高中数学解析几何专题(精编版)
高中解析几何专题(精编版)
1. (天津文)设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2。点(,)
P a b 满足212||||.PF F F =
(Ⅰ)求椭圆的离心率e ;
(Ⅱ)设直线PF 2与椭圆相交于A ,B 两点,若直线PF 2与
圆
22(1)(16x y ++-=相交于M ,N 两点,且5
||||8
MN AB =,求椭圆的
方程。
【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距
离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想,考查解决问题能力与运算能力,满分13分。
(Ⅰ)解:设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->,因为212||||PF F F =,
2c =,整理得2
210,1c c c a a
a ??
+-==- ???得(舍)
或11
,.22
c e a ==所以
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知2,a c b ==,可得椭圆方程为2223412x y c +=,直
线FF 2
的方程为).y x c =-
A ,
B 两点的坐标满足方程
组2223412,
).
x y c y x c ?+=??=-??消去y 并整理,得
2580x cx -=。解得1280,5x x c ==
,得方程组的解21128,0,5,.
x c x y y ?=?=???
??
=???=??
不妨设8,55A c c ??
? ???
,
(0,)B ,
所以16||.5AB c == 于是5
||||2.8
MN AB c ==
圆心(-到直线PF 2
的距离|||2|
.22
c d +=
= 因为2
2
2
||42MN d ??+= ???
,所以223(2)16.4c c ++=
整理得2712520c c +-=,得26
7
c =-(舍),或 2.
c =
所以椭圆方程为22
1.1612x y +
= 2. 已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b
+=>>
右焦点为
(),斜率
为I 的直线l 与椭圆G 交与A 、B 两点,以AB 为底边作等腰三角形,顶点为P (-3,2).
(I )求椭圆G 的方程; (II )求PAB ?的面积. 【解析】
解:
(Ⅰ)由已知得c c a ==
解得a =
又222 4.b a c =-=
所以椭圆G 的方程为22
1.124
x y +
= (Ⅱ)设直线l 的方程为.m x y += 由???
??=+
+=14
1222y x m x y 得
.01236422=-++m mx x
设A 、B 的坐标分别为),)(,(),,(212211x x y x y x 则,4 32210m x x x -=+= 4 00m m x y =+= 因为AB 是等腰△PAB 的底边, 所以PE ⊥AB. 所以PE 的斜率.14 3342-=+ -- = m m k 解得m=2。 此时方程①为.01242=+x x 解得.0,321=-=x x 所以.2,121=-=y y 所以|AB|=23. 此时,点P (—3,2)到直线AB :02=+-y x 的距离,2 2 32 | 223|= +--=d 所以△PAB 的面积S= .2 9||21=?d AB 3. (全国大纲文)已知O 为坐标原点,F 为椭圆2 2 :12 y C x +=在y 轴正半轴上的焦点,过F 且斜率为-2的直线l 与C 交与A 、B 两点,点P 满足0.OA OB OP ++= (Ⅰ)证明:点P 在C 上; (II )设点P 关于O 的对称点为Q ,证明:A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上。 【解析】22.解:(I )F (0,1),l 的方程为21y x =-+, 代入2 2 1y x +=并化简得 242210.x x --= …………2分 设112233(,),(,),(,),A x y B x y P x y 则122626 ,44x x = = 1212122 2()21,x x y y x x +=+=++= 由题意得3123122 ()() 1.x x x y y y =-+==-+=- 所以点P 的坐标为2 (1).2 -- 经验证,点P 的坐标为2 (1)-满足方程 22 1,2 y x +=故点P 在椭圆C 上。 (II )由2(1)P -和题设知, 2Q PQ 的垂直一部分线1l 的方程为 2.y x = ① 设AB 的中点为M ,则21 ( )42 M ,AB 的垂直平分线为2l 的方程为 21.24 y x = + ② 由①、②得12,l l 的交点为21 (,)88 N - 21 || 8 |||| || || || 8 NP AB x x AM MN NA == =-= = == == 故|NP|=|NA|。 又|NP|=|NQ|,|NA|=|NB|, 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|, 由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心,NA为半径的圆上。 4. (全国新文)在平面直角坐标系xOy中,曲线261 y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C上. (I)求圆C的方程; (II)若圆C与直线0 x y a -+=交于A,B两点,且, OA OB ⊥求a的值.【解析】解:(Ⅰ)曲线1 6 2+ - =x x y与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(). 0,2 2 3( ), 0,2 2 3- + 故可设C的圆心为(3,t),则有, )2 2( )1 ( 32 2 2 2t t+ = - +解得t=1. 则圆C的半径为.3 )1 ( 32 2= - +t 所以圆C的方程为.9 )1 ( )3 (2 2= - + -y x (Ⅱ)设A( 1 1 ,y x),B( 2 2 ,y x),其坐标满足方程组: ?? ? ? ? = - + - = + - .9 )1 ( )3 ( ,0 2 2y x a y x 消去y,得到方程 .0 1 2 )8 2( 22 2= + - + - +a a x a x 由已知可得,判别式.0 4 16 562> - - = ?a a 因此,, 4 4 16 56 ) 2 8(2 2,1 a a a x - - ± - =从而 2 1 2 , 4 2 2 1 2 1 + - = - = + a a x x a x x① 由于OA⊥OB,可得,0 2 1 2 1 = +y y x x 又, , 2 2 1 1 a x y a x y+ = + =所以 .0 ) ( 22 2 1 2 1 = + + +a x x a x x② 由①,②得1 - = a,满足,0 > ?故.1 - = a 5. (辽宁文)如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x 轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e,直线l⊥MN,l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.(I)设 1 2 e=,求BC与AD的比值; (II)当e变化时,是否存在直线l,使得BO∥AN,并说明理由. 【解析】解:(I)因为C 1 ,C 2 的离心率相同,故依题意可设 22222 12 2242 :1,:1,(0) x y b y x C C a b a b a a +=+=>> 设直线:(||) l x t t a =<,分别与C1,C2的方程联立,求得 2222 (),(). a b A t a t B t a t b a --………………4分 当 13 ,,, 22A B e b a y y == 时分别用表示A,B的纵坐标,可知 2 2 2||3 ||:||. 2||4 B A y b BC AD y a ===………………6分 (II)t=0时的l不符合题意.0 t≠时,BO//AN当且仅当BO的斜率k BO与AN 的斜率k AN相等,即 2222 , b a a t a t a b t t a -- = - 解得 22 222 1 . ab e t a a b e - =-=-? - 因为 2 2 12 ||,01,1, 1. 2 e t a e e e - <<<<<< 又所以解得 所以当 2 2 e <≤时,不存在直线l,使得BO//AN; 2 1 e <<时,存在直线l使得BO//AN. ………………12分 6. (江西文)已知过抛物线() y px p =2>0的焦点,斜率为22 于(,) A x y 11 和(,)() B x y x x 2212 <两点,且AB=9, (1)求该抛物线的方程; (2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OB OA OCλ + =,求λ的值.【解析】19.(本小题满分12分) (1)直线AB 的方程是22()2 p y x =-, 与22y px =联立,从而有22450,x px p -+= 所以:1254 p x x += 由抛物线定义得:12||9,AB x x p =++= 所以p=4,从而抛物线方程是28.y x = (2)由224,450p x px p =-+=可简化为 212540,1,4,x x x x -+===从而 1222,42,y y =-= 从而(1,22),(4,42)A B - 设33(,)(122)(4,42)(41,4222)OC x y λλλ==-+=+- 又22338,[22(21)]8(41),y x λλ=-=+即 即2(21)41λλ-=+ 解得0, 2.