3.三、向量空间.基过度矩阵,基下坐标ppt课件
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高等代数第三节 基
加法封闭
(km lm )αm V
(2)对αV ,k R
数乘封闭
kα (kk1)α1 (kk2)α2 (kkm )αm V
V 是向量空间。
2. 向量组生成的向量空间
定义 V x k1α1 k2α2 kmαm | k j R, j 1,2, , m
称为由α1, α2, , αm生成的向量空间,记为L(α1, α2, , αm ) 或span(α1, α2, , αm ).
证毕
2. 基的性质
4. V 可由基α1, α2, , αr所生成，即
V L(α1, α2, , αr ).
证明
α1, α2, , αr是V的基，
αV , 数l1,l2, ,lr ,使
α l1α1 l2α2 lrαr ,
α L(α1, α2, , αr ) V L(α1, α2,
, αr ).
α1, α2决定的平面.
z
z
L
α
y
y
x x
(3)设αR3且α 0, Lα为过原点O,方向为α的直线.
(4) R3 Lε1, ε2, ε3 .
3. 子空间
定义 对两(1)个Vn1维V向2,量集合V1与V2 , 若
(2) V1,V2都是向量空间，
例则称 4 (V11)是设Vm2的n子, α空i 间R（n. i 1,2, , m）,则
秩r1 秩r2, 即dimV1 dimV2.
证毕
2. 基的性质
7. F n中任意n个线性无关的向量1，2 n组成一组基；
8. Fn中的向量组S是基 S=｛1，2 n｝由n个 线性无关的向量组成.
9. n维向量空间V中的任意线性无关子集S可以扩充 为V的基.
《高等代数》PPT课件
命题5.1.2 对于任意向量和任意数a都有:
0=0, a0=0.
a()=(a) = a.
a=0a=0 或 =0.
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三. 约定
设V是数域F上的一个向量空间. 如果a是F中的一个数, 是V中的一个向量, 我们约定 a=a. 设1, 2,…, n,是V中的n个向量, 以它们为元素写成一个1n矩阵 (1, 2,…, n). 再设A是F上的一个nm阶矩阵. 则我们可以像普通矩 阵的乘法一样, 将(1, 2,…, n)和A相乘, 但是 (1, 2,…, n)A的结果 是一个以向量为元素的矩阵, 即:
3) 0+ = 4) 对任意 ，存在 ，使得 + = 0， 称为的负元素； 5) a( +) = a +a ； 6) (a+b) =a +b ； 7) a (b)=(ab) ；
8) 1 = .
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二、向量空间的定义
定义1 设V是一个非空集合，F是一个数域. 我们
把V中的元素用小写希腊字母, ，，…来表示，
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4
例2 在平面上建立直角坐标系后，把从原点出发的一切向
量组成的集合记为V2. 对V2中任意向量X和Y, 用平行四边形法则，有X+YV2. 对
任意实数k以及V2中任一向量X，有kXV2. 并且对任意的X, Y,
ZV2，a, bR，有
1) X+Y＝Y+X；
2) (X+Y)+Z＝X+(Y+Z)；
高等代数课件
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第五章 向量空间
5.1 向量空间的定义 5.2 向量的线性相关性 5.3 基维数和坐标 5.4 子空间 5.5 向量空间的同构
线性代数课件 第三章——向量 3 向量组的秩、向量空间简介
, m
, m 线性无关； , m 线性表示.
ii) V中任意向量都可由 1 , 2 ,
§3 向量组的秩、向量空间简介
注.向量空间V的维数实际上就是向量组的秩.
dim L(1 , 2 , , m ) R{1 , 2 , , m }.
定理5：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r+1
, m 线性
, s )是 L(1 , 2 ,
, m ) 的子空间.
பைடு நூலகம்
§3 向量组的秩、向量空间简介
2.基变换与坐标变换
定义4. 向量空间V的一个极大线性无关组称为V的一 个基，基所含向量的个数称为V的维数，记作dimV. 规定：零向量空间没有基，维数定义为0. 判别.设 1 , 2 , , m是V中m个向量,则 1 , 2 , 是V的一个基的充要条件是 i) 1 , 2 ,
向量都线性相关.
