高中数学人教新课标A版必修2 第三章 直线与方程 3.2.3直线的一般式方程A卷
高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程学案(含解析)新人教A版必修2
3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程知识导图学法指导1.体会直线的两点式方程、截距式方程的推导过程，并由此求直线的方程．2．明确平面上的直线和二元一次方程的区别与联系．3．弄清楚直线的一般式方程和其他几种形式之间的关系以及每种形式的适用条件，在解题时注意选择恰当的直线方程．4．明确利用直线方程的几种形式判断直线平行和垂直问题的方法．高考导航1.利用两点坐标求直线的方程或利用直线的截距式求直线的方程是常考知识点，分值5分．2．由直线的一般式方程判断直线的位置关系或求参数的值也是高考的常考题型，以选择题或填空题为主，分值5分.知识点一直线的两点式、截距式方程1．截距式方程中间以“＋”相连，右边是1.2．a 叫做直线在x 轴上的截距，a∈R ，不一定有a >0.知识点二 线段的中点坐标公式若点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.知识点三 直线的一般式方程 1．直线与二元一次方程的关系在平面直角坐标系中的直线与二元一次方程的对应关系如下：2．直线的一般式方程式子：关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0； 条件：A ，B 不同时为零； 简称：一般式．3．直线的一般式方程与其他四种形式的转化认识直线的一般式方程(1)方程是关于x ，y 的二元一次方程；(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列； (3)x 的系数一般不为分数和负数；(4)平面直角坐标系内的任何一条直线都有一个二元一次方程与它相对应，即直线的一般式方程可以表示任何一条直线．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示．( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1) (x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )答案：(1)× (2)√2．经过点A (－3,2)，B (4,4)的直线的两点式方程为( ) A.y －22＝x ＋37 B.y －2－2＝x －37C.y ＋22＝x －37D.y －2x ＋3＝27解析：由方程的两点式可得直线方程为y －24－2＝x －－4－－，即y －22＝x ＋37.答案：A3．在x 轴和y 轴上的截距分别为－2,3的直线方程是( ) A.x 3＋y －2＝1 B.x 2＋y－3＝1 C.x －2＋y 3＝1 D.x －3＋y2＝1 解析：由直线的截距式方程，可得直线方程是x －2＋y3＝1.答案：C4．直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3)C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12解析：直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为4x ＋3y －12＝0. 答案：C。
高中数学人教A版必修二教案：3.2.3直线的一般式方程
教师概括指出：由于任何一条
直线都可以用一个关于 x，y 的二元
一次方程表示；同时，任何一个关
于 x，y 的二元一次方程都表示一条
--------------------------------------------------------
----------------------------------------------------------------------------
在直角坐标系中画直线时，通
5．例 6
常找出直线下两个坐标轴的交点.
把直线 l 的一般式方程 x –
例 6 解：将直线 l 的一般式
2y + 6 = 0 化成斜截式，求出直 方程化成斜截式 y = 1 x + 3.
线 l 的斜率以及它在 x 轴与 y 轴
2
上的截距，并画出图形.
因此，直线 l 的斜率 k = 1 ，它 2
引入课题
理解直线和
（2）每一个关于 x，y 的二 论，即当 B≠0 时和当 B = 0 时两种
形成概念
二元一次方
元一次方程 Ax + By + C = 0 (A, 情形进行变形. 然后由学生去变形
程的关系.
B 不同时为 0)都表示一条直线吗?判断，得出结论：
关于 x，y 的二元一次方程，它
都表示一条直线.
由③得：m≠–1 且 m≠ 1 ， 2
由④得：m = –1 或 4 ，所以 m 4
3
3
--------------------------------------------------------
定实数 m 的值.
（1）l 在 x 轴上的截距为–3； （2）斜率为 1.
高中数学人教A版必修二 3.2.3 直线的一般式方程 课件(51张)
课后巩固
1．若直线 l 的一般式方程为 2x－y＋1＝0，则直线 l 不经过
() A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案 D
解析 ∵y＝2x＋1，k>0，b>0，∴选 D.
