平面向量的坐标表示

第7章 平面向量的坐标表示

1.理解向量的有关概念

（1）向量的概念：既有方向又有大小的量，注意向量和数量的区别；

（2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作：0r

，注意零向量的方向是任意方向；

（3）单位向量：给定一个非零向量→a ，与→a 同向且长度为1的向量叫→a 的单位向量, →

a 的单位向量是

a a

→

→

；

（4）相等向量：方向与长度都相等的向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）：如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作：

∥，规定零向量和任何向量平行；

（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量，a 的相反向量是长度相等方向相反的向量a →

-. 2.向量的表示方法

（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB u u u r

，注意起点在前，终点在后；

（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如→a ，→b ，→

c 等；

（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量→i ，→

j 为基底，则平面内的任一向量→

a 可表示为→

→

→

+=j y i x a ，称(),x y 为向量→a 的坐标，),(y x a =→叫做向量→

a 的坐标 表示，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同. 3．实数与向量的积：

实数λ与向量→

a 的积是一个向量，记作a λr

，它的长度和方向规定如下：

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个平行向量的基线平行或重合, 但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有→0)； ④三点C B A 、、共线

?AB AC u u u r u u u r

、共线；

（1）a a λλ=r r

；

（2）当0λ>时，a λr 的方向与→a 的方向相同；当0λ<时，a λr

的方向与→a 的方向相反；当0λ=时，零

向量，注意：0a λ≠r

.

4．平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：已知两个非零向量a r 和b r ，过O 点作OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r

，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)

叫做向量a r 与b r 的夹角．当θ＝0°时，a r 与b r 同向；当θ＝180°时，a r 与b r 反向；如果a r 与b r

的夹角是90°，

我们说a r 与b r

垂直，记作a b →→⊥．

（2）两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为θ，则数量cos a b θ→→叫做a r

与

b r

的数量积（或内积），记作a b →→?，即a b →→?＝cos a b θ→→．规定零向量与任一向量的数量积为0．若

1122(,),(,)a x y b x y ==r r

，则a b →→?＝1212x x y y +．

（3）向量的数量积的几何意义：

cos b θ→

叫做向量b r 在a r 方向上的投影 (θ是向量a r 与b r

的夹角)．

a b →→

?的几何意义是，数量a b →→

?等于模a →

与b →在a →

上的投影的积．

（4）向量数量积的性质：设a r 与b r 都是非零向量，e r 是单位向量，θ是a r 与b r

的夹角．

当→a 与→b 同向时，a b →→?＝a b →→；当→a 与→b 反向时，a b →→?＝-a b →→

,

θcos ＝

a b

a b

→→

→→

?; ⑸ |→→?b a |≤a b →→

．

（5）向量数量积的运算律：

⑴a b →→

?＝ a b c →→→??+? ??? ； ⑵a b λ→→??? ???＝a b λ→→??? ??? ＝a b λ→

→??? ??? ⑶a b c →→→??+? ???

＝a c b c →→→→

?+?

5. 平面向量的基本定理：如果→1e 和→2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量→

a ，

有且只有一对实数1λ、2λ，使→

a =1122e e λλ+u r u u r ，1e u r 、2e u u r

称为一组基底.

6．向量的运算：

（1）几何运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，除此之外，

向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b ==u u u r r u u u r r

，那么向量AC u u u r 叫做→a 与→b 的和，即a b AB BC AC +=+=r r u u u r u u u r u u u r ；

②向量的减法：用“三角形法则”：设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r

，那么a b AB AC CB -=-=r r u u u r u u u r u u u r 由减向量的终点

指向被减向量的终点.

容易得出：a b a b a b -≤-≤+r r r r r r

．

（2）坐标运算：

设1122(,),(,)a x y b x y ==r r

，则：

① 向量的加减法运算：a b ±=r r

()1212,x x y y ±±；

② 实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==r

；

③ 若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--u u u r

，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标；

④ 平面向量数量积：a b →→

?=1212x x y y +；⑤

向量的模：222

2

||||a a a x y ===+r r r ；

7．向量的运算律：

（1）交换律：→→→→+=+a b b a ，→→=a a )()(λμμλ，a b →→?=→→?a b ； ( 2 ) 结合律：→→→→→→++=++c b a c b a )()(，)(→