推论：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r个
线性无关的向量组都是V的一个基.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义5. 若 1 , 2 , , m是向量空间V的一个基,则
V中任意向量 可唯一表示为
k1 k2 , m ) k m
k11 k2 2
第三章 向量
§1 n维向量的线性相关性 §2 线性相关性的结论、极大线性无关组 §3 向量组的秩、向量空间简介 §4 向量的内积
一、向量组的秩 二、向量空间简介
一、向量组的秩
定义1 向量组 1 , 2 , , m 的极大无关组所含向量
的个数，称为该向量组的秩，记作 R{1 , 2 , 规定：零向量组的秩为0.
4 (1,2, k ,6)T , 5 (1,1,2,4)T ， 求向量组1 , 2 , 3 , 4 , 5
空间向量的基
1 , 2 , , r 是向量空间V的一个基，则 V 可表示为 （3）若向量组
V x 1 1 2 2 r r 1 , , r R
例如，在Rn中， (1 , 2 , n ) 是它的一组基 ，称为标准基，因此
Rn 是n维向量空间。
数理学院
设R n中的向量 在这两组基下的坐标分别为( x1 ,
xn )与( x '1 ,
x 'n )
则 (e1 , e2 ,
x1 x en ) 2 (e '1 , e '2 , xn
x '1 x' e 'n ) 2 (e1 , e2 , x 'n
4
2 0 2 1 1 1 1 3 (2)1 , 2 , 3 , 4 . 0 2 1 1 1 2 2 2 求基(1)到基(2)的过渡矩阵, 并求坐标变换公式.
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
由定义可知，向量空间的基不是惟一的，但其维数是确定
的。并且向量空间可以由它的任一组基 (1 , 2 , n ) 生成。因 此，任给 V ，有惟一的表达式 x11
xn n ，称 ( x1 ,
xn )
为 在基 (1 , 2 , n ) 下的坐标。
由于基不是惟一的，所以同一向量在不同的基下的坐标是 不同的。下面我们来讨论同一向量在不同基下坐标之间的关系。
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
设 (e1 , e2 , en ) 和 (e '1 , e '2 , 即可以相互表示。 e1 e 2 设 en
线性代数—3.3 向量空间
§3.3 向量空间
一、向量空间的概念 二、向量空间的基和维数 三、基变换与过渡矩阵
一、向量空间的概念
例1 设 V 为平面上所有起点在定点 O 的向量的集合.
集合 V 具有如下性质: (1) 若 aV, bV, 则 a + bV;
B
a2 a
(2) 若 aV, kR, 则 kaV, 称 V 为平面向量空间.
a 可唯一地表示为 a k1a1 + L + krar
称 (k1, , kr) 为向量 a 在基 a1, , ar 下的坐标.
例4 验证 a1 (1,-1,0)T, a2 (0,1,3)T, a3 (2,1,8)T 为R3 的 一个基, 并求 b1 (5,0,12)T, b2 (9,-7,8)T, b3 (3,1,11)T 在这
O a1 A
uuur uuur a OA + OB k1a1 + k2a2
设 V 中两向量 a1, a2 线性无关, 即 a1, a2 不共线, 则
V {k1a1 + k2a2 | k1,k2 R} 称 V 为由向量组 a1, a2 生成的向量空间.
例2 设 n 元方程组 Ax 0 的解集为 S, 秩 R(A) r < n.
• L(A) 为向量空间V 的子空间的充要条件是 A V . • L(B) 为 L(A) 的子空间的充要条件是向量组 B 可由组 A 线性表示. • L(A) L(B) 的充要条件是向量组 A 与组 B 等价.
例3 由 a1 (1,1,0,0)T, a2 (1,0,1,1)T 所生成的空间记为V1, 而由 b1 (2,-1,3,3)T, b2 (0,1,-1,-1)T 所生成的空间记为V2.
(-1,-4,3), (13,8,-2), (1,1,1)
一、向量空间的概念 二、向量空间的基和维数 三、基变换与过渡矩阵
一、向量空间的概念
例1 设 V 为平面上所有起点在定点 O 的向量的集合.
