建立空间直角坐标系(另一种方法)
2023年高中数学基础知识梳理及基础题型归纳-立体几何模块-第七节 立体几何中的向量方法
第七节 立体几何中的向量方法一、空间向量与平行关系【知识点11】直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个． (2)平面的法向量的定义直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的法向量． 注：直线的方向向量(平面的法向量)不唯一？【例1】如图3，已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，试建立适当的坐标系．(1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面SAB 的一个法向量； (3)求平面SCD 的一个法向量．【反思】1.利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组． (4)解方程组：(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 2．求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.[练习1]正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图322所示的空间直角坐标系中，求：图322(1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量．【知识点12】空间中平行关系的向量表示【类型一】用向量证明线线平行【例1】如图323所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．图323111111112EB1，BF＝2F A1.求证：EF∥AC1.【类型二】用向量证明线面平行【例2】在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．【练习2】在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD ＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.【类型三】利用向量证明面面平行【例3】在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点，试证明平面A1BD∥平面CB1D1.【练习3】如图329，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，则当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?图329二、空间向量与垂直关系【知识点13】空间中垂直关系的向量表示【类型一】用向量证明线面垂直【例1】如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD．【练习1】如图3215，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.图3215【类型二】用向量法证明面面垂直【例2】如图3212所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E 为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．＝2BD．求证：平面DEA⊥平面ECA．三、空间向量与空间角【知识点14】空间角的向量求解方法【类型一】求两条异面直线所成的角【例1】如图，在三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB ＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．θ＝φθ＝π－φ点，则AE，SD所成的角的余弦值为多少？【类型二】求直线与平面所成的角【例2】如图，四棱锥PABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC ＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面P AB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【练习2】如图，在四棱锥P ABCD 中，平面P AD⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.(1)求证：PD ⊥平面P AB ．(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．(3)在棱P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AMAP 的值；若不存在，说明理由．【类型三】求二面角【例3】如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，求二面角A PB C 的余弦值.旋转轴旋转120°得到的，G 是DF ︵的中点．图3224(1)设P 是CE ︵上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小；(2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E AG C 的大小．【练习4】如图，在三棱锥PABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.(1)求证：AB∥GH；(2)求二面角DGHE的余弦值．四、空间向量与距离【知识点15】利用空间向量求距离(※)【例1】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离．【练习1】如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，DG＝13DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，求D1A1到平面EFGH的距离．点到平面的距离：先确定平面的法向量，再求点与平面内一点的连线形成的斜线段在平面的法向量上的射影长．如图，设n＝(a，b，c)是平面α的一个法向量，P0(x0，y0，z0)为α外一点，P(x，y，z)是平面α内的任意一点，则点P0到平面α的距离：d＝|PP0→·n||n|＝|a(x0－x)＋b(y0－y)＋c(z0－z)|a2＋b2＋c2.注：线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.。