→

→→→→+-=--c b a c b a ；

（3）分配律：→→→+=+a a a μλμλ)(，→→→→+=+b a b a λλλ)(，→

→→→→→→?+?=?+c b c a c b a )(. 8. 向量平行(共线)的充要条件：

(1) 向量→

b 与非零向量a r

共线的充要条件是b a λ→→=；实数λ是唯一存在的，

当→

a 与→

b 同向时，0λ>；当a r 与b r

异向时，0λ<；

(2) 若()11,a x y →

=,()22,b x y →

=，则//a b ?r r 1212x y y x =?2

2)()(→→→→=?b a b a ．

提醒：平行四边形法则要求参与加法的两个向量的起点相同，三角形法则要求参与加

法的两个向量的首尾相接.可推广到122311...n n n A A A A A A A A -+++=u u u u r u u u u r u u u u u u r u u u u r

（据此，可根据需要

在一个向量的两个端点之间任意插点）

向量中一些常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用； （2）a b a b a b →

→

→

→

→

→

-≤±≤+，特别地，

当 a b r r 、

同向或有0r

?a b a b a b a b →→→→→→→→+=+≥-=-； 当 a b r r 、

反向或有0r

?a b a b a b a b →→→→→→→→-=+≥-=+； 当 a b r r

、

不共线?a b a b a b →→→→→→-<±<+ (这些和实数比较类似). （3）在ABC ?中，①若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则其重心的坐标为

123123,33x x x y y y G ++++?? ???.

②()

13PG PA PB PC G =++?u u u r u u u r u u u r u u u r 为ABC ?的重心，

特别地0PA PB PC P →

++=?u u u r u u u r u u u r 为ABC ?的重心； ③PA PB PB PC PC PA P ?=?=??u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

为ABC ?的垂心；

④向量()0AB AC AB AC λλ?? ?

+≠ ???

u u u r u u u r u u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平

分线所在直线)；

⑤OA OB OC O ==?u u u r u u u r u u u r

是ABC ?的外心；

（4）向量PA PB PC u u u r u u u r u u u r 、、中三终点A B C 、、共线?存在实数αβ、使得

PA PB PC αβ=+u u u r u u u r u u u r

且1αβ+=.

9．向量垂直的充要条件：0a b a b →→

⊥??=r r

→→+?b a =→→-b a 12120x x y y ?+=．

7.1 向量的坐标表示及其运算

例题精讲

【例1】已知12,G G 分别是△ABC 和△ACD 的重心，G 是12G G 的中点，若A,B,C,D 的坐标分别是()0,0

()()()2,5,5,7,10,2--，求点G 的坐标．

【例2】已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5）及OP =OA +t AB ，

求：（1）t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限?

（2）四边形OABP 能否构成平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．

过关演练

1．已知)2,(x A ，)2,5(-y B ，若(4,6)AB =u u u r

，则y x ,的值分别为_________． 2．已知向量)7,2(x a =ρ

，)4,6(+=x b ρ，若b a ρρ=，则=x _________．

3．已知平行四边形ABCD 的顶点)2,1(--A 、)1,3(-B 、)6,5(C ，则顶点D 的坐标为_________．

4．若向量)2,3(=a ρ

，)1,0(-=b ρ，则向量a b ρρ-2的坐标是_________． 5．若)3,2(=a ρ

，)1,4(y b +-=ρ，且b a ρρ//，则y 等于_________．

6．若M 为ABC ?的重心，则下列各向量中与AB u u u r

共线的是（ ）

A ．A

B B

C AC ++u u u r u u u r u u u r B ．AM MB BC ++u u u u r u u u r u u u r C ．AM BM CM ++u u u u r u u u u r u u u u r

D ．AM AM AM AC +++u u u u r u u u u r u u u u r u u u r

7．在矩形ABCD 中，3AB =u u u r ，1BC =u u u r ，则向量()

AB AD AC ++u u u r u u u r u u u r

的长度等于（ ）

A ．2

B ．23

C ．3

D ．4

8．在ABC ?中，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点，已知D 点坐标为)2,1(，E 点坐标为)5,3(，

F 点坐标为)7,2(，则点A 坐标为____________．

9．已知)2,1(=a ρ

，)1,(x b =ρ，当b a ρρ2+与

b a ρρ-2共线时，x 的值为____________． 10．当=m ______时，向量)1,2(-=m a ρ与)6,2(-=m b ρ共线且方向相同；当=m _____时，a ρ与b ρ

共线

且方向相反．

11．若三点)1,1(A ，)4,2(-B ，)9,(x C 共线，则=x ____________．

12．设)2,1(-=a ρ，)1,1(-=b ρ，)2,3(-=c ρ，用a ρ、b ρ作基底有b q a p c ρρρ+=，则=p ______，=q ________．

