20080620高一数学(3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式)PPT教学课件

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两角和差的正弦余弦和正切公式ppt课件

8
8
又cos2θ=1-2sin2θ，
所以 sin
1 cos2
1 ( 1) 8
3.
2
24
24
【变式备选】已知＜＜3 ,0＜＜ ,cos( ) 3 ,sin(3 ) 5 ,
4
4
44
54
13
求sin(α+β)的值.
【解析】∵ ＜＜3 , ＜＜,
4
4 24
又∵ cos( ) 3 ,sin( ) 4 ,
4
5
cos cosx sin再 s求inxco s3x, ,sinx的值就很繁琐，把
4
4
5
作为整体，并注意角的变换 2 ( x) 这样 2就x,可运用二
4
2
倍角公式.化难为易，化繁为简是三角恒等变换的关键.
x 4
2.解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数
的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角.
第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1
2
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
公式名
两角和与差的正弦两角和与差的余弦两角和与差的正切
公式
sin( ) _s_in___c_o_s____c_o__s__s_i_n_
cos( ) _c_o_s___c_o_s____s_i_n__s_i_n_ tan tan
19
【例2】若 cos( x) 3 ,17 ＜x＜7 ,求 sin2x 2sin2x 的值.
4
5 12
4
1 tanx
【解题指南】本题可以利用 x ( x的) 变换，同时要注意
4
4
x的范围和符号，求出sinx和cosx代入原式求解；也可以化简

数学必修Ⅳ人教新课标A版3-1-2两角和与差的正弦-余弦-正切公式课件(24张)

a sin x b cos x
a2
b2
a
sin x
a2 b2
a
令
cos sin
a2 b2 b
a2 b2
b
cos x
a2 b2
a2 b2 sin x cos cos x sin
2
2
sin cos - cos sin
两角和与差的正弦公式
sin sin cos cos sin
简记：S( )
sin( ) ? 用代
sin( ) sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
sin( ) sin cos cos sin
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
复习
cos ( – ） =cos cos + sinsin cos( ) ? cos cos – sin sin
sin( ) ?
sin( ) ?
二、公式的推导
sin
cos
2
sin( ) ? 用代
cos
2
cos cos sin sin
tan 1 1 tan
4
3 1
4 1 (
3)
7
4
例3：利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1)sin72。cos 42。 cos 72。sin 42。;
(2) cos 20。cos 70。 sin 20。sin 70。;
1 tan15。 (3) 1- tan15。.
解：（1)由公式得：
sin72。cos 42。 cos 72。sin 42。
3
2
∵ tan(17
28
)
tan17 tan 28 1 tan17 tan 28

两角和与差的正弦余弦和正切公式高一数学精品课件

π－7π 2 18
sin29π
＝(2s)i原n71式π8c＝oss2i9πn－(x＋co2s771π°8)scions29(π1＝8°s－inx71)－π8－co29sπ[ 9＝0s°i－nπ6(＝6312°. －x) ] sin(x－18°)
＝sin(x＋27°)cos(x－18°)－cos(x＋27°)sin(x－18°)
1－
－11 14
2＝5
3，
14
∴sin β＝sin[ ( α＋β) －α] ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α
＝5 3×1－ 14 7
－11 14
×4 3＝ 7
23.
[方法技巧] 给值(式)求值的策略
(1)直接法：当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
1．两角和与差的正弦公式的一般使用方法 (1)正用：把 sin(α±β)从左向右展开． (2)逆用：公式的右边化简成左边的形式，当结构不具备条件时，要用相关公式调节后再逆用． (3)变形应用：它涉及两个方面，一是公式本身的变形；二是角的变形，也称为角的拆分变换，如 β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)．
＝12sin
α＋
3 2 cos
α＋
3 2 cos
α－12sin
α－
3cos α＝0.
(3)原式＝tan(70°＋50°)(1－tan 70°tan 50°)－ 3tan 70°·tan 50°＝－
3(1－tan 70°tan 50°)－ 3tan 70°tan 50°＝－ 3.
题型二给值(式)求值问题
＝sin[ ( x＋27°) －( x－18°) ] ＝sin 45°＝ 2 . 2

高中数学3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件新人教A版必修4

2
.
则 tan θ= (��又称为辅助角).
��
∴asin α±bcos α= ��2 + �� 2 (sin αcos θ±cos αsin θ) =
�� 2 + �� 2 sin(�� ± ��). 特别是当 = ± 1, ± 3, ±
π+ 12
cos
π . 12
分析:本题(1)可先用诱导公式再逆用两角和的正弦公式求解,本题 (2)可构造两角和的正弦公式求解.
题型一
题型二
题型三
题型四
解 :(1)原式 =sin(360° -13° )cos(180° -32° )+sin(90° -13° )cos(90° - 32° ) =sin 13° cos 32° +cos 13° sin 32° =sin(13° +32° )
�� α -�� β 1+�� α�� β
简记 S(α-β) C(α -β) T(α-β) S(α+ β) C(α+ β) T(α+β)
sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β tan(α+β) =
2
sin�� ±
�� 2 +��2
cos�� ,
∵
�� 2 + ��2