高中数学北师大版必修二2.3.1【教学课件】《空间直角坐标系的建立》
通过原点0，再增加一条与x0y平面垂直的z轴
空间直角坐标系
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（2）空间直角坐标系的建系原则—右手螺旋法则
①伸出右手，让四指与大拇指垂直；
②四指先指向x轴正方向；
③让四指沿握拳方向旋转900指向y轴正方向； ④大拇指的指向即为z轴正向。
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如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x 轴
y 轴和z 轴建立 必修二
思考：空间直角坐标系中的坐标轴有什么特点？ 解：（1）从建系流程图中可以得出x、y、z 轴，三条坐标轴两两垂直。 (2)从建系原则上分析，轴的方向通常这样选择：从z 轴的正方向上看，
② x，y，z轴统称为坐标轴。
③由坐标轴确定的平面叫作坐标平面。
x，y轴确定的平面记作xOy平面，
y，z轴确定的平面记作yOz平面， x，z轴确定的平面记作xOz平面。
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质疑答辩，发展思维
如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，
F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系。
x 轴的正半轴沿逆时针方向转90°能与y 轴的正半轴重合。
(3)从坐标轴的名称上分析，每两条坐标轴确定的平面为一个坐标平面， 且第三条坐标轴必垂直于该坐标平面。
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例题讲解
例1 在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有 的棱长都是1，建立适当的坐标系。 解：取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得
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新课导入
下图是一个房间的示意图，空间中我们如何表示 板凳和气球的位置？
建立空间直角坐标系建系的方法及技巧
建立空间直角坐标系建系的方法及技巧建立空间直角坐标系在解决立体几何问题中起着重要作用。
向量法是建系的一种常用方法，它引入了空间向量坐标运算，使解题过程更加简便。
建立适当的坐标系是向量解题的关键步骤之一，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。
一种建系的方法是利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系。
例如，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别在棱DD1、BB1上，且2DE=ED1，BF=2FB1.要证明点C1在平面AEF内，并求二面角A-EF-A1的正弦值。
另一种建系的方法是利用线面垂直关系构建直角坐标系。
例如，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E、F分别在AD、CD上，AE=CF=，EF交BD于点H。
将△XXX沿EF折到△D'EF的位置，OD'=.要证明D'H⊥平面ABCD，并求二面角B-D'A-C的正弦值。
还有一种建系的方法是利用面面垂直关系构建直角坐标系。
例如，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD，AB=BC=1AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点。
要证明直线CE//平面PAB，求二面角M-AB-D的余弦值。
有些图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系，例如正三棱柱、正四棱柱等，利用自身对称性可建立空间直角坐标系。
例如，在圆锥D-O-ABC中，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=6DO。
要证明PA⊥平面PBC，并求二面角B-PC-E的余弦值。
另外，利用正棱锥的中心与高所在直线也可构建直角坐标系。
建立空间直角坐标系的方法及技巧有多种，根据不同的图形特点选择合适的方法，能够更加高效地解决立体几何问题。
1.中，给定正四棱锥P-ABCD，其所有棱长均为6.底面正方形ABCD的中心在坐标原点，棱AD、BC平行于x轴，棱AB、CD平行于y轴，顶点P在z轴的正半轴上。
建立空间直角坐标系的方法及技巧
建立空间直角坐标系的方法及技巧1.确定坐标轴方向：首先需要确定空间直角坐标系的坐标轴方向，通常选择三个相互垂直的轴，分别称为x轴、y轴和z轴。
可以选择其中一个轴为参考轴，然后使用右手定则来确定其他两个轴的方向。
在右手定则中，将右手的拇指、食指和中指分别与x、y和z轴对齐，那么食指和中指所形成的平面就是坐标系的平面，拇指的方向就是z轴的方向。
2.确定原点位置：确定好坐标轴方向后，需要确定坐标系的原点位置。
原点通常可以选择在三维空间中的一些特殊点上，例如物体的质心、交点或者其他方便计算的点。
原点的选择应根据具体问题和需求进行确定。
3.确定单位长度：建立坐标系后，需要确定单位长度，也就是每个坐标轴上的单位距离。
单位长度的选择应根据具体问题和需求进行确定，可以根据物体的大小和所需精度进行估计。
常用的单位长度包括米、厘米、毫米等。
4.标示坐标轴刻度：在建立坐标系后，需要在每个坐标轴上标示刻度，以便表示点的位置。
可以根据需求和所测量的物体大小来确定每个刻度的长度和数量。
通常可以使用尺子、直尺等工具来测量和标示刻度。
在标示刻度时，可以选择以原点为起点，沿着每个坐标轴正方向逐个标示刻度，或者以坐标轴的负方向为起点标示刻度。
5.标示点的坐标：建立好坐标轴和刻度后，就可以根据需要来标示空间中的点的坐标。
对于一个三维空间中的点，可以通过它到坐标轴的距离来确定它的坐标值。
通常可以使用直角坐标系中的(x,y,z)来表示一个点的坐标，其中x、y和z分别是点在x轴、y轴和z轴上的坐标值。
1.灵活选择参考轴：参考轴的选择应根据具体问题和需求进行确定。