13．已知点),(y x M 在向量(1,2)OP =u u u r

所在的直线上，则y x ,所满足的条件是___________．

14.已知12(4,3),(2,6)P P --,

(1)若点P 在线段12P P 上,且1

22PP PP =u u u r u u u r 则点P 的坐标是 ; (2)若点P 在线段12P P 的延长线上,且1

24PP PP =u u u r u u u r 则点P 的坐标是 ;

(3)若点P 在线段21P P 的延长线上, 1

245PP PP =u u u r u u u r

则点P 的坐标是 ; (4)若点P 在线段21P P 的延长线上, 11245

PP PP =u u u r u u u u r

, 则点P 的坐标是 .

15．下列四个命题：①若0a b →→?=，则0a →→=或0b →→=；②若e →为单位向量，则a a e →→→=?；③3

a a a a →→→

→??=；

④若a →

与b →

共线，b →

与c →

共线，则a →

与c →

共线．其中错误命题的序号是___________．

16．已知)0,0(O 、)2,1(A 、)5,4(B ，且OP OA tOB =+u u u r u u u r u u u r

，则当=t ________时，点P 落在x 轴上．

17．已知a →

，b →

是两个非零向量，则“a →

，b →

不共线”是“a b a b →

→

→

→

+<+”的____________． 18．下列四个命题中是真命题的有____________个．

①若b a ρρ+与b a ρρ-是共线向量，则a ρ与b ρ

也是共线向量 ②若||||||b a b a ρρρρ-=-，则a ρ与b ρ

是共线向量 ③若||||||b a b a ρρρρ+=-，则a ρ与b ρ

是共线向量

④若||||||||b a b a ρρ

ρρ+=-，则b ρ与任何向量都共线

19.在ABC ?中,设向量,CA a CB b ==u u u r r u u u r r

，则ABC ?的面积ABC S ?= ,

ABC ?的周长ABC C ?= .

20.对n 个向量12,,...,n a a a →

→

→

，如果存在不全为零的实数12,n k k k L 使得1122...0n n k a k a k a →

→

→

→

+++=，则称

12,,...,n a a a →→→性相关.若已知()11,1a →=，()23,2a →=-，()33,7a →

=-是线性相关的，则123::k k k =___________.

21. 在四边形ABCD 中，()1,1AB DC ==u u u r u u u r ，BA

BC BA

BC +

=u u u r

u u u r u u u r u u u r u u u r ，则四边形ABCD 的面积是___________.

7.2向量的数量积

例题精讲

【例1】设O 是直角坐标原点，-=+=4,32，在x 轴上求一点P ，使?最小，并求 此时APB ∠的大小.

【例2】已知1||,2||==

，且,的夹角为

4

π

，又-=+-=2,3，求||.

注意：有关向量的运算也可以利用数形结合的方法来求解，本例就可以由作图得解

【例3】

已知锐角ABC ?中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,向量(2sin 3),m B =u r 2(2cos 1,cos 2)2

B n B =-r ,

且m n ⊥u r r

（1）求B 的大小，

（2）如果2b =，求ABC ?的面积ABC S ?的最大值.

过关演练

1．（1）已知2||=a ρ，1||=b ρ，a ρ与b ρ的夹角为ο

120，则=?b a ρρ__________． （2）已知4||=a ρ，1||=b ρ，4-=?b a ρρ，则向量a ρ与b ρ

的夹角为___________．

2．（1）已知4||=a ρ，a ρ与b ρ的夹角为ο

30，则a ρ在b ρ方向上的投影为___________． （2）已知3||=a ρ，5||=b ρ，13=?b a ρρ，则a ρ在b ρ

上方向上的投影为___________． 3．已知3||=a ρ

，4||=b ρ，且)()(b k a b k a ρρρρ-⊥+，则k 的值为___________． 4．已知5||=a ρ，a ρ与b ρ的夹角正弦值为5

3，12=?b a ρ

ρ，则=||b ρ___________．

5．已知2||=a ρ

，5||=b ρ，3-=?b a ρρ，则=+||b a ρρ__________．

6．已知2||=a ρ，2||=b ρ，a ρ与b ρ的夹角为ο

45，要使a b ρρ-λ与a ρ垂直，则=λ______．

7．在平行四边形ABCD 中，已知4,3AB AD ==u u u r u u u r ，ο

60=∠DAB ，则AB DA ?u u u r u u u r =_______． 8．P 是ABC ?所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ?=?=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