数学：3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》课件

存在商数关系，从 S( )、C( )出发， tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tanα、
tanβ有什么关系
tan(
)
tan 1 tan
tan tan
,
tan(
)
tan tan 1 tan tan
.
思考6：上述公式就是两角和与差的正切
公式，分别记作 T( )，T( ) ，这两个公式有什么特点？如何记忆？公式成
小结作业
1.两角差的余弦公式 C 是两角和与差的三角系列公式的基础，明确了各公式的内在联系，就自然掌握了公式的形成过程.
2.公式 S( ) 与 S( ) ，C( 与) C T( ) 与 T( )的结构相同，但运算符号不同，必须准确记忆，防止混淆.
3.公式都是有灵性的，应用时不能生搬硬套，要注意整体代换和适kkss5当u精品变课件件形.
3.有了两角差的余弦公式，自然想得到两角差的正弦、正切公式，以及两角和的正弦、余弦、正切公式，对此，我们将逐个进行探究，让希望成为现实.
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第三页，编辑于星期日：十二点二十四分。
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第四页，编辑于星期日：十二点二十四分。
探究（一）：两角和与差的基本三角公式
思考1：注意到α＋β＝α―(―β)，结合两角差的余弦公式及诱导公式，cos(α ＋β)等于什么？
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，
记作记忆？
C，( 该)公式有什么特点？如何
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第五页，编辑于星期日：十二点二十四分。
思考3：诱导公式 sin(2 ) cos 可以实现由正弦到余弦的转化，结合 C( 和) C( ) 你能推导出sin(α＋β)，sin(α －β)分别等于什么吗？

高中数学 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

∟
∟
∟
x
例1、利用和(差)公式求75°，15°的正弦、余弦和正切的值. 解： sin75°=sin( 45°+30°) =sin45°cos30° +cos45°sin30° 2 3 2 1 6 2 ; 2 2 2 2 4 cos75°=cos(45°+30°) =cos45°cos30° –sin45°sin30° 2 1 2 3 6 2 ; 2 2 2 2 4
在研究三角函数时，我们还常常遇到这样
的问题：已知任意角α、β的三角函数值，
如何求α+β、 α–β或 2α的三角函数值？下面我们先引出平面内两点间的距离公式，并从两角和的余弦公式谈起.
在坐标平面内的任意两点P1(x1, y1), P2(x2, y2),
P1Q=M1M2=┃x1–x2┃，QP2=N1N2=┃y1–y2┃，
∴ cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ，
（C（α+β））
cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ
（C（α+β））
这个公式对于任意角α、β都成立.
例如 cos(62° +59°) cos59° ＝cos62° sin59°; – sin62° cos(113° +27°) cos27° sin27°; – sin113° ＝cos113° cos[α +(–β)] ＝cosα cos(–β) – sinα sin(–β)，
sin(α+β)=sinαcosβ +cosαsinβ, （S（α+β）） cos(α+β)= cosα cosβ –sinα sinβ，（C（α+β））记忆方式： y sin(α+β) Q =QM =NE+QF =ONsinα+QNcosα α = sinαcosβ + cosαsinβ; P F cos(α+β) N β =OM =OE–FN α =ONcosα– QNsinα 1 O M E = cosαcosβ – sinαsinβ.

3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式课件

cos( ) cos cos sin sin
4
4
4
2 4 2 ( 3) 7 2 ; 2 5 2 5 10
tan(

4
)

tan tan
4
1 tan tan
tan 1 1 tan
4
3 1

4 1 (
3)

sin( ) sin cos cos sin
两角和与差的正弦公式
1、两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
简记：S( )
2、两角差的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
通过公式的推导，了解它们内在的联系．进一步培养学生的逻辑推理能力。
教学重难点
重点
两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；
难点
两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用。
一、复习：
cos ( – ）=cos cos + sinsin
思考：由公式 C( ) 出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？

2

cos cos sin sin
2
2
sin cos cos sin
用代
sin( ) sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（第一课时）
知识回顾
复习引入：
上一节学过的公式 C( )（1）它的结
构特点是什么？（2）它的正用逆用；（3）这里、可以是怎样的角？

