人教A版高中数学必修2全册同步练习及单元检测含答案
人教版高中数学必修2 全册同步练习及检测目录1.1.1 课时作业1.1.2 课时作业1.2.1-1.2.2 课时作业1.2.3 课时作业1.3.1 课时作业1.3.2 课时作业习题课课时作业2.1.1 课时作业2.1.2 课时作业2.1.3-2.1.4 课时作业2.2.1 课时作业2.2.2 课时作业2.2.3 课时作业2.2.4 课时作业2.3.1 课时作业2.3.2 课时作业2.3.3 课时作业2.3.4 课时作业习题课课时作业3.1.1 课时作业3.1.2 课时作业3.2.1 课时作业3.2.2 课时作业3.2.3 课时作业3.3.1 课时作业3.3.2 课时作业3.3.3-3.3.4 课时作业习题课课时作业4.1.1 课时作业4.1.2 课时作业4.2.1 课时作业4.2.2 课时作业4.2.3 课时作业4.3.1 课时作业4.3.2 课时作业第4章习题课课时作业§1.1空间几何体的结构1.1.1柱、锥、台、球的结构特征【课时目标】认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．1．一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都________________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．2．一般地，有一个面是多边形，其余各面都是________________________________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．3．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫________．4．以直角三角形的一条________所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面围成的旋转体叫做圆锥．5．(1)用一个________________________的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台．(2)用一个________于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．6．以半圆的________所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．一、选择题1．棱台不具备的性质是()A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点2．下列命题中正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台3．下列说法正确的是()A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线4．下列说法正确的是()A．直线绕定直线旋转形成柱面B．半圆绕定直线旋转形成球体C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的5．观察下图所示几何体，其中判断正确的是()A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱6．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是()A．南B．北C．西D．下二、填空题7．由若干个平面图形围成的几何体称为多面体，多面体最少有________个面．8．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体是________．9．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是________．三、解答题10．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．11．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．能力提升12．下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个正方体的图形的是()13．如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？1．学习本节知识，要注意结合集合的观点来认识各种几何体的性质，还要注意结合动态直观图从运动变化的观点认识棱柱、棱锥和棱台的关系．2．棱柱、棱锥、棱台中的基本量的计算，是高考考查的热点，要注意转化，即把三维图形化归为二维图形求解．在讨论旋转体的性质时轴截面具有极其重要的作用，它决定着旋转体的大小、形状，旋转体的有关元素之间的关系可以在轴截面上体现出来．轴截面是将旋转体问题转化为平面问题的关键．3．几何体表面距离最短问题需要把表面展开在同一平面上，然后利用两点间距离的最小值是连接两点的线段长求解．第一章空间几何体§1．1 空间几何体的结构1．1．1 柱、锥、台、球的结构特征答案知识梳理 1．互相平行2．有一个公共顶点的三角形 3．圆柱 4．直角边5．(1)平行于棱锥底面 (2)平行 6．直径 作业设计1．C [用棱台的定义去判断．]2．C [A 、B 的反例图形如图所示，D 显然不正确．]3．C [圆锥是直角三角形绕直角边旋转得到的，如果绕斜边旋转就不是圆锥，A 不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故B 不正确，通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线，故D 不正确．]4．D [两直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A 错误．半圆以直径所在直线为轴旋转形成球体，故B 不正确，C 不符合棱台的定义，所以应选D ．]5．C 6．B 7．4 8．圆锥 9．①②10．解 截面BCFE 右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义． 它是三棱柱BEB ′—CFC ′，其中△BEB ′和△CFC ′是底面． EF ，B ′C ′，BC 是侧棱， 截面BCFE 左侧部分也是棱柱． 它是四棱柱ABEA ′—DCFD ′．其中四边形ABEA ′和四边形DCFD ′是底面． A ′D ′，EF ，BC ，AD 为侧棱． 11．解圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm 和3x cm ，延长AA 1交OO 1的延长线于点S ．在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SAO ＝45°．∴SO ＝AO ＝3x cm ，OO 1＝2x cm ．∴12(6x ＋2x)·2x ＝392，解得x ＝7，∴圆台的高OO 1＝14 cm ，母线长l ＝2OO 1＝14 2 cm ，底面半径分别为7 cm 和21 cm ．12．C13．解 把圆柱的侧面沿AB 剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB ′，则AB ′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，∴AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋(2π)2＝21＋π2，即蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2．1.1.2简单组合体的结构特征【课时目标】1．正确认识由柱、锥、台、球组成的简单几何体的结构特征．2．能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．1．定义：由____________________组合而成的几何体叫做简单组合体．2．组合形式一、选择题1．如图，由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是()A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体B．该组合体仍然关于轴l对称C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点D．该组合体中的球和半球只有一个公共点2．右图所示的几何体是由哪个平面图形通过旋转得到的()3．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是() A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥4．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由() A．一个圆台、两个圆锥构成B．两个圆台、一个圆锥构成C．两个圆柱、一个圆锥构成D．一个圆柱、两个圆锥构成5．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥组合体D．不能确定6．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是()A．(1)(2) B．(1)(3)C．(1)(4) D．(1)(5)二、填空题7．下列叙述中错误的是________．(填序号)①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．8．如图所示为一空间几何体的竖直截面图形，那么这个空间几何体自上而下可能是__________________．9．以任意方式截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是________．三、解答题10．如图是一个数学奥林匹克竞赛的奖杯，请指出它是由哪些简单几何体组合而成的．11．如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．能力提升12．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是()13．已知圆锥的底面半径为r，高为h，且正方体ABCD－A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长．组合体的结构特征有两种组成：(1)是由简单几何体拼接而成；(2)是由简单几何体截去一部分构成．要仔细观察组合体的组成，柱、锥、台、球是最基本的几何体．1．1．2简单组合体的结构特征答案知识梳理1．简单几何体2．截去或挖去一部分作业设计1．A2．A3．D4．D5．A6．D[一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．]7．①②③④8．圆台和圆柱(或棱台和棱柱)9．球体10．解将该几何体分解成简单几何体可知，它是由一个球、一个四棱柱和一个四棱台组合而成．11．解先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：12．B13．解如图所示，过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和2x．因为△V A1C1∽△VMN，解得2x2r＝h－xh，所以2hx＝2rh－2rx，解得x＝2rh2r＋2h．即圆锥内接正方体的棱长为2rh2r＋2h．§1.2空间几何体的三视图和直观图1.2.1中心投影与平行投影1.2.2空间几何体的三视图【课时目标】1．知道空间几何体的三视图的概念，初步认识简单几何体的三视图．2．会画出空间几何体的三视图并会由空间几何体的三视图画出空间几何体．1．平行投影与中心投影的不同之处在于：平行投影的投影线是____________，而中心投影的投影线________________．2．三视图包括____________、____________和____________，其中几何体的____________和____________高度一样，____________与____________长度一样，____________与____________宽度一样．一、选择题1．下列命题正确的是()A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行D．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点2．如图所示的一个几何体，哪一个是该几何体的俯视图()3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()5．如图所示的正方体中，M、N分别是AA1、CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是()6．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是()二、填空题7．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．(1)对应________；(2)对应________；(3)对应________；(4)对应________；(5)对应________．8．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．9．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的正视图和侧视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为________个．三、解答题10．在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的正视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出侧视图(尺寸不作严格要求)．11．如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．能力提升12．如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．13．用小立方体搭成一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？在绘制三视图时，要注意以下三点：1．若两相邻物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓都用实线画出，不可见轮廓用虚线画出．2．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的下面，长度和正视图一样．侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度和俯视图一样，简记为“长对正，高平齐，宽相等”．3．在画物体的三视图时应注意观察角度，角度不同，往往画出的三视图不同．§1．2空间几何体的三视图和直观图1．2．1中心投影与平行投影1．2．2空间几何体的三视图答案知识梳理1．平行的交于一点2．正视图侧视图俯视图侧视图正视图俯视图正视图侧视图俯视图作业设计1．D[因为当平面图形与投射线平行时，所得投影是线段，故A，B错．又因为点的平行投影仍是点，所以相交直线的投影不可能平行，故C错．由排除法可知，选项D正确．] 2．C3．D[在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．]4．C[由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C．]5．D6．A7．(1)D(2)A(3)E(4)C(5)B8．2 4解析三棱柱的高同侧视图的高，侧视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4．9．710．解图(a)是由两个长方体组合而成的，正视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，侧视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．11．解该图形的三视图如图所示．12．解该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图如图所示．13．解由于正视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块．而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块．1.2.3空间几何体的直观图【课时目标】1．了解斜二测画法的概念．2．会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图．3．通过观察三视图和直观图，了解空间图形的不同表示形式及不同形式间的联系．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤：(1)在已知图形中取互相________的x轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成________于x′轴或y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线段，长度为原来的________．一、选择题1．下列结论：①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍然相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．其中正确的有()A．①②B．①④C．③④D．①③④2．具有如图所示直观图的平面图形ABCD是()A．等腰梯形B．直角梯形C．任意四边形D．平行四边形3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是()A．8 cm B．6 cmC．2(1＋3) cm D．2(1＋2) cm4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是()5．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的( )6．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于( )A ．12＋22B ．1＋22C ．1＋ 2D ．2＋ 2 二、填空题7．利用斜二测画法得到： ①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形．以上结论中，正确的是______________．(填序号)8．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为____________．9．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为____．三、解答题10．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．11．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD ＝3 cm，试画出它的直观图．能力提升12．已知正三角形ABC的边长为a，求△ABC的直观图△A′B′C′的面积．13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．直观图与原图形的关系1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形；此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而出错，在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是．所以在求面积时应按照斜二测画法的规则把原图形与直观图都画出来，找出改变量与不变量．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的24倍．2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．1．2．3空间几何体的直观图答案知识梳理(1)垂直(2)平行(3)不变一半作业设计1．B[由斜二测画法的规则判断．]2．B3．A[根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC为平行四边形，OB＝22，OA＝1，AB＝3，从而原图周长为8 cm．]4．C[可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．]5．C6．D[如图1所示，等腰梯形A′B′C′D′为水平放置的原平面图形的直观图，作D′E′∥A′B′交B′C′于E′，由斜二测直观图画法规则，直观图是等腰梯形A′B′C′D′的原平面图形为如图2所示的直角梯形ABCD，且AB＝2，BC＝1＋2，AD＝1，所以S ABCD＝2＋2．图1图2]7．①②解析斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．8．2．5解析由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2．5．9．2 2解析画出直观图，则B′到x′轴的距离为22·12OA＝24OA＝22．10．解(1)作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图a所示；(2)再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立x′，y′，z′轴，如图b所示，在z′上取点V′，使得V′O′的长度为棱锥的高，连接V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱锥的直观图，如图b；(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c．11．解 (1)如图a 所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy ．如图b 所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°．(2)在图a 中，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E ．