在确定参考轴时，可以考虑使问题的描述尽量简洁和直观，同时方便计算和分析。
2.注意坐标轴的方向：在确定坐标轴的方向时，使用右手定则可以帮助确定其他两个轴的方向。
要确保坐标轴的方向满足右手定则中拇指、食指和中指的排列次序。
3.注意单位长度的选择：单位长度的选择应根据具体问题和需求进行确定。
建立空间直角坐标系的几种方法
建立空间直角坐标系的几种方法1.给定坐标轴方向及原点位置：最直接的方法是给定三个坐标轴的方向及原点位置。
通常，我们选择三个相互垂直的轴，并确定它们的正方向。
例如，我们可以选择X轴向右，Y轴向上，Z轴垂直于XOY平面向外，然后选择原点为坐标轴的交点。
通过这种方法，我们就可以建立一个三维直角坐标系。
2.使用原点和两个已知点：在给定两个已知点和原点的情况下，我们可以建立一个空间直角坐标系。
首先，我们将其中一个已知点作为坐标轴上的一个点，然后确定一个与此轴垂直的第二个轴。
接下来，我们确定第三个轴的方向，使其与前两个轴正交，并选择原点位置。
通过这种方法，我们可以构建一个三维直角坐标系。
3.使用平面和轴的交点：另一种建立空间直角坐标系的方法是确定两个平面及其在坐标轴上的交点。
首先，我们选择平面XY作为参考平面，并将其与X轴和Y轴在原点处的交点作为坐标轴上的两个点。
然后，选择两个非共线的轴分别与平面XZ和平面YZ正交，并确定它们的正方向。
通过这种方法，我们可以建立一个三维直角坐标系。
4.使用向量运算：通过向量运算的方法可以建立空间直角坐标系。
首先，选择一个已知向量为其中一个坐标轴的向量。
然后，选择另一个与已知向量相互垂直的向量，并进行正规化。
接下来，使用向量叉积运算确定第三个轴的方向，并对其进行正规化。
最后，选择原点位置。
通过这种方法，我们可以建立一个三维直角坐标系。
这些方法都是建立空间直角坐标系的常见方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行建立。
建立空间直角坐标系的几种方法
建立空间直角坐标系的几种方法
建立空间直角坐标系是数学中非常重要的一个步骤,用于描述物体的位置和形状,可以帮助我们更精确地测量和绘图。
下面是几种建立空间直角坐标系的方法:
1. 笛卡尔坐标系:笛卡尔坐标系是最常用的空间直角坐标系,由直角坐标系和极坐标系相结合而成。
在笛卡尔坐标系中,x轴代表水平方向,y轴代表垂直方向,而z轴则代表物体的深度。
2. 极坐标系:极坐标系与笛卡尔坐标系相似,但使用z轴来表示物体的深度。
在极坐标系中,x轴代表物体的法向量,y轴代表物体的旋向量,而z轴则代表物体的深度。
3. 直角坐标系:直角坐标系是最简单的坐标系之一,由水平和垂直两条轴组成。
在直角坐标系中,x轴和y轴分别代表水平和垂直方向,而z轴则代表物体的深度。
4. 球坐标系:球坐标系是一种特殊的直角坐标系,适用于描述球形或多边形的物体。
在球坐标系中,x轴代表球的x轴方向,y轴代表球的y轴方向,而z轴则代表球的深度。
除了以上几种方法,还有其他很多种坐标系可以用于描述物体的位置和形状,例如四维坐标系、环形坐标系等。
这些方法的优缺点和适用范围都不同,需要根据具体的需求来选择。
拓展:空间直角坐标系在实际应用中的重要性。
例如,在医学领域中,空间直角坐标系可以用于测量人体器官的位置和大小,以便进行手术和影像学检查;在
工程领域中,空间直角坐标系可以用于测量建筑物的高度、形状和尺寸,以便进行
设计和施工。
此外,空间直角坐标系在科学研究中也有着广泛的应用,例如在物理学、天文学和地球科学等领域中,都可以利用空间直角坐标系来描述物体的位置和形状。
空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧
空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧、禾U用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例1已知直四棱柱ABC D A i B i CD中，AA= 2,底面ABCD是直角梯形，/ A为直角，AB//CD AB= 4, AD= 2,DC= 1,求异面直线BC与DC所成角的余弦值.解析：如图1, 以D为坐标原点，分别以DA DC DD所在直线为x、y、z轴建立空间直角1 , 2)、B(2, 4, 0), •- BC =(-2,3,2) , CD=(0, -1,0).坐标系，则C （0,设BC i与CD所成的角为vCD 3 '1717二、利用线面垂直关系构建直角坐标系例2 如图2，在三棱柱ABC- ABC中，AB丄侧面BBCQ, E为棱CC上异于C C的一点,EAL EB.已知AB = J2 , BB = 2, BC= 1, / BCC=上.求二面角A- EB—A的平面角的正切值.3解析：如图2，以B为原点，分别以BB、BA所在直线为y轴、z轴，过B点垂直于平面AB 的直线为x轴建立空间直角坐标系.由于BC= 1, BB= 2, AB= -/2，/ BCG=—,3•••在三棱柱ABC- ABC 中，有（0, 0, 0）、（0, 0,C1 第3 /—,—,0 .I2 2丿輛〕〔3设E — , a, 0 且一丄<a<3,I2丿22由EAL EB，得EAEB =0,CDBA 丄EB ，故二面角 A- EB —A i 的平面角日的大小为向量 BA 与 EA 的夹角.訳=BA = （0,0八 2） , EA 二三、利用面面垂直关系构建直角坐标系例3 如图3，在四棱锥 V — ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD 丄底面ABCDAB 丄 VA又ABL AD 从而AB 与平面VAD 内两条相交直线 VA AD 都垂直，二 (2)设E 为DV 的中点，则J-1显1 I 22丿 即「2，一皿］ X ,2—aJ< 2 丿+a （a —2）=a 2—2a+3=0,「. 'a —丄 |4 I 2丿3 4 即-2或a =| (舍去).故E 佇，,0 . ■ 3i3 去（3,0,_Q,时,2, -纠 辽 2丿 I 2 2丿，DV =（1,0, 3）. 由已知有EA _ EB i , 故 COS V =灵晁^，即ta —子EA'B 1A 1(1)证明 AE 丄平面VAD(2)求面 VAD 与面VDB^成的二面角的余弦值.解析：(1) 取AD 的中点O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系.设 AD= 2，则 A （1，0，0）、D （— 1，0，0）、B （ 1，2，0）、V （0，0，爲），二 AB =（0， 2， 0） ， VA =（ 1，0， — V 3 ）.由 ABVA = （0,2,0壯1,0, - . 