高等代数试题库

《高等代数》试题库

一、选择题

1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。

A ．零多项式

B ．零次多项式

C ．本原多项式

D ．不可约多项式

2．设()1g x x =+是6242

()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

3．以下命题不正确的是（）。

A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；

B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；

C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；

D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式

4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。

A . 充分

B . 充分必要

C .必要

D ．既不充分也不必要

5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。

A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =

B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±

C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈?，有)()()(x h x g x f

D .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f

6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题

乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。

A .甲成立, 乙不成立；

B . 甲不成立, 乙成立；

C .甲, 乙均成立；

D ．甲, 乙均不成立

7．下面论述中, 错误的是( ) 。

A . 奇数次实系数多项式必有实根；

B . 代数基本定理适用于复数域；

C ．任一数域包含Q ；

D ．在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =?=

8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则11

21112

22212.........

............n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。

A . D

B . D -

C ./

D D ． (1)n D -

9.行列式4

1032

57a --中，元素a 的代数余子式是（）。 A ．40

67- B ．41

65 C ．40

67-- D ．4165

- 10．以下乘积中（）是5阶行列式ij D a =中取负号的项。

A .3145122453a a a a a ；

B .4554421233a a a a a ；

C ．2351324514a a a a a ；

D .1332244554a a a a a

11. 以下乘积中（）是4阶行列式ij D a =中取负号的项。

A .11233344a a a a ；

B .14233142a a a a ；

C ．12233144a a a a ；

D .23413211a a a a

12. 设,A B n 均为阶矩阵，则正确的为（）。

A . det()det det A

B A B +=+ B .AB BA =

C ． det()det()AB BA =

D .222()2A B A AB B -=-+

13. 设A 为3阶方阵，321,,A A A 为按列划分的三个子块，则下列行列式中与A 等值的是（）

A .13322

1A A A A A A --- B .321211A A A A A A +++ C ．32121A A A A A -+ D .3111

32A A A A A +- 14. 设A 为四阶行列式，且2-=A ，则=A A （）

A .4

B .52

C ．52-

D .8

15. 设A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则=)det(kA （）

A .)(det A k

B .A k det

C ．A k n det

D .A k n det

16.设A ，B 为数域F 上的n 阶方阵，下列等式成立的是（）。

A .det()det()det()A

B A B +=+；B . det()det()kA k A =；

C ．1det()det()n kA k A -=；

D .det()det()det()AB A B =

17. 设*A 为n 阶方阵A 的伴随矩阵且A 可逆，则结论正确的是（）

A . **1()||n A A A -=

B . **1()||n A A A +=

C ．**2()||n A A A -=

D .**2()||n A A A +=

18.如果11AA A A I --==，那么矩阵A 的行列式A 应该有（）。 A .0A =； B .0A ≠； C ．,1A k k =>； D .,1A k k =<-

19.设A , B 为n 级方阵, m N ∈, 则“命题甲：A A -=-；命题乙：()m m m AB A B =”中正确的是( ) 。

A . 甲成立, 乙不成立；

B . 甲不成立, 乙成立；

C ．甲, 乙均成立；

D .甲, 乙均不成立

20.设*A 为n 阶方阵A 的伴随矩阵，则*

A A =（）。 A .2n A

B .n A

C ．2n n A -

D .21n n A -+

21.若矩阵A ，B 满足AB O =，则（）。

A .A O =或

B O =；B .A O ≠且B O ≠；

C ．A O =且B O =；

D .以上结论都不正确

22.如果矩阵A 的秩等于r ，则（）。

A .至多有一个r 阶子式不为零；

B .所有r 阶子式都不为零；

C ．所有1r +阶子式全为零，而至少有一个r 阶子式不为零；

D .所有低于r 阶子式都不为零

23.设n 阶矩阵A 可逆(2)n ≥，*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则结论正确的是（）。 A .()1n A A A *-*=；B .()1n A A A *+*=；C ．()2n A A A *

-*=；D .()2n A A A *+*= 24. 设*A 为n 阶方阵A 的伴随矩阵，则||||*A A =（）

A . 2||n A

B .||n A

C ．2||n n A -

D . 21||n n A -+

25.任n 级矩阵A 与A , 下述判断成立的是( )。

A . A A =-；

B .AX O =与()A X O -=同解；

C .若A 可逆, 则11()(1)n A A ---=-；

D ．A 反对称, -A 反对称

26.如果矩阵rankA r =,则（）

A . 至多有一个r 阶子式不为零；

B .所有r 阶子式都不为零

C ．所有1r +阶子式全为零，而至少有一个r 阶子式不为零；

D ．所有低于r 阶子式都不为零

27. 设A 为方阵，满足11AA A A I --==，则A 的行列式||A 应该有（）。

A . ||0A =

B . ||0A ≠

C ． ||,1A k k =>

D . ||,1A k k =<-

28. A 是n 阶矩阵，k 是非零常数，则kA = ( )。

A . k A ；

B . k A ；

C ． n k A

D . ||n k A

29. 设A 、B 为n 阶方阵，则有（）.