两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

即 tan(α－β)＝________，这就是两角差的正切公式．
练习 5：1t＋an4ta5n°4－5°ttaann1155°°＝________________.
tan α－tan β 1＋tan αtan β
练习：5.
3 3
思考应用
3．两角和与差的正切公式的适用范围及公式的特征有哪些？
解析：(1) 适用范围：限制条件：α、β、α＋β 均不为 kπ＋π2(k∈Z)；可以是数、字母和代数式．从公式推导过程进行说理：cos(α＋β)≠0，则 α＋β≠kπ＋π2；同除 cos α、cos β，得 cos α≠0，cos β≠0，则 α≠kπ＋π2，cos β≠kπ＋π2.cos x≠0，保证了 tan x 有意义．
∵cos(α－β)＝1134，∴sin(α－β)＝3143，由 β＝α－(α－β)，得
cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝7×4914＝12， ∵0<β<π2，所以 β＝π3.
点评：解答此类问题分三步：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的范围写出所求的角．特别注意选取角的某一个三角函数值，是取正弦？还是取余弦？应先缩小所求角的取值范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数值的一个单调区间内．
sin αcos β＋cos αsin β
以－β 代替公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
中的 β，得到 sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋
cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β，

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cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
思考2：上述公式就是两角和的余弦公式，
记作记忆？
2020/12/10
C (，该)公式有什么特点？如何
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思考3：诱导公式 sin(2 ) cos 可以实现由正弦到余弦的转化，结合 C ( )和 C ( ) 你能推导出sin(α＋β)， sin(α－β)分别等于什么吗？
T(α－β)
2020/12/10
C(α－β) S(α－β)
C(α＋β) S(α＋β)
T(α＋β)
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探究（二）：两角和与差三角公式的变通
思考1：若cosα＋cosβ＝a，sinα－sinβ＝ b，则cos(α＋β)等于什么？
cos(
) a2 b2 2 2
思考2：若sinα＋cosβ＝a，cosα＋sinβ＝ b，则sin(α＋β)等于什么？
（3）11
tan15 tan15
；
（4）tan17°＋tan28°+tan17°tan28°
例3 求证：s in ( s 2 in )2 c o s (
2020/12/10
) s s i in n.
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小结作业
1.两角差的余弦公式 C 是两角和与差的三角系列公式的基础，明确了各公式的内在联系，就自然掌握了公式的形成过程.
c o s ( )( c o s c o s) 2( s i ns i n ) 22 2
2 [c (o cs o ) 2 ( s si s ni ) 2 ] n
c(o ) s
2020/12/10
2
2
2.利用两角差的余弦公式固然能解决一些问题，但范围太窄，我们希望在此基础上获取一系列有应用价值的公式，实现资源利用和可持续发展战略.
tanβ有什么关系
ta n ( ) 1 ta n ta nt t a a n n,
ta n ( ) 1 ta n ta ntt a a n n.
思考6：上述公式就是两角和与差的正切
公式，分别记作 T( )，T( ) ，这两
个公式有什么特点？如何记忆？公式成
立的条件是什么？ 2020/12/10
7
思考7：为方便起见，公式S ( ), C ( ), T( ) 称为和角公式，公式S ( ), C , T( ) 称为差角公式.怎样理解这6个公式的逻辑联系？
14
2.公式 S ( ) 与 S ( ) ，C ( )与 C T( ) 与 T ( ) 的结构相同，但运算符号不同，必须准确记忆，防止混淆.
3.公式都是有灵性的，应用时不能生搬硬2套020/12，/10 要注意整体代换和适当变形. 13
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
示吗？
s in xc o s x 2 s in ( x )
2020/12/10
4
10
理论迁移
例1 已知sin 3 ，α是第四象限角，
求 cos( )
4
Байду номын сангаас，sin5( ) ，tan(
4
4)的值.
2020/12/10
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例2 求下列各式的值：（1）cos75°；（2 )sin20°cos50°-sin70°cos40°；
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
思考4：上述公式就是两角和与差的正
弦公式，分别记作 S( ) ，S ( ) ，这两
个2公020/12式/10 有什么特点？如何记忆？
6
思考5：正切函数与正弦、余弦函数之间存在商数关系，从 S( ) 、C ( ) 出发， tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tanα、
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
2020/12/10
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问题提出
1.两角差的余弦公式是什么？它有哪些基本变式？
c(o ) s cc oo s ss in in
c c o o s ) ] s c [ o ) c ( s s o i ( ) s s n
c c o o ) s ] s c [ o ) c ( s o i ( ) s s n
3.有了两角差的余弦公式，自然想得到两角差的正弦、正切公式，以及两角和的正弦、余弦、正切公式，对此，我们将逐个进行探究，让希望成为现实.
2020/12/10
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2020/12/10
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探究（一）：两角和与差的基本三角公式
思考1：注意到α＋β＝α―(―β)，结合两角差的余弦公式及诱导公式， cos(α＋β)等于什么？
sin(
) a2 b2 2 2
2020/12/10
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思考3：根据公式 T ，tanα＋tanβ 可变形为什么？
tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ)
思考4：在△ABC中，tanA，tanB，tanC 三者有什么关系？
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
思考5：sinx＋cosx能用一个三角函数表