在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝323≈2．598 cm ；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝12ED ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm ．(3)连接A ′D ′、B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图c 所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．12．解 先画出正三角形ABC ， 然后再画出它的水平放置的直观图， 如图所示．由斜二测画法规则知B ′C ′＝a ，O ′A ′＝34a ．过A ′引A ′M ⊥x ′轴， 垂足为M ，则A ′M ＝O ′A ′·sin 45°＝34a ×22＝68a ．∴S △A ′B ′C ′＝12B ′C ′·A ′M ＝12a ×68a＝616a 2． 13．解四边形ABCD的真实图形如图所示，∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝22．§1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【课时目标】1．了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式．2．会利用柱体、锥体、台体的表面积与体积公式解决一些简单的实际问题．名称图形公式圆柱底面积：S底＝________侧面积：S侧＝________表面积：S＝2πr(r＋l)圆锥底面积：S底＝________侧面积：S侧＝________表面积：S＝________ 圆台上底面面积：S上底＝____________下底面面积：S下底＝____________侧面积：S侧＝__________表面积：S＝________________(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝______．(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝______．(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝13(S′＋S′S＋S)h．一、选择题1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为() A．8 B．8πC．4πD．2π2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为() A．1＋2π2πB．1＋4π4πC．1＋2ππD．1＋4π2π3．中心角为135°，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B等于()A．11∶8 B．3∶8 C．8∶3 D．13∶84．已知直角三角形的两直角边长为a、b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为()A．a∶b B．b∶a C．a2∶b2D．b2∶a25．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为()A ．24π cm 2,12π cm 3B ．15π cm 2,12π cm 3C ．24π cm 2,36π cm 3D ．以上都不正确 6．三视图如图所示的几何体的全面积是( )A ．7＋ 2B ．112＋ 2C ．7＋ 3D ．32二、填空题7．一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．8．圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为________________ cm 3．9．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．三、解答题 10．圆台的上、下底面半径分别为10 cm 和20 cm ．它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积和体积分别是多少？(结果中保留π)11．已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．能力提升12．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋23313．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．1．在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．2．有关旋转体的表面积和体积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．3．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为V 柱体＝Sh ――→S ′＝S V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)――→S ′＝0V 锥体＝13Sh ．4．“补形”是求体积的一种常用策略，运用时，要注意弄清补形前后几何体体积之间的数量关系．§1．3 空间几何体的表面积与体积1．3．1 柱体、锥体、台体的表面积与体积答案知识梳理1．πr 2 2πrl πr 2 πrl πr(r ＋l) πr ′2 πr 2 π(r ′＋r)l π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl)2．(1)Sh (2)13Sh作业设计1．B [易知2πr ＝4，则2r ＝4π，所以轴截面面积＝4π×2＝8π．]2．A [设底面半径为r ，侧面积＝4π2r 2，全面积为＝2πr 2＋4π2r 2，其比为：1＋2π2π．]3．A [设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则2πr ＝34πl ，则l ＝83r ，所以A ＝83πr 2＋πr 2＝113πr 2，B ＝83πr 2，得A ∶B ＝11∶8．]4．B [以长为a 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V ＝13πb 2a ，以长为b 的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V ＝13πa 2b ．]5．A [该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，易得高为4，表面积和体积分别为24π cm 2,12π cm 3．]6．A [图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1．可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，2，表面积S表面＝2S 底＋S 侧面＝12(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋2)×1＝7＋2．] 7．3解析 由题意知，圆柱侧面积等于圆柱上、下底面面积和， 即2πr ×3＝2πr 2，所以r ＝3． 8．288π或192π解析 (1)12为底面圆周长，则2πr ＝12，所以r ＝6π，所以V ＝π·⎝⎛⎭⎫6π2·8＝288π(cm 3)． (2)8为底面圆周长，则2πr ＝8，所以r ＝4π，所以V ＝π·⎝⎛⎭⎫4π2·12＝192π(cm 3)． 9．8 0003cm 3解析 由三视图知该几何体为四棱锥．由俯视图知，底面积S ＝400，高h ＝20，V ＝13Sh ＝8 0003 cm 3．10．解。
最新高中数学：必修2人教A同步练习试题及解析必修2全册同步检测：3-3-3、4
3-3-3、4同步检测一、选择题1．点(0,5)到直线y ＝2x 的距离是( ) A.52 B. 5 C.32D.522．直线x 4－y 6＝1与y ＝32x ＋1之间的距离为( ) A.41313 B.141313 C.132D ．243．已知点A (3,4)，B (6，m )到直线3x ＋4y －7＝0的距离相等，则实数m 等于( )A.74 B ．－294 C ．1D.74或－2944．点P 为x 轴上一点，点P 到直线3x －4y ＋6＝0的距离为6，则点P 的坐标为( )A ．(8,0)B ．(－12,0)C ．(8,0)或(－12,0)D ．(0,0)5．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝06．已知直线l 过点(3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋3y －18＝0B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝07．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A ．4 B.21313 C.51326D.713268．与一对平行线5x －2y －6＝0,10x －4y ＋3＝0等距离的点的轨迹方程是( )A ．20x －8y －9＝0B ．10x －4y －5＝0C ．5x －2y －3＝0D ．15x －6y －11＝09．P ，Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185 C ．3 D ．610．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．22 C.2 D ．16 二、填空题11．已知点A (0,4)，B (2,5)，C (－2,1)，则BC 边上的高等于________．12．两平行线3x ＋4y ＋5＝0与6x ＋ay ＋30＝0间的距离为d ，则a＋d＝________.13．直线l1：2x＋4y＋1＝0与直线l2：2x＋4y＋3＝0平行，点P 是平面直角坐标系内任一点，P到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，则d1＋d2的最小值是________．14．两条平行线分别经过点(1,0)和(0,5)，且两条直线的距离为5，它们的方程是____________．三、解答题15．已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点，其一边所在直线的方程为x＋3y－5＝0，求其它三边的方程．16．在△ABC中，A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标．17．求经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线方程．[分析]解答本题可先设出过点P的点斜式方程，注意斜率不存在的情况，要分情况讨论，然后再利用已知条件求出斜率，进而写出直线方程．另外，本题也可利用平面几何知识，先判断直线l与直线AB的位置关系，再求l方程．事实上，l∥AB或l过AB中点时，都满足题目的要求．详解答案1[答案] B[解析]由y＝2x得：2x－y＝0，∴由点到直线的距离公式得：d ＝5＝5，故选B.52[答案] B[解析] 两直线方程可化为：3x －2y －12＝0， 3x －2y ＋2＝0，则距离d ＝|－12－2|32＋(－2)2＝141313.3[答案] D[解析] 由题意得|9＋16－7|5＝|18＋4m －7|5， 解得m ＝74或m ＝－294. 4[答案] C[解析] 设P (a,0)，则|3a ＋6|32＋42＝6，解得a ＝8或a ＝－12， ∴点P 的坐标为(8,0)或(－12,0)． 5[答案] A[解析] 由已知得，所求直线过(1,2)且垂直于(0,0)与(1,2)两点的连线，∴所求直线的斜率k ＝－12， ∴y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 6[答案] D[解析] 设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0.由已知有|－2k －2＋4－3k |k 2＋1＝|4k ＋2＋4－3k |k 2＋1，所以k ＝2或k ＝－23，所以直线方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 7[答案] D[解析] ∵两直线平行，∴63＝m2，∴m ＝4，∴两平行直线6x ＋4y －6＝0和6x ＋4y ＋1＝0的距离 d ＝|1＋6|62＋42＝71326.8[答案] A[解析] 5x －2y －6＝0即10x －4y －12＝0 －12＋32＝－92∴所求直线方程为20x －8y －9＝0.故选A. 9[答案] C[解析] |PQ |的最小值是这两条平行线间的距离．在直线3x ＋4y －12＝0上取点(4,0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ |的最小值为3.10[答案] A[解析] x 2＋y 2表示直线上的点P (x ，y )到原点距离的平方，∵原点到直线x ＋y －4＝0的距离为|－4|2＝22，∴x 2＋y 2最小值为8.故选A. 11[答案] 22[解析] 直线BC ：x －y ＋3＝0，则点A 到直线BC 的距离d ＝|0－4＋3|2＝22，即BC 边上的高等于22. 12[答案] 10[解析] ∵两直线平行，∴a 4＝63，∴a ＝8，∴两直线3x ＋4y ＋5＝0与3x ＋4y ＋15＝0的距离为d ， ∴d ＝|5－15|32＋42＝2，∴a ＋d ＝10.13[答案] 55[解析] l 1与l 2的距离d ＝|3－1|4＋16＝55， 则d 1＋d 2≥d ＝55， 即d 1＋d 2的最小值是55.14[答案] y ＝5和y ＝0或者5x －12y ＋60＝0和5x －12y －5＝0. [解析] 设l 1：y ＝kx ＋5，l 2：x ＝my ＋1，在l 1上取点A (0,5)．由题意A 到l 2距离为5， ∴|0－5m －1|1＋m 2＝5，解得m ＝125，∴l 2：5x －12y －5＝0.在l 2上取点B (1,0)．则B 到l 1的距离为5， ∴|k －0＋5|1＋k 2＝5，∴k ＝0或k ＝512，∴l 1：y ＝5或5x －12y ＋60＝0，结合l 2斜率不存在的情况知两直线方程分别为： l 1：y ＝5，l 2：y ＝0；或l 1：5x －12y ＋60＝0，l 2：5x －12y －5＝0.15[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，即该正方形的中心为(－1,0)．所求正方形相邻两边方程3x －y ＋p ＝0和x ＋3y ＋q ＝0. ∵中心(－1,0)到四边距离相等， ∴|－3＋p |10＝610，|－1＋q |10＝610，解得p 1＝－3，p 2＝9和q 1＝－5，q 2＝7，∴所求方程为3x －y －3＝0,3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0. 16[解析] 由题知|AB |＝(3＋1)2＋(2－5)2＝5，∵S △ABC ＝12|AB |·h ＝10，∴h ＝4.设点C 的坐标为(x 0，y 0)，而AB 的方程为y －2＝－34(x －3)，即3x ＋4y －17＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 0－y 0＋3＝0，|3x 0＋4y 0－17|5＝4，解得⎩⎨⎧x 0＝－1，y 0＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝53，y 0＝8.∴点C 的坐标为(－1,0)或(53，8)．17[解析] 方法一：当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意，当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，即直线方程为y －2＝k (x －1)，由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0.方法二：由平面几何知识知l ∥AB 或l 过AB 中点． ∵k AB ＝4，若l ∥AB ，则l 的方程为4x －y －2＝0.若l 过AB 中点(1，－1)，则直线方程为x ＝1，∴所求直线方程为x＝1或4x－y－2＝0.[点评]针对这个类型的题目常用的方法是待定系数法，即先根据题意设出所求方程，然后求出方程中有关的参量．有时也可利用平面几何知识先判断直线l的特征，然后由已知直接求出直线l的方程．。
高中数学(新人教A版)必修第二册同步习题：简单随机抽样(同步习题)【含答案及解析】
第九章统计9.1随机抽样9.1.1简单随机抽样基础过关练题组一统计学的有关概念1.下列调查中,可以用普查的方式进行调查的是()A.检验一批钢材的抗拉强度B.检验海水中微生物的含量C.调查某小组10名成员的业余爱好D.检验一批汽车的使用寿命2.为了解某班学生的会考合格率,要从该班70人中选30人进行考察分析,则70人的会考成绩的全体是,样本是,样本量是.3.某学校根据高考考场要求,需要给本校45个高考考场配备监控设备,该校高考前购进45套监控设备,现需要检查这批监控设备的质量,是全部检查还是抽取部分检查?谈谈你的想法和理由.深度解析题组二 简单随机抽样4.下列几个抽样中,简单随机抽样的个数是( )①仓库中有1万支奥运火炬,从中一次性抽取100支火炬进行质量检查;②某班从50名同学中选出5名数学成绩最优秀的同学代表本班参加数学竞赛;③一彩民选号,从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出7个号签;④为了进一步严厉打击交通违法,交警队在某一路口随机抽查司机是否酒驾.A.0 B .1 C .2 D .35.(2020河南信阳高一下学期第一次月考)用简单随机抽样方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本,则某一特定个体“第一次被抽到”“第二次被抽到”的可能性分别是( )A.110,110B.310,15C.15,310D.310,310 6.在总体量为N 的一批零件中抽取一个容量为30的样本,若每个零件被抽取的概率为25%,则N 的值为 .题组三 抽签法和随机数法7.下列抽样试验中,适合用抽签法的是( )A.从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D.从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验8.为迎接2022年北京冬季奥运会,奥委会现从报名的某高校30名志愿者中选取6人组成奥运志愿小组,请用抽签法设计抽样方案.9.为检验某公司生产的袋装牛奶的质量是否达标,需从800袋袋装牛奶中抽取50袋进行检验.试利用随机数法抽取样本,并写出抽样过程.题组四总体平均数与样本平均数10.下列判断正确的是()A.样本平均数一定小于总体平均数B.样本平均数一定大于总体平均数C.样本平均数一定等于总体平均数D.样本量越大,样本平均数越接近总体平均数11.用抽签法抽取一个容量为5的样本,样本数据分别为2,4,5,7,9,则该样本的平均数为()A.4.5B.4.8C.5.4D.612.从有400人参加的某项运动的达标测试中,通过简单随机抽样抽取50人的成绩,统计数据如下表,则这400人成绩的平均数的估计值是.分数54321人数5152055答案全解全析基础过关练1.C A.不能用普查的方式进行调查,因为这种试验具有破坏性;B.用普查的方式进行调查无法完成;C.可以用普查的方式进行调查;D.试验具有破坏性,且需要耗费大量的时间,普查在实际生产中无法实现.2.答案总体;所选30人的会考成绩;30解析为了强调调查目的,由总体、样本、样本量的定义知,70人的会考成绩的全体是总体,样本是所选30人的会考成绩,样本量是30.3.解析必须全部检查,即普查.因为高考是一件非常严肃、责任重大的事情,对高考的要求非常严格,所配设备必须全部合格,且这批设备数量较少,全部检查的方案是可行的,所以应该进行全部检查,这样可确保万无一失.深度剖析全面调查与抽样调查:方法特点全面调查抽样调查优点所调查的结果比较全面、系统1.迅速、及时;2.节约人力、物力和财力缺点耗费大量的人力、物力和财力获取的信息不够全面、系统适用范围1.调查对象很少;2.要获取详实、系统和全面的信息1.大批量检验;2.破坏性试验;3.不需要全面调查等4.B①不是简单随机抽样,虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性,但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”;②不是简单随机抽样,因为每个个体被抽到的可能性不同,不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求;③是简单随机抽样,因为总体中的个体数是有限的,且是从总体中逐个进行抽取的,每个个体被抽到的可能性相同;④不是简单随机抽样,因为被抽取的总体中的个体数不确定.综上,只有③是简单随机抽样..5.A简单随机抽样中每个个体被抽取的机会均等,都为1106.答案120=25%=0.25,解得N=120.解析根据题意,得30N7.B A中总体容量较大,样本容量也较大,不适合用抽签法;B中总体容量较小,样本容量也较小,且同厂生产的两箱产品可视为搅拌均匀了,可用抽签法;C中甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大,不能满足搅拌均匀的条件,不能用抽签法;D中总体容量较大,不适合用抽签法.8.解析①将30名志愿者编号,号码分别是1,2, (30)②将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签;③将小纸片放入一个不透明的盒里,充分搅拌;④从盒中不放回地逐个抽取6个号签,使与号签上编号相同的志愿者进入样本.9.解析①将800袋袋装牛奶分别编号,为1,2,3, (800)②利用随机数工具产生1~800范围内的整数随机数;③把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的个体进入样本,重复上述过程,直到抽足样本所需的50袋.10.D由样本平均数的定义可知,样本量越大,其平均数越接近总体平均数.11.C样本的平均数为2+4+5+7+9=5.4.512.答案 3.2解析抽取的50人的成绩的平均数为1×(5×5+4×15+3×20+2×5+1×5)=3.2,所以这50400人成绩的平均数的估计值是3.2.。
最新高中数学：必修2人教A同步练习试题及解析必修2全册同步检测：2-3-1