3） = 0，得AB 丄平面VAD故所求二面角的余弦值为 —217四、禾U 用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系已知正四棱锥 V-ABCD 中, E 为VC 中点，正四棱锥底面边长为 2a ,高为h .即 cos Z DEB =「6a 2 h ：； 10a 1 2 +h 2(2)因为E 是VC 的中点，又BE! VCc 2 , 23 2 a h a 0 ,• h -、2a . 2 2 21 1，即 cos Z DEB 二-一• EB[DV 」i,o,J 3)=o ,••• E 吐 DV又 EAL DV 因此/ AEB 是所求二面角的平面角.(1) 求/ DEB 的余弦值;(2) 若BE! VC 求/ DEB 的余弦值.解析: (1)如图4,以V 在平面AC 的射影O 为坐标原点建立空间直角坐标系， 其中O x / BC O y // AB,则由 AB^ 2a , OV= h ,有 B (a ,a , 0)、C (- a , a ,0)、D( - a , -a,0)、V (0, 0, h)、*222'丿•晁…3a ,I 2a h 2 2) 丨h a,_ •- cos ：. BE ,DEBE DE 2 2 ? 10a h =o ,即 _3a,-a h I 22,2 心，a ，-h )“ , 这时 cos ；： BE ,DE -6a 2 h 2 10a 2 h 2E 八EB .'21 …cosEB _ 7图4所以五、利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系(如正三棱柱、正四棱柱等) 自身对称性可建立空间直角坐标系.例5已知两个正四棱锥 P — ABCDfQ-ABCD 勺高都为 2, AB= 4.(1) 证明：PQL 平面ABCD(2) 求异面直线 AQ 与 PB 所成的角;(3) 求点P 到平面QAD 勺距离.(2)由题设知，ABCDI 正方形，且ACL BD 由( 1),PQL 平面ABCD 故可分别以直线 CA, DB , QP 点评：禾U 用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得 出•第(3)问也可用“等体积法”求距离. 3 3 ，利用 为x , y , z 轴建立空间直角坐标系(如图 1),易得 A5 =(—2J2Q ，- 2),PB =(0,2、2- 2), cos ：： AQ ,PB =AQ PB1 arccos —. 3(3)由(2)知，点 D(0,— 2矩0) AD =(—2逅,—2J2,0)PQ所求异面直线所成的角是 = (0,0, 4).设n = (x , y , z )是平面QAD 的一个法向量，则 0[nLAD = 0,得、，2x • z = 0,取 1,得 x y =0, n = (1, -1, - .2) •点P 到平面QAD 勺距离d -PQL nn| =2】2 .。
建立空间直角坐标系的几种方法
建立空间直角坐标系的几种方法坐标法是利用空间向量的坐标运算解答立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系．依据空间几何图形的结构特征,充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系，是运用坐标法解题的关键．下面举例说明几种常见的空间直角坐标系的构建策略．一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角,AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值．解析：如图1,以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2,4，０），∴1(232)BC =--，，，(010)CD =-，，． 设1BC 与CD 所成的角为θ，则11317cos 17BC CD BC CD θ==． 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB =,BB 1＝2,BC ＝1,∠BCC 1＝3π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值．解析:如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系．由于BC ＝1,BB 1＝2，AB ＝2,∠BCC 1＝3π， ∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B (０，０，０）、A （０，０，2）、B 1（０，2，０)、31022c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，、133022C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，． 设302E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，且1322a -<<， 由EA ⊥EB 1,得10EA EB =，即3322022a a ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，233(2)2044a a a a =+-=-+=,∴13022a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即12a =或32a =（舍去）．故31022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，． 由已知有1EA EB ⊥，111B A EB ⊥，故二面角A －EB 1－A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角．因11(002)B A BA ==，，,31222EA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，， 故11112cos 3EA B A EA B A θ==，即2tan 2θ=三、利用面面垂直关系构建直角坐标系例3 如图3，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形,侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．（1）证明AB ⊥平面VAD ;(2)求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值．