1987年第四届全国物理竞赛决赛试题及答案解析

2．在绝对温度 T 时，电磁场的光子平均能量约为 3RT/N0，R 为摩尔气体恒量，N0 为阿 伏伽德罗常数．假设在宇宙发展的初期，光子间的碰撞能够产生质子、反质子(即一对光子 经过碰撞而转变成一个质子和一个反质子)．试估算当时温度的数量级(二位有效数字)．
3．气体分子的直径约为 2×l0-10 米，试估算标准状况下近邻气体分子间的平均距离 l 与分子直径 d 的比值(二位有效数字)．
光具座导轨、导轨上有五个滑座、滑座上分别插有白屏，物标屏，座标纸屏，照明灯 及夹有正透镜的透镜夹．
[要求] 对于每种方法写出需要测哪几个量和用什么公式计算 D 及 d． [注意事项]．1。虚象的来源不必考虑．
2．全息底片和激光光源的位置不能移动．
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附: c=3.0×1 08m／s， 质子质量 mp=1.7×10-27 kg， R = 8.3 J／mol·K， No=6.0×1023／mol
三、对于太阳系中的行星运动，天文观测发现了如下的事实(称为开普勒三定律)。
l．各个行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，
太阳的位置是椭圆的一个焦点．(第一定律)
二、有一个半径为 R、质量为 M 的刚性均匀细圆环．开始时静止在水平光滑桌面上．环上 有一小孔 P0 ，桌面上另有一个质量为 m 的质点．可以自由穿过小孔．开始时质点以初速度 V 从小孔 P0 射入，与圆环内壁发生 N 次弹性碰撞后，又从小孔 P0 穿出(图 4—55)．设圆环 内壁光滑．从质点射入小孔到又从小孔穿出，圈环中心 O 到质点的连线相对于圆环刚好转 过 3600．求质点穿出小孔后圆环中心相对于桌面的速度． 提示： 在碰撞过程中圆环不发生转动．
四、六个外形相同的电阻，用导线连接如图 4—53。 已知其中五个电阻的值均精确地等于 2Ω，另一个的阻值则与 2Ω有明显差异．用欧姆表对图示电路测量三次，就可以找出这个 与众不同的电阻。试扼要说明测量方法和论据．(必要时列出计算公式．)
图 4－53
五、半径为 R 的刚性球固定在水平桌面上．有一个质量为 M 的圆环状均匀弹性细绳圈，
口试试题
一、质量为 m 的小珠，可以而且只能沿半径为 r 的圆环形轨道运动，轨道平面为水平面．
小珠带有固定正电荷 q．设有空间分布均匀但随时间 t 变化的磁场，磁感应强度 B(t)，方
向垂直环面向上(图 4—54)．
t = 0 时。B = 0，小珠静止于环上；
0 < t < T 时，B(t)随时间 t 均匀增长：
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第四届全国物理竞赛决赛试题
一、图 4－51 中 da、cd 为相距 l （m）的平行导轨（电阻很小，可以忽略)．a．b 间连接 一个固定电阻，阻值为 R．长直细杆 MN 可以按任意角θ架在平行导轨上，并以匀速 V 滑 动(平移)，V 的方向和 da 平行．杆 MN 有电阻，每米长的电阻值为 R．整个空间充满 匀强磁场。磁感应强度的大小为 B，方向垂直纸面(dabc 平面)，向里
1sin l
所以 arcsin l
(2)如果 l >l m，则两导轨间那段捧的长度总是大于 lm。
即总是 r > R．由于
( r R )2 (1 2R )2.
r R
Rr
在 r > R 的条件下，上式随 r 的减小而单调地减小，r 取最小值 ( / 2) 时， ( r R )2 rR
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实验试题
一、（第一部分）。 给你一个黑匣子，黑匣内有变压器，二极管、电容器各一个，其中变压器输入端两个
头均未与任何元件相连．这三种元件分别连接于黑匣面上的 A、B，C、D、E 五个接线柱上． 试判断并画出由这三种元件组成的线路图。注明接线柱标号． [仪器用具] 黑匣子，，万用电表及一根导线．
所以邻近分子间平均距离为
l ( V )1/ 3 N0
用 d 表气体分子的直径，则分子间的平均距离与分子直径之比为
( V )1/ 3
l d
N0 d
17
m
三、如图 4—57 所示，以 v 表示行星的速度，当行星
经过近日点 A 和远日点 B 时，v 和 r 垂直，面积速度分别为
sA