2-3-1直线与平面垂直的判定一、选择题1．下列命题中，正确的有()①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面．⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．A．2个B．3个C．4个D．5个2．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直()A．①③B．①②C．②④D．①④3．下面条件中，能判定直线l⊥α的是()A．l与平面α内的两条直线垂直B．l与平面α内的无数条直线垂直C．l与平面α内的某一条直线垂直D．l与平面α内的任意一条直线垂直4．在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的面的个数是()A．1B．2C．3D．65．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于()A．40°B．50°C．90°D．150°6．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是()A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥αB．m⊥b，b∥αC．m∩b＝A，b⊥αD．m∥b，b⊥α7．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．n∥m，n⊥α⇒m⊥α8．(2011－2012·吉安高二检测)如图，已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是2，且SO⊥平面ABCD，O为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为()A．75°B．60°C．45°D．30°9．(2011－2012·武安中学高二检测)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.63 B.255C.155 D.10510．(09·四川文)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论正确的是()A．PB⊥ADB．平面P AB⊥平面PBCC．直线BC∥平面P AED．直线PD与平面ABC所成的角为45°[答案] D二、填空题11．已知l，m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，给出下列说法：①若m∥l，且l⊥α，则m⊥α；②若m∥l，且l∥α，则m∥α；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，n∥β，则m∥l.其中表述正确的有________．12．已知P A垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．13．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，P为空间一点，且AC ＝BC＝52，PC⊥AC，PC⊥BC，PC＝5，AB的中点为M，则PM与平面ABC所成的角为________．14．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误．．的是________．①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成的角为60°.三、解答题15．如图所示，已知P A垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC.[分析]只要证AE垂直于平面PBC内两相交直线即可，已知AE ⊥PC，再证AE⊥BC，则可证AE垂直于平面PBC.16．如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且P A⊥平面ABCD，P A＝5，AB＝4，AD＝3.求直线PC与平面ABCD 所成的角．[分析]找到PC在平面ABCD上的射影AC，则∠PCA为直线PC与平面ABCD所成的角．17．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，P A⊥平面ABCD，P A＝3，AD＝2，AB＝23，BC＝6.求证：BD⊥平面P AC.18．(09·广东文)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD －EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图．(1)求该安全标识墩的体积；(2)证明：直线BD⊥平面PEG.详解答案1[答案] C[解析]②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立．2[答案] A[解析]三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证直线与平面垂直的是①③.3[答案] D4[答案] B[解析]仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直．5[答案] B[解析]根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.6[答案] D[解析]见课本P65例1.7[答案] D[解析]B中，m，n可能异面，C中n可能在α内，A中，m，n 可能不相交．8[答案] C9[答案] D[解析]取B1D1中点O，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∵A1B1＝B1C1＝2，∴C1O⊥B1D1，又C1O⊥BB1，C1O⊥平面BB1D1D，∴∠C1BO为直线C1B与平面BB1D1D所成的角，在Rt△BOC1中，C1O＝2，BC1＝BC2＋CC21＝5，∴sin∠OBC1＝105.10[解析]设AB长为1，由P A＝2AB得P A＝2，又ABCDEF是正六边形，所以AD长也为2，又P A⊥平面ABC，所以P A⊥AD，所以△P AD为直角三角形．∵P A＝AD，∴∠PDA＝45°，∴PD与平面ABC所成的角为45°，故选D.11[答案]①④[解析]①中，两条平行直线m，l中一条直线l垂直于平面α，则另一条直线m也垂直于平面α，所以①正确；②中，还可能m⊂α，所以②错误；③中，还可能l，m，n相交于一点，所以③错误；④中，根据直线与平面平行的性质定理可以证明m∥l，所以④正确．12[答案]菱形[解析]由于P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以P A⊥BD.又PC⊥BD，且PC⊂平面P AC，P A⊂平面P AC，PC∩P A＝P，所以BD⊥平面P AC.又AC⊂平面P AC，所以BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形．13[答案]45°[解析]由PC⊥AC，PC⊥BC，AC∩BC＝C，知PC⊥平面ACB，所以∠PMC为PM与平面ABC所成的角．又∵M是AB的中点，∴CM＝12AB＝5.又PC＝5，∴∠PMC＝45°.14[答案]④[解析]由于BD∥B1D1，BD⊄平面CB1D1，B1D1⊂平面CB1D1，则BD∥平面CB1D1，所以①正确；由于BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD.所以②正确；可以证明AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，所以AC1⊥平面CB1D1，所以③正确；由于AD∥BC，则∠BCB1＝45°是异面直线AD与CB1所成的角，所以④错误．15[证明]∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，∴BC⊥AE.又∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.[点评]利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤是：①在这个平面内找两条直线，使它和已知直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交直线；③根据判定定理得出结论．16[解析]如图，连接AC，因为P A⊥平面ABCD，则AC是PC 在平面ABCD上的射影，所以∠PCA是PC与平面ABCD所成的角．在△P AC中，P A⊥AC，P A＝5，AC＝AB2＋AD2＝42＋32＝5.则∠PCA＝45°，即直线PC与平面ABCD所成的角为45°.[点评]求斜线与平面所成的角的步骤：(1)作图：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．17[证明]∵P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥P A.∵∠BAD和∠ABC都是Rt∠，∴tan∠ABD＝ADAB ＝33，tan∠BAC＝BCAB＝3，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°. ∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC，又P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC.18[解析](1)该安全标识墩的体积为：V＝V P－EFGH＋V ABCD－EFGH ＝12×60＋402×20＝32 000＋32 0003×40＝64 000(cm3)(2)如图，连接EG、HF及BD，EG与HF相交于O，连接PO.由正四棱锥的性质可知，PO⊥平面EFGH，∴PO⊥HF，又EG⊥HF，且BD∥HF∴BD⊥GE又PO∩EG＝0，∴BD⊥PO，∴BD⊥平面PEG.。
人教版高中数学必修2同步章节训练题及答案全册汇编
高中数学必修2全册同步练习题目录1-1-1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征1-1-2 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征、简单组合体的结构特征1-2-1、2 中心投影与平行投影空间几何体的三视图1-2-3 空间几何体的直观图1-3-1-1 柱体、锥体、台体的表面积1-3-1-2 柱体、锥体、台体的体积1-3-2 球的体积和表面积高中数学第一章综合素能检测2-1-1 平面2-1-2 空间中直线与直线之间的位置关系2-1-3、4 空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系2-2-1 直线与平面平行的判定2-2-2 平面与平面平行的判定2-2-3 直线与平面平行的性质2-2-4 平面与平面平行的性质2-3-1 直线与平面垂直的判定2-3-2 平面与平面垂直的判定2-3-3 直线与平面垂直的性质2-3-4 平面与平面垂直的性质高中数学第二章综合素能检测3-1-1 倾斜角与斜率3-1-2 两条直线平行与垂直的判定3-2-1 直线的点斜式方程3-2-2 直线的两点式方程3-2-3 直线方程的一般式3-3-1 两条直线的交点坐标3-3-2 两点间的距离公式3-3-3、4 点到直线的距离两条平行直线间的距离高中数学第三章综合检测4-1-1 圆的标准方程4-1-2 圆的一般方程4-2-1 直线与圆的位置关系4-2-2 圆与圆的位置关系4-2-3 直线与圆的方程的应用4-3-1、2 空间直角坐标系空间两点间的距离公式高中数学第四章综合检测一、选择题1．在棱柱中()A．只有两个面平行B．所有的棱都平行C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也互相平行[答案] D2．下列几何体中，不属于多面体的是()A．立方体B．三棱柱C．长方体D．球[答案] D3．如图所示的几何体是()A．五棱锥B．五棱台C．五棱柱D．五面体[答案] C4．下列命题中，正确的是()A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形[答案] D5．棱锥侧面是有公共顶点的三角形，若围成一个棱锥侧面的三角形都是正三角形，则这样侧面的个数最多有几个．() A．3B．4C．5D．6[答案] C[解析]由于顶角之和小于360°，故选C.6．下面描述中，不是棱锥的几何结构特征的为()A．三棱锥有四个面是三角形B．棱锥都是有两个面是互相平行的多边形C．棱锥的侧面都是三角形D．棱锥的侧棱交于一点[答案] B7．下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是()[答案] B8．(2012－2013·嘉兴高一检测)如下图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是()A．(1)(2) B．(2)(3)C．(3)(4) D．(1)(4)[答案] B[解析]在图(2)、(3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图(2)、(3)完全一样，而(1)、(4)则不同[解题提示]让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断．二、填空题9．图(1)中的几何体叫做________，AA1、BB1等叫它的________，A、B、C1等叫它的________．[答案]棱柱侧棱顶点10．图(2)中的几何体叫做________，P A、PB叫它的________，平面PBC、PCD叫做它的________，平面ABCD叫它的________．[答案]棱锥侧棱侧面底面11．图(3)中的几何体叫做________，它是由棱锥________被平行于底面ABCD的平面________截得的．AA′，BB′叫它的__________，平面BCC′B′、平面DAA′D′叫它的________．[答案]棱台O－ABCD A′B′C′D′侧棱侧面12．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，以下命题：①水的形状成棱柱形；②水面EFGH的面积不变；③水面EFGH始终为矩形．其中正确的命题序号是________．[答案]①③[解析]根据棱柱的定义及结构特征来判断．在棱柱中因为有水的部分和无水的部分始终有两个面平行，而其余各面易证是平行四边形，故①正确；而随着倾斜程度的不同，水面EFGH的面积是会改变的，但仍为矩形故②错误；③正确．三、解答题13．判断下列语句的对错．(1)一个棱锥至少有四个面；(2)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；(3)五棱锥只有五条棱；(4)用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．[解析](1)正确．(2)不正确．四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等．(3)不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共有10条棱．(4)正确．14．如右图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？[解析]这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的正八面体．有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．15．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，图(1)中截去的是什么几何体？图(2)中截去一部分，其中HG∥AD∥EF，剩下的几何体是什么？若再用一个完全相同的正方体放在第一个正方体的左边，它们变成了一个什么几何体？[解析]三棱锥五棱柱A1B1BEH－D1C1CFG长方体16．一个几何体的表面展开平面图如图．(1)该几何体是哪种几何体；(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？与“你”字面相对的是哪个面？[解析](1)该几何体是四棱台；(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”．一、选择题1．下列说法不正确的是()A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面[答案] C[解析]由圆锥的概念知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥．强调一定要绕着它的一条直角边，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错．2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是()A．圆柱B．圆锥C．圆台D．两个圆锥[答案] D3．下列说法正确的是()A．圆锥的母线长等于底面圆直径B．圆柱的母线与轴垂直C．圆台的母线与轴平行D．球的直径必过球心[答案] D[解析]圆锥的母线长与底面直径的大小不确定，则A项不正确；圆柱的母线与轴平行，则B项不正确；圆台的母线与轴相交，则C项不正确；很明显D项正确．4．如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体[答案] B[解析]圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.5．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为()A．10 B．20C．40 D．15[答案] B[解析]圆柱的轴截面是矩形，其一边为圆柱的母线，另一边为圆柱的底面圆的直径．因而，轴截面的面积为5×4＝20.6．在空间，到定点的距离等于定长的所有点的集合是()A．球B．正方体C．圆D．球面[答案] D7．(2012－2013·南京模拟)经过旋转可以得到图1中几何体的是图2中的()[答案] A[解析]观察图中几何体的形状，掌握其结构特征，其上部为一个圆锥，下部是一个与圆锥同底的圆台，圆锥可由一直角三角形以过一直角边的直线为轴旋转一周得到，圆台可由一直角梯形绕过垂直于两底的腰的直线为轴旋转而成，通过上述判断再对选项中的平面图形适当分割，只有A适合．故正确答案为A.8．图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是()A．(1)(2)B．(1)(3)C．(1)(4)D．(1)(5)[答案] D[解析]圆锥除过轴的截面外，其它截面截圆锥得到的都不是三角形．二、填空题9．图①中的几何体叫做________，O叫它的________，OA叫它的________，AB叫它的________．[答案]球球心半径直径10．图②中的几何体叫________，AB、CD都是它的________，⊙O和⊙O′及其内部是它的________．[答案] 圆柱 母线 底面11．图③中的几何体叫做________，SB 为叫它的________． [答案] 圆锥 母线12．图④中的几何体叫做________，AA ′叫它的________，⊙O ′及其内部叫它的________，⊙O 及其内部叫它的________，它还可以看作直角梯形OAA ′O ′绕它的________________旋转一周后，其他各边所形成的面所围成的旋转体．[答案] 圆台 母线 上底面 下底面 垂直于两底的腰OO ′ 三、解答题13．说出下列7种几何体的名称．[解析]a是圆柱，b是圆锥，c是球，d、e是棱柱，f是圆台，g 是棱锥．14．说出如图所示几何体的主要结构特征．[解析](1)是一个六棱柱中挖去一个圆柱；(2)是一个圆台与一个圆柱的组合体；(3)是两个四棱锥构成的组合体．15．如图所示，几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．[解析]先出画几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：16．如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2 cm，AD＝4 cm，AA′＝3 cm.求在长方体表面上连接A、C′两点的诸曲线的长度的最小值．[解析]将长方体的表面展开为平面图，这就将原问题转化为平面问题．本题所求必在下图所示的三个图中，从而，连接AC′的诸曲线中长度最小的为41 cm(如图乙所示)．一、选择题1．一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等腰三角形，俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体为()A．棱锥B．棱柱C．圆锥D．圆柱[答案] C2．已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为()A．圆台B．四棱锥C．四棱柱D．四棱台[答案] D3．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是()A．(1)(2) B．(2)(3)C．(3)(4) D．(1)(4)[答案] D4．(2012－2013·安徽淮南高三模拟)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④[答案] D[解析]①正方体，三视图均相同；②圆锥，正视图和侧视图相同；③三棱台，三视图各不相同；④圆台，正视图和侧视图相同．[点评]熟悉常见几何体的三视图特征，对于画几何体的直观图是基本的要求．下图是最基本的常见几何体的三视图.[答案] C[解析]结合俯视图的定义，仔细观察，易得答案C.6．一个几何体的三视图如图，则组成该组合体的简单几何体为()A．圆柱与圆台B．四棱柱与四棱台C．圆柱与四棱台D．四棱柱与圆台[答案] B[解析]该几何体形状如图．上部是一个四棱柱，下部是一个四棱台．7．如图所示几何体的正视图和侧视图都正确的是()[答案] B8．(2011·新课标全国高考)在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为()[答案] D[解析]此几何体为一个半圆锥和一个半三棱锥的组合体，只有D项符合题意．二、填空题9．下列图形：①三角形；②直线；③平行四边形；④四面体；⑤球．其中投影不可能是线段的是________．[答案]②④⑤[解析]三角形的投影是线段成三角形；直线的投影是点或直线；平行四边形的投影是线段或平行四边形；四面体的投影是三角形或四边形；球的投影是圆．10．