
（A）从50名学生中选5人组成班委会，共有多少种选法？
P33 3216
课堂小结
一、基本概念： 排列 排列数
我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照 一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个排列,所有这样排列的个数称为从n个不同元
素中取出m个元素的排列数.用符号 P n m 表示.
二、基本公式：
P n m n ( n 1 ) ( n 2 ) L ( n m 1 ) ， ( m , n N * , m n )