广东省2019年中考数学总复习第一部分教材梳理第五章图形的认识(二)第2节与圆有关的位置关系课件

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广东2019年中考数学备考复习课件第26课时与圆有关的性质

第六章圆
第26课时与圆有关的性质
K课前热身
1.（2018· 广州市）如图，AB是⊙O的弦， OC⊥AB，交 ⊙O于点C，连接OA， OB，BC，若∠ D ABC＝20°，则 ∠AOB的度数是（） A. 40° B. 50° C. 70° D. 80° D 2.（2018· 聊城市）如图，⊙O中，弦BC 与半径OA相交于点D，连接AB，OC. 若∠A＝60°，
K课前热身
3. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB 于点E， OC ＝ 5 cm ， CD ＝ 8 cm ，则 A AE等于（） A. 8 cm B. 5 cm C. 3 cm D. 2 cm
AC
4.（2017· 贵港市）如图，A，B，C，D是 D ⊙O上的四个点，B是的中点，M 是半径OD上任意一点. 若∠BDC＝ 40°，、圆周角之间的关系定理 9．圆周角定义：圆上和圆相交 ___________________________________ 它所对的圆心叫圆周角．角特征：①角的顶点在_______；②角的两直角 90° 边都__________．
顶点在圆上且角的两边都和圆相交的角
10．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等相等于____________ 互补 _____的一半．
J精讲例题
【例 1】（2018· 安顺市）已知⊙O的直径 10 cm，AB 是⊙O的弦， AB⊥CD，垂足为M，且A C cm，则 AC 2 5 4 5 的长为（） 2 5 4 5 2 3 4 3 A. cm B. cm 评析：先根据题意画出图形，由于点 C的 C. cm或 cm D. cm 或置不能确定， cm 故应分两种情况进行讨论.
考点三弧、弦、圆心角之间的关系顶点在圆心的角 7．圆心角的定义：__________________叫做圆心角．相等相等 8．弧、弦、圆心角之间的关系定理(如图)： ∠AOB＝∠COD (1) 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 AB CD，AB CD 弧________，所对的弦________．圆心角弦符号表示：∵ _______________ ， AB CD ∠AOB＝∠COD ， AB＝CD ∴ ______________________．圆心角优弧和劣弧 (2)AB 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那＝CD ∠AOB＝∠COD, AB CD， ADB CBD

广东省2019中考数学第二部分题型研究题型五圆的综合题

题型五圆的综合题针对演练1. 如图、AB 是⊙O 的弦、AB ＝4、过圆心O 的直线垂直AB 于点D 、交⊙O 于点C 和点E 、连接AC 、BC 、OB 、cos ∠ACB ＝13、延长OE 到点F 、使EF ＝2OE .(1)求证：∠BOE ＝∠ACB ; (2)求⊙O 的半径；(3)求证：BF 是⊙O 的切线．第1题图2. 如图、AB 为⊙O 的直径、点C 为圆外一点、连接AC 、 BC 、分别与⊙O 相交于点D 、点E 、且AD DE 、过点D 作DF ⊥BC 于点F 、连接BD 、DE 、AE .