精品推荐高中三年级学习数学专题复习 专题一 函数、不等式及其应用过关提升 理

专题一 函数、不等式及其应用专题过关·提升卷 第Ⅰ卷 (选择题)一、选择题1．(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}，则A ∩B ＝( ) A ．{－1，0} B ．{0，1} C ．{－1，0，1}D ．{0，1，2}2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝－x 3B ．y ＝2|x |C ．y ＝－lg|x |D ．y ＝e x－e －x3．设p ：|2a －1|<1，q ：f (x )＝log a (1－x )在(－∞，1)上是增函数，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件4．(2015·湖南高考)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数5．(2015·湖南高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥－1，2x －y ≤1，y ≤1，则z ＝3x －y 的最小值为( )A ．－7B ．－1C ．1D ．26．(2015·天津高考)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a7．设函数g (x )＝|x ＋2|＋1，φ(x )＝kx ，若函数f (x )＝g (x )－φ(x )仅有两个零点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 C.()－∞，－1D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 8．若函数y ＝f (x )(x ∈A )满足：∃x 0∈A ，使x 0＝f [f (x 0)]成立，则称“x 0是函数y ＝f (x )的稳定点”．若x 0是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x（0<x <1），1－log 2 x （1<x <2）的稳定点，则x 0的取值为( )A. 2B.12C.12或 2 D.22或 2 第Ⅱ卷 (非选择题)二、填空题9．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则实数a ＝________．10．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．11．(2015·福建高考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，4x ，x ≤0，则f (f (－1))＝________；若函数g (x )＝f (x )－k 存在两个零点，则实数k 的取值范围是________．14．已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|.若函数y ＝f (x )－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________． 15．设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．三、解答题16．(2015·温州模拟)已知函数f (x )＝－x |x －a |＋1(x ∈R )．(1)当a ＝1时，求使f (x )＝x 成立的x 的值；(2)当a ∈(0，3)，求函数y ＝f (x )在x ∈[1，2]上的最大值．17．(2015·杭州七校联考)设向量p ＝(x ，1)，q ＝(x ＋a ，2)，其中x ∈R ，函数f (x )＝p·q . (1)若不等式f (x )≤0的解集为[1，2]，求不等式f (x )≥1－x 2的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋1在区间(1，2)上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．18．已知函数f (x )＝2x－12|x |. (1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围．19．(2015·杭州高级中学模拟)已知f (x )＝2x 2－tx ，且|f (x )|＝2有且仅有两个不同的实根α和β(α<β)．(1)求实数t 的取值范围；(2)若x 1、x 2∈[α，β]，且x 1≠x 2，求证：4x 1x 2－t (x 1＋x 2)－4<0；(3)设g (x )＝4x －tx 2＋1，对于任意x 1、x 2∈[α，β]上恒有|g (x 1)－g (x 2)|≤λ(β－α)成立，求λ的取值范围．20．(2015·金华一中模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x |x －a |，其中a ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若不等式4≤f (x )≤16在x ∈[1，2]上恒成立，求a 的取值范围．专题过关·提升卷1．A [由A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)<0}＝{x |－2<x <1}，得A ∩B ＝{－1，0}．] 2．C [选项A ，D 中，y ＝－x 3为奇函数，y ＝e x －e －x 也为奇函数．又y ＝2|x |＝2x(x >0)是增函数，B 不满足．易知y ＝－lg|x |是偶函数，且当x >0时，y ＝－lg x 为减函数．] 3．B [p ：|2a －1|<1⇔0<a <1.q ：f (x )在(－∞，1)内是增函数⇔0<a <1.∴p 是q 的充要条件．]4．A [易知函数定义域为(－1，1)，f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，又f (x )＝ln1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0，1)上是增函数，故选A.]5．A [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥－1，2x －y ≤1，y ≤1表示的平面区域如图所示，平移直线y ＝3x －z ，过点M (－2，1)时，直线的截距最大，此时z 有最小值、∴z min ＝3×(－2)－1＝－7.]6．C [因为函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数可知，m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1.当x >0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23， ∴log 25>|－log 0.53|>0，∴b ＝f (log 25)>a ＝f (log 0.53)>c ＝f (2m )．]7．D [在同一坐标系内作函数y ＝g (x )与y ＝φ(x )的图象，依题意知，两个函数的图象有两个交点．则直线φ(x )＝kx 应介于两直线y ＝－x 与y ＝－x 2之间，应有－1<k <－12.]8．C [(1)当x 0∈(0，1)时，1<2x 0<2. ∴f [f (x 0)]＝f (2x 0)＝1－log 22x0＝x 0，则x 0＝12.(2)当x 0∈(1，2)时，0<1－log 2x 0<1， ∴f [f (x 0)]＝f (1－log 2x 0)＝21－log 2x＝x 0，则x 0＝ 2.因此x 0的取值为12或 2.]9．1 [f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，则ln a ＝0，a ＝1.]10．3 [由约束条件可画出可行域，利用y x的几何意义求解． 画出可行域如图阴影所示，∵y x表示过点(x ，y )与原点(0，0)的直线的斜率， ∴点(x ，y )在点A 处时y x最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.∴A (1，3)．∴y x的最大值为3.]11．(1，2] [由题意f (x )的图象如图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2.]12．