由若干个小正方体组成的几何体的三视图如下图，则组成这个组合体的小正方体的个数是________．[答案] 5[解析]由三视图可作出直观图，由直观图易知共有5个小正方体．11．(2012～2013·烟台高一检测)已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有________．[答案]①②③④12．(2012－2013·湖南高三“十二校联考”)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则用________个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体．[答案] 3[解析]该几何体是四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高等于4，如图(1)所示的四棱锥A－A1B1C1D1，如图(2)所示，三个相同的四棱锥A－A1B1C1D1，A－BB1C1C，A －DD1C1C可以拼成一个棱长为4的正方体．三、解答题13．如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形的中心，试画出其三视图．[解析]所给四棱锥的三视图如下图．[点评](1)画三视图时，务必做到正视图与侧视图的高度一致(即所谓的高平齐)、正视图与俯视图的长度一致(即所谓的“长对正”)、侧视图与俯视图的宽度一致(即所谓的“宽相等”)．(2)习惯上将侧视图放在正视图的右侧，将俯视图放在正视图的下方．[拓展提高]1．三视图中各种数据的对应关系：(1)正视图中AB的长对应原四棱锥底面多边形的左右方向的长度，AC、BC的长则不对应侧棱的长，它们对应四棱锥的顶点到底面左、右两边的距离．(2)侧视图中，EF的长度对应原四棱锥底面的前后长度，GE、GF的长度则是四棱锥顶点与底面前后两边的距离．(3)俯视图中HIJK的大小与四棱锥底面的大小形状完全一致，而OK，OI，OJ，OH的大小，则为四棱锥的顶点在底面上的投影到底面各顶点的距离．2．误区警示：正视图、侧视图中三角形的腰长有的学生会误认为是棱锥的侧棱长，实则不然．弄清一些数据的对应关系，是后面进行相关计算的前提．14．依所给实物图的形状，画出所给组合体的三视图．[解析]图中所给几何体是一个圆柱和一个正六棱柱的组合体，在中心以中心轴为轴线挖去一个小圆柱，故其三视图如下：15．说出下列三视图表示的几何体：[解析]16．根据下列图中所给出的一个物体的三视图，试画出它的形状．[答案]所对应的空间几何体的图形为：一、选择题1．如果平面图形中的两条线段平行且相等，那么在它的直观图中对应的这两条线段()A．平行且相等B．平行不相等C．相等不平行D．既不平行也不相等[答案] A2．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是()①角的水平放置的直观图一定是角．②相等的角在直观图中仍相等．③相等的线段在直观图中仍然相等．④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．A．0 B．1C．2 D．3[答案] C[解析]由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．3．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上说法正确的是()A．①B．①②C．③④D．①②③④[答案] B[解析]根据画法规则，平行性保持不变，与y轴平行的线段长度减半．4．如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的，其中正确的是()[答案] A[解析]由几何体直观图画法及立体图形中虚线的使用可知A正确．5．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A．AB B．ADC．BC D．AC[答案] D[解析]△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，则AC＞AB，AC ＞AD，AC＞BC.6．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m，若按的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为() A．4 cm,1 cm, 2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm[答案] C[解析]由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.7．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的()[答案] C[解析]由直观图一边在x′轴上，一边与y′轴平行，知原图为直角梯形．8．在下列选项中，利用斜二测画法，边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )[答案] C[解析] C 中前者画成斜二测直观图时，底AB 不变，原来高h 变为h 2，后者画成斜二测直观图时，高不变，边AB 变为原来的12.二、填空题9．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M (4,4)在直观图中的对应点是M ′，则点M ′的坐标为________，点M ′的找法是________．[答案] M ′(4,2) 在坐标系x ′O ′y ′中，过点(4,0)和y ′轴平行的直线与过点(0,2)和x ′轴平行的直线的交点即是点M ′.[解析] 在x ′轴的正方向上取点M 1，使O 1M 1＝4，在y ′轴上取点M 2，使O ′M 2＝2，过M 1和M 2分别作平行于y ′轴和x ′轴的直线，则交点就是M ′.10．如右图，水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的△A ′B ′C ′，已知A ′C ′＝6，B ′C ′＝4，则AB 边的实际长度是________．[答案] 10[解析] 由斜二测画法，可知△ABC 是直角三角形，且∠BCA ＝90°，AC ＝6，BC ＝4×2＝8，则AB ＝AC 2＋BC 2＝10.11．如图，是△AOB 用斜二测画法画出的直观图，则△AOB 的面积是________．[答案] 16[解析] 由图易知△AOB 中，底边OB ＝4， 又∵底边OB 的高为8， ∴面积S ＝12×4×8＝16.12．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________？[答案]8[解析]原图形为OABC为平行四边形，OA＝1，AB＝OA2＋OB2＝3，∴四边形OABC周长为8.三、解答题13．用斜二测画法画出下列图形的直观图(不写画法)．[解析]14．如图所示，四边形ABCD 是一个梯形，CD ∥AB ，CD ＝AO ＝1，三角形AOD 为等腰直角三角形，O 为AB 的中点，试求梯形ABCD 水平放置的直观图的面积．[解析] 在梯形ABCD 中，AB ＝2，高OD ＝1，由于梯形ABCD 水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD 和下底AB 的长度都不变，如图所示，在直观图中，O ′D ′＝12OD ，梯形的高D ′E ′＝24，于是梯形A ′B ′C ′D ′的面积为12×(1＋2)×24＝328.15．已知几何体的三视图如下，用斜二测画法，画出它的直观图(直接画出图形，尺寸不作要求)．[解析]如图．16．如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，该梯形绕边AD所在直线EF旋转一周得一几何体，画出该几何体的直观图和三视图．[分析]该几何体是一个圆锥和一个圆柱拼接成的简单组合体．[解析]直观图如图a所示，三视图如图b所示．一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )A ．4倍B ．3倍 C.2倍 D ．2倍[答案] D[解析] 由已知得l ＝2r ，S 侧S 底＝πrl πr 2＝lr ＝2，故选D.2．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是5，则长方体的侧面积等于( )A ．27B ．4 3C ．6D ．3[答案] C[解析] 设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ， 则c ＝1，ab ＝2，a 2＋b 2·c ＝5， ∴a ＝2，b ＝1，故S 侧＝2(ac ＋bc )＝6.3．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π[答案] A[解析] 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则由题设知h ＝2πr ，∴S 全＝2πr 2＋2πr ·h ＝2πr 2(1＋2π)又S 侧＝h 2＝4π2r 2，∴S 全S 侧＝1＋2π2π.[点评] 圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形两边长分别为圆柱底面周长和高；圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为圆锥的母线，弧长为圆锥底面周长；圆台侧面展开图是一个扇环，其两段弧长为圆台两底周长，扇形两半径的差为圆台的母线长，对于柱、锥、台的有关问题，有时要通过侧面展开图来求解．4．将一个棱长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )A ．6a 2B ．12a 2C ．18a 2D ．24a 2[答案] B[解析] 原来正方体表面积为S 1＝6a 2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为13a ，其表面积为6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2＝23a 2，总表面积S 2＝27×23a 2＝18a 2，∴增加了S 2－S 1＝12a 2.5．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为，母线长为10，则圆台的侧面积为( )A ．81πB ．100πC ．14πD ．169π[答案] B[解析] 圆台的轴截面如图，设上底半径为r ，则下底半径为4r ，高为4r .因为母线长为10，所以在轴截面等腰梯形中，有102＝(4r )2＋(4r －r )2.解得r ＝2.所以S 圆台侧＝π(r ＋4r )·10＝100π，故选B.6．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的全面积为( )A.3π2 B ．2π C ．πD ．4π[答案] A[解析] 由三视图可知，该几何体是底半径为12，高为1的圆柱，故其全面积S ＝2π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2π×12×1＝3π2.7．(2012－2013·安徽合肥一模)如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π[答案] B[解析] 该几何体是两底面半径分别为1、2，母线长为4的圆台，则其侧面积是π(1＋2)×4＝12π.8．(2011·海南、宁夏高考)一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积(单位：cm 2)为( )A ．48＋12 2B ．48＋24 2C ．36＋12 2D ．36＋24 2[答案] A[解析] 由三视图可得：底面为等腰直角三角形，腰长为6，面积为18；垂直于底面的面为等腰三角形，面积为12×62×4＝122；其余两个面为全等的三角形，每个三角形的面积都为12×6×5＝15.所以全面积为48＋12 2.二、填空题9．已知圆柱OO ′的母线l ＝4 cm ，全面积为42π cm 2，则圆柱OO ′的底面半径r ＝ ________cm.[答案] 3[解析] 圆柱OO ′的侧面积为2πrl ＝8πr (cm 2)，两底面积为2×πr 2＝2πr 2(cm 2)，∴2πr 2＋8πr ＝42π， 解得r ＝3或r ＝－7(舍去)，∴圆柱的底面半径为3 cm.10．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为________．[答案] 24＋2 3[解析] 该几何体是三棱柱，且两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，所以该几何体的表面积为2×(12×2×3)＋3×(4×2)＝24＋2 3.11．如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于________．[答案] (410＋28)π[解析] 挖去的圆锥的母线长为62＋22＝210，则圆锥的侧面积等于410π.圆柱的侧面积为2π×2×6＝24π，圆柱的一个底面面积为π×22＝4π，所以组合体的表面积为410π＋24π＋4π＝(410＋28)π.12．下图中，有两个相同的直三棱柱，高为2a ，底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a (a >0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中表面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是________．[答案] 0<a <153[解析] 底面积为6a 2，侧面面积分别为6、8、10，拼成三棱柱时，有三种情况：S 1＝2×6a 2＋2(10＋8＋6)＝12a 2＋48， S 2＝24a 2＋2(10＋8)＝24a 2＋36， S 3＝24a 2＋2(10＋6)＝24a 2＋32. 拼成四棱柱时只有一种情况：表面积为(8＋6)×2＋4×6a 2＝24a 2＋28.由题意得24a 2＋28<12a 2＋48，解得0<a <153. 三、解答题13．已知各棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥S －ABCD ，如图所示，求它的表面积．[分析] 求各侧面的面积→ 求侧面积→求底面积→求表面积[解析] ∵四棱锥S －ABCD 的各棱长均为5， 各侧面都是全等的正三角形， 设E 为AB 的中点， 则SE ⊥AB ，∴S 侧＝4S △SAB ＝4×12×5×532＝253， S 底＝52＝25，∴S 表面积＝S 侧＋S 底＝253＋25＝25(3＋1)． 14．正四棱台两底面边长分别为a 和b (a <b )．(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．[解析] (1)如图，设O 1、O 分别为上、下底面的中心，过C 1作C 1E ⊥AC 于E ，过E 作EF ⊥BC ，连接C 1F ，则C 1F 为正四棱台的斜高．由题意知∠C 1CO ＝45°，CE ＝CO －EO ＝CO －C 1O 1＝22(b －a )， 在Rt △C 1CE 中，C 1E ＝CE ＝22(b －a )， 又EF ＝CE ·sin45°＝12(b －a )， ∴C 1F ＝C 1E 2＋EF 2 ＝[22(b －a )]2＋[12(b －a )]2＝32(b －a )．∴S 侧＝12(4a ＋4b )×32(b －a )＝3(b 2－a 2)． (2)由S 侧＝a 2＋b 2，∴12(4a ＋4b )·h 斜＝a 2＋b 2， ∴h 斜＝a 2＋b 22(a ＋b ).又EF ＝b －a 2，∴h ＝h 2斜－EF 2＝aba ＋b.15．(2012－2013·嘉兴高一检测)如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．[解析] 设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，表面积为S .则R ＝OC ＝2，AC ＝4， AO ＝42－22＝2 3.如图所示易知△AEB ∽△AOC ，∴AE AO ＝EB OC ，即323＝r 2，∴r ＝1S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π. ∴S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.16．已知某几何体的三视图如图，求该几何体的表面积．(单位：cm)[解析] 几何体的直观图如图．这是底面边长为4，高为2的同底的正四棱柱与正四棱锥的组合体，易求棱锥的斜高h ′＝22，其表面积S ＝42＋4×4×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×22×4＝48＋16 2 cm 2.一、选择题1．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是( ) A ．6 3 B ．3 6 C ．11 D ．12[答案] A[解析] 设长方体长、宽、高分别为a 、b 、c ，则ab ＝2，ac ＝6，bc ＝9，相乘得(abc )2＝108，∴V ＝abc ＝6 3.2．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则体积为( )A ．32 3B ．28 3C ．24 3D ．20 3 [答案] B[解析] 上底面积S 1＝6×34×22＝63， 下底面积S 2＝6×34×42＝243， 体积V ＝13(S 1＋S 2＋S 1S 2)·h＝13(63＋243＋63·243)×2＝28 3.3．(2012～2013学年枣庄模拟)一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为1，则这个几何体的体积为( )。
人教A版新课标高中数学必修二第二章单元测试题(含答案)
高二周末检测题一、选择题1．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行． 其中正确的命题是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③ 2 .垂直于同一条直线的两条直线一定 ( )A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 3．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是( )A ．三条交线为异面直线B ．三条交线两两平行C ．三条交线交于一点D ．三条交线两两平行或交于一点4. 在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、 能相交于点P ，那么 （ ）A 、点P 必在直线AC 上B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面BCD 内 D 、点P 必在平面ABC 外5．若平面α⊥平面β，α∩β＝l ，且点P ∈α，P ∉l ，则下列命题中的假命题是( )A ．过点P 且垂直于α的直线平行于βB ．过点P 且垂直于l 的直线在α内C ．过点P 且垂直于β的直线在α内D ．过点P 且垂直于l 的平面垂直于β 6．设a ，b 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )A ．若a ，b 与α所成的角相等，则a ∥bB ．若a ∥α，b ∥β，α∥β，则a ∥bC ．若a ⊂α，b ⊂β，a ∥b ，则α∥βD ．若a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥b 7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段A 1B 1，B 1C 1上的不与端点重合的动点，如果A 1E ＝B 1F ，有下面四个结论：①EF ⊥AA 1； ②EF ∥AC ； ③EF 与AC 异面； ④EF ∥平面ABCD . 其中一定正确的有( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④8．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，P A ⊥面ABC ，AB ＝AC ，D 是BC的中点，则图中直角三角形的个数是( ) A ．5 B ．8 C ．10D ．69．如右图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM ( ) A ．与AC 、MN 均垂直相交 B ．与AC 垂直，与MN 不垂直 C ．与MN 垂直，与AC 不垂直D ．与AC 、MN 均不垂直10、如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1 和 CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为( ) A 、2V B 、3V C 、4V D 、5V11．(2009·海南、宁夏高考)如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点 E 、F ，且EF ＝12，则下列结论错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A —BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等12．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角；④AB 与CD 所成的角是60°. 其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 二、填空题13、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ，平行则四边形ABCD 一定是 .14．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的平面角大小为 .15．如下图所示，以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕．Q PC'B'A'C BA使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则：(1)BD与CD的关系为________．(2)∠BAC＝________.16．