2018年秋高中数学第一章三角函数1.2任意的三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系学案新人教A版必修

1.2.2　同角三角函数的基本关系学习目标：1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．平方关系(1)公式：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.2．商数关系(1)公式：＝tan_α(α≠k π＋，k ∈Z )．sin αcos απ2(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．思考：对任意的角α，sin 22α＋cos 22α＝1是否成立？[提示]　成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．[基础自测]1．思考辨析(1)对任意角α，＝tan 都成立．( )sin α2cosα2α2(2)因为sin 2 π＋cos 2 ＝1，所以sin 2α＋cos 2β＝1成立，其中α，β为任意94π4角．( )(3)对任意角α，sin α＝cos α·tan α都成立．( )[解析]　由同角三角函数的基本关系知(2)错，由正切函数的定义域知α不能取任意角，所以(1)错，(3)错．[答案]　(1)×　(2)×　(3)×2．化简的结果是( )1－sin23π5A ．cos B ．sin 3π53π5C ．－cos D ．－sin 3π53π5C [因为是第二象限角，3π5所以cos ＜0，3π5所以＝＝＝－cos .]1－sin23π5cos23π5|c os 3π5|3π53．若cos α＝，且α为第四象限角，则tan α＝________.35－　[因为α为第四象限角，且cos α＝，4335所以sin α＝－＝－＝－，1－cos2α1－(35)245所以tan α＝＝－.]sin αcos α43[合 作 探 究·攻 重 难]直接应用同角三角函数关系求值　(1)已知α∈，tan α＝2，则cos α＝________.(π，3π2)(2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值. 【导学号：84352041】817[思路探究]　(1)根据tan α＝2和sin 2α＋cos 2α＝1列方程组求cos α.(2)先由已知条件判断角α是第几象限角，再分类讨论求sin α，tan α.(1)－　[(1)由已知得Error!55由①得sin α＝2cos α代入②得4cos 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝，又α∈，所以cos α＜0，15(π，3π2)所以cos α＝－.]55(2)∵cos α＝－＜0，817∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sin α＝＝＝，1－cos2α1－(－817)21517tan α＝＝＝－.sin αcos α1517－817158如果α是第三象限角，同理可得sin α＝－＝－，tan α＝.1－cos2α1517158[规律方法]　利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系．(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果．提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号．[跟踪训练]1．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．[解]　∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴(－3cos α)2＋cos 2α＝1，即10cos 2α＝1，∴cos α＝±.1010又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号，∴角α的终边在第二或第四象限．当角α的终边在第二象限时，cos α＝－，sin α＝；101031010当角α的终边在第四象限时，cos α＝，sin α＝－.101031010灵活应用同角三角函数关系式求值　(1)已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝________.713(2)已知＝2，计算下列各式的值．sin α＋cos αsin α－cos α①；3sin α－cos α2sin α＋3cos α②sin 2α－2sin αcos α＋1. 【导学号：84352042】[思路探究]　(1)法一→→→求sin αcos α求sin α－cos α求sin α和cos α求tan α法二→→求sin αcos α弦化切构建关于tan α的方程求tan α(2)→求tan α换元或弦化切求值(1)－　[法一：(构建方程组)125因为sin α＋cos α＝，①713所以sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝，49169即2sin αcos α＝－.120169因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0.