(－∞，2] [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）<0，f 2（a ）＋f （a ）≤2或⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）≥0，－f 2（a ）≤2，解之得f (a )≥－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2＋a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－2，解得a ≤ 2.]13．－2 (0，1] [f (f (－1))＝f (4－1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2.令f (x )－k ＝0，即f (x )＝k ，设y ＝f (x )，y＝k ，画出图象，如图所示，函数g (x )＝f (x )－k 存在两个零点，即y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点，由图象可得实数k 的取值范围为(0，1]．]14.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [∵当x ∈[0，3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|，作出函数的图象如图所示，可知f (0)＝f (1)＝12，f (3)＝72.若使得f (x )－a ＝0在x ∈[－3，4]上有10个零点，由于f (x )的周期为3，则只需直线y ＝a 与函数f (x )＝|x 2－2x ＋12|，x ∈[0，3)应有4个交点，则有a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.]15.2105 [∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，即(2x ＋y )2－32·2xy ＝1，∴(2x ＋y )2－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22≤1，解之得(2x ＋y )2≤85，即2x ＋y ≤2105.等号当且仅当2x ＝y ＞0，即x ＝1010，y ＝105时成立．] 16．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝－x |x －1|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＋1，x ≥1，x 2－x ＋1，x <1，由f (x )＝x 可得：⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ＋1＝x ，x ≥1，x 2－x ＋1＝x ，x <1.解得x ＝1，(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋ax ＋1，x ≥a ，x 2－ax ＋1，x <a 作出示意图，注意到几个关键点的值：f (0)＝f (a )＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝1－a 24，当0<a ≤1时，f (x )在[1，2]上单调递减，函数的最大值为f (1)＝a ； 1<a <2时，f (x )在[1，a ]上单调递增，在[a ，2]上单调递减， 函数的最大值为f (a )＝1；当2≤a <3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a2，2上单调递增， 且直线x ＝a 2是函数的对称轴，由于⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a2－1＝3－a >0，故函数的最大值为f (2)＝5－2a .综上可得，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0<a ≤1，1，1<a <2，5－2a ，2≤a <3.17．解 (1)f (x )＝p·q ＝x (x ＋a )＋2＝x 2＋ax ＋2， 不等式f (x )≤0的解集为[1，2]，得a ＝－3， 于是f (x )＝x 2－3x ＋2.由f (x )≥1－x 2得1－x 2≤x 2－3x ＋2，解得x ≤12或x ≥1，∴不等式f (x )≥1－x 2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥1.(2)g (x )＝2x 2＋ax ＋3在区间(1，2)上有两个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＞0，g （2）＞0，1＜－a4＜2，a 2－24＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋5＞0，2a ＋11＞0，－8＜a ＜－4，a ＜－26或a ＞26，解得－5＜a ＜－2 6. ∴a 的取值范围是(－5，－26)． 18．解 (1)当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ＝2，则（2x）2－12x＝2， 即(2x )2－2·2x－1＝0，解得2x＝1＋2或2x＝1－2(舍去)， 则x ＝log 2(1＋2)．当x <0时，f (x )＝2x－12－x ＝2，即2x－2x ＝2，无解． 故x ＝log 2(1＋2)．(2)因为2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立， 而f (t )在区间[1，2]上恒为正数，故m ≥－2t·f （2t ）f （t ）对于t ∈[1，2]恒成立．令y ＝－2t ·f （2t ）f （t ）＝－2t·⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t 2t－12t＝－(22t ＋1)，函数y ＝－(22t＋1)在R 上为减函数，当t ＝1时，y max＝－22－1＝－5.所以m ≥y max ＝－5，故m 的取值范围为[－5，＋∞)． 19．(1)解 根据f (x )＝2x 2－tx 在x 轴下方的图象沿x 轴翻折后顶点值t 28<2，得－4<t <4，即有t 的取值范围是(－4，4)．(2)证明 由韦达定理知α＋β＝t2，αβ＝－1，不妨设α<x 1<x 2<β，由于x 1、x 2∈[α，β]，故(x 1－α)(x 2－β)≤0，x 1x 2－(αx 2＋βx 1)＋αβ≤0， 即4x 1x 2－4(αx 2＋βx 1)－4≤0.4x 1x 2－t (x 1＋x 2)－4≤4(αx 2＋βx 1)－t (x 1＋x 2)＝4(αx 2＋βx 1)－2(α＋β)(x 1＋x 2)＝2(αx 2＋βx 1)－2(αx 1＋βx 2)＝2(x 2－x 1)(α－β)<0. (3)解 任取x 1、x 2∈[α，β]，x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝4x 1x 2－t （x 1＋x 2）－4（x 21＋1）（x 22＋1）(x 2－x 1)<0，所以g (x )在[α，β]上是增函数， 故|g (x 1)－g (x 2)|≤λ(β－α)等价于λ≥g （β）－g （α）β－a＝－4αβ－t （α＋β）－4（α2＋1）（β2＋1）＝2， 故λ≥2.20．解 (1)因为f (x )＝x 2＋2x |x －a |＝⎩⎨⎧－（x －a ）2＋a 2，x ≤a ，3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32－a23，x >a ，当a ≥0时，f (x )在(－∞，a )和(a ，＋∞)上均递增；当a <0时(如图)，f (x )在(－∞，a )和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a3上递减．(2)由题意知，只需f (x )min ≥4，f (x )max ≤16， 首先，由(1)可知，f (x )在x ∈[1，2]上递增，则f (x )min ＝f (1)＝1＋2|1－a |≥4，解得a ≤－12或a ≥52；其次，当a ≥52时，f (x )在R 上递增，故f (x )max ＝f (2)＝4a －4≤16，解得52≤a ≤5；当a ≤－12时，f (x )在[1，2]上递增，故f (x )max ＝f (2)＝12－4a ≤16，解得－1≤a ≤－12.综上：－1≤a ≤－12或52≤a ≤5.。