高中数学必修第二册 第四章 1同角三角函数的基本关系-教案-北师大版(2019)
同角三角函数的基本关系
【教学目标】
1.理解同角三角函数的基本关系式:sin 2α+cos 2
α=1,sin αcos α=tan α. 2.会利用这两个公式求三角函数式的值,化简三角函数式或证明三角恒等式.
【教学重难点】
同角三角函数的基本关系式及其应用.
【教学过程】
一、基础铺垫
同角三角函数基本关系式
(1)关系式
①平方关系:sin 2α+cos 2α=__1__;
②商数关系:sin αcos α
=tan__α. (2)文字叙述
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切.
(3)变形形式
①1=sin 2α+cos 2α;
②sin 2α=1-cos 2α;cos 2α=1-sin 2α;
③sin α=± 1-cos 2α;cos α=± 1-sin 2α;
④sin α=cos αtan α;
⑤(sin α±cos α)2=1±2sin_αcos__α.
思考:sin 230°+cos 245°等于1吗?
sin 90°cos 90°
有意义吗? [提示] 不等于1,sin 90°cos 90°
分母为0,无意义. 二、合作探究
1.利用同角基本关系式求值
【例1】 已知cos α=-817,求sin α,tan α的值. [解] ∵cos α=-817<0,∴α是第二或第三象限的角. 如果α是第二象限角,那么
sin α=1-cos 2α= 1-? ????-8172=1517
, tan α=sin αcos α=15
17-817
=-158. 如果α是第三象限角,同理可得
sin α=-1-cos 2α=-
1517,tan α=158. 【规律方法】
已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值时,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系, 再用商数关系.另外也要注意“1”的代换,如“1=sin 2α+cos 2α”.本题没有指出α是第几象限的角,则必须由cos α的值推断出α所在的象限,再分类求解.
2.利用sin α±cos α,sin α,cos α之间的关系求值
【例2】 已知0<α<π,sin α+cos α=15
,求tan α的值. [解] 由sin α+cos α=15
,① 得sin α·cos α=-1225
<0, 又0<α<π,
∴sin α>0,cos α<0,则sin α-cos α>0,
∴sin α-cos α=
sin α-cos α2=1-2sin αcos α = 1-2×? ????-1225=75
,② 由①②解得sin α=45,cos α=-35
,
∴tan α=sin αcos α=-43
. 【规律方法】
sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子中,已知其中一个,可以求其他两个,即“知一求二”,它们之间的关系是:(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,利用此关系求sin α+cos α或sin α-cos α的值时,要注意判断它们的符号.
3.综合应用
[探究问题]
(1)平方关系对任意α∈R 均成立,对吗?商数关系呢?
[提示] 平方关系中对任意α∈R 均成立,而商数关系中α≠k π+π2
(k ∈Z ). (2)证明三角恒等式常用哪些技巧?
[提示] 切弦互化,整体代换,“1”的代换.
(3)证明三角恒等式应遵循什么样的原则?
[提示] 由繁到简.
【例3】 (1)化简tan α· 1sin 2α
-1,其中α是第二象限角; (2)求证:1+2sin αcos αsin 2α-cos 2α=tan α+1tan α-1
. [思路探究] (1)先确定sin α,cos α的符号,结合平方关系和商数关系化简.
(2)逆用平方关系结合tan α=sin αcos α
化简. [解] (1)因为α是第二象限角,
所以sin α>0,cos α<0.
故tan α·
1sin 2α-1=tan α·1-sin 2αsin 2α
=tan αcos 2αsin 2α =sin αcos α·??????cos αsin α=sin αcos α·-cos αsin α
=-1. (2)证明:左边=sin 2α+cos 2α+2sin αcos αsin 2α-cos 2α
=sin α+cos α2 sin2α-cos2α
=sin α+cos αsin α-cos α
=tan α+1
tan α-1
=右边.
所以原式成立.
【规律方法】
1.化简过程中常用的方法有:
(1)化切为弦,即把非正弦、余弦函数都化为正弦、余弦函数.从而减少函数名称,达到化简的目的.
(2)对于含有根号的,常把根号下化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
2.证明三角恒等式常用的方法有:
(1)从一边开始,证得它等于另一边;
(2)证明左右两边都等于同一个式子;
(3)变更论证,即通过化除为乘、左右相减等,转化成证明与其等价的等式.
三、课堂总结
1.“同角”有两层含义:一是“角相同”;二是“任意性”,即关系式恒成立,与角的表达形式无关.如:sin23α+cos23α=1等.
2.已知角α的一个三角函数值,求α的其他两个三角函数值时,要特别注意角所在的象限,以确定三角函数值的符号.
3.计算、化简或证明三角函数式时常用的技巧:
(1)“1”的代换.为了解题的需要,有时可以将1用“sin2α+cos2α”代替.
(2)切化弦.利用商数关系把切函数化为弦函数.
(3)整体代换.将计算式适当变形使条件可以整体代入,或将条件适当变形找出与算式之间的关系.
四、课堂检测
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)sin2α+cos2β=1.()
(2)对任意角α,sin α2cos α2
=tan α2.( )
(3)利用平方关系求sin α或cos α时,会得到正负两个值.( )
(4)若sin α=12,则cos α=3
2.( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2.若sin α=4
5,且α是第二象限角,则tan α的值等于( )
A .-4
3 B .3
4
C .±3
4 D .±4
3
A [α为第二象限角,sin α=45,cos α=-35,tan α=-4
3.]
3.已知角A 是三角形的一个内角,sin A +cos A =2
3,则这个三角形是(
)
A .锐角三角形
B .钝角三角形
C .直角三角形
D .等腰直角三角形
B [∵sin A +cos A =2
3,
∴1+2sin A cos A =4
9,
∴sin A cos A =-5
18<0,
又∵A ∈(0,π),sin A >0,
∴cos A <0,A 为钝角.故选B .]
4.已知4sin θ-2cos θ
3sin θ+5cos θ=6
11,求下列各式的值.
(1)5cos 2
θ
sin 2θ+2sin θcos θ-3cos 2θ;
(2)1-4sin θcos θ+2cos 2θ.
[解] 由已知4sin θ-2cos θ3sin θ+5cos θ=611
, ∴4tan θ-23tan θ+5=611
,解得tan θ=2. (1)原式=
5tan 2θ+2tan θ-3=55=1. (2)原式=sin 2θ-4sin θcos θ+3cos 2θ =sin 2θ-4sin θcos θ+3cos 2θsin 2θ+cos 2θ
=tan 2θ-4tan θ+31+tan 2θ
=-15.