集合 V 具有如下性质: (1) 若 aV, bV, 则 a + bV;
B
a2 a
(2) 若 aV, kR, 则 kaV, 称 V 为平面向量空间.
a 可唯一地表示为 a k1a1 + L + krar
称 (k1, , kr) 为向量 a 在基 a1, , ar 下的坐标.
例4 验证 a1 (1,-1,0)T, a2 (0,1,3)T, a3 (2,1,8)T 为R3 的 一个基, 并求 b1 (5,0,12)T, b2 (9,-7,8)T, b3 (3,1,11)T 在这
O a1 A
uuur uuur a OA + OB k1a1 + k2a2
设 V 中两向量 a1, a2 线性无关, 即 a1, a2 不共线, 则
V {k1a1 + k2a2 | k1,k2 R} 称 V 为由向量组 a1, a2 生成的向量空间.
例2 设 n 元方程组 Ax 0 的解集为 S, 秩 R(A) r < n.
• L(A) 为向量空间V 的子空间的充要条件是 A V . • L(B) 为 L(A) 的子空间的充要条件是向量组 B 可由组 A 线性表示. • L(A) L(B) 的充要条件是向量组 A 与组 B 等价.
例3 由 a1 (1,1,0,0)T, a2 (1,0,1,1)T 所生成的空间记为V1, 而由 b1 (2,-1,3,3)T, b2 (0,1,-1,-1)T 所生成的空间记为V2.
(-1,-4,3), (13,8,-2), (1,1,1)
线性空间基坐标及过渡矩阵
x1 x2 , e4 ) = (1 , x3 x 4
1
y1 y2 ,4 ) y3 y 4
1 1 1 x1 x 3 1 0 2 3 2 1 x3 6 1 3 x4
得
(x1 , x2 , x3 )
T
= (33,82,154)
T
解答完毕
7
例2.已知4维向量空间R4的两个基:
( )1 = (1,1,2,1), 2 = (0,2,1,2), 3 = (0,0,3,1), 4 = (0,0,0,1); (Ⅱ ) 1 = (1,1,0,0), 2 = (1,0,0,0), 3 = (0,0,2,1), 4 = (0,0,3,2)
①
五、坐标变换公式
定理1: 设n维线性空间V中的元素, 在基1, 2, · · · , n下的坐标为: (x1, x2, · · · , xn)T,
在基1, 2, · · · , n 下的坐标为: (y1, y2, · · · , yn)T,
若 (1, 2, · · · , n)=(1, 2, · · · , n)A.
则有坐标变换公式:
x1 y1 x 2 = A y2 , xn yn
y1 x1 y 2 = A 1 x 2 . 或 yn xn
6
例1.在R 中，求向量 = ( 3, 7,1) 在基
3 T
T T T ( ) ( ) ( ) 1 = 1,3,5 , 2 = 6,3,2 , 3 = 3,1,0 下的坐标。
解：令 = x11 + x2 2 + x3 3
线性代数——向量空间
(2) V2={x=(0, x2, … ,xn)T| x2, … ,xnR}
例4 下列集合中哪些是 R3 中的子空间, 设 x=(x1,x2,x3)T.
(1) L1 { x R 3 | x3 1}; ( 2) L2 { x R 3 | x3 0}; ( 3) L3 { x R 3 | 2 x1 3 x2 x3 0}; (4) L4 { x R 3 | 2 x1 3 x2 x3 1}.
(3) 零向量空间称为零维向量空间, 故没有基； (4) 若将线性空间V 看作向量组, 则V 的基就是这些向 量组的极大无关组, 即dim(V )= r ( | V ). 例如 dim(L(1, 2, … ,s))=r (1, 2, … ,s).
V { x x11 x r r } L(1 ,, r ) 即V 是由它的基所生成的线性空间。 (6) 列向量 1 , 2 , , n 为Rn一组基 12 n 0.
(1) , (2) ( ) ( ) ,
(3) 在 V 中有一个元素0, 对于 V 中的任意元素 , 都有 0 , 称元素 0 为 V 中的零元素。 (4) 对 V 中每一个元素 , 都有 V 中的元素 , 使得 0, 称为 的负元素, 记作－ , 即 ( ) 0, (5) 对数域 F 中的数 1 和 V 中任一元素 , 都有 1 , (6) k ( l ) ( kl ) , (7) ( k l ) k l , (8) k ( ) k k . 【注】1. V = {0} 称为数域 F 上的零空间. 2. 线性空间是比向量空间更具有普遍性的概念. 由于 线性空间是从向量空间抽象出来的, 所以线性空间的 元素也称为向量, 线性空间也称为向量空间.