所以sin α－cos α＝＝＝.② sin α－cos α 21－2sin αcos α1713由①②解得sin α＝，cos α＝－，1213513所以tan α＝＝－.sin αcos α125法二：(弦化切)同法一求出sin αcos α＝－，＝－，＝－，60169sin αcos αsin2α＋cos2α60169tan αtan2α＋160169整理得60tan 2α＋169tan α＋60＝0，解得tan α＝－或tan α＝－.512125由sin α＋cos α＝＞0知|sin α|＞|cos α|，故tan α＝－.713125(2)由＝2，化简，sin α＋cos αsin α－cos α得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.①法一(换元)原式＝＝＝.3×3cos α－cos α2×3cos α＋3cos α8cos α9cos α89法二(弦化切)原式＝＝＝.3tan α－12tan α＋33×3－12×3＋389②原式＝＋1sin2α－2sin αcos αsin2α＋cos2α＝＋1＝＋1＝.]tan2α－2tan αtan2α＋132－2×332＋11310母题探究：1.将本例(1)条件“α∈(0，π)”改为“α∈(－π，0)”其他条件不变，结果又如何？[解]　由例(1)求出2sin αcos α＝－，120169因为α∈(－π，0)，所以sin α＜0，cos α＞0，所以sin α－cos α＝－ sin α－cos α 2＝－＝－.1－2sin αcos α1713与sin α＋cos α＝联立解得sin α＝－，cos α＝，7135131213所以tan α＝＝－.sin αcos α5122．将本例(1)的条件“sin α＋cos α＝”改为“sin α·cos α＝－”其他条件71318不变，求cos α－sin α.[解]　因为sin αcos α＝－＜0，所以α∈，所以cos α－sin α＜0，18(π2，π)cos α－sin α＝－＝－＝－.1－2sin αcos α1－2×(－18)52[规律方法]　1.sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sinα±cos α)2＝1±2sin αcos α.2．已知tan α＝m ，求关于sin α，cos α的齐次式的值解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos α≠0，所以可除以cos α，这样可将被求式化为关于tan α的表示式，然后代入tan α＝m 的值，从而完成被求式的求值．提醒：求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号.应用同角三角函数关系式化简　(1)化简＝________.2sin2α－11－2cos2α(2)化简·.(其中α是第三象限角)sin α1－cos αtan α－sin αtan α＋sin α[思路探究]　(1)将cos 2α＝1－sin 2α代入即可化简．(2)首先将tan α化为，然后化简根式，最后约分．sin αcos α(1)1　[(1)原式＝＝＝1.2sin2α－11－2 1－sin2α 2sin2α－12sin2α－1(2)原式＝·sin α1－cos αsin αcos α－sin αsin αcos α＋sin α＝·sin α1－cos α1－cos α1＋cos α＝·sin α1－cos α 1－cos α 21－cos2α＝·.sin α1－cos α1－cos α|sin α|又因为α是第三象限角，所以sin α＜0.所以原式＝·＝－1.]sin α1－cos α1－cos α－sin α[规律方法]　三角函数式化简的常用方法1 化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.2 对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.3 对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.提醒：在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.[跟踪训练]2．化简tan α，其中α是第二象限角．1sin2α－1[解]　因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0.故tanα＝tanα＝tan1sin2α－11－sin2αsin2αα＝＝·＝－1.cos2αsin2αsin αcos α|cos αsin α|sin αcos α－cos αsin α应用同角三角函数关系式证明[探究问题]1．证明三角恒等式常用哪些方法？提示：(1)从右证到左．(2)从左证到右．(3)证明左右归一．(4)变更命题法．如：欲证明＝，则可证MQ ＝NP ，或证＝等．M N P Q Q N PM 2．在证明＝sin α＋cos α时如何巧用“1”的1＋sin α＋cos α＋2sin αcos α1＋sin α＋cos α代换．