解析：(1）取AD 的中点O 为原点,建立如图3所示的空间直角坐标系．设AD ＝2,则A （1,０，０）、D (－1，０,０）、B (1，2，０）、V (０，０，3），∴AB ＝（０,2，０），VA ＝（1，０，－3）．由(020)(103)0AB VA =-=，，，，，得 AB ⊥VA ．又AB ⊥AD ，从而AB 与平面VAD 内两条相交直线VA 、AD 都垂直,∴ AB ⊥平面VAD ;（2）设E 为DV 的中点，则13022E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，， ∴33022EA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，33222EB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(103)DV =，，．∴332(103)022EB DV ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，， ∴EB ⊥DV ．又EA ⊥DV ,因此∠AEB 是所求二面角的平面角．∴21cos 7EA EBEA EB EA EB ==，． 故所求二面角的余弦值为217． 四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例4 已知正四棱锥V －ABCD 中，E 为VC 中点，正四棱锥底面边长为2a ，高为h ．（1）求∠DEB 的余弦值；（2）若BE ⊥VC ，求∠DEB 的余弦值．解析:（1)如图4，以V 在平面AC 的射影O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中O x ∥BC ，O y ∥AB ，则由AB ＝2a ，OV ＝h ,有B （a ，a ,０）、C (-a ，a ，０）、D （-a ，-a ，０）、V （0，0，h ）、222a a h E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ∴3222a h BE a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，3222a h DE a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，． ∴22226cos 10BE DEa h BE DE a h BE DE -+==+，, 即22226cos 10a h DEB a h -+=+∠； （2）因为E 是VC 的中点，又BE ⊥VC ，所以0BE VC =,即3()0222a h a a a h ⎛⎫----= ⎪⎝⎭，，，，， ∴22230222a h a --=,∴2h a =． 这时222261cos 103a h BE DE a h -+==-+，，即1cos 3DEB =-∠． 引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．下面以高考考题为例，剖析建立空间直角坐标系的三条途径．五、利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系．例5已知两个正四棱锥P －ABCD 与Q －ABCD 的高都为2,AB ＝4．(1)证明:PQ ⊥平面ABCD ；（2）求异面直线AQ 与PB 所成的角;（3）求点P 到平面QAD 的距离．简解：（1）略；（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由(1)，PQ ⊥平面ABCD ,故可分别以直线CA DB QP，，为x ，y ,z 轴建立空间直角坐标系(如图1），易得(2202)(0222)AQ PB =--=-，，，，，,1cos 3AQ PBAQ PB AQ PB <>==，． 所求异面直线所成的角是1arccos3． （3）由（2）知，点(0220)(22220)(004)D AD PQ -=--=-，，，，，，，，． 设n =(x ,y ，z )是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得200x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，取x ＝1,得(112)--，，n =．点P 到平面QAD 的距离22PQ d ==nn ．点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出．第（3）问也可用“等体积法”求距离．。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.2利用向量解决平行、垂直问题讲义
3.2.2 利用向量解决平行、垂直问题1．用向量方法证明空间中的平行关系(1)证明线线平行设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔□01a∥b⇔□02 a＝λb⇔□03a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)证明线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔□04a⊥u⇔□05a·u＝0⇔□06a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)证明面面平行①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔□07u∥v⇔u＝λv⇔□08a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．2．用向量方法证明空间中的垂直关系(1)证明线线垂直设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2⇔□09u1⊥u2⇔□10u1·u2＝0⇔□11a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)证明线面垂直设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔□12 u∥v⇔□13u＝λv(λ∈R)⇔□14a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)证明面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔□15u ⊥v⇔□16u·v＝0⇔□17a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( )(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．