线性代数课件向量空间的基和维
线性无关
如果只有当$k_1 = k_2 = ldots = k_s = 0$时，才有$k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + ldots + k_salpha_s = 0$，则称向量组$V$线性无关。
极大线性无关组
极大线性无关组的定 义：如果向量组$V$ 的一个部分组$V_1$ 满足
2. 向量组$V$中任意 一个向量都可以由 $V_1$线性表示。
特征值与特征向量的性质
不同特征值对应的特征向量线性无关；k重特征 值至多对应k个线性无关的特征向量。
3
特征值与特征向量的应用
在矩阵对角化、矩阵的幂运算、微分方程求解等 问题中，特征值与特征向量具有重要作用。
二次型化标准型及规范型
二次型的标准型
通过可逆线性变换，将二次型化为只含有平方项的二次型，称为二次型的标准型。
正交矩阵的性质
正交矩阵的行列式为±1；正交矩阵 的逆和转置都是正交矩阵；正交矩阵 保持向量的长度和夹角不变。
正交变换与正交矩阵的关系
正交变换在标准正交基下的矩阵表示 是正交矩阵；正交矩阵对应的线性变 换是正交变换。
06
向量空间的应用举例
线性方程组解的结构
线性方程组解的存在性
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，线性方程组有解。
子空间的交与和
子空间的交
两个子空间的交集仍是一个子空 间，它包含同时属于两个子空间
的所有向量。
子空间的和
由两个子空间中所有向量线性组 合生成的向量空间，称为这两个
子空间的和。
性质
子空间的交与和都是子空间，但 两个子空间的和不一定等于它们
所在的向量空间的全部。
05
向量空间中的正交性
如果只有当$k_1 = k_2 = ldots = k_s = 0$时，才有$k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + ldots + k_salpha_s = 0$，则称向量组$V$线性无关。
极大线性无关组
极大线性无关组的定 义：如果向量组$V$ 的一个部分组$V_1$ 满足
2. 向量组$V$中任意 一个向量都可以由 $V_1$线性表示。
特征值与特征向量的性质
不同特征值对应的特征向量线性无关；k重特征 值至多对应k个线性无关的特征向量。
3
特征值与特征向量的应用
在矩阵对角化、矩阵的幂运算、微分方程求解等 问题中，特征值与特征向量具有重要作用。
二次型化标准型及规范型
二次型的标准型
通过可逆线性变换，将二次型化为只含有平方项的二次型，称为二次型的标准型。
正交矩阵的性质
正交矩阵的行列式为±1；正交矩阵 的逆和转置都是正交矩阵；正交矩阵 保持向量的长度和夹角不变。
正交变换与正交矩阵的关系
正交变换在标准正交基下的矩阵表示 是正交矩阵；正交矩阵对应的线性变 换是正交变换。
06
向量空间的应用举例
线性方程组解的结构
线性方程组解的存在性
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，线性方程组有解。
子空间的交与和
子空间的交
两个子空间的交集仍是一个子空 间，它包含同时属于两个子空间
的所有向量。
子空间的和
由两个子空间中所有向量线性组 合生成的向量空间，称为这两个
子空间的和。
性质
子空间的交与和都是子空间，但 两个子空间的和不一定等于它们
所在的向量空间的全部。
05
向量空间中的正交性
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x1α1 x 2α 2 x 3α 3 x 4α 4, x (x1, x 2, x 3, x 4) T
即 γ ε1, ε 2, ε 3, ε 4 x α1, α 2, α 3, α 4 x
ε1, ε 2, ε 3, ε 4 Bx 即 Bx x，或 B E x 0，x 为解向量.