2．过点(1，0)且与直线 x－2y－2＝0 平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0
∴2x0＋3y0－6＝0. ∵线段 PP′的中点为 A(1，－1)， ∴1＝x＋2x0，－1＝y＋2 y0，即 x0＝2－x，y0＝－2－y. ∴2(2－x)＋3(－2－y)－6＝0，即 2x＋3y＋8＝0. 故所求直线方程为 2x＋3y＋8＝0.
(2)直线 l 被两条直线：4x＋y＋6＝0，3x－5y－6＝0 截得的 线段的中点恰好是坐标原点，求直线 l 的方程．
课时学案
题型一 求直线的一般式方程
例 1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方 程：
(1)斜率为 3，且经过点 A(5，3)； (2)过点 B(－3，0)，且垂直于 x 轴； (3)斜率为 4，在 y 轴上的截距为－2； (4)在 y 轴上的截距为 3，且平行于 x 轴； (5)经过 C(－1，5)，D(2，－1)两点； (6)在 x，y 轴上的截距分别是－3，－1.
(2)直线 3x＋2y＋6＝0 的斜率为 k，在 y 轴上的截距为 b，则
有( )
A．k＝－32，b＝3
B．k＝－23，b＝2
C．k＝－32，b＝－3
D．k＝－23，b＝－3
【解析】 直线方程可化为 y＝－32x－3， 故 k＝－32，b＝－3. 【答案】 C
(3)直线 5x－2y－10＝0 在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截
人教新课标A版高一数学《必修2》3.2.3 直线的一般式方程
斜截式
两点式 截距式
不垂直两个坐标轴
不垂直两个坐标 轴且不经过原点
新课引入
直线方程的求法
引入新课
以上各种直线方程，都有其使用的局限性，是否能找到
一种直线方程，它没有局限性，可以表示任何直线呢？
这就是今天我们要学习的内容 ————直线的一般式方程
新课引入 引入新课 (1)垂直于x轴； 直线方程为x=1. (2)垂直于y轴； 直线方程为y=3.
新一般式方程的再研究
在方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）中，A、B、C为何值时，
①平行于x轴；②与x轴垂直；③与x轴重合； ④平行于y轴；⑤与y轴垂直；⑥与y轴重合；⑦过原点. 答：①当A=0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线与x轴平行； ②当 A≠0，B=0，C为任意实数时，方程表示的直线与x轴垂直； ③当 A=0，B≠0，C=0时，方程表示的直线与x轴重合 ；
直线方程的求法 已知直线 l 经过P(1,3),在下列条件下求直线 l 的方程． 可以变形为x-0· y-1=0 可以变形为0· x+y-3=0
(3)斜率为2.
直线方程为: y-3=2(x-1)，即2x-y+1=0.
三个方程的共同点为：
关于x与y的二元一次方程
你能归纳出上述方程的共同特征吗？
Ax+By+C=0的形式.
答：(2)直线方程的其他形式都可化为一般式，解题时如果没有其他说明
一般把最后结果化为一般式，且x的系数为正，x,y的系数及常数项一般不
出现分数，一般按含x项、y项、常数项的顺序排列. 但并不是所有的一般式都可化为其他形式，例如当C＝0时，一般式就不 能化为截距式，在解题时，有时把一般式化为其他形式可以直观地得到 一些量，如将一般式化为斜截式就可直接从方程中得到斜率和纵截距．
人教版高中数学必修2第三章直线与方程3.2.3 直线的一般式方程
6、二元一次方程的每一个解与坐标平面中点的有什么关系？直线与二元一次方程的解之间有什么关系？
使学生进一步理解二元一次方程与直线的关系，体会直解坐标系把直线与方程联系起来。
学生阅读教材第105页，从中获得对问题的理解。
7、课堂练习
第105练习第2题和第3（2）
使学生体会直线方程的一般式化为斜截式，和已知直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法。
先由学生思考解答，并让一个学生上黑板板书。然后教师引导学生归纳出由直线方程的一般式，求直线的斜率和截距的方法：把一般式转化为斜截式可求出直线的斜率的和直线在 轴上的截距。求直线与 轴的截距，即求直线与 轴交点的横坐标，为此可在方程中令 =0，解出 值，即为与直线与 轴的截距。
关于 的二元一次方程，它都表示一条直线。
教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个关于 的二元一次方程表示；同时，任何一个关于 的二元一次方程都表示一条直线。
我们把关于关于 的二元一次方程 （A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）.
