抛物线及其标准方程

§2.4.1 抛物线及其标准方程

【学习目标】：1.记住抛物线的定义及其标准方程；

2.会求抛物线的标准方程.

【学习重点】：抛物线的定义，标准方程 【学习难点】：抛物线标准方程的推导 【学习方法】：阅读教材，分组讨论学习探究. 【学习过程】：

复习回顾： 1：函数2261y x x =-+ 的图象是 ，它的顶点坐标是（ ），对称轴是 ． 2：点M 与定点(2,0)F 的距离和它到定直线8x =的距离的比是1:2，则点M 的轨迹是什么图形？

基础过关：

问题1：抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F)距离________的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的________，直线l 叫做抛物线的________。

问题2：推导抛物线的标准方程：

以 为x 轴，以 为原点， 如图所示，建立直角坐标系系，设|KF|=p （p >0）,那么焦点F 的坐标为 ，准线l 的方程为 ，设抛物线上的点M （x,y ），因为MF = ，d= ,则有

|2

|)2(22p

x y p x +=+- 化简方程得 ()022>=p px

y 我们把它叫做抛物线的标准方程

问题3：设定点F 到定直线l 的距离为p （0p >），建立适当的坐标系，得到抛物线的四种标准形式：

图形

标准方程

焦点坐标

准线方程

________ （p ＞0）

________ （p ＞0）

________ （p ＞0）

________

（p ＞0）

问题4：观察上述抛物线的四种标准形式，找出它们的相同点及不同点： 相同点：(1)抛物线都过 ； (2)对称轴为 ；

(3)准线都与对称轴 ，垂足与焦点在对称轴上关于原点 它们到原点的距离都

等于一次项系数 ，即 （用式子表达）

不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2

y ；

图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2

x

（2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；

开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号

问题5：（1）已知抛物线的标准方程是y 2=6x ，求它的焦点坐标和准线方程；

（2）已知抛物线的焦点是F （0，－2），求它的标准方程。

问题6：一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径为4.8m ，深度为0.5m ，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．

拓展创新：（A,B 班必做，C 班选作）

已知抛物线y 2=2x 的焦点F ，点P 是抛物线上的动点，点A(3, 2), 求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标。

x

y (1)

M

K F

O D

§2.4.1 抛物线及其标准方程

基础过关：

1. 抛物线220y x =的焦点坐标是（ ），准线方程是 ；

抛物线21

2

x y =-的焦点坐标是（ ），准线方程是 ．

2. 根据下列条件写出抛物线的标准方程

（1）焦点是F （－2，0）

（2）准线方程是3

1=

y （3）焦点到准线的距离是4，焦点在y 轴上 （4）经过点A （6，－2）

能力提升：

3．点M 到(0,8)F 的距离比它到直线7y =-的距离大1，求M 点的轨迹方程．

4．抛物线22y px = (0)p >上一点M 到焦点F 的距离2MF p =，求点M 的坐标．

拓展创新（A,B 班必做，C 班选作）

5.已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上一点M(a, －4)到焦点的距离为5，求a 的值及抛物线的方程。

§2.4.1 抛物线及其标准方程

基础过关：

1. 抛物线220y x =的焦点坐标是（ ），准线方程是 ；

抛物线21

2

x y =-的焦点坐标是（ ），准线方程是 ．

2. 根据下列条件写出抛物线的标准方程

（1）焦点是F （－2，0）

（2）准线方程是3

1=

y （3）焦点到准线的距离是4，焦点在y 轴上

（4）经过点A （6，－2）

能力提升：

3．点M 到(0,8)F 的距离比它到直线7y =-的距离大1，求M 点的轨迹方程．

4．抛物线22y px = (0)p >上一点M 到焦点F 的距离2MF p =，求点M 的坐标．

拓展创新（A,B 班必做，C 班选作）

5.已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上一点M(a, －4)到焦点的距离为5，求a 的值及抛物线的方程。