空间直角坐标系的建立(最新课件)

1．确定空间定点M的坐标的步骤 (1)过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次 交x轴、y轴和z轴于P、Q和R. (2)确定P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标x，y和z. (3)得出点M的坐标为(x，y，z)．
2．已知M点坐标为(x，y，z)确定点M位置的步骤 (1)在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x，y和z的点P、 Q、R. (2)过P、Q、R分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面． (3)三个平面的唯一交点就是M. 3．对于空间点关于坐标轴和坐标平面对称的问题， 要记住“关于谁对称谁不变”的原则．
4.如图，在棱长为1的正方体ABCD－ A1B1C1D1中，E、F分别为D1D、BD的 中点，G在棱CD上，且CG＝14CD，H为C1G的中点，试建 立适当的直角坐标系，写出点E、F、G、H的坐标．
解：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC 所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立 空间直角坐标系． ∵点E在z轴上，且为D1D的中点， 故点E坐标为(0,0，12)．过F作FM⊥AD、 FN⊥DC，则|FM|＝|FN|＝12，故点F坐标为(12，12，0)；
10．点P在x轴上，它到点P1(0， 2，3)的距离为到点P2 (0,1，－1)的距离的2倍，则点P的坐标是_______． 解析：由已知可设P(x,0,0)，则 |PP1|＝2|PP2|. ∴x2＋( 2)2＋32＝4[x2＋1＋(－1)2]． ∴3x2＝3. ∴x＝±1. ∴P点坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)． 答案：(1,0,0)或(－1,0,0)
[精解详析] 点M关于xOy平面的对称点M1的坐标为 (a，b，－c)，关于xOz平面的对称点M2的坐标为(a，－b， c)，关于yOz平面的对称点M3的坐标为(－a，b，c)．
关于x轴的对称点M4的坐标为(a，－b，－c)， 关于y轴的对称点M5的坐标为(－a，b，－c)， 关于z轴的对称点M6的坐标为(－a，－b，c)， 关于原点对称的点M7的坐标为(－a，－b，－c)．
问题1：只给出飞机所在位置的经度和纬度，能确 定飞机位置吗？
提示：不能具体确定．
问题2：如果不仅给出飞机位置的经度和纬度，再给 出高度，能确定飞机的位置吗？
提示：能确定． 问题3：在空间，为了确定空间任意点的位置，需要 几个实数呢？ 提示：需要三个实数．
1．空间直角坐标系右手系的建立方法 (1)将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就 垂直于 水平面． (2)伸出右 手，让四指与 大拇指 垂直，并使四指先 指向 x轴正方向 ，然后让四指沿握拳方向旋转90°指 向 y轴正方向 ，此时 大拇指 指向即为z轴正向， 这样 的坐标系为右手系．
[例3] 在空间直角坐标系中，解答下列各题： (1)在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为； (2)在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到 点N(6,5,1)的距离最小． [思路点拨] (1)可设点P(x,0,0)后，利用距离公式解决； (2)可根据点M在x＋y＝1上设点M，再由距离公式构建 函数，求出|MN|的最小值．
5．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)、Q(－2，－3，－4)两
点的位置关系是
()
A．关于x轴对称
B．关于yOz平面对称
C．关于坐标原点对称
D．以上都不对
答案：C
6．已知点A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为 A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值为 ( ) A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5 B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5 C．λ＝2，μ＝10，v＝8 D．λ＝2，μ＝10，v＝7
解析几何初步
空间直角坐标系
空间直角坐标系的建立 空间直角坐标系中点的坐标
空间两点间的距离
理
把
解 知识点一 握
教
热
材 知识点二 点
新
考
知 知识点三 向
考点一
应 用
创
考点二
新
演 考点三 练
我们知道，数轴Ox上的点M，可用与它对应的实数 来确定其位置；平面直角坐标平面上的点M可以用一对 有序实数(x，y)来确定其位置．那么，一架空中飞行的 飞机的位置，该怎样确定呢？
2．空间直角坐标系中的有关名称 (1)在空间直角坐标系中， O 叫作原点， x，y，z 轴 统称为坐标轴． (2)由 坐标轴 确定的平面叫坐标平面，x、y轴确定的 平面记作 xOy 平面，y、z轴确定的平面记作 yOz平面， x、z轴确定的平面记作 xOz 平面．
数轴上点的坐标可用一个实数表示，如A(2)；平面直 角坐标系中点的坐标可用一个有序实数对表示，如A(2,1)； 在空间直角坐标系中，点的坐标可用有序实数组(x，y，z) 表示．
[一点通] 解决该类问题的关键是应用两点间的距 离公式，根据点的特征，合理地设出所求点的坐标， 这样不但减少了参数，还可简化计算，避免出错．
8．(2012·济宁调研)设点B是点A(2，－3,5)关于平面xOy的对
称点，则|AB|等于
()
A．10
B. 10
C. 38
D．38
解析：B点的坐标为(2，－3，－5)，
[例1] 如图，棱长为1的正方体ABCD－ A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的 中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标.