2、直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？
使学生理解直线方程的一般式的与其他形
学生通过对比、讨论，发现直线方程的一般式与其计意图
师生活动
式的不同点。
直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与 轴垂直的直线。
3、在方程 中，A，B，C为何值时，方程表示的直线
（1）平行于 轴；（2）平行于 轴；（3）与 轴重合；（4）与 重合。
二、教学重点、难点：
1、重点：直线方程的一般式。
2、难点：对直线方程一般式的理解与应用。
新课标高中数学人教A版必修二：3.2.3直线的一般式方程
复习引入
1.点斜式方程： 2. 斜截式方程：
3. 两点式方程：
复习引入
1.点斜式方程： y－y0＝k(x－x0) (已知定点 (x0, y0)及斜率k存在)
2. 斜截式方程：y＝kx＋b [已知斜率k存在 及截距 b(与y轴交点(0, b)]
3. 两点式方程： y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
[已知两定点(不适合与x轴 或y轴垂直的直线)]
复பைடு நூலகம்引入
4. 截距式方程：
5. 一般式方程：
复习引入
4. 截距式方程：
x y 1 ab
[已知截距a(与x轴交点(a,0))及截距b(与y轴
交点(0, b))不适合过原点的直线]
5. 一般式方程： Ax＋By＋C＝0 (A、B不同时为0)
特别的，l1:y＝k1x＋b1，l2:y＝k2x＋b2， 则 l1 //l2 k1＝k2，且b1≠b2；
l1⊥ l2k1·k2 ＝－1.
讲授新课
研读教材P.97－P.98: 1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可
以用一个关于x, y的二元一次方程表 示吗？
讲授新课
研读教材P.97－P.98: 1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可
以用一个关于x, y的二元一次方程表 示吗？ 2. 每一个关于x、y的二元一次方程都表 示一条直线吗？
例2.把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0 化成斜截式，求出直线l的斜率以及它 在x轴与y轴上的截距，并画出图形.
例2.把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0 化成斜截式，求出直线l的斜率以及它 在x轴与y轴上的截距，并画出图形.
练习.教材P.99-P.100练习第1、2题.
高中数学第三章直线与方程3.2.3直线的一般式方程课件新人教A版必修2
题型三 直线的一般式方程(fāngchéng)的应用
【例3】 设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距互为相反数,求l的方程; (2)若l不经过第二(dì èr)象限,求实数a的取值范围.
第十七页，共20页。
题后反思(1()f已ǎn知直线的方程可确定其斜率、截距,从而可解决与斜率、截距有 sī) 关的问题. (2)已知直线的大致位置,可确定斜率、截距的范围(或符号),从而可建立不等 式求解(qiú jiě)参数的范围,反之若已知斜率、截距的范围(或符号)也可确定 直线的大致位置.
3.2.3 直线(zhíxiàn)的一般式方程
第一页，共20页。
自主(zìzhǔ)预习
课堂(kètáng)探究
第二页，共20页。
课标要求 (yāoqiú)
自主(zìzhǔ) 预习
1.了解二元一次方程与直线的对应关系(guān xì). 2.掌握直线方程的一般式. 3.能根据所给条件求直线方程,并能在几种形式间相互转化.
第十一页，共20页。
第十二页，共20页。
第十三页，共20页。
题后反思 所给直线方程是一般式,且直线斜率可能不存在(cúnzài)时,利用 l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0和l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0) 来判定两条直线是否垂直或平行,避免了讨论斜率是否存在(cúnzài)的情况,比用 斜率来判定更简便.
第三页，共20页。
知识(zhī shi)梳 理直线的一般式方程
(1)定义:关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0 (其中A,B不同时为0)叫做直线的 一般式方程,简称一般式. (2)适用范围:平面(píngmiàn)直角坐标系中,任何一条直线都可用一般式表示.
高中数学3.2.3《直线的一般式方程》课件(新人教A版必修2)
C.x+y-5=0 D.2x+y-7=0
§3.2.3直线的一般式方程
温复故知习新 回顾
①直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围.
点斜式 y－y1 = k（x－x1）
斜截式 y = kx + b
两点式
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
( x1
x2 ,
y1
y2 )
截距式 x y 1a,b 0
ab
②什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系?
