空间向量PPT课件
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第1章1.2空间向量基本定理课件(人教版)
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1
3
1
+ − ＝ − − ，
2
2
2
1
1
3
1
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1
2
所 以 · ＝ 2 + 2 · 2 − − 2 ＝ 4 − 2 2 +
1
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1
1
2
2
· − · − · ＝ × 2 − × 2 + × 2 − ×2 － 0
01
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
1.2 空间向量基本定理
知识点一
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
空间向量基本定理
1．分向量
两两垂直
如果i，j，k是空间三个________的向量，那么对任意一个空间向量
xi＋yj＋zk
p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________．我们称
分向量
面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边
形)．数学家已经证明世界上面体、正八面体、正十二面体、正
二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2
(如图)，P，Q分别为棱AB，AD的中点，则 · ＝
________．
1.2 空间向量基本定理
3
2
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6
2
1
1
+ + ＝－ − + .因为＝
3
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1
+ ，所以x＝－ ，＝ − ，＝ .
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问题式预习
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+ − ＝ − − ，
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所 以 · ＝ 2 + 2 · 2 − − 2 ＝ 4 − 2 2 +
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· − · − · ＝ × 2 − × 2 + × 2 − ×2 － 0
01
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
1.2 空间向量基本定理
知识点一
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
空间向量基本定理
1．分向量
两两垂直
如果i，j，k是空间三个________的向量，那么对任意一个空间向量
xi＋yj＋zk
p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________．我们称
分向量
面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边
形)．数学家已经证明世界上面体、正八面体、正十二面体、正
二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2
(如图)，P，Q分别为棱AB，AD的中点，则 · ＝
________．
1.2 空间向量基本定理
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问题式预习
1.2空间向量基本定理课件(可编辑图片版)
A．－1a－1b－c B.1a＋1b－c
22
22
C.1a－1b－c 22
D．－1a＋1b－c 22
解析：(1)
B→1M
＝
B→1B＋Biblioteka B→M＝－c＋1 2
B→D
＝－c＋
1 2
(b－a)＝－
1 2
a
＋12b－c.故选D.
答案：(1)D
(2)已知四面体ABCD中，A→B＝a－2c，C→D＝5a＋6b－8c，对角 线AC，BD的中点分别为E，F，则E→F＝________.
[方法技巧] (1)若→p ＝x→a ＋y→b ＋z→c ，则 x→a ＋y→b ＋z →c 叫做向量→a ，→b ， →c 的线性表达式或线性组合，或者说→p 可以由→a ，→b ，→c 线性表示．
[方法技巧] (2)对于基底{→a ，→b ，→c }，除了应知道→a ，→b ，→c 不共面外，还 应明确以下三点： ①基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示. 选用不 同的基底，同一向量的表达式也可能不同； ②由于 0 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面， 所以若三个向量不共面，就说明它们都不是 0； ③空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向 量构成的；一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关联的不 同概念．
[方法技巧] 利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向 向量用基向量表示出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为 0.
探究 3 求空间角 例 4 已知三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面 ABC 内的射影为△ABC 的中心． (1)求异面直线 AA1 与 BC 的夹角； (2)求 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值． 分析：将向量A→B，A→C，A→A1作为一组基向量，再考虑用转化思 想求解.对于1，可转化为求向量A→A1与B→C的夹角；对于2，作出 AA1 在底面内的射影 AO，则所求角即为向量O→A1与A→B1的夹角的余 角.
空间向量基本定理--课件(共25张PPT)
都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个
基底.
3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，
且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 ，，
表示.
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解
为三个向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk，像这样，把一个空间向量
1 2
1
A. a- b+ c
2 3
2
1 1 1
C. a+ b- c
2 2 2
2 1
1
B.- a+ b+ c
3 2
2
2 2 1
D. a+ b- c
3 3 2
答案:B
1
2
2
1
1
解析:显然 = − = 2 ( + )-3 =-3a+2b+2c.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
应用空间向量基本定理证明线线位置关系
解析:只有不共面的三个向量才能作为一个基底，在三棱柱中，
，，1 不共面，可作为基底。
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误
的打“×”.