A
(α
T 1
,
α
T 2
,
α
T 3
,
α
T 4
),
基Ⅱ： β1, β 2, β 3, β 4 ε1, ε 2, ε 3, ε 4 B,
B
( β 1T
,
β
T 2
,
β
T 3
,
β
T 4
)
①为求基Ⅱ到基Ⅰ过渡矩阵 由Ⅱ表示Ⅰ，由
ε
1,
ε
2,
ε
3,
ε
4
(
β
T 1
,
β
T 2
,
β
T 3
,
β
T 4
)B
1
(α1,
α
2 求两个基下有相同坐标的向量
'98.6,五（p27）第3问不同. 类似题：,01.11,五(2) 在R 4 中取两个基
( Ⅰ)
εεεε
1 2 3 4
(1, 0, 0, 0) (0,1, 0, 0) (0, 0,1, 0) (0, 0, 0,1)
( Ⅱ)
αααα2431
(2,1, 1,1) (0,3, 1, 0) (5,3, 2,1) (6, 6, 1,3)
下的坐标，( y1, y2, y3, y4)是α在基（Ⅱ）β1, β2, β3, β4下的坐标，且
y1 3x1 5x2, y2 x1 2x2
y3 2x3 3x4, y4 5x3 8x4 （1）求从基β1, β2, β3, β4到基α1,α2,α3,α4的过渡矩阵； （2）求基β1, β2, β3, β4.
(1) 求基( Ⅱ)到基( Ⅰ)的过渡矩阵；
(2) 求向量（1, 2,0,1）在基( Ⅱ)下的坐标；
(3) 求在两个基下有相同坐标的向量.
解法: ① 注意基(Ⅰ)是单位坐标向量组.
(Ⅰ)：
ε1, ε 2, ε 3, ε 4
基 Ⅱ ： α1,α 2 ,α 3,α 4 ε1, ε 2, ε 3, ε 4 B,
2,
α
3,
α
4)
(
β
T 1
,
β
T 2
,
β
T 3
,
β
T 4
)B
1A
过渡矩阵C
B
1A
(
β
T 1
,
β
T 2
,
β
T 3
,
β
T 4
)
1(α
T 1
,
α
T 2
,
α
T 3
,
α
T 4
),
1
②已知 α x1α1 x 2α 2 x 3α 3 x 4α 4
x1
x1
α 1,
α
2,
α
3,
α
4
x x x
2 3 4
类似题：’97.6,六(p11) :无1之证明;’97.2,四(p20);'99.5,五(p44)6
3. 已知向量在两基下坐标之间关系，求过渡矩阵
’99.11,四,P45
设 (x1, x2, x3, x4)为向量α在基
（Ⅰ）α1 (1,3, 4, 4)
α2 (2,5,7,7)
α3 (3, 3, 5, 2) α4 (5,5,8, 3)
2 基 1, 2, 3 到 1, 2, 3的过渡矩阵为
C 1
7 6
4 3
9 7
3 2 4
3 已知 1 1 2 2 1 3
1
1
1, 2, 3 2 1, 2, 3 C 1 2
1
1
10
1, 2, 3 13
5
在 1, 2, 3下坐标为(10,13, 5)，
基
Ⅱ 到基
Ⅰ 过渡矩阵
C
B 1
α
T 1
,
α
T 2
,
α
T 3
,
α
4T3
1
② α (1, 2, 0, 1) 1 ε1 2ε 2 0 ε 3 1 ε 4
1
(ε
1,
ε
2,
ε
3,
ε
4)
2 0
(α
1,
α
2,
α
3,
α
4)Cα
T
y Cα T
1
③ 向量 γ x1ε1 x 2ε 2 x 3ε 3 x 4ε 4
三.向量空间,基,过渡矩阵,基下坐标
1. 已知向量空间两组基，求过渡矩阵，向量在基下坐标
(1) 已知四维向量空间R 4的两个基
’97.4,六,
P2 （Ⅰ）
αααα2431
(1,1, 2,1) (0, 2,1, 2) (0, 0, 3,1) (0, 0, 0,1)
（Ⅱ）
β1 (1, 1, 0, 0) β 2 (1, 0, 0, 0) β 3 (0, 0, 2,1) β 4 (0, 0, 3, 2)
β2 2α1 α2 2α3，
β3 α1 5α2 3α3.
1）证明β1, β2, β3也是R3的一个基； 2）求由基β1, β2, β3到α1, α2, α3的过渡矩阵； 3）若向量α在基α1, α2 , α3下的坐标为(1, -2,1)，
求α在基β1, β2, β3下的坐标.
