空间直角坐标系及点的坐标表示
空间直角坐标系点坐标表示
空间直角坐标系点坐标表示以空间直角坐标系点坐标表示为标题，本文将介绍空间直角坐标系的相关知识。
空间直角坐标系是一种常用的坐标系统，用于描述三维空间中的点的位置。
在空间直角坐标系中，每个点都可以用三个坐标值来表示，分别为x、y和z。
这三个坐标值分别代表了点在x轴、y轴和z轴上的位置。
其中，x轴是水平方向，y轴是垂直于x轴且在水平平面内的方向，z轴是垂直于水平平面的垂直方向。
这样，通过这三个坐标值的组合，我们可以准确地确定一个点在空间直角坐标系中的位置。
在空间直角坐标系中，每个坐标轴都有正方向和负方向。
正方向是从原点向右、向上和向外延伸的方向，负方向则是相反的方向。
通过正负号的不同，可以确定一个点在各个坐标轴上的位置。
举个例子，假设有一个点A，它在x轴上的坐标为2，y轴上的坐标为-3，z轴上的坐标为1。
那么在空间直角坐标系中，点A的位置可以表示为(2, -3, 1)。
这意味着点A位于x轴的正方向上2个单位处，位于y轴的负方向上3个单位处，位于z轴的正方向上1个单位处。
在空间直角坐标系中，我们可以通过计算两个点之间的距离来衡量它们之间的空间距离。
根据勾股定理，两个点之间的距离可以通过它们在各个坐标轴上的坐标差值计算得出。
例如，点A(2, -3, 1)和点B(-1, 4, 2)之间的距离可以计算为：AB = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²]= √[(-1 - 2)² + (4 - (-3))² + (2 - 1)²]= √[9 + 49 + 1]= √59所以点A和点B之间的距离为√59个单位。
除了表示点的位置和计算距离外，空间直角坐标系还可以用于表示向量。
向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。
在空间直角坐标系中，一个向量可以用起点和终点的坐标表示。
例如，向量AB 可以表示为(2, -3, 1)到(-1, 4, 2)的箭头。
空间直角坐标系 课件
∴B(5,0,0)，D(0,4,0)，A1(0,0,4)，
从而 C(5,4,0)，B1(5,0,4)．
图(1)
又 D1(0,4,4)，P 为 B1D1 的中点，∴P(52，2,4)．
[错因] 空间直角坐标系中，x轴、y轴和z轴的正方向排 列次序要符合右手法则，即用右手握住z轴，拇指所指 的方向为z轴的正方向，其余四指所指的方向为由x轴正 向到y轴正向的转动方向．错解中，坐标系的建立不符 合右手法则，因此解答是不正确的．
图(2)
∴P(2，52，4)．
[正解] 如图(2)，分别以 AD、AB 和 AA1 所在直线为 x 轴、y
轴和 z 轴，建立空间直角坐标系．
∵AB＝5，AD＝4，AA1＝4，
∴B(0,5,0)，D(4,0,0)，A1(0,0,4)，
从而 C(4,5,0)，B1(0,5,4)． 又 D1(4,0,4)，P 为 B1D1 的中点，
探究点一 空间中点的坐标的确定
(1)过空间一点M分别作三个坐标平面的平行平面，与三个 坐标轴的交点的坐标分别为点M的横、纵、竖坐标．
(2)特殊位置点的坐标的特征． x轴上的点的坐标为(x,0,0)，其中x为任意实数； y轴上的点的坐标为(0，y,0)，其中y为任意实数； z轴上的点的坐标为(0,0，z)，其中z为任意实数； xOy平面上的点的坐标为(x，y,0)，其中x，y为任意实数； xOz平面上的点的坐标为(x,0，z)，其中x，z为任意实数； yOz平面上的点的坐标为(0，y，z)，其中y，z为任意实数．
已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为2，建立如 图不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点 的坐标．
[提示]在不同的空间直角坐标系下，同一个点的坐标是 不同的，应分别写出．
空间直角坐标系
空间直角坐标系空间直角坐标系是一种用来描述物体在三维空间中位置的坐标系统。
它是一种常见且重要的坐标系，被广泛应用于数学、物理、工程等各个领域。
本文将详细介绍空间直角坐标系的定义、特点和使用方法。
一、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴构成的，通常用x、y、z表示。
x轴和y轴在水平平面上，z轴垂直于水平平面向上延伸。
在这个坐标系中，每个点可以由一个有序的三元组(x, y, z)唯一确定。