( )答案 (1)× (2)√ (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若直线l 1的方向向量为u 1＝(1,3,2)，直线l 2上有两点A (1,0,1)，B (2，－1,2)，则两直线的位置关系是________．(2)若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为________．(3)已知两平面α，β的法向量分别为u 1＝(1,0,1)，u 2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________．(4)若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．答案 (1)垂直 (2)垂直 (3)垂直 (4)－10探究1 利用空间向量解决平行问题例1 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .[证明] (1)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0，0,1)，B 1(2,2,2)， 所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →， 即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)因为C 1B 1→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F . 拓展提升利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．【跟踪训练1】 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .证明 证法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .则P (3,0,1)，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S (0,4,1)， PQ →＝(－3,2,1)，RS →＝(－3,2,1)，∴PQ →＝RS →，∴PQ →∥RS →，即PQ ∥RS . 证法二：RS →＝RC →＋CS →＝12DC →－DA →＋12DD 1→，PQ →＝PA 1→＋A 1Q →＝12DD 1→＋12DC →－DA →，∴RS →＝PQ →，∴RS →∥PQ →，即RS ∥PQ . 探究2 利用空间向量解决垂直问题例2 如图，在四棱锥E －ABCD 中，AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，AB ＝BC ＝CE ＝2CD ＝2，∠BCE ＝120°.求证：平面ADE ⊥平面ABE .[证明] 取BE 的中点O ，连接OC ，则OC ⊥EB ， 又AB ⊥平面BCE .∴以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz .如图所示．则由已知条件有C (1，0,0)，B (0，3，0)，E (0，－3，0)，D (1,0,1)，A (0，3，2)． 设平面ADE 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则n ·EA →＝(a ，b ，c )·(0,23，2)＝23b ＋2c ＝0，n ·DA →＝(a ，b ，c )·(－1，3，1)＝－a ＋3b ＋c ＝0.令b ＝1，则a ＝0，c ＝－3， ∴n ＝(0,1，－3)．∵AB ⊥平面BCE ，∴AB ⊥OC ，又OC ⊥EB ，且EB ∩AB ＝B ，∴OC ⊥平面ABE ， ∴平面ABE 的法向量可取为m ＝(1,0,0)． ∵n ·m ＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0， ∴n ⊥m ，∴平面ADE ⊥平面ABE . 拓展提升利用向量法证明几何中的垂直问题的两条途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的垂直关系． (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行证明．证明线面垂直时，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．在判定两个平面垂直时，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.【跟踪训练2】 如右图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明 证法一：设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1→＝b ，则EF →＝EB 1→＋B 1F →＝12(BB 1→＋B 1D 1→)＝12(AA 1→＋BD →)＝12(AA 1→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )，∵AB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b .∴EF →·AB 1→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b ) ＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0. ∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1，同理，EF ⊥B 1C . 又AB 1∩B 1C ＝B 1， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法二：设正方体的棱长为2，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2,2,1)，F (1,1,2)．∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1,1)．