λλ==或 7. (山东文)22.(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2 2:13 x C y +=.如图所示,斜率为 (0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,线段AB 的中点为E ,射线OE 交椭圆C 于点G ,交直线3x =-于点(3,)D m -. (Ⅰ)求22m k +的最小值; (Ⅱ)若2 OG OD =? OE , (i )求证:直线l 过定点; (ii )试问点B ,G 能否关于x 轴对称? 若能,求出此时ABG 的外接圆方程;若不能,请说明理由. 【解析】22.(I )解:设直线(0)l y kx t k =+>的方程为, 由题意,0.t > 由方程组22 ,1,3 y kx t x y =+?? ?+=??得 222(31)6330k x ktx t +++-=, 由题意0?>, 所以2231.k t +> 设1122(,),(,)A x y B x y , 由韦达定理得1226,31kt x x k +=-+所以1222.31 t y y k +=+ 由于E 为线段AB 的中点,因此223,, 3131 E E kt t x y k k ==++ 此时1.3E OE E y k x k = =-所以OE 所在直线方程为1,3y x k =- 又由题设知D (-3,m ),令x=-3,得1 m k =,即mk=1, 所以2222,m k mk +≥=当且仅当m=k=1时上式等号成立, 此时 由0?>得02,t <<因此 当102m k t ==<<且时, 22m k +取最小值2。 (II )(i )由(I )知OD 所在直线的方程为1 ,3y x k =- 将其代入椭圆C 的方程,并由0,k > 解得(G ,又2231 (,),(3,)3131k t E D k k k --++, 由距离公式及0t >得 2222 2291||(, 31||||31 k OG k OD k OE k +=+=+====+ 由2||||||,OG OD OE t k =?=得 因此,直线l 的方程为(1).y k x =+ 所以,直线(1,0).l -恒过定点 (ii )由(i )得(G 若B ,G 关于x 轴对称, 则(B 代入2(1)31y k x k =+-=整理得 即426710k k -+=, 解得21 6 k =(舍去)或21,k = 所以k=1, 此时3131 (,),(,)2222 B G ---关于x 轴对称。 又由(I )得110,1,x y ==所以A (0,1)。 由于ABG ?的外接圆的圆心在x 轴上,可设ABG ?的外接圆的圆心为(d ,0), 因此22311 1(),,242 d d d +=++=-解得 故ABG ? 的外接圆的半径为2 r == 所以ABG ?的外接圆方程为2215 ().24 x y ++= 8. (陕西文)17.(本小题满分12分) 设椭圆C: ()222210x y a b a b +=>>过点(0,4),离心率为3 5 (Ⅰ)求C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为4 5 的直线被C 所截线段的中点坐标。 【解析】17.解(Ⅰ)将(0,4)代入C 的方程得216 1b = ∴b=4 又3 5 c e a == 得222 925a b a -= 即2169125 a -=, ∴a=5 ∴C 的方程为22 12516 x y + = ( Ⅱ)过点()3,0且斜率为45的直线方程为()4 35 y x =-, 设直线与C的交点为A()11,x y ,B()22,x y , 将直线方程()4 35 y x = -代入C的方程,得 ()2 2312525x x -+=, 即2 380x x --=,解得 1x =,2x = ∴ AB 的中点坐标123 22 x x x +==, ()121226 6255y y y x x +==+-=-, 即中点为36,25?? - ??? 。 注:用韦达定理正确求得结果,同样给分。 9. (上海文)22.(16分)已知椭圆2 22:1x C y m +=(常数1m >),点P 是C 上 的动点,M 是右顶点,定点A 的坐标为(2,0)。 (1)若M 与A 重合,求C 的焦点坐标; (2)若3m =,求||PA 的最大值与最小值; (3)若||PA 的最小值为||MA ,求m 的取值范围。 【解析】22.解:⑴ 2m =,椭圆方程为2 214 x y +=,c == ∴ 左.右焦点坐标为(。