(1)空间向量的基底是唯一的.(
)
(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向
量.(
)
(3)已知A，B，M，N是空间四点，若, , 不能构成空间的
=
1 1 1
1
+ - · --
2 2 2
3
2 √10
√3× 3
=
基底.
3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，
且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 ，，
表示.
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解
为三个向量xi，yj，zk，使a=xi+yj+zk，像这样，把一个空间向量
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A. a- b+ c
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C. a+ b- c
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B.- a+ b+ c
3 2
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2 2 1
D. a+ b- c
3 3 2
答案:B
1
2
2
1
1
解析:显然 = − = 2 ( + )-3 =-3a+2b+2c.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
应用空间向量基本定理证明线线位置关系
解析:只有不共面的三个向量才能作为一个基底，在三棱柱中，
，，1 不共面，可作为基底。
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误
的打“×”.
(1)空间向量的基底是唯一的.(
)
(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向
量.(
)
(3)已知A，B，M，N是空间四点，若, , 不能构成空间的
=
1 1 1
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+ - · --
2 2 2
3
2 √10
√3× 3
=
1.2空间向量基本定理 课件(共16张PPT)
谢 谢
.
因此，如果 i，j，k 是空间三个两两垂直的向量， 那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）， 使得 p xi yj zk .我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向量.
探究二:空间向量的正交分解
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直， 且长度都为 1，那么这个基底叫做单位正交基底， 常用{i，j，k}表示.由空间向量基本定理可知， 对空间中的任意向量 a，均可以分解为三个向量 xi，yj，zk， 使 a xi yj zk .像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量， 叫做把空间向量进行正交分解.
22
22
222
练一练
2.在下列条件中，一定能使空间中的四点 M,A,B,C 共面的是( C )
A. OM 2OA OB OC
B. OM 1 OA 1 OB 1 OC 532
C. MA MB MC 0
D. OM OA OB OC 0
解析
要使空间中的四点 M,A,B,C 共面，只需满足 OM xOA yOB zOC ，且 x y z 1即可.
333
333
D 中， OM OA OB OC 0 ，则 OM OA OB OC ， x y z 111 3 ，
故此时 M,A,B,C 四点不共面.故选 C.
练一练
3. 已知空间 A、B、C、D 四点共面，但任意三点不共线，若 P 为该平面外一点
且 PA 5 PB xPC 1 PD ，则实数 x 的值为( A)
第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
学习目标：
1. 了解空间向量基本定理及其推论； 2. 理解空间向量的基底、基向量的概念.
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
第一章§1.2第1课时 空间向量基本定理课件(人教版)
1234
2.已知 O，A，B，C 为空间不共面的四点，且向量 a＝O→A＋O→B＋O→C，向
量 b＝O→A＋O→B－O→C，则与 a，b 不能构成空间基底的是
→ A.OA
√C.O→C
→ B.OB D.O→A或O→B
解析 ∵O→C＝12(a－b)， ∴O→C与 a，b 共面，
∴a，b，O→C不能构成空间基底.
个基底，则A，B，M，N四点共面 D.若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，
b，c}构成空间的一个基底
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 A中，假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d 与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，从而c＝ kλa＋μkb，∴c与a，b共面，与已知条件矛盾，∴d与a，b不共面，即A是真 命题；
内容索引
一、空间向量基本定理 二、空间向量的正交分解 三、用基底表示空间向量
随堂演练
课时对点练
一、空间向量基本定理
问题1 如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有 向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝O→P ，p 能否用i，j，k表 示呢？
提示 如图，设O→Q为O→P在 i，j 所确定的平面上的 投影向量，则O→P＝O→Q＋Q→P. 又向量Q→P，k 共线，因此存在唯一的实数 z，使得Q→P＝zk，从而O→P＝O→Q＋zk. 在 i，j 确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对 (x，y)，使得O→Q＝xi＋yj.
可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面.