在正方体ABCD—A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则①四边形BFD′E一定是平行四边形．②四边形BFD′E有可能是正方形．③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形．④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号)三、解答题17、如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥面ACD.(2)平面EFC⊥平面BCD.18．如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求二面角P－AM－D的大小．19．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.20．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．21．如图，△ABC中，AC＝BC＝22AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)求证：AC⊥平面EBC；(3)求几何体ADEBC的体积V.高二周末检测题答一、选择题 1-5 BDDAB 6-10 DDBAB 11-12 DC 二、填空题13、菱形 14、90° 15、(1)BD ⊥CD (2)60° 16、①③④ 三、解答题17、证明：(1)∵E 、F 分别是AB 、BD 的中点，∴EF ∥AD .又AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ， ∴直线EF ∥面ACD .(2)在△ABD 中，∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ， ∴EF ⊥BD .在△BCD 中，∵CD ＝CB ，F 为BD 的中点，∴CF ⊥BD . ∵CF ∩EF ＝F ，∴BD ⊥平面EFC ， 又∵BD ⊂平面BCD ， ∴平面EFC ⊥平面BCD .18、[解析] (1)证明：如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ， ∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin60°＝ 3. ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM . ∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3， ∴EM 2＋AM 2＝AE 2.∴AM ⊥EM .又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，∴AM ⊥PM . (2)解：由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ， ∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角． ∴tan ∠PME ＝PEEM＝33＝1，∴∠PME ＝45°.∴二面角P －AM －D 的大小为45°.19[分析] 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件． [证明] (1)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， ∵F 、F 1分别是AC 、A 1C 1的中点， ∴B 1F 1∥BF ，AF 1∥C 1F .又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.20.(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，又PQ⊄平面ACD，从而PQ∥平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ∥DC，又PQ＝12EB＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，在Rt△DP A中，AD＝5，DP＝1，sin∠DAP＝5 5，因此AD和平面ABE所成角的正弦值为5 5.21[分析] (1)转化为证明GF平行于平面ABC内的直线AC；(2)转化为证明AC垂直于平面EBC内的两条相交直线BC和BE；(3)几何体ADEBC是四棱锥C－ABED.[解] (1)证明：连接AE，如下图所示．∵ADEB 为正方形，∴AE ∩BD ＝F ，且F 是AE 的中点， 又G 是EC 的中点，∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ， ∴GF ∥平面ABC .(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB ⊂平面ABED ， ∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC . 又∵AC ＝BC ＝22AB ， ∴CA 2＋CB 2＝AB 2， ∴AC ⊥BC .又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE . (3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝22AB ＝22， ∴CH ⊥AB ，且CH ＝12，又平面ABED ⊥平面ABC∴GH ⊥平面ABCD ，∴V ＝13×1×12＝16.。
人教A版高一数学必修第二册全册复习测试题卷含答案解析(56)
高一数学必修第二册全册复习测试题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 向量 a ⃗=(1,2)，b ⃗⃗=(2,λ)，且 a ⃗⊥b ⃗⃗，则实数 λ= ( ) A ． 3 B ． −3 C ． 7 D ． −12. 袋中共有完全相同的 4 只小球，编号为 1，2，3，4，现从中任取 2 只小球，则取出的 2 只球编号之和是偶数的概率为 ( ) A ． 25B ． 35C ． 13D ． 233. 下列命题正确的是 ( ) A ．三点确定一个平面B ．一条直线和一个点确定一个平面C ．圆心和圆上两点可确定一个平面D ．梯形可确定一个平面4. 复数 1+i 2= ( ) A ． 0B ． 2C ． 2iD ． 1−i5. 已知 ∣a ⃗∣=1，∣b ⃗⃗∣=2，a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为 π3，则 a ⃗⋅b ⃗⃗ 等于 ( ) A ． 1B ． 2C ． 3D ． 46. 已知平面向量 a ⃗=(1,x )，b ⃗⃗=(y,1)，若 a ⃗∥b ⃗⃗，则实数 x ，y 一定满足 ( ) A ．xy −1=0B ．xy +1=0C ．x −y =0D ．x +y =07. 在平行四边形 ABCD 中，A (1,2)，B (3,5)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,2)，则 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ( ) A ． (−2,4)B ． (4,6)C ． (−6,−2)D ． (−1,9)8. 若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(a,b )，则 a +b = ( ) A ． −1B ． 0C ． 1D ． 29. 已知直线 a 在平面 γ 外，则 ( ) A ． a ∥γ B ． a 与 γ 至少有一个公共点 C ． a ∩γ=AD ． a 与 γ 至多有一个公共点10. 下列四个长方体中，由图中的纸板折成的是 ( )A．B．C．D．二、填空题（共6题）11.思考辨析判断正误当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( )12.复数加法与减法的运算法则设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，则（1）z1+z2=；（2）z1−z2=．13.利用“斜二测”法作多面体直观图时，需考虑个方向上的尺度．14.若向量a⃗与b⃗⃗的夹角为120∘，且∣a⃗∣=1，∣∣b⃗⃗∣∣=1，则∣∣a⃗−b⃗⃗∣∣=．15.当时，λa⃗=0⃗⃗．16.“直线a经过平面α外一点P”用集合符号表示为．三、解答题（共6题）=bsinA．17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A+C2(1) 求B；(2) 若△ABC为锐角三角形，且a=2，求△ABC面积的取值范围．18.画出如图水平放置的直角梯形的直观图．19.按图示的建系方法，画出水平放置的正五边形ABCDE的直观图．20. 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系．(1) 点 P 与直线 AB ； (2) 点 C 与直线 AB ； (3) 点 M 与平面 AC ； (4) 点 A 1 与平面 AC ； (5) 直线 AB 与直线 BC ； (6) 直线 AB 与平面 AC ； (7) 平面 A 1B 与平面 AC ．21. 有 4 条长为 2 的线段和 2 条长为 a 的线段，用这 6 条线段作为棱，构成一个三棱锥．问 a为何值时，可构成一个最大体积的三棱锥，最大值为多少？22. 类似于平面直角坐标系，我们可以定义平面斜坐标系：设数轴 x ，y 的交点为 O ，与 x ，y 轴正方向同向的单位向量分别是 i ⃗，j ⃗，且 i ⃗ 与 j ⃗ 的夹角为 θ，其中 θ∈(0,π2)∪(π2,π)．由平面向量基本定理，对于平面内的向量 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，存在唯一有序实数对 (x,y )，使得 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xi ⃗+yj ⃗，把 (x,y ) 叫做点 P 在斜坐标系 xOy 中的坐标，也叫做向量 OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在斜坐标系 xOy 中的坐标．在平面斜坐标系内，直线的方向向量、法向量、点方向式方程、一般式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如 θ=45∘ 时，方程x−24=y−1−5表示斜坐标系内一条过点 (2,1)，且方向向量为(4,−5)的直线．)，a⃗=(2,1)，b⃗⃗=(m,6)，且a⃗与b⃗⃗的夹角为锐角，求实数m的取值(1) 若θ=arccos(−13范围；(2) 若θ=60∘，已知点A(2,1)和直线l:3x−y+2=0．①求l一个法向量；②求点A到直线l的距离．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【解析】由a⃗⊥b⃗⃗，所以有a⃗⋅b⃗⃗=1×2+2×λ=0⇒λ=−1．【知识点】平面向量数量积的坐标运算2. 【答案】C【解析】在编号为1，2，3，4的小球中任取2只小球，则有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6种取法，则取出的2只球编号之和是偶数的有{1,3}，{2,4}，共2种取法，即取出的2只球编号之和是偶数的概率为26=13，故选：C．【知识点】古典概型3. 【答案】D【解析】由不共线的三点确定一个平面，故A错误；由一条直线和该直线外一点确定一个平面，故B错误；当圆心和圆上两点在圆的直径上，不能说明该三点确定一个平面，故C错误；由于梯形是有一组对边平行的四边形，可得梯形确定一个平面，故D正确．故选：D．【知识点】平面向量的概念与表示4. 【答案】A【解析】因为i2=−1，所以1+i2=0．故选：A．【知识点】复数的乘除运算5. 【答案】A【解析】a⃗⋅b⃗⃗=∣a⃗∣∣b⃗⃗∣cosπ3=1×2×cosπ3=1．【知识点】平面向量的数量积与垂直6. 【答案】A【解析】因为a⃗∥b⃗⃗，所以1×1−xy=0，即xy−1=0．【知识点】平面向量数乘的坐标运算7. 【答案】A【解析】在平行四边形ABCD中，因为 A (1,2)，B (3,5)，所以 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,3)， 又 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,2)， 所以 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,5)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−3,−1)， 所以 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,4)， 故选A ．【知识点】平面向量和与差的坐标运算8. 【答案】A【解析】 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1)−(1,1)=(−1,0)， 故 a =−1，b =0， 所以 a +b =−1．【知识点】平面向量和与差的坐标运算9. 【答案】D【解析】直线在平面外，故直线与平面相交或直线与平面平行，直线 a 与平面 γ 平行时没有公共点，直线 a 与平面 γ 相交时有一个公共点，故选D ． 【知识点】直线与平面的位置关系10. 【答案】A【解析】根据题图中纸板的形状及特殊面的阴影部分可以判断B ，C ，D 不正确，故选A ． 【知识点】棱柱的结构特征二、填空题（共6题） 11. 【答案】 √【知识点】平面向量和与差的坐标运算12. 【答案】 (a +c)+(b +d)i ； (a −c)+(b −d)i【知识点】复数的加减运算13. 【答案】三【知识点】直观图14. 【答案】 √3【解析】因为向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 的夹角为 120∘，∣a ⃗∣=1，∣∣b ⃗⃗∣∣=1，所以 a ⃗⋅b ⃗⃗=∣a ⃗∣∣∣b ⃗⃗∣∣cos120∘=−12，因此 ∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣=√(a ⃗−b ⃗⃗)2=√∣a ⃗∣2+∣∣b ⃗⃗∣∣2−2a⃗⋅b ⃗⃗=√1+1+1=√3． 【知识点】平面向量的数量积与垂直15. 【答案】 λ=0 或 a ⃗=0⃗⃗【解析】若 λa ⃗=0⃗⃗，则 λ=0 或 a ⃗=0⃗⃗．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义16. 【答案】 P ∈a ，P ∉α【知识点】平面的概念与基本性质三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) asinA+C 2=bsinA ，由正弦定理 sinAsinA+C 2=sinBsinA ．因为 A ，B ，C 是 △ABC 的内角，sinA ≠0， 所以 sin A+C 2=sinB =sin (π−B )=sin (A +C )， 所以 sinA+C 2=2sinA+C 2cosA+C 2，因为 0<A +C <π， 所以 0<A+C 2<π2．所以 sinA+C 2≠0，cosA+C 2=12，A+C 2=π3，所以 A +C =2π3，B =π−(A +C )=π−2π3=π3(2) 由正弦定理得 asinA =bsinB =csinC =2sinA ， 所以 c =2sinC sinA，由三角形内角和知 A +C =120∘， 所以 C =120∘−A ， 所以 c =2sin (120∘−A )sinA=√3tanA+1，又 △ABC 为锐角三角形， 所以 120∘−A <90∘ 且 A <90∘， 即 30∘<A <90∘， 又 S △ABC =12acsinB =12ac ×√32=√32c =√32×(√3tanA +1)，30∘<A <90∘，因为30∘<A<90∘，所以tanA>√33，得√3tanA <3，即1<√3tanA+1<4，所以S△ABC=√32×(√3tanA+1)∈(√32,2√3)．【知识点】正弦定理18. 【答案】（1）在已知的直角梯形OBCD中，以OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画出相应的xʹ轴和yʹ轴，使∠xʹOʹyʹ=45∘，如图①②所示．（2）在xʹ轴上截取OʹBʹ=OB，在yʹ轴上截取OʹDʹ=12OD，过点Dʹ作xʹ轴的平行线l，在l上沿xʹ轴正方向取点Cʹ，使得DʹCʹ=DC．连接BʹCʹ，如图②所示．（3）所得四边形OʹBʹCʹDʹ就是直角梯形OBCD的直观图，如图③所示．【知识点】直观图19. 【答案】画法：（1）在图①中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H．（2）在图②中画相应的xʹ轴与yʹ轴，两轴相交于点Oʹ，使∠xʹOʹyʹ=45∘．（3）在图②中的xʹ轴上取OʹBʹ=OB，OʹGʹ=OG，OʹCʹ=OC，OʹHʹ=OH，yʹ轴上取OʹEʹ=1 2OE，分别过Gʹ和Hʹ作yʹ轴的平行线，并在相应的平行线上取GʹAʹ=12GA，HʹDʹ=12HD．（4）连接AʹBʹ，AʹEʹ，EʹDʹ，DʹCʹ，并擦去辅助线GʹAʹ，HʹDʹ，xʹ轴与yʹ轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图五边形AʹBʹCʹDʹEʹ（如图③）．【知识点】直观图20. 【答案】(1) 点P∈直线AB．(2) 点C∉直线AB．(3) 点M∈平面AC．(4) 点A1∉平面AC．(5) 直线AB∩直线BC=点B．(6) 直线AB⊂平面AC．(7) 平面A1B∩平面AC=直线AB．【知识点】点、线、面的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、直线与直线的位置关系21. 【答案】构成三棱锥，这6条线段作为棱有两种摆放方式．（1）2条长为a的线段放在同一个三角形中．如图所示，不妨设底面 BCD 是一个边长为 2 的正三角形．欲使体积达到最大，必有 BA ⊥底面BCD ，且 BA =2，AC =AD =a =2√2， 此时 V =13×√34×22×2=23√3．（2）2 条长为 a 的线段不在同一个三角形中，此时长为 a 的两条线段必处在三棱锥的对棱，不妨设 AD =BC =a ，BD =CD =AB =AC =2． 取 BC 中点 E ，连接 AE ，DE （见下图）．则 AE ⊥BC,DE ⊥BC ⇒BC ⊥平面AED ，V =13S △AED ⋅BC ， 在 △AED 中，AE =DE =√4−a 24，AD =a ，S △AED =12a √4−a 24−a 24=12a √4−a 22，所以 V =16a 2√4−a 22=16√a 2a 2(16−2a 2)⋅14，由均值不等式 a 2a 2(16−2a 2)≤(163)3，等号当且仅当 a 2=163时成立，即 a =43√3， 所以此时 V max =16√(163)3⋅14=1627√3．【知识点】棱锥的表面积与体积22. 【答案】(1) 由已知 a ⃗=2i ⃗+j ⃗，b ⃗⃗=mi ⃗+6j ⃗，且 a ⃗⋅b ⃗⃗=2m +6+(12+m )(i ⃗⋅j ⃗)=53m +2>0，得 m >−65；若 a ⃗ 和 b ⃗⃗ 同向，则存在正数 t ，使得 t (2i ⃗+j ⃗)=mi ⃗+6j ⃗， 由 i ⃗ 和 j ⃗ 不平行得，{2t =m t =6 得 m =12．故所求为 m >−65，m ≠12．(2) ①方程可变形为x−01=y−23，方向向量为 d⃗=(1,3)， 设法向量为 n ⃗⃗=(a,b )，由 n ⃗⃗⋅d ⃗=0 得 a +3b +12(3a +b )=52a +72b =0， 令 a =−7，b =−5，n ⃗⃗=(−7,5)；②取直线 l 上一点 B (0,2)，则 BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,−1)，所求为 ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗∣∣∣n⃗⃗∣=∣√(⃗+5j ⃗)2=7√3926．【知识点】直线的点法向式方程（沪教版）、平面向量数量积的坐标运算。
(人教版)高中数学必修二(全册)同步练习+单元检测卷汇总