其中，x表示点在x轴上的坐标值，y表示点在y轴上的坐标值，z表示点在z轴上的坐标值。
二、空间直角坐标系的特点1. 三维描述：空间直角坐标系能够准确描述物体在三维空间中的位置。
通过确定点在x、y、z轴上的坐标值，可以得知物体在坐标系中的具体位置。
2. 直角关系：空间直角坐标系中的三个坐标轴彼此垂直。
这意味着任意两个轴的夹角为直角，使得坐标系的描述更加简洁明了。
3. 正负号：在空间直角坐标系中，每个坐标轴都有正负号之分。
通过正负号的不同，可以识别出点在轴的正方向还是负方向上。
三、空间直角坐标系的使用方法1. 坐标表示：在空间直角坐标系中，可以通过坐标表示物体的位置。
例如，一个点的坐标为(2, 3, 4)，表示该点在x轴上的坐标值为2，在y轴上的坐标值为3，在z轴上的坐标值为4。
2. 图形表示：使用空间直角坐标系，可以绘制出物体在三维空间中的图形。
例如，通过连接多个点可以绘制直线、曲线，通过连接多个面可以绘制立方体、圆柱体等。
3. 距离计算：在空间直角坐标系中，可以计算物体之间的距离。
根据勾股定理，可以计算出两点之间的直线距离。
例如，两点A(x1, y1,z1)和B(x2, y2, z2)之间的距离可以用以下公式表示：AB = √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²]。
四、应用举例空间直角坐标系在许多领域有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，使用空间直角坐标系可以准确描述建筑物的位置、大小和形状，方便施工和规划工作。
空间直角坐标系
一、空间向量的基本概念
平面向量
空间向量
定义
具有大小和方向的量
表示法 几何表示：有向线段 AB 字母表示: a
向量的模
向量的大小 AB a
相等向量 相反向量 单位向量 零向量
长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 模为1的向量，没有规定方向 模为0的向量，与任何向量共线
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
( x y z 1)
判断四点共面，或直线平行 于平面
1.下列命题中正确的有：B
(1) p xa yb p 与 a 、b 共面 ; (2) p 与 a 、b 共面 p xa yb ；
(3) MP x MA y MB P、M、A、B共面；
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
预备知识
数轴Ox上的点M
实数x
O
直角坐标平面上的点M
y
M
x
x
实数对(x，y)
y A(x,y)
Ox
x
一、空间直角坐标系 —Oxyz
z
竖轴
1
纵轴
o
1
1
y
x
右手直角坐标系
横轴
右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让 右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的 正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
【温故知新】
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
五、共面向量
2. 如果两个向量 a,不b 共线，
空间直角坐标系的定义和坐标
空间直角坐标系的定义和坐标一、空间直角坐标系的定义和坐标1.空间直角坐标系在单位正方体$oabc-d′a′b′c′$中，以$o$点为原点，分别以射线$oa$，$oc$，$od′$的方向为正方向，以线段$oa$，$oc$，$od′$的长为单位长，建立三条数轴：$x$轴、$y$轴、$z$轴。
这时我们说建立了一个空间直角坐标系$oxyz$，其中点$o$叫做坐标原点，$x$轴、$y$轴、$z$轴叫做坐标轴。
通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为$xoy$平面、$yoz$平面、$xoz$平面。
2.空间矢量的坐标一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
如$a(x_1,y_1,z_1)$，$b(x_2,y_2,z_2)$，则$\overrightarrow{ab}=$$\overrightarrow{ob}-$$\overrightarrow{oa}=$$(x_2-x_1$，$y_2-y_1$，$z_2-z_1)$。