(1)求证：DF 是⊙O 的切线；(2)试判断△DEC 的形状、并说明理由；(3)若⊙O 的半径为5、AC ＝12、求sin ∠EAB 的值．第2题图3. (2016长沙9分)如图、四边形ABCD内接于⊙O、对角线AC为⊙O的直径、过点C 作AC的垂线交AD的延长线于点E、点F为CE的中点、连接DB、DC、DF.(1)求∠CDE的度数；(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)若AC＝25DE、求tan∠ABD的值．第3题图4. (2016德州10分)如图、⊙O是△ABC的外接圆、AE平分∠BAC交⊙O于点E、交BC 于点D、过点E作直线l∥BC.(1)判断直线l与⊙O的位置关系、并说明理由；(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F、求证：BE＝EF;(3)在(2)的条件下、若DE＝4、DF＝3、求AF的长．第4题图5. (2015永州)如图、已知△ABC内接于⊙O、且AB＝AC、直径AD交BC于点E、F是OE 上的一点、使CF∥BD.(1)求证：BE＝CE；(2)试判断四边形BFCD的形状、并说明理由；(3)若BC＝8、AD＝10、求CD的长．第5题图6. (2015省卷24、9分)⊙O是△ABC的外接圆、AB是直径、过BC的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D、连接AG、CP、PB.(1)如图①、若D是线段OP的中点、求∠BAC的度数；(2)如图②、在DG上取一点K、使DK＝DP、连接CK、求证：四边形AGKC是平行四边形；(3)如图③、取CP的中点E、连接ED并延长ED交AB于点H、连接PH、求证：PH⊥AB.第6题图7. (2017原创)如图、AB 切⊙O 于点B 、AD 交⊙O 于点C 和点D 、点E 为DC 的中点、连接OE 交CD 于点F 、连接BE 交CD 于点G .(1)求证：AB ＝AG ；(2)若DG ＝DE 、求证：GB 2＝GC ·GA ；(3)在(2)的条件下、若tan D ＝34、EG ＝10、求⊙O 的半径．第7题图8. (2015达州)在△ABC 的外接圆⊙O 中、△ABC 的外角平分线CD 交⊙O 于点D 、F 为AD上一点、且AF BC 、连接DF 、并延长DF 交BA 的延长线于点E .(1)判断DB 与DA 的数量关系、并说明理由； (2)求证：△BCD ≌△AFD ；(3)若∠ACM ＝120°、⊙O 的半径为5、DC ＝6、求DE 的长．第8题图9. 如图、AB 为⊙O 的直径、P 是BA 延长线上一点、PC 切⊙O 于点C 、CG 是⊙O 的弦、CG ⊥AB 、垂足为点D .(1)求证：△ACD ∽△ABC ； (2)求证：∠PCA ＝∠ABC ；(3)过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E 、交CG 于点F 、连接BE 、若sin P ＝35、CF ＝5、求BE的长．第9题图10. (2016大庆9分)如图、在Rt △ABC 中、∠C ＝90°、以BC 为直径的⊙O 交斜边AB 于点M 、若H 是AC 的中点、连接MH.(1)求证：MH 为⊙O 的切线；(2)若MH ＝32、tan ∠ABC ＝34、求⊙O 的半径；(3)在(2)的条件下分别过点A 、B 作⊙O 的切线、两切线交于点D 、AD 与⊙O 相切于N点、过N 点作NQ ⊥BC 、垂足为E 、且交⊙O 于Q 点、求线段NQ 的长度．第10题图11. 