直线的一般式方程:
Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
例题分析
例1、已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 求直线的点斜式和一般式方程.
4 3
，
注意 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的
系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按 含x项，含y项、常数项顺序排列.
例题分析
例2、把直线l 的方程x –2y+6= 0化成斜截式，求出
直线l 的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.y. B.来自AOx
例3、设直线l 的方程为 （m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6，根据下列
条件确定m的值： （1） l 在X轴上的截距是-3； （2）斜率是-1.
例题分析
例4、利用直线方程的一般式，求过点(0,3)并且 与坐标轴围成三角形面积是6的直线方程.
练习：
1、直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，则（ ）
(A) A·B>0,A·C>0
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高中数学人教新课标A版必修2 第三章直线与方程 3.2.3直线的一般式方程A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共8题；共16分)
1. （2分）直线过点且与圆相切，则的斜率是（）
A . ；
B . ；
C . ；
D . .
2. （2分）曲线在点处的切线方程为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）在y轴上的截距为2，且与直线y=﹣3x﹣4垂直的直线的斜截式方程为（）
A . y=x+2
B . y=-x-2
C . y=﹣3x+2
D . y=3x﹣2
4. （2分）三直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10,2x－y＝10相交于一点，则a的值是（）
A . －2
B . －1
C . 0
D . 1
5. （2分）点P（1，2）关于x轴和y轴的对称点依次是（）
A . （2，1），（﹣1，﹣2）
B . （﹣1，2），（1，﹣2）
C . （1，﹣2），（﹣1，2）
D . （﹣1，﹣2），（2，1）
6. （2分）“”是“直线与直线互相垂直”的（）
A . 充要条件；
B . 充分不必要条件；
C . 必要不充分条件；
D . 既不充分也不必要条件.
7. （2分） (2016高二上·武城期中) 若两直线ax+2y﹣1=0与x+（a﹣1）y+a2=0平行，则两直线间的距离为（）
A .
B .
C .
D . 或
8. （2分）直线x+y+1=0关于点（1，2）对称的直线方程为（）
A . x+y﹣7=0
B . x﹣y+7=0
C . x+y+6=0
D . x﹣y﹣6=0
二、填空题 (共3题；共3分)
9. （1分） (2019高二上·雨城期中) 直线与轴交点的横坐标是________．
10. （1分） (2018高三上·湖南月考) 已知点，，若圆C：
上存在一点P，使得PA⊥PB，则正实数m的取值范围是________．
11. （1分）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且2lg（sinB）=lg（sinA）+lg（sinC），则两条直线l1：xsinA+ysinB=a与l2：xsinB+ysinC=c的位置关系是________ ．
三、解答题 (共3题；共25分)
12. （5分）(2018·天津模拟) 已知椭圆左顶点为M ，上顶点为N ，直线MN的斜率为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）直线l：与椭圆交于A ， C两点，与y轴交于点P ，以线段AC为对角线作正方形ABCD ，若．
（）求椭圆方程；
（）若点E在直线MN上，且满足，求使得最长时，直线AC的方程．
13. （5分）已知直线l：ay=（3a﹣1）x﹣1．
（1）求证：无论a为何值，直线l总过第三象限；
（2）a取何值时，直线l不过第二象限？
14. （15分） (2018高三上·连云港期中) 规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，我们说球 A 是指该球的球心点 A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为 1 的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：
（1）如图，设母球 A 的位置为 (0， 0)，目标球 B 的位置为 (4， 0)，要使目标球 B 向 C(8， -4) 处运动，求母球 A 球心运动的直线方程；
（2）如图，若母球 A 的位置为 (0， -2)，目标球 B 的位置为 (4， 0)，能否让母球 A 击打目标 B 球后，使目标 B 球向 (8，－4) 处运动?
（3）若 A 的位置为 (0，a) 时，使得母球 A 击打目标球 B 时，目标球 B(4 ， 0) 运动方向可以碰到目标球 C(7 ，-5 )，求 a 的最小值（只需要写出结果即可）
参考答案一、单选题 (共8题；共16分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
二、填空题 (共3题；共3分)
9-1、
10-1、
11-1、
三、解答题 (共3题；共25分)
12-1、
13-1、
14-1、
14-2、
14-3、。