1 2
rAvA
[说明]： 本题是由两部分组成，你答对这部分后，再发给你第二部分题目． （第二部分）：
对你画出的线路，说明和验证它的功能．要求写出有关数据。 桌上两个接线柱是交流电源的接头．接线时，要经教师检查后再接电源． 二、[说明] 实验室中用 5 分铝币的全息象底片，提供了一个 5 分币的虚象，5 分币的平 面基本上与导轨垂直，并且在导轨横向的中间部位．考生进入考场后，先让每位学生看到 虚象．然后。发给如下试题； 1．请采取使用透镜和不用透镜两种方法测出五分币的虚象距玻璃片(全息底片)的距离． 2．测出 5 分币虚象的直径 d． [可选用装置及元件]

2R (R r)2
由于ε和 R 均与θ无关，所以 r 的值最小时 Pr 达最大值．当捧与导轨垂直时两轨道间
的棒长最短，r 的值最小．所以 Pr 最大时的θ值为
/2
2．棒上消耗的电功率为
PR

I 2r

2r (R r)2
要求
Pr 最大，即要求
(R
r
r)2
取最大值．由于
(R
1．求固定电阻 R 上消耗的电功率为最大时角θ的值． 2．求杆 MN 上消耗的电功率为最大时角θ的值．
R
图 4－51
二、 1．质量为 M 的静止原子，由于内部能级变化(E2→E1)而发射出一个光子．已知 MC2 》(E2 –E1)，求原子的反冲(后退)动能 T 与光子能量 E 的比值．(注意，能量为 E 的光 子，其动量为 E／C，C 为光速．)
P / 2M E

E 2Mc2
2．光子的能量已知为 E≈3RT／N0，用 mp 表示原子的质量，c 表示光速，则原子
的能量为 mpc2．因为一对光子转变成一个质子和一个反质子，根据能量守恒可知
3RT / N0 mpc2
T N0mpc2 3.7 1012 K 3R
3．标准状况下，1 mol 气体体积 V = 22.4× 10-3m3．每个分子平均占有体积为 V/N0，
c c
vB2

GM a
ac ac
代入(3)式，即得机械能为
EA

EB

E

G
mM 2a
由(5)式和(1)式可得面积速度为
sA

SB

S

b 2
GM / a
椭圆的面积为ab ：因此周期为
T ab 2a a s GM
将(8)式两边平方，即得开普勒第三定律。
T
2

4 2 GM
a31 2源自(ac)vA
A
(1)
sB

1 2
rBvB

1 (a 2

c)vB
根据开普勒第二定律，应有 SA = SB，因此得
B
图 4－57
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vB

vA
a a

c c
（2）
行星运动的总机械能 E 等于动能加势能．经过近日点和远日点时，
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那一个)．为与众不同者，则由对称性可知，此时必有 rCA rBC rAB ，而且 rAB 1 ．
如果与众不同的电阻是在此三结点之一(例如 A)与 D 之间的那个电阻，。则由对称性可知，
此时必有 rAC rAB rBC ，而且当测量在 BC 间进行时，由于对称，AD 间无电流，AD 间的
电阻值不影响测量结果，这时必有 rBC 1 (即与六个电阻都是 2Ω时的结果一样)．
总之，测出的三个值，一定有两个相同，一个不同．如果后者不等于 1Ω，则与众不同 的电阻必为与测出不同值时两结点直接相联的那个电阻．如果后者等于 1Ω，则与众不同 的电阻，必为与测出不同值时两结点正对着的两结点之间的那个电阻。
1 1 1 1 2 r 2R 2R R R
己知 R =2Ω， 所以
即
r 1
r R 2
根据题意知六个电阻中有一个的阻值与众不同．
这时．三次趔量可以在任意三个结点(例如 A，B，C)
间分别进行．测得的电阻值记为 rAB，rBC , rCA． 如果这三个结点之间某一个电阻(即图 4—58 中三个外围电阻中的一个，例如 A、．B 之间
原长 2a, a R / 2 ，绳圈的弹性系数为 k(绳伸长 s 时．绳中弹性张力为 ks)．将绳圈从球
的正上方轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持水平并最后停留在某个静力平衡位置．考 虑重力，忽略摩擦．
1．设平衡时绳圈长 2b ，b= 2a ，求弹性系数 k(用 M、R，g 表示，g 为重力加速度)． 2. 设 k Mg / 2 2R .求绳圈的最后平衡位置及长度．
(4) （5）
（6） (7)
(8)
四、本电路相当于在正四面体的六条棱上各有一个电阻。假设六个电阻的阻值都相同．则
从对称性可知、A、B、C、 D 任何两点间的电阻值必然相同．这时若测量 BC 间电阻值，由
对称性可知 A，D 两点的电势必相等，所以 AD 间必无电流，因此，相当于三个电阻 BAC，
BDC。 BC 并联．设测得总电阻为 r，则
图 5－45
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第四届决赛笔试题参考解答
一、如图 4～56 所示，捧滑动时切割磁力线而产生感应电动势ε，其值与θ角无关，为
Blv
以 r 表示两导轨问那段棒的电阻，则回路中的电流为
I Rr