线性代数第-章向量空间PPT课件
3
子空间在映射下的变化
线性映射可以导致子空间中的向量发生旋转、平 移或拉伸等变化。
子空间与线性映射的相互影响
子空间对线性映射的限制
子空间的性质可以影响线性映射的作用范围和结果。
线性映射对子空间的构造
通过选择特定的线性映射，可以构造出具有特定性质的子空间。
子空间与线性映射的关系
子空间和线性映射之间存在密切的关系，它们在许多数学问题中都 扮演着重要的角色。
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，这个子集中的向量之间同样可以进行加法运算和数乘运算，并且这些运算也 满足封闭性、结合性和交换性等性质。子空间的定义是为了研究向量空间的一个特定部分，以便更好地理解和应 用向量空间。
向量空间的基与维数
总结词
基是向量空间中线性无关的向量组，它能够生成整个向量空间；维数则是向量空间的基 所包含的向量个数。
向量空间的推广到矩阵空 间
将向量空间中的元素推广到矩阵，形成矩阵 空间，使得线性变换和矩阵运算的结合更加 紧密，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的推广到函数空 间
将向量空间的元素推广到函数，形成函数空 间，使得函数的线性组合、内积等运算成为 可能，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的应用前景
判定条件二
如果存在一个线性映射f：V→W，使得V和W的基底之间存在一一对应关系，并且 这种对应关系保持向量加法和标量乘法的运算关系，则称V和W同构。
同构的应用场景
线性变换
几何变换
同构映射可以应用于线性变换中，将 一个向量空间中的线性变换转移到另 一个向量空间中。
同构映射可以应用于几何变换中，如 旋转、平移等，将一个向量空间中的 几何变换转移到另一个向量空间中。
1.4 空间向量的应用 课件(可编辑图片版)(共31张PPT)
(2，－1,1)．
[方法技巧] 求平面法向量的三个注意点 (1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量． (2)取特值：在求→n 的坐标时，可令 x，y，z 中一个为一特殊值 得另两个值，就是平面的一个法向量． (3)注意 0：提前假定法向量→n ＝(x，y，z)的某个坐标为某特定 值时一定要注意这个坐标不为 0.
解析：∵μ·a＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α. 答案：l⊂α或l∥α
题型一 求平面的法向量
如图，已知 ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD，
SA＝AB＝BC＝1，AD＝1，试建立适当的坐标系． 2
(1)求平面 ABCD 的一个法向量； (2)求平面 SAB 的一个法向量； (3)求平面 SCD 的一个法向量．
[方法技巧] 1.在空间中，一个向量成为直线 l 的方向向量，必须具备以下 两个条件：(1)是非零向量；(2)向量所在的直线与直线 l 平行或重合． 2．与直线 l 平行的任意非零向量→a 都是直线的方向向量，且直 线 l 的方向向量有无数个． 3．给定空间中任意一点 A 和非零向量→a ，就可以确定唯一一 条过点 A 且平行于向量→a 的直线． 4．表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等， 因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们
3．若平面α，β的一个法向量分别为m＝(－
1 6
，
1 3
，－1)，n＝
(12，－1,3)，则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合
解析：∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．故选D. 答案：D
4．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－ 6，8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________．
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z
z P1 P
1
x
•o
1
1
x
•
P点坐标为
y y (x,y,z)
•P0
12
空间向量基础知识
空间uuur向量的坐标表示： A(x1, y1, z1) B(x2, y2, z2) AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
空间向量的运算法则：若 a (x1, y1, z1),b (x2, y2, z2)
(2)ABCM四点共面 OM (1 x y)OA xOB yOC
14
两点间的距公式 dAB (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
模长公式
| a |
2
a
x12 y12 z12
夹角公式 cos a • b a • b
x1x2 y1 y2 z1z2
ar a
4)负向量：大小相等，方向相反的向量。
5)平行向量：方向相同或相反的向量。（共线向量2）
4.向量的几种形式
uuur 1)几何形式：有向线段 AB
B
r Ar r
2)代数形式：分坐量标形形式式：:aarxix,
yj
y
uuur
A x1, y1 B x2, y2 AB x2 x1, y2 y1
| a || b | x12 y12 z12 x22 y22 z22
方向向量：若a // l称a是直线 l的方向向量
法向量若n a则称n是a的法向量 ; n a n • a x1x2 y1 y2 z1z2 0
15
线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直
空 间 向 量 的 加 减
r
rr
实数与 向量的 乘法
与a 同向，a a ， 0
r
a
r
0, 0
r r r 与ar反向，
r a
r a
，
0
r
a (x1, y1)
r
两个非 注： 1 a Pb b a
零r向r 量 a，b
rr
2a Pb
x1 x2
y1 y2
x2 , y2
0
4
运算 几何形式
坐标形式
r
r
a (x1, y1),b (x2, y2)
4、求两异面直线AB与CD的夹角：
cos | AB CD |
| AB | | CD |
5、求直线l与平面 所成的角：
| sin | | PM n | | PM || n|
2、空间向量能用来干什么？怎么用？
8
三、空间向量
我们把向量推广到空间,并把它们叫做空间向 量.