如图、△ABC 为⊙O 的内接三角形、P 为BC 延长线上一点、∠PAC ＝∠B 、AD 为⊙O 的直径、过C 作CG ⊥AD 交AD 于E 、交AB 于F 、交⊙O 于G.(1)判断直线PA 与⊙O 的位置关系、并说明理由；(2)求证：AG 2＝AF ·AB ；(3)若⊙O 的直径为10、AC ＝25、AB ＝45、求△AFG 的面积．第11题图12. (2016鄂州10分)如图、在Rt △ABC 中、∠ACB ＝90°、AO 是△ABC 的角平分线、以O 为圆心、OC 为半径作⊙O .(1)求证：AB 是⊙O 的切线；(2)已知AO 交⊙O 于点E 、延长AO 交⊙O 于点D 、tan D ＝12、求AEAC 的值；(3)在(2)的条件下、设⊙O 的半径为3、求AB 的长．第12题图【答案】1．(1)证明：如解图、连接OA 、第1题解图∵CE ⊥AB 、 ∴AD ＝BD ＝2、AE BE 、∴∠ACE ＝∠BCE 、∠AOE ＝∠BOE 、又∵∠AOB ＝2∠ACB 、 ∴∠BOE ＝∠ACB ； (2)解：∵cos ∠ACB ＝13、∴cos ∠BOD ＝13、在Rt △BOD 中、设OD ＝x 、则OB ＝3x 、∵OD 2＋BD 2＝OB 2、 ∴x 2＋22＝(3x )2、解得x ＝22、 ∴OB ＝3x ＝322、即⊙O 的半径为322；(3)证明：∵FE ＝2OE 、 ∴OF ＝3OE ＝922、∴OB OF ＝13、 ∵OD OB ＝13、 ∴OB OF ＝OD OB、∵∠BOF ＝∠DOB 、 ∴△OBF ∽△ODB 、∴∠OBF ＝∠ODB ＝90°、即OB ⊥BF 、 ∵OB 是⊙O 的半径、 ∴BF 是⊙O 的切线．2．(1)证明：如解图、连接DO 、交AE 于点G 、则DO ＝BO 、第2题解图∴∠ABD ＝∠ODB 、 ∵AD DE =、∴∠ABD ＝∠EBD 、 ∴∠ODB ＝∠EBD 、 ∴DO ∥BC 、∴∠ODF ＝∠CFD 、 ∵DF ⊥BC 、∴∠CFD ＝90°、∴∠ODF ＝90°、即OD ⊥DF 、又∵OD 为⊙O 的半径、 ∴DF 是⊙O 的切线；(2)解：△DEC 是等腰三角形、理由如下： ∵AB 是⊙O 的直径、 ∴∠ADB ＝∠CDB ＝90°、又∵BD ＝BD 、∠ABD ＝∠EBD 、 ∴△ABD ≌△CBD (ASA)、 ∴AD ＝CD . ∵AD DE =、∴AD ＝DE 、 ∴CD ＝DE 、∴△DEC 是等腰三角形； (3)解：由(2)可知AD ＝12AC ＝6、∵AD DE =、∴OD ⊥AE 、∠ABD ＝∠DAE 、 ∴sin ∠DAE ＝DG AD. 在Rt △ADB 中、sin ∠ABD ＝AD AB ＝610、 ∴DG 6＝610、 ∴DG ＝3.6、∴OG ＝OD －DG ＝1.4、∴在Rt △AGO 中、sin ∠EAB ＝OG OA ＝1.45＝725. 3．(1)解：∵AC 为⊙O 的直径、∴∠ADC ＝90°、∴∠CDE ＝90°；………………………………………………(2分)第3题解图(2)证明：如解图、连接OD 、∵∠CDE ＝90°、F 为CE 中点、∴DF ＝12CE ＝CF 、 ∴∠FDC ＝∠FCD .又∵OD ＝OC 、∴∠ODC ＝∠OCD 、∴∠ODC ＋∠FDC ＝∠OCD ＋∠FCD 、∴∠ODF ＝∠OCF 、∵EC ⊥AC 、∴∠OCF ＝90°、∴∠ODF ＝90°、即OD ⊥DF 、又∵OD 为⊙O 的半径、∴DF 为⊙O 的切线；…………………………………………(5分)(3)解：在△ACD 与△ECA 中、∵∠ADC ＝∠ACE ＝90°、∠EAC ＝∠CAD 、∴△ACD ∽△AEC 、∴AC AE ＝AD AC∴AC 2＝AD ·AE 、又∵AC ＝25DE 、∴20DE 2＝(AE －DE )·AE∴AE ＝5DE 、∴AD ＝4DE 、∵在Rt △ACD 中、AC 2＝AD 2＋CD 2、∴CD ＝2DE 、又∵在⊙O 中、∠ABD ＝∠ACD 、∴tan ∠ABD ＝tan ∠ACD ＝AD CD＝2. …………………………(9分)4．