（人教版）高中数学必修二（全册）同步练习+单元检测卷汇总课后提升作业一棱柱、棱锥、棱台的结构特征(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.下列说法中正确的是( )A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一条侧棱的长就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形【解析】选A.棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体)，故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错.2.四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )A.四条侧棱、四个顶点B.八条侧棱、四个顶点C.四条侧棱、八个顶点D.六条侧棱、八个顶点【解析】选C.结合正方体可知，四棱柱有四条侧棱，八个顶点.3.下列说法错误的是( )A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形【解析】选D.三棱柱的侧面是平行四边形，故D错误.4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A.棱柱B.棱台C.由一个棱柱与一个棱锥构成D.不能确定【解析】选 A.根据棱柱的结构特征，当倾斜后水槽中的水形成了以左右(或前后)两个侧面为底面的四棱柱.5.(2016·郑州高一检测)如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( )A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)【解题指南】让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断.【解析】选B.在图(2)(3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图(2)(3)完全一样，而(1)(4)则不同. 【补偿训练】下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )【解析】选D.A，B，C中底面多边形的边数与侧面数不相等.6.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶1【解析】选 B.由棱台的概念知，上、下两底面是相似的多边形，故它们的面积之比等于对应边长之比的平方，故为1∶4.7.(2016·温州高一检测)在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共有( )A.20条B.15条C.12条D.10条【解析】选 D.因为棱柱的侧棱都是平行的，所以过任意不相邻的两条侧棱的截面为一个平行四边形，共可得5个截面，每个平行四边形可得到五棱柱的两条对角线，故共有10条对角线.8.(2015·广东高考)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A.大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于3【解析】选 C.正四面体的四个顶点是两两距离相等的，即空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值至多等于4.二、填空题(每小题5分，共10分)9.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________.(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.【解析】如图：①正确，如图四边形A1D1CB为矩形；②错误，任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1BCD1为矩形；③正确，如四面体A1ABD；④正确，如四面体A1C1BD；⑤正确，如四面体B1ABD；则正确的说法是①③④⑤.答案：①③④⑤10.(2016·天津高一检测)一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.【解析】因为n棱柱有2n个顶点，又此棱柱有10个顶点，所以它是五棱柱，又棱柱的侧棱都相等，五条棱长的和为60cm，可知每条侧棱长为12cm.答案：12三、解答题(每小题10分，共20分)11.根据下面对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.(1)由8个面围成，其中2个面是互相平行且全等的六边形，其他各面都是平行四边形.(2)由5个面围成，其中一个是正方形，其他各面都是有1个公共顶点的三角形.【解析】(1)根据棱柱的结构特征可知，该几何体为六棱柱.(2)根据棱锥的结构特征可知，该几何体为四棱锥.12.已知三棱柱ABC-A′B′C′，底面是边长为1的正三角形，侧面为全等的矩形且高为8，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行一周后到达A′点的最短路线长.【解析】将三棱柱侧面沿侧棱AA′剪开，展成平面图形如图，则AA″即为所求的最短路线.在Rt△AA1A″中，AA1=3，A1A″=8，所以AA″==.【延伸探究】本题条件不变，求一点自A点出发沿着三棱柱的侧面绕行两周后到达A′点的最短路线长.【解析】将两个相同的题目中的三棱柱的侧面都沿AA′剪开，然后展开并拼接成如图所示，则AA″即为所求的最短路线.在Rt△AA1A″中，AA1=6，A1A″=8，所以AA″===10.【能力挑战题】如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？【解析】(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.(3)S△PEF=a2，S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2，S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2.关闭Word文档返回原板块温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
最新高中数学：必修2人教A同步练习试题及解析必修2全册同步检测：3-2-2
3-2-1同步检测一、选择题1．过(x 1，y 1)和(x 2，y 2)两点的直线方程是( ) A.y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 B.y －y 1y 2－y 1＝x －x 2x 1－x 2C ．(y 2－y 1)(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0D ．(x 2－x 1)(x －x 1)－(y 2－y 1)(y －y 1)＝0 2．直线x a 2＋yb 2＝1在y 轴上的截距是( ) A ．|b | B ．－b 2 C ．b 2D ．±b3．直线x a ＋yb ＝1过一、二、三象限，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0D ．a <0，b <04．(2011－2012·蚌埠高二检测)已知M (3，72)，A (1,2)，B (3,1)，则过点M 和线段AB 的中点的直线方程为( )A ．4x ＋2y ＝5B ．4x －2y ＝5C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝55．(2011－2012·邯郸高一检测)下列说法正确的是( ) A.y －y 1x －x 1＝k 是过点(x 1，y 1)且斜率为k 的直线 B ．在x 轴和y 轴上的截距分别是a 、b 的直线方程为x a ＋yb ＝1 C ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点到原点的距离是bD ．不与坐标轴平行或重合的直线方程一定可以写成两点式或斜截式6．已知△ABC 三顶点A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝07．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－32 B ．－23 C.25D ．28．如果直线l 过点(－1，－1)、(2,5)两点，点(1 003，m )在l 上，那么m 的值为( )A ．2 008B ．2 007C ．2 006D ．2 0059．过P (4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条10．已知两点A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy ( )A ．无最小值且无最大值B ．无最小值但有最大值C ．有最小值但无最大值D ．有最小值且有最大值 二、填空题11．过点(0,1)和(－2,4)的直线的两点式方程是________． 12．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________．13．直线l 过点P (－1,2)，分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则直线l 的方程为________．14．若两点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)的坐标分别满足3x 1－5y 1＋6＝0和3x 2－5y 2＋6＝0，则经过这两点的直线方程是________．三、解答题15．求过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程．16．已知三角形的顶点是A (8,5)、B (4，－2)、C (－6,3)，求经过每两边中点的三条直线的方程．17．△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)． (1)分别求边AC 和AB 所在直线的方程； (2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程； (3)求AC 边的中垂线所在直线的方程； (4)求AC 边上的高所在直线的方程； (5)求经过两边AB 和AC 的中点的直线方程． 18．求分别满足下列条件的直线l 的方程：(1)斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6； (2)经过两点A (1,0)，B (m,1)；(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． [分析]欲求直线的方程，关键是根据已知条件选择一种最合适的形式．详解答案1[答案] C2[答案] C3[答案] C4[答案] B5[答案] D6[答案] A[解析]点M的坐标为(2,4)，点N的坐标为(3,2)，由两点式方程得y－24－2＝x－32－3，即2x＋y－8＝0.7[答案] A[解析]直线方程为y－91－9＝x－3－1－3，化为截距式为x－32＋y3＝1，则在x轴上的截距为－32.8[答案] B[解析]由两点式得y＋15＋1＝x＋12＋1，当x＝1003时，m＝2007. 9[答案] B[解析]解法一：设直线方程为y＋3＝k(x－4)(k≠0)．令y＝0得x＝3＋4kk，令x＝0得y＝－4k－3.由题意，3＋4k k ＝－4k －3，解得k ＝－34或k ＝－1. 因而所求直线有两条，∴应选B.解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为(a,0)，(0，a )，a ≠0，则直线方程为x a ＋ya ＝1，把点P (4，－3)的坐标代入方程得a ＝1.∴所求直线有两条，∴应选B. 10[答案] D[解析] 线段AB 的方程为x 3＋y4＝1(0≤x ≤3)，于是y ＝4(1－x3)(0≤x ≤3)，从而xy ＝4x (1－x 3)＝－43(x －32)2＋3，显然当x ＝32时，xy 取最大值为3；当x ＝0或3时，xy 取最小值0.11[答案] y －14－1＝x －0－2－0(或y －41－4＝x ＋20＋2)12[答案] 3x ＋2y －6＝0[解析] 设直线方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎨⎧b ＝3，a ＋b ＝5，解得a ＝2，b ＝3，则直线方程为x 2＋y3＝1， 即3x ＋2y －6＝0. 13[答案] 2x －y ＋4＝0[解析] 设A (x,0)，B (0，y )． 由P (－1,2)为AB 的中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02＝－1，0＋y 2＝2，∴⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝4由截距式得l 的方程为 x －2＋y4＝1，即2x －y ＋4＝0. 14[答案] 3x －5y ＋6＝0[解析] 两点确定一条直线，点A 、B 均满足方程3x －5y ＋6＝0. 15[解析] 设直线方程的截距式为x a ＋1＋ya ＝1.则6a ＋1＋－2a ＝1，解得a ＝2或a ＝1， 则直线方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.16[解析] 设AB 、BC 、CA 的中点分别为D 、E 、F ，根据中点坐标公式得D (6，32)、E (－1，12)、F (1,4)．由两点式得DE 的直线方程为y －3212－32＝x －6－1－6.整理得2x －14y ＋9＝0，这就是直线DE 的方程．由两点式得y －124－12＝x －(－1)1－(－1)，整理得7x －4y ＋9＝0，这就是直线EF 的方程． 由两点式得y －324－32＝x －61－6整理得x ＋2y －9＝0 这就是直线DF 的方程．17[解析] (1)由A (0,4)，C (－8,0)可得直线AC 的截距式方程为x－8＋y4＝1，即x －2y ＋8＝0.由A (0,4)，B (－2,6)可得直线AB 的两点式方程为y －46－4＝x －0－2－0，即x ＋y －4＝0.(2)设AC 边的中点为D (x ，y )，由中点坐标公式可得x ＝－4，y ＝2，所以直线BD 的两点式方程为y －62－6＝x ＋2－4＋2，即2x －y ＋10＝0.(3)由直线AC 的斜率为k AC ＝4－00＋8＝12，故AC 边的中垂线的斜率为k ＝－2.又AC 的中点D (－4,2)，所以AC 边的中垂线方程为y －2＝－2(x ＋4)， 即2x ＋y ＋6＝0.(4)AC 边上的高线的斜率为－2，且过点B (－2,6)，所以其点斜式方程为y －6＝－2(x ＋2)，即2x ＋y －2＝0.(5)AB 的中点M (－1,5)，AC 的中点D (－4,2)， ∴直线DM 方程为y －25－2＝x －(－4)－1－(－4)，即x －y ＋6＝0.18[解析](1)设直线l 的方程为y ＝34x ＋b . 令y ＝0，得x ＝－43b ， ∴12|b ·(－43b )|＝6，b ＝±3. ∴直线l 的方程为y ＝43x ±3(2)当m ≠1时，直线l 的方程是 y －01－0＝x －1m －1，即y ＝1m －1(x －1) 当m ＝1时，直线l 的方程是x ＝1. (3)设l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b . 当a ≠0，b ≠0时，l 的方程为x a ＋yb ＝1； ∵直线过P (4，－3)，∴4a －3b ＝1. 又∵|a |＝|b |， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a －3b ＝1，a ＝±b .解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝7，b ＝－7.当a ＝b ＝0时，直线过原点且过(4，－3)， ∴l 的方程为y ＝－34x .综上所述，直线l 的方程为x ＋y ＝1或x 7＋y －7＝1或y ＝34x .[点评]明确直线方程的几种特殊形式的应用条件，如(2)中m 的分类，再如(3)中，直线在两坐标轴上的截距相等包括截距都为零的情况．。
人教A版高中数学必修第二册测试题(含答案)
人教A版高中数学必修第二册测试题（含答案）一、单选题1．设D为所在平面内一点，且，则（）A．B．C．D．2．若复数为纯虚数，则实数（）A．B．0C．5D．3．已知四边形为平行四边形，其中，则顶点的坐标为（）A．B．C．D．4．如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45)的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为( )A．0.04B．0.06C．0.2D．0.35．某三棱锥的三视图如右图所示，该三棱锥的体积为A．B．C．D．6．如果一个三位数的十位上的数字比个位和百位上的数字都大，则称这个三位数为“凸数”（如132），现从集合中任取3个互不相同的数字，组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法正确的个数是（）①一组数据的标准差越大，则说明这组数据越集中；②曲线与曲线的焦距相等；③在频率分布直方图中，估计的中位数左边和右边的直方图的面积相等；④已知椭圆，过点作直线，当直线斜率为时，M刚好是直线被椭圆截得的弦AB的中点.A．1B．2C．3D．48．在中，一定成立的等式是（）A．B．C．D．9．从高二某班级中抽出三名学生．设事件甲为“三名学生全不是男生”，事件乙为“三名学生全是男生”，事件丙为“三名学生至少有一名是男生”，则（）A．甲与丙互斥B．任何两个均互斥C．乙与丙互斥D．任何两个均不互斥10．已知是平面，是直线，则下列命题不正确的是（）A．若则B．若则C．若则D．若，则11．某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为( )A．80B．96C．108D．110二、填空题12．在复变函数相关领域中，欧拉公式为（这里是虚数单位），当时，可以得到，这个公式被誉为数学中最令人着迷的公式，根据欧拉公式，则______．13．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看某明星的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？答：________．14．气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据：（记录数据都是正整数）①甲地5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.则肯定进入夏季的地区有_____．15．已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=2，∠B'A'C'=90°，则原△ABC的面积为______．三、解答题16．在中，角所对的边分别为已知.（1）求A的大小；（2）如果，求的面积.17．宜宾市创建全国文明城市期间，一单位有甲、乙、丙三个志愿小组，其中甲组4人，乙组8人，丙组12人，现用分层抽样方法从这三个组中选出6人组成宣传小组.（1）应从甲组、乙组、丙组中各抽取多少人？（2）记选出6人分别为，现从这6人中抽取2人进入某小区进行创文宣传；①试用所给的字母列举出所有可能的抽取结果；②设事件是“抽取2人来自同一志愿小组”，求事件发生的概率. 18．某公司有名员工，根据男女员工人数比例，用分层随机抽样的方法从中抽取了人，调查他们的通勤时间（上下班途中花费的总时间，单位：分钟），将数据按照，， ，分成组，并整理得到如下频率分布直方图：（I）从总体中随机抽取人，估计其通勤时间小于分钟的概率；（Ⅱ）求样本数据的中位数的估计值；（Ⅲ）已知样本中通勤时间大于或等于分钟的人都是男员工，通勤时间小于分钟的人中有一半是男员工，求该公司男员工的人数.19．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，点M和N分别是B1C1和BC的中点．（1）求证：MB∥平面AC1N；（2）求证：AC⊥MB．20．设，复数，其中为虚数单位.（1）当为何值时，复数是虚数？（2）当为何值时，复数是纯虚数？（3）当为何值时，复数所对应的点在复平面内位于第四象限？21．如图，已知正方体内接于球O，且球的半径为，P，Q分别是，上的动点.（1）求正方体的棱长；（2）求的最小值；（3）若平面与平面所成二面角的大小为，平面与平面所成二面角的大小为，试求的最小值，及此时P点的位置.参考答案1．D2．A3．D4．C5．A6．D7．B8．C9．A10．D11．C12．413．公平14．①③15．816．（1）；（2）17．（1）甲组1人，乙组2人，丙组3人；（2）①，；②.18．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.19．（1）见解析；（2）见解析20．（1）且；（2）；（3）. 21．（1）2（2）（3），点P位于BC的中点。
新教材人教A版高中数学必修第二册全册各章综合测验汇总(共五套,附解析)
高中数学必修第二册全册各章测验汇总章末质量检测(一) 平面向量及其应用 ............................................................................... 1 章末质量检测(二) 复数 ....................................................................................................... 8 章末质量检测(三) 立体几何初步 ..................................................................................... 14 章末质量检测(四) 统计 ..................................................................................................... 23 章末质量检测(五)概率 (32)章末质量检测(一) 平面向量及其应用一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，在⊙O 中，向量OB →，OC →，AO →是( ) A ．有相同起点的向量 B ．共线向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量解析：由图可知OB →，OC →，AO →是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C. 答案：C2．若A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)，则AB →＋2BC →等于( ) A ．5 B ．(－1,5) C ．(6,1) D ．(－4,9)解析：AB →＝(2,3)，BC →＝(－3,3)，∴AB →＋2BC →＝(2,3)＋2(－3,3)＝(－4,9)． 答案：D3．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.3π4解析：因为|a ＋b |＝1，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1，所以cos θ＝－12.又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.答案：C4．若A (x ，－1)，B (1,3)，C (2,5)三点共线，则x 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析：AB →∥BC →，(1－x,4)∥(1,2)，2(1－x )＝4，x ＝－1，故选B. 答案：B5．已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(3，－3)，则a ，b 的坐标分别为( ) A ．(4,0)，(－2,6) B ．(－2,6)，(4,0) C ．(2,0)，(－1,3) D ．(－1,3)，(2,0)解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，3，a －b ＝3，－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，0，b ＝－1，3.答案：C6．若a ＝(5，x )，|a |＝13，则x ＝( ) A ．±5 B．±10 C ．±12 D．±13解析：由题意得|a |＝52＋x 2＝13， 所以52＋x 2＝132，解得x ＝±12. 答案：C7．