解法：(1)
1 2
2 2
1 1
3
2 2
3 3 2 3
3 1 5 2 3 3
1, 2, 3 1, 2, 3 C
5
2 2 1 C 3 1 5 , det C 1 0
C可逆
3 2 3
1, 2, 3 1, 2, 3 C 1
1, 2, 3 与 1, 2, 3 等价，秩相同，为基.
且向量α在基(Ⅰ )下坐标为（0, 3,1,1）,
(1) 求由基(Ⅱ )到基(Ⅰ )的过渡矩阵；
(2) 求向量α在基(Ⅱ )下的坐标.
第 i列
解法：引入中介基ε1, ε 2, ε 3, ε 4, ε i (0,...., 0,1, 0,..., 0)
基Ⅰ：(α1, α 2, α 3, α 4) (ε1, ε 2, ε 3, ε 4)A,
β 1,
β
2,
β
3,
β
4
B
1A
x x x
2 3 4
y1β1 y2β2 y3β3 y4β4
y1
β
1,
β
2,
β
3,
β
4
y y
2 3
y 4
y1
x1
y2 y3
B
1A
x x
2 3
y 4
x 4
类似题：’97.5,七（p6）区别：过渡矩阵从 Ⅰ 到 Ⅱ
，01.11,五(1)（p63); ，98.4,七 (p22)； ,01.5,六(2 p59)
1 0 0 1
1
B
E
0 00
1 0 0
0 1 0
1 10
x
k
1 11
,
γ k ε1, ε 2, ε 3, ε 4 x k 1,1,1, 1 T
4
2 已知两组基关系式，求过渡矩阵，基下坐标
’98.12,五（p35)
已知三维向量空间R3的一个基α1, α2, α3， 设 β1 2α1 3α2 3α3，
即 γ ε1, ε 2, ε 3, ε 4 x α1, α 2, α 3, α 4 x
ε1, ε 2, ε 3, ε 4 Bx 即 Bx x，或 B E x 0，x 为解向量.
A
(α
T 1
,
α
T 2
,
α
T 3
,
α
T 4
),
基Ⅱ： β1, β 2, β 3, β 4 ε1, ε 2, ε 3, ε 4 B,
B
( β 1T
,
β
T 2
,
β
T 3
,
β
T 4
)
①为求基Ⅱ到基Ⅰ过渡矩阵 由Ⅱ表示Ⅰ，由
ε
1,
ε
2,
ε
3,
ε
4
(
β
T 1
,
β
T 2
,
β
T 3
,
β
T 4
)B
1
(α1,
α
2 求两个基下有相同坐标的向量
'98.6,五（p27）第3问不同. 类似题：,01.11,五(2) 在R 4 中取两个基
( Ⅰ)
εεεε
1 2 3 4
(1, 0, 0, 0) (0,1, 0, 0) (0, 0,1, 0) (0, 0, 0,1)
( Ⅱ)
αααα2431
(2,1, 1,1) (0,3, 1, 0) (5,3, 2,1) (6, 6, 1,3)
下的坐标，( y1, y2, y3, y4)是α在基（Ⅱ）β1, β2, β3, β4下的坐标，且
y1 3x1 5x2, y2 x1 2x2
y3 2x3 3x4, y4 5x3 8x4 （1）求从基β1, β2, β3, β4到基α1,α2,α3,α4的过渡矩阵； （2）求基β1, β2, β3, β4.
(1) 求基( Ⅱ)到基( Ⅰ)的过渡矩阵；
(2) 求向量（1, 2,0,1）在基( Ⅱ)下的坐标；
(3) 求在两个基下有相同坐标的向量.
解法: ① 注意基(Ⅰ)是单位坐标向量组.