，则P 是ABC ?的

____________．

9．已知向量)

a →

=，b →是不平行于x 轴的单位向量，且a b →→?=b →

=____________．

10．与向量71(,),22a =r 17

(,)22b =-r 的夹解相等，且模为1的向量是____________．

11．在ABC ?中，AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，CA c =u u u r r ，且3a =r ，2b =r ，4c =r

，则a b b c c a ?+?+?r r r r r r 的值为

___________．

12．在ABC ?中，已知2AB AC ==u u u r u u u r

，且2AB AC ?=u u u r u u u r ，则这个三角形的形状是 ___ ．

13．下列四个命题：①若0ρρρ=-b a ，则b a ρρ=；②若0=?b a ρρ，则0ρρ=a 或0ρρ=b ；③若R ∈λ，且0ρ

ρ=a λ，则0=λ或0ρρ=a ；④对任意两个单位向量a ρ，b ρ

都有1=?b a ρρ．其中正确命题的序号是_______________．

14.若a b a b →

→

→

→

==-,则b →与a b →→

+的夹角为____________．

15．在ABC ?中，O 为中线AM 上一个动点，若2AM =，则()OA OB OC ?+u u u r u u u r u u u r

的最小值是 .

16．已知ABC ?满足2AB AB AC BA BC CA CB =?+?+?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

，则ABC ?的形状一定是________.

17.在△ABC 中，0

120ABC ∠=，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD BC ?u u u r u u u r

=________.

18.如果c a b a ρρρρ?=?，且0ρ

ρ≠a ，那么( )．

A ．c b ρρ=

B ．c b ρ

ρλ= C ．c b ρρ⊥ D ．c b ρρ,在a ρ方向上的投影相等 19．若a ρ、b ρ

是非零向量且b a ρρ⊥，则一定有（ ）

A ．||||||b a b a ρρρρ+=+

B ．||||||b a b a ρρ

ρρ-=+ C ．||||b a b a ρρρρ-=+ D ．||||||b a b a ρρ

ρρ+=-

20.已知)2,(λλ=→

a ，)2,3(λ=→

b ，如果→

a 与→

b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________.

21．已知向量a r ≠e r ，|e r |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a r －t e r |≥|a r －e r

|，则（ ）

A ．a r ⊥e r

B ．e r ⊥(a r －e r )

C ．a r ⊥(a r －e r )

D ．(a r ＋e r )⊥(a r －e r )

22．已知两个单位向量1e u r 和2e u u r 互相垂直，R ∈2121,,,μμλλ，则11122122()()e e e e λμλμ+⊥+u r u u r u r u u r

的充要条

件是（ ）

A ．02121=+μμλλ

B ．02121=-μμλλ

C ．02211=+μλμλ

D ．01221=-μλμλ

23．在ABC ?中，有命题

①AB AC BC -=u u u r u u u r u u u r ；②0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r ；③若()()

0AB AC AB AC +?-=u u u r u u u r u u u r u u u r

，则ABC ?为等腰三

角形；④若0AB AC ?>u u u r u u u r

，则ABC ?为锐角三角形.

上述命题正确的是（ ）

A ．①②

B ．①④

C ．②③

D ．②③④ 24点O 在ABC ?所在平面内，给出下列关系式：

（1）0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ；

（2）OA OB OB OC OC OA ?=?=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ； （3）0AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA

????

? ??-=?-= ? ??

??

?

u u u r u u u r u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r u u u r

u u u r u u u r ； （4）()()

0OA OB AB OB OC BC +?=+?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

．

则点O 依次为ABC ?的 （ ）

A ．内心、外心、重心、垂心

B ．重心、外心、内心、垂心

C ．重心、垂心、内心、外心

D ．外心、内心、垂心、重心

7.3平面向量的分解定理

例题精讲

【例1】已知D 是ABC ?的边BC 上的点，且:1:2BD DC =，,AB a AC b ==u u u r r u u u r r

，如图1所示．若用a b r r 、

表示AD u u u r ，则AD u u u r

= ．

过关演练

1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1200OB a OA a OC =+u u u r u u u r u u u r

，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原

点O ），则=200S __________.