提示：在求证＝sin α＋cos α时，观察等式左1＋sin α＋cos α＋2sin αcos α1＋sin α＋cos α边有2sin αcos α，它和1相加应该想到“1”的代换，即1＝sin 2α＋cos 2α，所以等式左边＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α ＋sin α＋cos α1＋sin α＋cos α＝sin α＋cos α 2＋sin α＋cos α1＋sin α＋cos α＝sin α＋cos α sin α＋cos α＋1 sin α＋cos α＋1＝sin α＋cos α＝右边．　求证：＝.tan αsin αtan α－sin αtan α＋sin αtan αsin α 【导学号：84352043】[思路探究]　解答本题可由关系式tan α＝将两边“切”化“弦”来证明，也sin αcos α可由右至左或由左至右直接证明．[证明]　法一：(切化弦)左边＝＝，sin2αsin α－sin αcos αsin α1－cos α右边＝＝.sin α＋sin αcos αsin2α1＋cos αsin α因为sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，所以＝，所以左边＝右边．sin α1－cos α1＋cos αsin α所以原等式成立．法二：(由右至左)因为右边＝tan2α－sin2αtan α－sin α tan αsin α＝tan2α－tan2αcos2αtan α－sin α tan αsin α＝tan2α 1－cos2αtan α－sin α tan αsin α＝＝tan2αsin2α tan α－sin α tan αsin αtan αsin αtan α－sin α＝左边，所以原等式成立．[规律方法]　1.证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)．2．技巧感悟：朝目标奔．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．提醒：解决此类问题要有整体代换思想．[跟踪训练]3．求证：(1)＝；sin α－cos α＋1sin α＋cos α－11＋sin αcos α(2)2(sin 6 θ＋cos 6 θ)－3(sin 4 θ＋cos 4 θ)＋1＝0.[证明]　(1)左边＝ sin α－cos α＋1 sin α＋cos α＋1 sin α＋cos α－1 sin α＋cos α＋1 ＝ sin α＋1 2－cos2 α sin α＋cos α 2－1＝ sin2 α＋2sin α＋1 － 1－sin2 α sin2 α＋cos2 α＋2sin αcos α－1＝2sin2 α＋2sin α1＋2sin αcos α－1＝＝＝右边，2sin α sin α＋1 2sin αcos α1＋sin αcos α∴原等式成立．(2)左边＝2[(sin 2 θ)3＋(cos 2 θ)3]－3(sin 4 θ＋cos 4 θ)＋1＝2(sin 2 θ＋cos 2 θ)(sin 4 θ－sin 2 θcos 2 θ＋cos 4 θ)－3(sin 4 θ＋cos 4 θ)＋1＝(2sin 4 θ－2sin 2 θcos 2 θ＋2cos 4 θ)－(3sin 4 θ＋3cos 4 θ)＋1＝－(sin 4 θ＋2sin 2 θcos 2 θ＋cos 4 θ)＋1＝－(sin 2 θ＋cos 2 θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边，∴原等式成立．[当 堂 达 标·固 双 基]1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )A ．tan α＝－sin αcos αB ．cos α＝－1－sin2 αC ．sin α＝－1－cos2 αD ．tan α＝cos αsin αB [由商数关系可知A ，D 均不正确．当α为第二象限角时，cos α＜0，sinα＞0，故B 正确．]2．sin α＝，则sin 2α－2cos 2α的值为( )55 【导学号：84352044】A ．－B ．－3575C ．D ．3575B [因为sin α＝，所以cos 2α＝1－sin 2α＝，5545所以sin 2α－2cos 2α＝－2×＝－.]1545753．已知tan α＝－，则的值是( )122sin αcos αsin2α－cos2αA ． B ．3 43C ．－ D ．－343A [因为tan α＝－，12所以＝＝＝.]2sin αcos αsin2α－cos2α2tan αtan2α－12×(－12)(－12)2－1434．已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α＝________.12－　[因为＝－，且sin 2α＋cos 2α＝1，又因为α是第二象限角，所以255sin αcos α12cos α＜0，所以cos α＝－.]2555．(1)化简，其中α是第二象限角．sin2α－sin4α(2)求证：1＋tan 2α＝.1cos2α【导学号：84352045】[解]　(1)因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin αcos α＜0，所以＝sin2α－sin4αsin2α 1－sin2α ＝＝－sin αcos α.sin2αcos2α(2)证明：1＋tan 2α＝1＋＝＝.sin2αcos2αcos2α＋sin2αcos2α1cos2α。