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( ) A ．50 2 m B ．50 3 m C ．25 2 m D.2522m解析：由正弦定理得AB ＝AC ·sin∠ACB sin B＝50×2212＝502(m)．答案：A8．已知平面内四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形 解析：由题意知a －b ＝d －c ， ∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形，故选D. 答案：D9．某人在无风条件下骑自行车的速度为v 1，风速为v 2(|v 1|>|v 2|)，则逆风行驶的速度的大小为( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2| D.v 1v 2解析：题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数，故逆风行驶的速度大小为|v 1|－|v 2|.答案：C10．已知O 为坐标原点，点A 的坐标为(2,1)，向量AB →＝(－1,1)，则(OA →＋OB →)·(OA→－OB →)等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：因为O 为坐标原点，点A 的坐标为(2,1)， 向量AB →＝(－1,1)， 所以OB →＝OA →＋AB →＝(2,1)＋(－1,1)＝(1,2)， 所以(OA →＋OB →)·(OA →－OB →)＝OA →2－OB →2＝(22＋12)－(12＋22) ＝5－5＝0.故选C. 答案：C11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac，(b ＋c ＋a )(b＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形 解析：∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．答案：C12．在△ABC 中，若|AB →|＝1，|AC →|＝3，|AB →＋AC →|＝|BC →|，则AB →·BC→|BC →|＝( )A ．－32 B ．－12C.12D.32解析：由向量的平行四边形法则，知当|AB →＋AC →|＝|BC →|时，∠A ＝90°.又|AB →|＝1，|AC →|＝3，故∠B ＝60°，∠C ＝30°，|BC →|＝2，所以AB →·BC →|BC →|＝|AB →||BC →|cos 120°|BC →|＝－12.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC 是共线向量，则m ＝________.解析：∵A ，B ，C 不共线，∴AB →与BC →不共线．又m 与AB →，BC →都共线，∴m ＝0. 答案：014．若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________. 解析：方法一：设OB →＝(x ，y )，由|OA →|＝|OB →|知x 2＋y 2＝10，又OA →·OB →＝x －3y＝0，所以x ＝3，y ＝1或x ＝－3，y ＝－1.当x ＝3，y ＝1时，|AB →|＝25；当x ＝－3，y ＝－1时，|AB →|＝2 5.故|AB →|＝2 5.方法二：由几何意义知，|AB →|就是以OA →，OB →为邻边的正方形的对角线长，又|OA →|＝10，所以|AB →|＝10×2＝2 5.答案：2 515．给出以下命题：①若a ≠0，则对任一非零向量b 都有a·b ≠0； ②若a ·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0； ③a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2. 其中正确命题的序号是________．解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a |＝|b |＝1，所以a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1，故a 2＝b 2.当非零向量a ，b 垂直时，有a·b ＝0，显然①②错误．答案：③16．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小为________N.解析：如图，由题意得，∠AOC ＝∠COB ＝60°，|OC →|＝10，则|OA →|＝|OB →|＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.答案：10三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：(1)AD →－AB →； (2)AB →＋CF →； (3)EF →－CF →.解析：(1)因为OB →＝b ，OD →＝d ， 所以AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b . (2)因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OF →＝f ， 所以AB →＋CF →＝(OB →－OA →)＋(OF →－OC →)＝b ＋f －a －c . (3)EF →－CF →＝EF →＋FC →＝EC →＝OC →－OE →＝c －e .18．(12分)已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为60°，c ＝5a ＋3b ，d ＝3a ＋k b ，当实数k 为何值时，(1)c ∥d ；(2)c ⊥d .解析：由题意得a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2×3×12＝3.(1)当c ∥d ，c ＝λd ，则5a ＋3b ＝λ(3a ＋k b )． ∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k ＝95.(2)当c ⊥d 时，c ·d ＝0，则(5a ＋3b )·(3a ＋k b )＝0. ∴15a 2＋3k b 2＋(9＋5k )a ·b ＝0， ∴k ＝－2914.19．(12分)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(m,2)，c ＝(3,4)，且(a －3b )⊥c . (1)求实数m 的值； (2)求向量a 与b 的夹角θ.解析：(1)因为a ＝(1,3)，b ＝(m,2)，c ＝(3,4)， 所以a －3b ＝(1,3)－(3m,6)＝(1－3m ，－3)．因为(a －3b )⊥c ，所以(a －3b )·c ＝(1－3m ，－3)·(3,4) ＝3(1－3m )＋(－3)×4 ＝－9m －9＝0， 解得m ＝－1.(2)由(1)知a ＝(1,3)，b ＝(－1,2)， 所以a ·b ＝5，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4.20．(12分)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2，－2)． (1)设c ＝2a ＋b ，求(b －a )·c ； (2)求向量a 在b 方向上的投影．解析：(1)由a ＝(1,3)，b ＝(2，－2)，可得c ＝(2,6)＋(2，－2)＝(4,4)，b －a＝(1，－5)，则(b －a )·c ＝4－20＝－16.(2)向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－422＝－ 2. 21．(12分)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC→＋CB →＝0，(1)用OA →，OB →表示OC →；(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形． 解析：(1)因为2AC →＋CB →＝0， 所以2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0， 2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0， 所以OC →＝2OA →－OB →.(2)证明：如图， DA →＝DO →＋OA →＝－12OB →＋OA →＝12(2OA →－OB →)．故DA →＝12OC →.故四边形OCAD 为梯形．22．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )·cos C＝c (3cos B －cos A )．(1)求sin B sin A的值；(2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解析：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )cos C ＝sin C (3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ， 即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ，∴sin Bsin A＝3.(2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.章末质量检测(二) 复数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数i －i 2的实部为( ) A ．0 B ．1 C ．i D ．－2 解析：i －i 2＝1＋i. 答案：B2．用C ，R 和I 分别表示复数集、实数集和虚数集，那么有( ) A ．C ＝R ∩I B ．R ∩I ＝{0}C ．R ＝C ∩ID ．R ∩I ＝∅解析：由复数的概念可知R ⊂C ，I ⊂C ，R ∩I ＝∅. 答案：D3．下列说法正确的是( )A ．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B ．a i 是纯虚数(a ∈R )C ．如果复数x ＋y i(x ，y ∈R )是实数，那么x ＝0，y ＝0D ．复数a ＋b i(a ，b ∈R )不是实数解析：两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则它们的实部、虚部分别相等，所以A 正确；B 中，当a ＝0时，a i ＝0是实数，所以B 不正确；要使复数x ＋y i(x ，y ∈R )是实数，则只需y ＝0，所以C 不正确；D 中，当b ＝0时，复数a ＋b i 是实数，所以D 不正确．答案：A4．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：由题意得复数z 的实部为－1，虚部为－2，因此在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限．答案：C5．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：z 1－z 2＝5－7i. 答案：D6．复数1－7i 1＋i 的虚部为( )A ．0 B. 2 C ．4 D ．－4 解析：∵1－7i1＋i＝1－7i 1－i 1＋i1－i ＝－6－8i2＝－3－4i ，∴复数1－7i1＋i 的虚部为－4，选D.答案：D7．复数z ＝(a 2－2a －3)＋(a ＋1)i 为纯虚数，实数a 的值是( ) A ．－1 B ．3C ．1D ．－1或3解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0，a ＋1≠0，解得a ＝3.故选B.答案：B8．已知z－1＋i ＝2＋i ，则复数z ＝( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i解析：由题意知z －＝(1＋i)(2＋i)＝2－1＋3i ＝1＋3i ，从而z ＝1－3i ，选B. 答案：B9．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞) D．(－∞，－3)解析：由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，且该点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1.答案：A10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依题意3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝32λ－μ＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1μ＝2，∴λ＋μ＝1.答案：A11．复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )满足条件|z －4i|＝|z ＋2|，则|2x＋4y|的最小值为( )A ．2B ．4C ．4 2D ．16解析：由|z －4i|＝|z ＋2|得x ＋2y ＝3. 则2x＋4y≥22x ＋2y＝2·23＝4 2.12．已知f (n )＝i n －i －n (i 2＝－1，n ∈N )，集合{f (n )}的元素个数是( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．无数个 解析：f (0)＝i 0－i 0＝0，f (1)＝i －i －1＝i －1i＝2i ，f (2)＝i 2－i －2＝0， f (3)＝i 3－i －3＝－2i.∴{f (n )}＝{0，－2i,2i}． 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．若复数z ＝(m －1)＋(m ＋2)i 对应的点在直线y ＝2x 上，则实数m 的值是________．解析：由已知得2(m －1)－(m ＋2)＝0，∴m ＝4. 答案：414．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则z 的实部是________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则i(z ＋1)＝i(a ＋1＋b i)＝－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i ， 所以a ＝1，b ＝3，复数z 的实部是1. 答案：115．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝________.解析：∵AB →＝(－1＋3i)－(1＋i)＝－2＋2i ， ∴|AB →|＝2 2. 答案：2 216．设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为________． 解析：先利用复数的运算法则将复数化为x ＋y i(x ，y ∈R )的形式，再由纯虚数的定义求a .因为a －103－i ＝a －103＋i 3－i 3＋i＝a －103＋i10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)实数m 为何值时，复数z ＝m ＋6m －1＋(m 2＋5m －6)i 是实数？ 解析：复数z 为实数，则虚部为0，由于实部是分式，因此要求分式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m －6＝0，m ≠1，解得m ＝－6.所以当m ＝－6时，复数z 是实数． 18．(12分)计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220.解析：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2i ·i 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 220＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i 10＝(1＋i)2－i 10＝1＋2i.19．(12分)复数z ＝(a 2＋1)＋a i(a ∈R )对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹方程是什么？解析：因为a 2＋1≥1>0，复数z ＝(a 2＋1)＋a i 对应的点为(a 2＋1，a )，所以z 对应的点在第一、四象限或实轴的正半轴上．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2＋1，y ＝a ，消去a 可得x ＝y 2＋1，所以复数z 对应的点的轨迹方程是y 2＝x －1.20．(12分)设复数z 1＝(a 2－4sin 2θ)＋(1＋2cos θ)i ，a ∈R ，θ∈(0，π)，z 2在复平面内对应的点在第一象限，且z 22＝－3＋4i.(1)求z 2及|z 2|；(2)若z 1＝z 2，求θ与a 的值．解析：(1)设z 2＝m ＋n i(m ，n ∈R )，则z 22＝(m ＋n i)2＝m 2－n 2＋2mn i ＝－3＋4i ，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝－3，2mn ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－2，所以z 2＝1＋2i 或z 2＝－1－2i.又因为z 2在复平面内对应的点在第一象限，所以z 2＝－1－2i 应舍去， 故z 2＝1＋2i ，|z 2|＝ 5.(2)由(1)知(a 2－4sin 2θ)＋(1＋2cos θ)i ＝1＋2i ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4sin 2θ＝1，1＋2cos θ＝2，解得cos θ＝12，因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3，所以a 2＝1＋4sin 2θ＝1＋4×34＝4，a ＝±2.综上，θ＝π3，a ＝±2.21．(12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z<0，求z .解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1.则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i.∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1＝0，x 2－y 2＋3x <0，①②又x 2＋y 2＝1.③ 由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.22．(12分)已知复数z 1＝i(1－i)3. (1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．解析：(1)|z 1|＝|i(1－i)3|＝|2－2i|＝22＋－22＝2 2.(2)如图所示，由|z |＝1可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O (0,0)的圆，而z 1对应着坐标系中的点Z 1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆的半径)＝22＋1.章末质量检测(三) 立体几何初步一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．答案：D2．关于直观图画法的说法中，不正确的是( )A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x′轴，其长度不变B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y′轴，其长度不变C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可画成135°D．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同解析：根据斜二测画法的规则可知B不正确．答案：B3．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是( )A ．4SB ．4πSC ．πSD ．2πS解析：由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R ， 则2R ·2R ＝4S ，得R 2＝S .所以底面面积为πR 2＝πS . 答案：C4．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm 3，则其表面积为( ) A ．18 3 cm 2B ．18 cm 2C ．12 3 cm 2D ．12 cm 2解析：设正四面体的棱长为a cm ，则底面积为34a 2 cm 2，易求得高为63a cm ，则体积为13×34a 2×63a ＝212a 3＝9，解得a ＝32，所以其表面积为4×34a 2＝183(cm 2)．答案：A5．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，6，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为( )A ．16π B．32π C ．36π D．64π解析：将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为12＋62＋32＝4，即球的半径为2，故这个球的表面积为4πr 2＝16π.答案：A6．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B 在平面β内，则在平面β内且过点B 的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：当直线a ⊂平面β，且点B 在直线a 上时，在平面β内且过点B 的所有直线中不存在与a 平行的直线．故选A.答案：A7．若α∥β，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β，且AB ＋CD ＝28，AB 、CD 在β内的射影长分别为9和5，则AB 、CD 的长分别为( )A ．16和12B ．15和13C ．17和11D ．