2.下列条件中，A B P 、、三点不共线的是（ ） A ．1344MP MA MB =+u u u r u u u r u u u r

B ．2MP MA MB =-u u u r u u u r u u u r

C ．33MP MA MB =-u u u r u u u r u u u r

D ．3144

MP MA MB =+u u u r u u u r u u u r

3．下列向量组中能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）

A ．()()120,0,1,2e e ==u r u u r

B ．()()121,2,5,7e e =-=u r u u r

C ．()()123,5,6,10e e ==u r u u r

D ．()12132,3,,24e e -??=-= ???

u r u u r

4．已知向量)2,3(-=a ρ，)1,2(-=b ρ，)4,7(-=c ρ，用a ρ和b ρ来表示c ρ，则c ρ

为（ ）

A ．b a ρρ-2

B ．b a ρρ+2

C ．b a ρρ2-

D ．b a ρρ2+

5．设 M 是△ABC 的重心，则AM u u u u r

=（ ）

A ．2

AC AB -u u u r u u u r

B ．2

AC AB

+u u u r u u u r

C ．3

AC AB

-u u u r u u u r

D ．3

AC AB +u u u r u u u r

6． AD 、BE 分别为ABC ?的边BC 、AC 上的中线，且AD a =u u u r r ，BE b =u u u r r ，那么BC uuu r

为（ ）

A ．b a ρρ3432+

B ．b a ρρ3232-

C ．b a ρρ3432-

D ．b a ρρ3

432+-

7．过ABC ?的重心作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ．若,AD xAB AE y AC ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，0≠xy ，则y

x 1

1+

的值为____________．

8. P 是ABC ?内的一点，()

13

AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r

，则ABC ?的面积与ABP ?的面积之比为__________.

A ．2

B ．3

C ．2

3

D ．6

9.00

1,OB 120OC OA 30,OC 5OA OB OA ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 与的夹角为，与的夹角为，请用OA OB u u u r u u u r ，

表示.OC u u u r

=__________.

10．已知1,3,.0,OA OB OAOB

===u u u r u u u r u u u r u u u r AOC ∠30o

=.设(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ，则m n

等于__________.

11．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上，（不包括端点A 、C ），则AP u u u r

等于（ ）

A ．()A

B AD λ+u u u r u u u r

，λ∈(0,1) B ．()AB BC λ+u u u r u u u r ，λ∈(0,22

)

C ．()AB A

D λ-u u u r u u u r

，λ∈(0,1)

D ．()AB BC λ-u u u r u u u r

，λ∈(0,

2

2) 12.如图，在△ABC 中，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r , AD a λ=u u u r r ,(0<λ<1),AE b λ=u u u r r ,(0<μ<1),试用向量a r ,b r 表示c r

.

7.4向量的应用

例题精讲

【例1】l 是过抛物线)0(22

>=p px y 焦点的直线，它与抛物线交于A 、B 两点，O 是坐标原点，则△ABO

是（ ）

A 、锐角三角形；

B 、直角三角形；

C 、钝角三角形；

D 、不确定与P 值有关. 【例2】已知向量R x x x b x a ∈==},2sin 3,{cos },1,cos 2{.设b a x f ?=)(.

（1）若31)(-=x f 且]3

,3[π

π-

∈x ，求x 的值； （2）若函数x y 2sin 2=的图像按向量)2

|}(|,{π

<=m n m c 平移后得到函数)(x f y =的图像，

求实数n m ,的值.

过关演练

1.求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数.

2.已知点O 是，，内的一点，0

90BOC 150AOB =∠=∠?ABC

设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r 且2,1,3a b c ===r r r

，试用,a b r r 表示c r .

3.求平面内两点),(),,(2211y x B y x A 间的距离公式.

4.三角形ABC 中，A (5，－1)、B (－1，7)、C (1，2)，求：(1)BC 边上的中线 AM 的长；(2)∠CAB 的平分线AD 的长；(3)cos ∠ABC 的值.

5.证明:βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-.

6.已知ABC ?，AD 为中线，求证()

2

222

221??

? ??-+=BC AC AB AD .

7.已知向量123,,OP OP OP u u u r u u u r u u u r 满足条件1230OP OP OP ++=u u u r u u u r u u u r r ，1231OP

OP OP ===u u u

r u u u r u u u r ，求证：321P P P ?是正三角形.

8．设O 点在ABC ?内部，且有230OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r

，则ABC ?的面积与AOC ?的面积的比为

____________．

9.证明柯西不等式2

21212

22

22

12

1)()()(y y x x y x y x +≥+?+.

10.求x x x x y 2

2cos 3cos sin 2sin ++=的最值.