(Ⅰ)：
ε1, ε 2, ε 3, ε 4
基 Ⅱ ： α1,α 2 ,α 3,α 4 ε1, ε 2, ε 3, ε 4 B,
2,
α
3,
α
4)
(
β
T 1
,
β
T 2
,
β
T 3
,
β
T 4
)B
1A
过渡矩阵C
B
1A
(
β
T 1
,
β
T 2
,
β
T 3
,
β
T 4
)
1(α
T 1
,
α
T 2
,
α
T 3
,
α
T 4
),
1
②已知 α x1α1 x 2α 2 x 3α 3 x 4α 4
x1
x1
α 1,
α
2,
α
3,
α
4
x x x
2 3 4
类似题：’97.6,六(p11) :无1之证明;’97.2,四(p20);'99.5,五(p44)6
3. 已知向量在两基下坐标之间关系，求过渡矩阵
’99.11,四,P45
设 (x1, x2, x3, x4)为向量α在基
（Ⅰ）α1 (1,3, 4, 4)
α2 (2,5,7,7)
α3 (3, 3, 5, 2) α4 (5,5,8, 3)
2 基 1, 2, 3 到 1, 2, 3的过渡矩阵为
C 1
7 6
4 3
9 7
3 2 4
3 已知 1 1 2 2 1 3
1
1
1, 2, 3 2 1, 2, 3 C 1 2
1
1
10
1, 2, 3 13
5
在 1, 2, 3下坐标为(10,13, 5)，
基
Ⅱ 到基
Ⅰ 过渡矩阵
C
B 1
α
T 1
,
α
T 2
,
α
T 3
,
α
4T3
1
② α (1, 2, 0, 1) 1 ε1 2ε 2 0 ε 3 1 ε 4
1
(ε
1,
ε
2,
ε
3,
ε
4)
2 0
(α
1,
α
2,
α
3,
α
4)Cα
T
y Cα T
1
③ 向量 γ x1ε1 x 2ε 2 x 3ε 3 x 4ε 4
三.向量空间,基,过渡矩阵,基下坐标
1. 已知向量空间两组基，求过渡矩阵，向量在基下坐标
(1) 已知四维向量空间R 4的两个基
’97.4,六,
P2 （Ⅰ）
αααα2431
(1,1, 2,1) (0, 2,1, 2) (0, 0, 3,1) (0, 0, 0,1)
（Ⅱ）
β1 (1, 1, 0, 0) β 2 (1, 0, 0, 0) β 3 (0, 0, 2,1) β 4 (0, 0, 3, 2)
β2 2α1 α2 2α3，
β3 α1 5α2 3α3.
1）证明β1, β2, β3也是R3的一个基； 2）求由基β1, β2, β3到α1, α2, α3的过渡矩阵； 3）若向量α在基α1, α2 , α3下的坐标为(1, -2,1)，
求α在基β1, β2, β3下的坐标.
解法：(1)
1 2
2 2
1 1
3
2 2
3 3 2 3
3 1 5 2 3 3
1, 2, 3 1, 2, 3 C
5
2 2 1 C 3 1 5 , det C 1 0
C可逆
3 2 3
1, 2, 3 1, 2, 3 C 1
1, 2, 3 与 1, 2, 3 等价，秩相同，为基.
且向量α在基(Ⅰ )下坐标为（0, 3,1,1）,
(1) 求由基(Ⅱ )到基(Ⅰ )的过渡矩阵；
(2) 求向量α在基(Ⅱ )下的坐标.
第 i列
解法：引入中介基ε1, ε 2, ε 3, ε 4, ε i (0,...., 0,1, 0,..., 0)
基Ⅰ：(α1, α 2, α 3, α 4) (ε1, ε 2, ε 3, ε 4)A,
β 1,
β
2,
β
3,
β
4
B
1A
x x x
2 3 4
y1β1 y2β2 y3β3 y4β4
y1
β
1,
β
2,
β
3,
β
4
y y
2 3
y 4
y1
x1
y2 y3
B
1A
x x
2 3
y 4
x 4
类似题：’97.5,七（p6）区别：过渡矩阵从 Ⅰ 到 Ⅱ
，01.11,五(1)（p63); ，98.4,七 (p22)； ,01.5,六(2 p59)
1 0 0 1
1
B
E
0 00
1 0 0
0 1 0
1 10
x
k
1 11
,
γ k ε1, ε 2, ε 3, ε 4 x k 1,1,1, 1 T
4
2 已知两组基关系式，求过渡矩阵，基下坐标
’98.12,五（p35)
已知三维向量空间R3的一个基α1, α2, α3， 设 β1 2α1 3α2 3α3，