(1)解：直线l 与⊙O 相切．理由如下：如解图、连接OE 、OB 、OC .第4题解图∵AE 平分∠BAC 、∴∠BAE ＝∠CAE 、∴BE CE =、∴∠BOE ＝∠COE 、又∵OB ＝OC 、∴OE ⊥BC 、∵l ∥BC 、∴OE ⊥l 、又∵OE 为⊙O 的半径、∴直线l 与⊙O 相切；…………………………………………(3分)(2)证明：∵BF 平分∠ABC 、∴∠ABF ＝∠CBF 、又∵∠CBE ＝∠CAE ＝∠BAE 、∴∠CBE ＋∠CBF ＝∠BAE ＋∠ABF .又∵∠EBF ＝∠CBE ＋∠CBF 、∠EFB ＝∠BAE ＋∠ABF 、∴∠EBF ＝∠EFB 、∴BE ＝EF ；……………………………………………………(6分)(3)解：∵BE ＝EF 、DE ＝4、DF ＝3、∴BE ＝EF ＝DE ＋DF ＝7、∵BE CE =、∴∠DBE ＝∠BAE 、∵∠DEB ＝∠BEA 、∴△BED ∽△AEB 、∴DE BE ＝BE AE 、即47＝7AE、解得AE ＝494、…………………………………………………(9分) ∴AF ＝AE －EF ＝494－7＝214.………………………………(10分) 5．(1)证明：∵AD 是⊙O 的直径、∴∠ABD ＝∠ACD ＝90°、在Rt △ABD 和Rt △ACD 中、⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC AD ＝AD 、 ∴Rt △ABD ≌Rt △ACD (HL)、∴∠BAD ＝∠CAD 、∵AB ＝AC 、∴AD 垂直平分BC 、∴BE ＝CE ；(2)解：四边形BFCD 是菱形．理由如下：∵AD 是⊙O 的直径、AB ＝AC 、∴AD ⊥BC 、BE ＝CE 、∵CF ∥BD 、∴∠FCE ＝∠DBE 、在△BED 和△CEF 中、⎩⎪⎨⎪⎧∠DBE ＝∠FCE BE ＝CE∠BED ＝∠CEF ＝90°、 ∴△BED ≌△CEF (ASA)、∴BD ＝CF 、∴四边形BFCD 是平行四边形、∵∠BAD ＝∠CAD 、∴BD ＝CD 、∴四边形BFCD 是菱形；(3)解：∵AD 是⊙O 的直径、AD ⊥BC 、BE ＝CE 、∴∠ECD ＝∠CAE 、∵∠AEC ＝∠DEC ＝90°、∴Rt △CDE ∽Rt △ACE 、∴DE CE ＝CE AE、∴CE 2＝DE ·AE 、设DE ＝x 、则AE ＝AD －DE ＝10－x 、∵BC ＝8、∴CE ＝12BC ＝4、 ∴42＝x (10－x )、解得x ＝2或x ＝8(舍去)、在Rt △CED 中、 CD ＝CE 2＋DE 2＝42＋22＝2 5.6．(1)解：∵点P 为BC 的中点、PG 为⊙O 的直径、∴BP ＝PC 、PG ⊥BC 、CD ＝BD 、∴∠ODB ＝90°、∵D 为OP 的中点、∴OD ＝12OP ＝12OB 、 ∴∠OBD ＝30°、∵AB 为⊙O 的直径、∴∠ACB ＝90°、∴∠BAC ＝60°；………………………………………………(3分)(2)证明：由(1)知、CD ＝BD 、在△PDB 和△KDC 中、⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ∠BDP ＝∠CDK DP ＝DK、∴△PDB ≌△KDC (SAS)、∴BP ＝CK 、∠BPO ＝∠CKD 、∵∠AOG ＝∠BOP 、∴AG ＝BP 、∴AG ＝CK 、∵OP ＝OB 、∴∠OBP ＝∠BPO 、又∵∠G ＝∠OBP 、∴∠G ＝∠BPO ＝∠CKD 、∴AG ∥CK 、∴四边形AGKC 是平行四边形；……………………………(6分)(3)证明：∵CE ＝PE 、CD ＝BD 、∴DE ∥PB 、即DH ∥PB 、∵∠G ＝∠BPO 、∴PB ∥AG 、∴DH ∥AG 、∴∠OAG ＝∠OHD 、∠G ＝∠ODH .∵OA ＝OG 、∴∠OAG ＝∠G 、∴∠ODH ＝∠OHD 、∴OD ＝OH 、在△OBD 和△OPH 中、⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OH ∠DOB ＝∠HOP OB ＝OP、∴△OBD ≌△OPH (SAS)、∴∠OHP ＝∠ODB ＝90°、∴PH ⊥AB . ……………………………………………………(9分)7．(1)证明：如解图、连接OB 、第7题解图∵AB 为⊙O 的切线、∴OB ⊥AB 、∴∠ABG ＋∠OBG ＝90°、∵点E 为DC 的中点、∴OE ⊥CD 、∴∠OEG ＋∠FGE ＝90°、又∵OB ＝OE 、∴∠OBG ＝∠OEG 、∴∠ABG ＝∠FGE 、∵∠BGA ＝∠FGE 、∴∠ABG ＝∠BGA 、∴AB ＝AG ；(2)证明：如解图、连接BC 、∵DG ＝DE 、∴∠DGE ＝∠DEG 、由(1)得∠ABG ＝∠BGA 、又∵∠BGA ＝∠DGE 、∴∠A ＝∠GDE 、∵∠GBC ＝∠GDE 、∴∠GBC ＝∠A 、∵∠BGC ＝∠AGB 、∴△GBC ∽△GAB 、∴GB GA ＝GC GB、∴GB 2＝GC ·GA ；(3)解：如解图、连接OD 、 ∵在Rt △DEF 中、tan ∠EDF ＝EF DF ＝34、 ∴设EF ＝3x 、则DF ＝4x 、由勾股定理得DE ＝5x 、∵DG ＝DE 、∴DG ＝5x 、∴GF ＝DG －DF ＝x .在Rt △EFG 中、由勾股定理得GF 2＋EF 2＝EG 2、即x 2＋(3x )2＝(10)2、解得x ＝1、设⊙O 半径为r 、在Rt △ODF 中、OD ＝r 、OF ＝r －3、DF ＝4、由勾股定理得OF 2＋FD 2＝OD 2、即(r －3)2＋42＝r 2、解得r ＝256、 ∴⊙O 的半径为256. 8．(1)解：DB ＝DA .理由如下：∵CD 平分∠ACM 、∴∠MCD ＝∠ACD 、∵∠ACD 和∠ABD 都是AD 所对的圆周角、∴∠ACD ＝∠ABD 、∴∠MCD ＝∠ABD 、又∵∠MCD ＝∠BAD 、∴∠BAD ＝∠ABD 、∴DB ＝DA ；(2)证明：如解图、连接AF 、第8题解图∵AD ＝BD 、∴AD BD =、 ∵AF BC =、 ∴DF CD =、∴AF ＝BC 、DF ＝DC 、在△BCD 和△AFD 中、⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD BC ＝AF DC ＝DF、∴△BCD ≌△AFD (SSS)；(3)解：∵∠ACM ＝120°、∴∠MCD ＝∠ACD ＝60°、∴∠ABD ＝∠BAD ＝∠BDA ＝60°、∴△ABD 是等边三角形、如解图、连接DO 并延长与AB 交于点G 、则∠ADO ＝30°、过点O 作OH ⊥AD 于点H 、则AD ＝2DH ＝2OD ·cos30°＝53、∵∠ADF ＋∠DAF ＝∠AFE ＝∠ACD ＝60°、∠ADE ＋∠E ＝∠BAD ＝60°、 ∴∠DAF ＝∠E 、∵∠ADF ＝∠EDA 、∴△ADF ∽△EDA 、∴DA DE ＝DF DA、 ∴DE ＝DA 2DF、 ∵DF ＝DC ＝6、DA ＝53、∴DE ＝252. 