[思路点拨] 取D为空间坐标系的原点，过D点的三 条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，按定义确定 E，F，G坐标．
[精解详析] 如图，以D为坐标原点，分别以DA， DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， E点在平面xDy中，且|EA|＝12.
问题1：y轴上点的坐标有什么特点？ 提示：可用(0，y,0)表示．
问题2：点(2,0，－1)，(－1,0,3)，(2,0,3)有什么 特征？这些点的位置如何？
提示：这些点纵坐标为零，都在xOz平面上． 问题3：点(2,1,3)关于x轴和xOy平面的对称点坐 标各是什么？ 提示：(2，－1，－3)，(2,1，－3)．
＝ x20＋y20＋z20
.
(2)空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离 |AB|＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22 .
1．空间直角坐标系的建立解决了空间点的位置，要 1. 和建立平面直角坐标系一样，强调“三要素”，即 原点、坐标轴方向和单位长度． 2．在空间直角坐标系中，给出具体的点写出它的坐 标和根据坐标画出点的位置是重要的两个方面．在这个过 程中，可以借助于长方体加以联想和理解．
在平面直角坐标系中两点A(x1，y1)、B(x2, y2)，则 A、B两点的距离|AB|＝ x1－x22＋y1－y22 ，而距离 是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常 涉及距离．怎样用坐标来求空间两点的距离呢？
问题1：在空间直角坐标系中，点M(0,0,3)到原点的 距离多少？
提示：|OM|＝3. 问题2：点N(3,0,4)到原点的距离为多少？ 提示：因为点N在平面xOz上，可利用平面直角坐标系 中点坐标公式得 |ON|＝ 32＋42＝5.
则|AB|＝ 2－22＋－3＋32＋5＋52＝10.
答案：A
9．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC
的形状是
()
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
解析：由距离公式得： |AB|＝ 1－42＋－2－22＋11－32＝ 89， |AC|＝ 1－62＋－2＋12＋11－42＝ 75， |BC|＝ 4－62＋2＋12＋3－42＝ 14. ∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2. ∴△ABC为直角三角形． 答案：C
点G在y轴上，又|GD|＝34，故点G坐标为(0，34，0)； 过H作HK⊥CG于点K，由于H为C1G的中点，故|HK| ＝12，|CK|＝18. ∴|DK|＝78.故点H的坐标为(0，78，12)．
[例2] 求点M(a，b，c)关于坐标平面，坐标轴及坐 标原点的对称点的坐标.
[思路点拨] 类比平面直角坐标系中点的对称问题， 确定坐标和位置即可．
[一点通] 空间对称点的坐标规律 空间对称问题要比平面上的对称问题复杂，除了关于 点对称，直线对称，还有关于平面对称，在解决这一类问 题时，注意依靠x轴、y轴、z轴作为参照直线，坐标平面 为参照面，通过平行、垂直确定出对称点的位置．空间点 关于坐标轴、坐标平面的对称问题，可以参照如下口诀记 忆：“关于谁谁不变，其余的相反”．如关于x轴对称的点x 坐标不变，y坐标、z坐标变为原来的相反数；关于xOy坐 标平面对称的点x、y不变，z坐标相反．特别注意关于原 点对称时三个坐标均变为原来的相反数．
∴E点的坐标为(1，
1 2
，0)．∴B点和B1点的坐标
分别为(1,1,0)和(1,1,1)，故F点坐标为(1,1，12)．
同理可得G点坐标为(1，12，12)．
[一点通] (1)空间中点的位置和点的坐标是相对 的，建立空间坐标系，要力争尽可能简捷地将点的坐标 表示出来，因此，要确定各点到xDy面，yDz面，xDz面 的距离，同时中点坐标公式在空间坐标系中仍然适用．
(2)设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则P1P2中点 P(x，y，z)坐标满足：x＝x1＋2 x2，y＝y1＋2 y2，z＝z1＋2 z2.
1．在空间直角坐标系中，已知点P(1， 2， 5)，过P
作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标是
()
A．(0， 2，0)
B．(0， 2， 5)
C．(1,0， 5) 解析：∵Q点在yOz平面上， ∴x＝0，y＝ 2，z＝ 5. 答案：B
D．(1， 2，0)
2．点M(0,26，－13．xOy平面内
D．yOz平面内
解析：∵M点的坐标为(0,26，－13)，x＝0，
∴点M在平面yOz内． 答案：D