3.空间向量的坐标运算设$\boldsymbola(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbolb(x_2,y_2,z_2)$，则（1） $\boldsymbola+\boldsymbolb=（x_1+x_2，y_1+y_2，z_1+z_2）$（2）$\boldsymbola-\boldsymbolb=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$。
（3） $\boldsymbola·\boldsymbolb=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$（4）$|\boldsymbola|=\sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1}$。
（5）$λ\boldsymbola=（λx_1，λy_1，λz_1）$4、空间向量平行（共线）与垂直的充要条件让非零向量$\boldsymbol（x_1，y_1，z_1）$，$\boldsymbol B（x_2，y_2，z_2）$，然后$\boldsymbola∥\boldsymbolb\leftrightarrow\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}=λ(λ∈\mathbf{r})$。
空间直角坐标系中点坐标公式
空间直角坐标系中点坐标公式在空间直角坐标系中，我们可以用三个数值来表示一个点的位置。
这三个数值分别代表了点在x轴、y轴和z轴的坐标。
我们可以将这三个坐标值写成一个有序三元组 (x, y, z)。
假设我们有一个点P，它在x轴上的坐标为x，y轴上的坐标为y，z 轴上的坐标为z。
那么点P的坐标可以表示为 (x, y, z)。
在三维空间中，点的坐标公式可以通过测量从原点到点P的三条边的长度得到。
根据勾股定理，我们可以得出以下关系：1. 点P在x轴上的坐标可以通过测量点P到y轴和z轴的距离得到。
这个距离可以表示为√(y^2 + z^2)。
所以点P在x轴上的坐标为x = √(y^2 + z^2)。
2. 点P在y轴上的坐标可以通过测量点P到x轴和z轴的距离得到。
这个距离可以表示为√(x^2 + z^2)。
所以点P在y轴上的坐标为y = √(x^2 + z^2)。
3. 点P在z轴上的坐标可以通过测量点P到x轴和y轴的距离得到。
这个距离可以表示为√(x^2 + y^2)。
所以点P在z轴上的坐标为z = √(x^2 + y^2)。
通过这个坐标公式，我们可以计算出点P在三维空间中的坐标。
例如，如果点P在x轴上的坐标为3，在y轴上的坐标为4，在z轴上的坐标为5，那么点P的坐标可以表示为 (3, 4, 5)。
通过这个坐标公式，我们可以方便地计算出点在空间中的位置。
同时，我们也可以通过这个公式来确定点在空间中的距离和方向。
总结起来，空间直角坐标系中点的坐标可以用有序三元组 (x, y, z) 表示，其中x代表点在x轴上的坐标，y代表点在y轴上的坐标，z 代表点在z轴上的坐标。
我们可以通过测量点到每个轴的距离得到点的坐标。
这个坐标公式在三维空间中有着广泛的应用，可以用来计算点的位置、距离和方向等信息。
高数空间解析几何学空间直角坐标系
实例 一 物 体 在 常 力 F 作 用 下 沿 直 线 从 点 M 移 动 1 到 点 M 2 ， 以 s 表 示 位 移 ， 则 力F 所 作 的 功 为 (其 中 为 F 与 s 的 夹 角 ) W | F || s | cos
定义 向 量 a 与 b 的 数 量 积 为 a b a b | a || b | cos b
坐标面上的点 A , B , C ,
z
R ( 0 ,0 , z )
O ( 0 ,0 ,0 )
B (0, y , z )
C ( x,o, z)
M ( x, y, z)
o
Q ( 0 , y ,0 )
y
x
P ( x ,0 ,0 )
A ( x , y ,0 )
3
二、空间两点间的距离
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 )为 空 间 两 点
x1
P1 P 2
x1 2
1 2
x 2,
cos cos
y0
P1 P 2
y0 2 z3 2
2 2
y
2,
z3
P1 P 2
(2,
1 2
z 4, z 2,
2 , 2 ).