9．(1)证明：∵AB 是⊙O 直径、∴∠ACB ＝90°、∵CG ⊥AB 、∴∠ADC ＝∠ACB ＝90°、∵∠CAD ＝∠BAC 、∴△ACD ∽△ABC ；(2)证明：如解图、连接OC .第9题解图∵PC 切⊙O 于点C 、∴OC ⊥PC 、∴∠PCO ＝90°、∴∠PCA ＋∠OCA ＝90°、∵∠ACB ＝90°、∴∠ABC ＋∠OAC ＝90°、∵OC ＝OA 、∴∠OCA ＝∠OAC 、∴∠PCA ＝∠ABC ；(3)解：∵AE ∥PC 、∴∠PCA ＝∠CAF 、∵AB ⊥CG 、∴AC AG 、∴∠ABC ＝∠ACF 、∵∠PCA ＝∠ABC 、∴∠CAF ＝∠ABC 、∴∠ACF ＝∠CAF 、∴FA ＝FC 、∵CF ＝5、∴AF ＝5、∵AE ∥PC 、∴∠FAD ＝∠P 、∵sin P ＝35、 ∴sin ∠FAD ＝35、 ∴FD ＝3、AD ＝4、CD ＝8、在Rt △COD 中、设CO ＝r 、则有r 2＝(r －4)2＋82、∴r ＝10、∴AB ＝2r ＝20、∵AB 是⊙O 的直径、∴∠AEB ＝90°、∴sin ∠EAB ＝35、 ∴BE AB ＝35、205∴BE ＝12.10．(1)证明：如解图①、连接OM 、CM 、第10题解图①∵BC 为⊙O 的直径、∴∠AMC ＝∠BMC ＝90°、∵H 是AC 的中点、∴HC ＝HM ＝12AC 、 ∴∠HMC ＝∠HCM 、∵OM ＝OC 、∴∠OMC ＝∠OCM 、∴∠OMH ＝∠OCH 、∵∠ACB ＝90°＝∠OCH 、∴∠OMH ＝90°、即OM ⊥MH 、又∵OM 为⊙O 的半径、∴MH 为⊙O 的切线；…………………………………………(3分)(2)解：∵MH ＝32、 ∴AC ＝2MH ＝3、在Rt △ABC 中、tan ∠ABC ＝AC BC ＝34、 ∴BC ＝4、故⊙O 的半径为2；……………………………………………(5分)(3)解：如解图②、过点D 作DP ⊥AC 于点P 、连接ON 、第10题解图②则DP ＝BC ＝4、BD ＝PC 、设DB ＝DN ＝x 、则AP ＝3－x 、∵AN ＝AC ＝3、∴AD ＝x ＋3.在Rt △ADP 中、由勾股定理得、(x ＋3)2－(3－x )2＝42、3∴DN ＝BD ＝43、AD ＝133、 ∵QN ⊥BC 、AC ⊥BC 、BD ⊥BC 、∴AC ∥NQ ∥DB 、∴DN AD ＝BE BC 、即43133＝BE 4、 ∴BE ＝1613、 ∴OE ＝OB －BE ＝1013、 ∴EN ＝ON 2－OE 2＝2413、 ∴NQ ＝2EN ＝4813.……………………………………………(9分) 11．(1)解：直线PA 与⊙O 相切．理由如下：∵AD 为⊙O 的直径、 CG ⊥AD 、∴AD 垂直且平分CG 、∴AC ＝AG 、∴∠ACG ＝∠AGC 、∵∠AGC ＝∠B 、∠PAC ＝∠B 、∴∠PAC ＝∠ACG 、∴PA ∥CG 、∵CG ⊥AD 、∴PA ⊥AD 、又∵AD 为⊙O 的直径∴直线PA 是⊙O 的切线；【一题多解】如解图①、连接DC 、第11题解图①则∠B ＝∠ADC 、∵AD 是⊙O 的直径、∴∠ACD ＝90°、∴∠ADC ＋∠DAC ＝90°.又∵∠PAC ＝∠B 、∴∠ADC ＝∠PAC 、∴∠PAC ＋∠DAC ＝90°、即DA ⊥PA 、∴PA 是⊙O 的切线．