AB 1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)，∴EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF →⊥AB 1→，EF →⊥AC →， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC . 又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法三：同法二得AB 1→＝(0,2,2)，AC →＝(－2,2,0)， EF →＝(－1，－1,1)．设面B 1AC 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则AB →1·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝－1，∴n ＝(1,1，－1)，∴EF →＝－n ，∴EF →∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC . 探究3 与平行、垂直有关的探索性问题例3 如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得平面AMC ⊥平面BMC ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：如图，以O 为原点，以射线OD 为y 轴的正半轴，射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)， AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，由此可得AP →·BC →＝0，所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC .(2)假设存在满足题意的M ，设PM →＝λPA →，λ≠1，则PM →＝λ(0，－3，－4)．BM →＝BP →＋PM →＝BP →＋λPA →＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC →＝(－4,5,0)．设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧BM →·n 1＝0，BC →·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4x 1－(2＋3λ)y 1＋(4－4λ)z 1＝0，－8x 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝2＋3λ4－4λy 1，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，2＋3λ4－4λ.由⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0，AC →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＋4z 2＝0，－4x 2＋5y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝54y 2，z 2＝－34y 2，可取n 2＝(5,4，－3)，由n 1·n 2＝0，得4－3×2＋3λ4－4λ＝0，解得λ＝25，故PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－65，－85，AM →＝AP →＋PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125，所以AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3. 拓展提升利用向量解决探索性问题的方法对于探索性问题，一般先假设存在，利用空间坐标系，结合已知条件，转化为代数方程是否有解的问题，若有解满足题意则存在，若没有满足题意的解则不存在．【跟踪训练3】 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1)求证：BC 1⊥平面AB 1C ；(2)在AB 上是否存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1.解 (1)证明：由已知AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，因而△ABC 是∠ACB 为直角的直角三角形，由三棱柱是直三棱柱，则CC 1⊥平面ABC ，以CA ，CB ，CC 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，从而CA →＝(3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)，则BC 1→·CA →＝(0，－4,4)·(3,0,0)＝0，则BC 1→⊥AC →，所以BC 1⊥AC .又四边形BCC 1B 1为正方形，因而BC 1⊥B 1C .又∵B 1C ∩AC ＝C ，∴BC 1⊥平面AB 1C .(2)假设存在点D (x ，y,0)，使得AC 1∥平面CDB 1，CD →＝(x ，y,0)，CB 1→＝(0,4,4)， 设平面CDB 1的法向量m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝0，m ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧xa ＋yb ＝0，4b ＋4c ＝0.令b ＝－x ，则c ＝x ，a ＝y ，所以m ＝(y ，－x ，x )，而AC 1→＝(－3,0,4)，则AC 1→·m ＝0，得－3y ＋4x ＝0.① 由D 在AB 上，A (3,0,0)，B (0,4,0)得x －3－3＝y4，即得4x ＋3y ＝12，② 联立①②可得x ＝32，y ＝2，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0，即D 为AB 的中点． 综上，在AB 上存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1，点D 为AB 的中点．1.利用向量证明线线平行的两种思路一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基底思路，通过向量的线性运算，利用共线向量定理证明.2.