空间向量与平面上的向量有相应的概念,运算 及其运算律具有相同的意义.
是平面向量的推广, 有关运算方法几乎一样, 只是 “二维的”变成 “三维的”了.
9
2、空间直角坐标系的划分
Ⅲ
yz 面
Ⅳ
xy 面
5
6.平面向量的分解定理
如 于果这一e1，平e面2是内平的面任内一两向个量不平a 行，向有量且，只那有么一对对
实数t1，t2使
a1 t1e1 t2 e2
e2
M
a
O N
C 对向量a进行分
解：
e1 OC OM ON
t1e1 t26e2
平面向量知识结构图
7
二、思考：
1、空间向量与平面向量有何区别？空间 向量研究些什么内容？怎样研究？
新疆 王新敞
奎屯
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
a (x1, y1, z1)
a • b x1x2 y1 y2 z1z2
13
向量的共线和共面
共线: (1)a // b a b 对应坐标成比例
(2)P、A、B三点共线 OP (1t)OA tOB
共面 (1)a,b, p共面 p xa yb 可以用a,b表示 p
z zx 面
Ⅱ
•O
Ⅰ
y
Ⅶx
Ⅷ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
10
3、空间中点的坐标
对于空间任意一点P，要求它的坐标
方法一：过P点分别做三个平面垂直于x,y,z
轴，平面与三个坐标轴的交点分别为P1、P2、 P3，在其相应轴上的坐标依次为x,y,z，那么 (x,y,z)就叫做点P的空间直角坐标，简称为坐标，
数量积
rr r r
a b a b cos
指两向量的夹角
rr a b x1x2 y1y2
（共起点）
rr
注： 1.夹角公式：cos ra br
ab
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22
r2 r r r 2 2.a a a a
r r rr
3.a b a b 0 x1x2 y1y2 0
r
r
a x, y a x2 y2
终点—起点
3
5.向量的运算
运算 几何形式
坐标形式
r
r
a (x1, y1),b (x2, y2)
加法 1.△法则（首尾相接） r r 2. ◇法则（共起点） a b (x1 x2, y1 y2)
减法
△法则（共起点， 方向指向被减向量）
rr a b (x1 x2, y1 y2)
空间向量
1
一、平面向量复习
1.向量：既有大小又有方向的量。
r 2.向量的模：向量的大小 a
3.几个特殊的向量：
r 1)零向量（0 ）：模为0的向量，方向是任意的。
（注意与0的区别）
2)单位向量：模为1的向量，方向未确定。
r
r
uur
与a同向的单位向量：a0
3)相等的向量：大小相等，方向相同的向量。
1、求线段的长度：
AB AB x2 y2 z2 x2 x12 y2 y12 z2 z12
2、平行
a || b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3 ( R)
a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2
3、垂直 ab
a1b1
a2b2
a3b3
0
17
（二）、求角公式：
空间向量知识结构图
空
间
建
坐
立
标
坐
系
标
概
系
坐 标 运 算
念
空间直角坐标系
角
空
证 明
间 向 量
求 解
距
离
异面直线夹角 线面夹角
二面角 异面直线距离 点面距离 面面距离
空间向量运算
空
空
空
空
平
间
间
间
间
面
向
向
向
向
的
量
量
量
量
法
的
内
的
的
向
16
数
积
夹
模
量
乘
角
长
四、建立空间直角坐标系，解立体几何题
（一）、常用公式：
z
记作P(x,y,z)，三个数值叫做P点的x坐标,y坐标,z 坐标。
z • P3
1
x•
•o
1
1
x P1
•P
y
• P2 y
P点坐标为
(x,y,z)
11
方法二：过P点作xy面的垂线，垂足为P0点。
点P0在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的x坐
标、y坐标。再过P点作z轴的垂线，垂足P1在z轴
上的坐标z就是P点的z坐标。