18和10解析：如图，作AM ⊥β，CN ⊥β，垂足分别为M 、N ，设AB ＝x ，则CD ＝28－x ，BM ＝9，ND ＝5，∴x 2－81＝(28－x )2－25， ∴x ＝15,28－x ＝13. 答案：B 8.如图，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1＝14A 1B 1，则多面体P －BCC 1B 1的体积为( )A.83B.163 C ．4 D ．5解析：V 多面体P －BCC 1B 1＝13S 正方形BCC 1B 1·PB 1＝13×42×1＝163.答案：B9．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为A 1B 1的中点，AB ＝BC ＝BB 1＝2，AC ＝25，则异面直线BD 与AC 所成的角为( )A ．30° B．45° C ．60° D．90°解析：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角(或其补角)．由条件可知BD＝DE＝EB＝5，所以∠BDE＝60°，故选C.答案：C10．如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是( )A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BCP⊥平面PAC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.答案：B11．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为( )A．30° B．60°C．90° D．120°解析：如图所示，由AB＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C＝ 2.∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝22，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．∵AC ＝1，MC ＝AM ＝22，∴∠CMA ＝90°. 答案：C12．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝4，PA ⊥平面AC ，且PA ＝1，则点P 到对角线BD 的距离为( )A.292 B.135C.175D.1195 解析：如图，过点A 作AE ⊥BD 于E ，连接PE . ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥BD ，∴BD ⊥平面PAE ，∴BD ⊥PE . ∵AE ＝AB ·AD BD ＝125，PA ＝1， ∴PE ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝135.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．正方形ABCD 绕对角线AC 所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________． 解析：由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体． 答案：两个同底的圆锥组合体14．若某空间几何体的直观图如图所示，则该几何体的表面积是________． 解析：根据直观图可知该几何体是横着放的直三棱柱，所以S 侧＝(1＋2＋3)×2＝2＋2＋6， S 底＝12×1×2＝22， 故S 表＝2＋2＋6＋2×22＝2＋22＋ 6.答案：2＋22＋ 615．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：∵EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点．故EF ＝12AC ＝ 2.答案： 216．矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1，则PC 与平面ABCD所成的角是________．解析：tan∠PCA ＝PA AC＝13＝33，∴∠PCA ＝30°. 答案：30°三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图是由正方形ABCE 和正三角形CDE 所组成的平面图形，试画出其水平放置的直观图．解析：(1)以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图(1)，再建立坐标系x ′O ′y ′，使两轴的夹角为45°，如图(2)．(2)以O ′为中点，在x ′轴上截取A ′B ′＝AB ，分别过A ′，B ′作y ′轴的平行线，截取A ′E ′＝12AE ，B ′C ′＝12BC .在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD .(3)连接E ′D ′，E ′C ′，C ′D ′，并擦去作为辅助线的坐标轴，就得到所求的直观图，如图(3)．18．(12分)如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连接A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥A ′－BC ′D 的体积．解析：(1)∵ABCD －A ′B ′C ′D ′是正方体， ∴A ′B ＝A ′C ′＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ，∴三棱锥A ′－BC ′D 的表面积为4×12×2a ×32×2a ＝23a 2.而正方体的表面积为6a 2，故三棱锥A ′－BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值为23a 26a 2＝33. (2)三棱锥A ′－ABD ，C ′－BCD ，D －A ′D ′C ′，B －A ′B ′C ′是完全一样的． 故V 三棱锥A ′－BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′－ABD ＝a 3－4×13×12a 2×a ＝a33.19．(12分)如图，四边形ABCD 与四边形ADEF 都为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．求证：(1)BE ∥平面DMF ； (2)平面BDE ∥平面MNG .证明：(1)设DF 与GN 交于点O ，连接AE ，则AE 必过点O ，且O 为AE 的中点，连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO .因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为AD，EF的中点，四边形ADEF为平行四边形，所以DE∥GN.因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG.因为DE∩BD＝D，BD，DE⊂平面BDE，所以平面BDE∥平面MNG.20．(12分)S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，∴DE∥BC，∴DE⊥AB，∵SA＝SB，∴△SAB为等腰三角形，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，则BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.21．(12分)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，点E是AB的中点．(1)求证：OE∥平面BCC1B1；(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.证明：(1)连接BC1，因为侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，所以O为AC1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BC1，因为OE⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.(2)因为侧面AA1C1C是菱形，所以AC1⊥A1C，因为AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因为BC⊂平面A1BC，所以AC1⊥BC.22．(12分)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB.(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值．解析：(1)证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．所以△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°.同理∠C1EC＝45°.所以∠DEC＝90°，即DE⊥EC.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，又DE⊂平面D1DCC1，所以BC⊥DE.又EC∩BC＝C，所以DE⊥平面EBC.因为DE⊂平面DEB，所以平面DEB⊥平面EBC.(2)如图所示，过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，因为平面ABCD⊥平面D1DCC1，且交线为DC，所以EO⊥面ABCD.过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连接EF，所以EF⊥BD.∠EFO为二面角E－DB－C的平面角．利用平面几何知识可得OF＝15，又OE＝1，所以tan∠EFO＝ 5.章末质量检测(四) 统计一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，下列说法正确的是( )A．500名学生是总体B．每个被抽查的学生是样本C．抽取的60名学生的体重是一个样本D．抽取的60名学生是样本容量解析：A×总体应为500名学生的体重B×样本应为每个被抽查的学生的体重C√抽取的60名学生的体重构成了总体的一个样本D×样本容量为60，不能带有单位2．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将70个同学按01,02,03，…，70进行编号，然后从随机数表第9行第9列的数开始向右读，则选出的第7个个体是( )(注：如表为随机数表的第8行和第9行)63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54A ．07B ．44C ．15D ．51解析：找到第9行第9列数开始向右读，符合条件的是29,64,56,07,52,42,44，故选出的第7个个体是44.答案：B3．对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有以下结论： ①这组数据的众数是3.②这组数据的众数与中位数的数值不等． ③这组数据的中位数与平均数的数值相等． ④这组数据的平均数与众数的数值相等． 其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：由题意知，众数与中位数都是3，平均数为4.只有①正确，故选A. 答案：A4．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )A ．8B ．11C ．16D ．10解析：若设高三学生数为x ，则高一学生数为x 2，高二学生数为x2＋300，所以有x＋x 2＋x 2＋300＝3 500，解得x ＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取的高一学生数为800100＝8.答案：A5．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的25，且样本容量为140，则中间一组的频数为( )A ．28B ．40C ．56D ．60解析：设中间一组的频数为x ，则其他8组的频数和为52x ，所以x ＋52x ＝140，解得x ＝40.答案：B6．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如表所示：一年级二年级三年级女生373380y男生377370z现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( )A．24 B．18C．16 D．12解析：一年级的学生人数为373＋377＝750，二年级的学生人数为380＋370＝750，于是三年级的学生人数为2 000－750－750＝500，那么三年级应抽取的人数为500×642 000＝16.故选C.答案：C7．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是( )A．甲的极差是29 B．乙的众数是21C．甲罚球命中率比乙高 D．甲的中位数是24解析：甲的极差是37－8＝29；乙的众数显然是21；甲的平均数显然高于乙，即C成立；甲的中位数应该是23.答案：D8．为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为( )A ．1B ．8C ．12D ．18解析：由图知，样本总数为N ＝200.16＋0.24＝50.设第三组中有疗效的人数为x ，则6＋x 50＝0.36，解得x ＝12. 答案：C9．一组数据的方差为s 2，平均数为x ，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得的一组新数据的方差和平均数为( )A.12s 2，12x B ．2s 2,2x C ．4s 2,2x D ．s 2，x解析：将一组数据的每一个数都乘以a ，则新数据组的方差为原来数据组方差的a 2倍，平均数为原来数据组的a 倍．故答案选C.答案：C10.某超市连锁店统计了城市甲、乙的各16台自动售货机在12：00至13：00间的销售金额，并用茎叶图表示如图，则可估计有( )A ．甲城市销售额多，乙城市销售额不够稳定B ．甲城市销售额多，乙城市销售额稳定C ．乙城市销售额多，甲城市销售额稳定D ．乙城市销售额多，甲城市销售额不够稳定解析：十位数字是3,4,5时乙城市的销售额明显多于甲，估计乙城市销售额多，甲的数字过于分散，不够稳定，故选D.答案：D11．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加上2所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差解析：设A 样本数据为x i ，根据题意可知B 样本数据为x i ＋2，则依据统计知识可知A ，B 两样本中的众数、平均数和中位数都相差2，只有方差相同，即标准差相同．答案：D12．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为( ) A.1169 B.367 C ．36 D.677解析：由题图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x ＝4.故s 2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝367.故选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上) 13．将一个容量为m 的样本分成3组，已知第一组频数为8，第二、三组的频率为0.15和0.45，则m ＝________.解析：由题意知第一组的频率为 1－(0.15＋0.45)＝0.4， 所以8m＝0.4，所以m ＝20.答案：2014．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上(包括50岁)的人，用分层抽样的方法从中抽20人，各年龄段分别抽取的人数为________．解析：由于样本容量与总体个体数之比为20100＝15，故各年龄段抽取的人数依次为45×15＝9(人)，25×15＝5(人)，20－9－5＝6(人)．答案：9,5,615．某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为________．解析：由频率分布图知，设90～100分数段的人数为x ，则0.40x ＝0.0590，所以x＝720.答案：72016．设样本数据x 1，x 2，…，x 2017的方差是4，若y i ＝2x i －1(i ＝1,2，…，2 017)，则y 1，y 2，…，y 2017的方差为________．解析：本题考查数据的方差．由题意得D (y i )＝D (2x i －1)＝D (2x i )＝4D (x i )＝4×4＝16.答案：16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)某总体共有60个个体，并且编号为00,01，…，59.现需从中抽取一个容量为8的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11列的1开始．依次向下读数，到最后一行后向右，直到取足样本为止(大于59及与前面重复的数字跳过)，求抽取样本的号码．95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 38 79 58 69 32 81 76 80 26 92 82 80 84 25 39 90 84 60 79 80 24 36 59 87 38 82 07 53 89 35 56 35 23 79 18 05 98 90 07 35 46 40 62 98 80 54 97 20 56 95 15 74 80 08 32 16 46 70 50 80 67 72 16 42 79 20 31 89 03 43 38 46 82 68 72 32 14 82 99 70 80 60 47 18 97 63 49 30 21 30 71 59 73 05 50 08 22 23 71 77 91 01 93 20 49 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60解析：由随机数表法可得依次的读数为：18,24,54,38,08,22,23,0118．(12分)某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%，为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．试确定：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．解析：(1)设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a ，b ，c ，则有x ·40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ·10%＋3xc4x＝10%.解得b ＝50%，c ＝10%. 故a ＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%,50%,10%.(2)游泳组中，抽取的青年人数为200×34×40%＝60；抽取的中年人数为200×34×50%＝75；抽取的老年人数为200×34×10%＝15.19．(12分)已知一组数据按从小到大的顺序排列为－1，0,4，x,7,14，中位数为5，求这组数据的平均数与方差．解析：由于数据－1,0,4，x,7,14的中位数为5，所以4＋x2＝5，x ＝6.设这组数据的平均数为x －，方差为s 2，由题意得 x －＝16×(－1＋0＋4＋6＋7＋14)＝5，s 2＝16×[(－1－5)2＋(0－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(7－5)2＋(14－5)2]＝743. 20．(12分)为了了解小学生的体能情况，抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)．已知图中从左到右前三个小组频率分别为0.1,0.3,0.4，第一小组的频数为5.(1)求第四小组的频率；(2)参加这次测试的学生有多少人；(3)若次数在75次以上(含75次)为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少．解析：(1)由累积频率为1知，第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2. (2)设参加这次测试的学生有x 人，则0.1x ＝5， 所以x ＝50.即参加这次测试的学生有50人． (3)达标率为0.3＋0.4＋0.2＝90%，所以估计该年级学生跳绳测试的达标率为90%.21．(12分)市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛．他们的成绩(单位：m)如下：甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75(1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？(2)哪位运动员的成绩更为稳定？(3)若预测跳过1.65 m就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪名运动员参赛？若预测跳过1.70 m才能得冠军呢？解析：(1)甲的平均成绩为：(1.70＋1.65＋1.68＋1.69＋1.72＋1.73＋1.68＋1.67)÷8＝1.69 m，乙的平均成绩为：(1.60＋1.73＋1.72＋1.61＋1.62＋1.71＋1.70＋1.75)÷8＝1.68 m；(2)根据方差公式可得：甲的方差为0.0006，乙的方差为0.00315∵0.0006＜0.00315∴甲的成绩更为稳定；(3)若跳过1.65 m就很可能获得冠军，甲成绩均过1.65米，乙3次未过1.65米，因此选甲；若预测跳过1.70 m才能得冠军，甲成绩过1.70米3次，乙过1.70米5次，因此选乙．22．(12分)某中学高一女生共有450人，为了了解高一女生的身高(单位：cm)情况，随机抽取部分高一女生测量身高，所得数据整理后列出频率分布表如下：(1)(2)画出频率分布直方图；(3)估计该校高一女生身高在[149.5,165.5]范围内的有多少人？解析：(1)由题意得M＝80.16＝50，落在区间[165.5,169.5]内的数据频数m＝50－(8＋6＋14＋10＋8)＝4，。