A .A ，

B 可逆，则A B +可逆 B .A ，B 不可逆，则A B +不可逆

C ．A 可逆，B 不可逆，则A B +不可逆

D .A 可逆，B 不可逆，则AB 不可逆

30. 设A 为数域F 上的n 阶方阵，满足2

20A A -=，则下列矩阵哪个可逆（）。 A .A B .A I - C ．A I + D 2A I -

31. B A ,为n 阶方阵，O A ≠，且()0R AB =，则（）。

A .O

B =； B .()0R B =；

C ．O BA =；

D .()()R A R B n +≤

32. A ，B ，C 是同阶方阵，且ABC I =，则必有（）。

A . AC

B I =； B . BA

C I =； C ．CAB I =

D ． CBA I =

33. 设A 为3阶方阵，且()1R A =，则（）。

A .*()3R A =；

B .*()2R A =；

C ．*()1R A =；

D .*()0R A =

34. 设B A ,为n 阶方阵，O A ≠，且O AB =，则（）.

A .O

B = B .0=B 或0=A

C ．O BA =

D .()222

B A B A +=- 35. 设矩阵00400000100000000200A ?? ? ? ?= ? ? ???

，则秩A =（）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

36. 设A 是m n ?矩阵，若（），则AX O =有非零解。

A .m n <；

B .()R A n =；

C ．m n >

D .()R A m =

37. A ，B 是n 阶方阵，则下列结论成立得是（）。

A .A

B O A O ≠?≠且B O ≠； B . 0A A O =?=；

C ．0AB A O =?=或B O =；

D . 1||=?=A I A

38. 设A 为n 阶方阵，且()n r A R ＜=，则A 中（）.

A .必有r 个行向量线性无关

B .任意r 个行向量线性无关

C ．任意r 个行向量构成一个极大无关组

D .任意一个行向量都能被其他r 个行向量线性表示

39. 设A 为34?矩阵，B 为23?矩阵，

C 为43?矩阵，则下列乘法运算不能进行的是（）。 A .T T A BC B .T

ACB C ．BAC D .ABC 40.设A 是n 阶方阵，那么A A '是（）

A . 对称矩阵；

B . 反对称矩阵；

C ．可逆矩阵；

D .对角矩阵

41.若由AC AB =必能推出C B =（C B A ,,均为n 阶方阵），则A 满足( )。

A .0A ≠

B .O A =

C ．O A ≠

D .0≠AB

42.设A 为任意阶)3(≥n 可逆矩阵，k 为任意常数，且0≠k ，则必有=-1)(kA （） A .1-A k n B .11--A k n C ．1-kA D .

11-A k

43.A ，B 都是n 阶方阵，且A 与B 有相同的特征值，则（） A . A 相似于B ； B . A B =； C ． A 合同于B ； D .A B =

44. 设)(2

1I B A +=，则A A =2的充要条件是（） A .B I =；（B ）I B -=；C ．I B =2 D .I B -=2

45. 设n 阶矩阵A 满足220A A I --=，则下列矩阵哪个可能不可逆（）

A . 2A I +

B . A I -

C ． A I +

D . A

46. 设n 阶方阵A 满足220A A -=，则下列矩阵哪个一定可逆（）

A . 2A I -；

B . A I -；

C ． A I +

D . A

47. 设A 为n 阶方阵，且()n r A R ＜=，则A 中（）.

A .必有r 个列向量线性无关；

B .任意r 个列向量线性无关；

C ．任意r 个行向量构成一个极大无关组；

D .任意一个行向量都能被其他r 个行向量线性表示

48.设A 是m n ?矩阵，若（），则n 元线性方程组0AX =有非零解。

A . m n <

B .A 的秩等于n

C ．m n >

D .A 的秩等于m

49. 设矩阵()n m ij a A ?=，0=AX 仅有零解的充分必要条件是( ).