向量法证明线线垂直的方法用向量法证明空间中两条直线相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量相互垂直．具体方法为：(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，证明其数量积为0.(2)基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来．利用数量积运算说明两向量的数量积为0.3.向量法证明线面垂直的方法(1)向量基底法，具体步骤如下：①设出基向量，用基向量表示直线的方向向量；②找出平面内两条相交直线的方向向量并分别用基向量表示；③分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.(2)坐标法，具体方法如下：方法一：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示；④分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.方法二：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③求平面的法向量；④说明平面的法向量与直线的方向向量平行.4.证明面面垂直的两种思路一是证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为线面垂直；二是证明两平面的法向量垂直.1．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面( ) A．xOy平行B．xOz平行C．yOz平行D．yOz相交答案 C解析 因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz .2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确 答案 A解析 ∵v ＝－3u ，∴α∥β.3．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z 等于( )A ．3B ．6C ．－9D ．9 答案 C解析 ∵l ⊥α，v 与平面α平行，∴u ⊥v ，即u ·v ＝0，∴1×3＋3×2＋z ×1＝0，∴z ＝－9.4．在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，在如图所示的空间直角坐标系中，下列向量中是平面PAB 的法向量的是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12 B ．(1，2，1) C ．(1,1,1) D ．(2，－2,1) 答案 A解析 PA →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)，设平面PAB 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则x －2＝0，即x ＝2；－x ＋y ＝0，即y ＝x ＝2.所以n ＝(2,2,1)．因为⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12＝12n ，所以A正确．5．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱BB 1的中点，在棱DD 1上是否存在点P ，使MD ⊥平面PAC?解 如图，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12.假设存在P (0,0，x )满足条件，则PA →＝(1,0，－x )，AC →＝(－1,1,0)．设平面PAC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ PA →·n ＝0，AC →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－xz 1＝0，－x 1＋y 1＝0.令x 1＝1得y 1＝1，z 1＝1x ，即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，1x ， 由题意MD →∥n ，由MD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1，－12，得x ＝2， ∵正方体棱长为1，且2>1，∴棱DD 1上不存在点P ，使MD ⊥平面PAC .。
空间直角坐标系建立方法
空间直角坐标系建立方法在几何学和物理学中，空间直角坐标系是一种常用的坐标系统。
它可以用来描述三维空间中的点和向量。
在本文中，我们将介绍如何建立空间直角坐标系及其相关概念和方法。
1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴组成的，通常用x、y和z表示。
这些坐标轴可以分别与长、宽和高相关联。
坐标轴的原点称为原点，确定了整个坐标系的基准点。
通过在每个坐标轴上选择一个单位长度，我们可以测量任意点的位置。
2. 建立空间直角坐标系的步骤建立空间直角坐标系的方法可以分为以下步骤：步骤1：选择基准面基准面是用于确定坐标轴位置的平面。
在建立空间直角坐标系时，我们需要选择一个基准面作为起点。
通常情况下，我们选择一个平面作为基准面，例如一个水平的地面或桌子。
步骤2：确定坐标轴方向在确定了基准面之后，我们需要确定三个坐标轴的方向。
通常情况下，我们选择一个垂直于基准面的方向作为z轴的正方向。
剩下的两个坐标轴的方向可以根据实际情况选择。
步骤3：确定坐标轴长度单位在建立空间直角坐标系时，我们需要选择一个长度单位来测量点的位置。
常用的长度单位包括米、英尺等，根据具体应用场景选择适合的单位。
步骤4：确定原点位置确定了基准面、坐标轴方向和长度单位后，我们需要确定原点的位置。
原点通常位于基准面上，它是坐标系的起点。
步骤5：确定坐标轴的位置和范围确定了原点位置后，我们需要确定坐标轴的位置和范围。
坐标轴的位置可以通过在基准面上选择足够多的点来确定，这些点可以作为参考点。
坐标轴的范围通常由应用场景决定，可以根据实际需要进行调整。
3. 空间直角坐标系的应用空间直角坐标系在几何学和物理学中具有广泛的应用。
它可以用来描述三维空间中的点和向量，计算点之间的距离和方向，以及解决各种几何和物理问题。
在几何学中，空间直角坐标系可以用来描述多面体的形状和位置关系，计算多面体的体积和表面积，以及解决与多面体相关的几何问题。
在物理学中，空间直角坐标系可以用来描述物体的运动和力的作用，计算物体的速度和加速度，以及解决与物体运动和力相关的物理问题。