21
P2 的 坐 标 为 ( 2 , 2 , 4 ),
四、两向量的数量积
注. 减法 a b a ( b )
b
a
ab ab
b
b
c
a
b c a ( b ) a b
空间各种直角坐标系
本篇学习了空间直角坐标系、大地坐标系、平面坐标系、高斯平面直角坐标系。
这个个坐标系有时很容易弄混淆！（一）空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标原点位于参考椭球的中心，Z轴指向参考椭球的北极，X轴指向起始子午面与赤道的交点，Y轴位于赤道面上切按右手系于X轴呈90度夹角，某点中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。
空间直角坐标系可用如下图所示：（二）大地坐标系大地坐标系是采用大地纬度、经度和大地高程来描述空间位置的。
纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角；大地高程是空间的点沿着参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。
地面点的高程和国家高程基准(1)绝对高程。
地面点沿垂线方向至大地水准面的距离称为绝对高程或称海拔。
过去我国采用青岛验潮站(tide gauge station)1950～1956年观测成果求得的黄海平均海水面作为高程的零点，称为“1956年黄海高程系”(Huanghai height system1956水准原点高程为72.289m)。
后经复查，发现该高程系的验潮资料时间过短，准确性较差，改用青岛验潮站1950～1979年的观测资料重新推算，并命名为“1985年国家高程基准”（Chinese height datum 1985）。
国家水准原点(leveling origin高程为72.260m)设于青岛市观象山附近，作为我国高程测量的依据。
它的高程值是以“1985年国家高程基准”所确定的平均海水面为零点测算而得。
在使用原“1956年黄海高程系”的高程成果时，应注意将其换算为新的高程基准系统。
(2)相对高程。
地面点沿铅垂线方向至任意假定的水准面的距离称为该点的相对高程，亦称假定高程。
在图l—5中，地面点A和B的相对高程分别为H'A和H'B。
(3)高差。
地面上任意两点的高程(绝对高程或相对高程)之差称为高差。
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z
o
y
x 点Ｏ叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做 坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标 平面，分别称为xoy平面、 yoz平面、和 Zox 平面．
在空间直角坐标系中,让 右手拇指指向x轴的正方向， 食指指向y轴的正方向，若中 指指向z轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
Z
Y X
说明: ☆本书建立的坐标系
z
R
M ( x, y, z )
o
Q
y
x
P
例1、在如图长方体中，已知 OA = 3, OC = 4, OD¢ = 2, 试求其顶点的坐标。
z D' C'
A'
O
B'
C y x A B
z D' C'
1.坐标平面内的点
B'
பைடு நூலகம்
A'
O
xoy平面上的点表示为（x,y,0)
C y
yoz平面上的点表示为（0,y,z) xoz平面上的点表示为（x,0,z)
都是右手直角坐标系.
x o
z
y
二、空间直角坐标系的画法:
z
1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴．
0 135 2.y轴和z轴的单位长度相同， o
x轴上的单位长度为y轴（或z 轴）的单位长度的一半．
1350
y
x
三、空间任一点坐标的求法
过点M作三个平面分别垂直 于x轴、y轴、z轴分别交于P、 R、Q(即点A在坐标平面的射 影)。点P、R、Q在相应坐标 轴上的坐标依次为x,y,z则 有序实数对（x,y,z）叫做 点M的坐标
x A
B
2.坐标轴上的点
x轴上的点表示为（x，0，0） y轴上的点表示为（0，y，0） z轴上的点表示为（0,0,z)
四、空间中点坐标公式
空间两点A( x1 , y1 , z1 ) B( x2 , y2 , z2 )的中点 x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 坐标为( , , ) 2 2 2
3、AB的中点坐标为(3,1, 4)，其中B点坐标为 （6,2,8） （0，0，0），那么A点的坐标为_______
1 9 例2：A(1, 2, 4), B(0, 2,5)的中点坐标为（ ，2，） 2 2 A(0,1, 4)和B点的中点坐标为C为（2，3，5），
求B点的坐标。
求下列各点的坐标 （3,2,2.5） 1、A(6, 2, 4), B(0, 2,1)的中点坐标为_____ （ 2,1.5,6 ） 2、A(3,1, 4), B(1, 2,8)的中点坐标为______
空间直角坐标系
提 问:
我们知道,在平面直角坐标系中,平面上任 意一点的位置都有唯一的坐标来表示. 那空间中任意一点的位置怎样用坐标来 表示?
下图是一个房间的示意图,下面来 探讨表示电灯位置的方法.
z
4 3
墙 墙 地面
4
1
(4,5,3)
5
O 1
y
x
一、空间直角坐标系建立
从空间某一个定点０ 引三条互相垂直且有相 同单位长度的数轴，这 样就建立了空间直角坐 标系０－xyz．