A . A 的行向量组线性相关

B .A 的行向量组线性无关

C ．A 的列向量组线性相关

D .A 的列向量组线性无关

50. 设A , B 均为P 上矩阵, 则由( ) 不能断言A B ?；

A . ()()R A R

B =；B .存在可逆阵P 与Q 使A PBQ =

C ．A 与B 均为n 级可逆；

D .A 可经初等变换变成B

51. 对于非齐次线性方程组AX B =其中11)(,)(,)(n j n i nn ij x X b B a A ===，则以下结论不正确的是（）。

A .若方程组无解，则系数行列式0=A ；

B .若方程组有解，则系数行列式0≠A 。

C ．若方程组有解，则有惟一解，或者有无穷多解；

D .系数行列式0≠A 是方程组有惟一解的充分必要条件

52. 设线性方程组的增广矩阵是1072

10121102422000

15????-????---????，则这个方程组解的情况是（）. A .有唯一解 B .无解 C ．有四个解 D .有无穷多个解 53. B A ,为n 阶方阵,O A ≠，且0=AB ，则（）。

A .0≠A ；

B .()R B n <；

C ．齐次线性方程组()BA X O =有非0解；

D .0≠A

54. 当λ=（）时，方程组1231231222x x x x x x λ

++=??++=?，有无穷多解。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

55. 设线性方程组??

???=+=+--=-0322313221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则（）

A .当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解。

B .当0=a 时，方程组无解。

C ．当0=b 时，方程组无解。

D .当0=c 时，方程组无解。

56. 设原方程组为b AX =，且()()r b A R A R ==,，则和原方程组同解的方程组为( )。

A .b X A T =；

B .b QAX =（Q 为初等矩阵）

；C ．Pb PAX =（P 为可逆矩阵）； D .原方程组前r 个方程组成的方程组

57. 设线性方程组AX b =及相应的齐次线性方程组0AX =，则下列命题成立的是（）。 A .0AX =只有零解时，AX b =有唯一解；B .0AX =有非零解时，AX b =有无穷多个解；C ．AX b =有唯一解时，0AX =只有零解；D . AX b =解时，0AX =也无解

58. 设n 元齐次线性方程组0AX =的系数矩阵A 的秩为r ，则0AX =有非零解的充分必要条件是（）。

A .r n =

B .r n <

C ．r n ≥

D .r n >

59. n 维向量组s ααα,,,21 )3(n s ≤≤线性无关的充分必要条件是（）

A .存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，使02211≠++s s k k k ααα

B .s ααα,,,21 中任意两个向量组都线性无关

C ．s ααα,,,21 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示

D .s ααα,,,21 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

60. 若向量组中含有零向量，则此向量组（）

A .线性相关；

B . 线性无关；

C ．线性相关或线性无关；

D .不一定

61．设α为任意非零向量，则α（）。

A .线性相关；

B .线性无关；

C ．线性相关或线性无关；

D ．不一定

62.n 维向量组12,,...s ααα线性无关，β为一n 维向量，则（）.

A .12,,...,s ααα，β线性相关；

B .β一定能被12,,...,s ααα线性表出；

C ．β一定不能被12,,...,s ααα线性表出；

D .当s n =时，β一定能被12,,...,s ααα线性表出

63. （1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同；（2）若向量组}{21r ααα，，

，线性无关，1+r α可由r ααα ,21,线性表出，则向量组}{121+r ααα，，，也线性无关；（3）

设}{21r ααα，，，线性无关，则}{121-r ααα，，，也线性无关；（4）}{21r ααα，，

，线性相关，则r α一定可由121,-r ααα ，

线性表出；以上说法正确的有（）个。 A .1 个 B .2 个 C ．3 个 D .4个

64．（1）n 维向量空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基；（2）设n ααα ，

21,是向量空间V 中的n 个向量，且V 中的每个向量都可由之线性表示，则n ααα ，

21,是V 的一个基；（3）设},{21n ααα ，

是向量空间V 的一个基，如果}{21n βββ ，，与},{21n ααα ，等价，则}{21n βββ ，，也是V 的一个基；

（4）n 维向量空间V 的任意1+n 个向量线性相关；以上说法中正确的有（）个。 A .1 个 B .2 个 C ．3 个 D .4个

65．设向量组321,,ααα线性无关。421,,ααα线性相关，则（）。

A .4321,,αααα必可由线性表示；

B .3214,,αααα必可由线性表示；

C ．3214,,αααα必可由线性表示；

D .3214,,αααα必不可由线性表示

66.设向量组Ⅰ（r ααα ,,21），Ⅱ（s r r ααααα,,,,,121 +）则必须有（）。 A .Ⅰ无关?Ⅱ无关； B . Ⅱ无关?Ⅰ无关；C .Ⅰ无关?Ⅱ相关；D .Ⅱ相关?Ⅰ相关

67．向量组A :12,,,n ααα与B :12,,,m βββ等价的充要条件为（）. A .()()R A R B =； B .()R A n =且()R B m =；C ．()()(,)R A R B R A B ==；D .m n =

68．向量组12,,,r ααα线性无关( ) 。

A . 不含零向量；

B . 存在向量不能由其余向量线性表出；

C ．每个向量均不能由其余向量表出；

D ．与单位向量等价