(2)证明：由垂径定理得AC AG =、 ∴∠ACG ＝∠B 、∵∠CAB ＝∠FAC 、∴△ABC ∽△ACF 、∴AC AF ＝AB AC、∴AC 2＝AF ·AB 、又∵AC ＝AG 、∴AG 2＝AF ·AB ；【一题多解】此题还可以通过连接BG 、证明△GAB ∽△FAG 、从而证得AG 2＝AF ·AB .(3)解：由(2)得AG 2＝AF ·AB 、∵AG ＝AC ＝25、AB ＝45、∴(25)2＝45AF 、∴AF ＝5、如解图②、连接BD 、则∠ABD ＝90°、第11题解图②由勾股定理得BD ＝AD 2－AB 2＝102－（45）2＝25、∵∠AEF ＝∠ABD ＝90°、∠EAF ＝∠BAD 、∴△AEF ∽△ABD 、 ∴AE AB ＝AF AD ＝EF BD、 ∴AE45＝510＝EF 25、 ∴AE ＝2、EF ＝1、在Rt △ACE 中、由勾股定理、得CE 2＝AC 2－AE 2、∴CE ＝（25）2－22＝4、∵CE ＝EG 、∴EG ＝4、∴FG ＝EG －EF ＝ 4－1＝3、 ∴1132322AFG S FG AE ==⨯⨯=△. 12．(1)证明：如解图、过点O 作OF ⊥AB 于点F 、第12题解图∵AO 平分∠CAB 、OC ⊥AC 、垂足为点F 、∴OF ＝OC 、即OF 为⊙O 的半径、∴AB 是⊙O 的切线；…………………………………………(3分)(2)解：如解图、过点D 作DP ⊥AC 交AC 延长线于点P 、 ∵∠ACB ＝90°、DP ⊥AC 、∴CO ∥DP 、∵OC ＝OD 、∴∠OCD ＝∠ODC ＝∠CDP 、∵tan ∠CDO ＝12、 ∴tan ∠OCD ＝12. 连接DQ 、设DQ ＝a 、则CD ＝2a 、CQ ＝5a 、∴CO ＝OD ＝OE ＝5a 2、在Rt △CPD 中、设CP ＝b 、则DP ＝2b 、CD ＝5b 、∴b ＝255a 、则PC ＝255a 、PD ＝455a 、 ∵CO ∥DP 、∴△ACO ∽△APD 、∴OC PD ＝AC AP ＝AO AD 、即5a 2455a ＝AC 255a ＋AC ＝AO 5a 2＋AO 、解得AC ＝253a 、AO ＝556a 、 ∴AE ＝AO －OE ＝556a －5a 2＝53a 、 ∴AE AC ＝53a 253a ＝12；……………………………………………(7分) (3)解：由(2)知AE AC ＝12、设AE ＝c 、则AC ＝2c 、在Rt △ACO 中、(2c )2＋32＝(c ＋3)2、解得c ＝2、∴AF ＝AC ＝2c ＝4、在△BFO 和△BCA 中、⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠B ∠BFO ＝∠BCA 、∴△BFO ∽△BCA 、 ∴BF BC ＝FO CA ＝BO AB、设BF ＝x 、BO ＝y 、 ∴x3＋y ＝34＝y 4＋x 、解得：x ＝727、y ＝757、 ∴AB ＝AF ＋BF ＝4＋727＝1007. ……………………………(10分)。

广东省2019年中考数学总复习第一部分知识梳理第六章圆第25讲与圆有关的位置关系课件20190214124

3. (10分)如图K1-25-1，PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，若∠P=60°，则∠AOB等于( C ) A. 60° C. 120° B. 90° D. 150°
4. (10分)（2018哈尔滨）如图K1-25-2，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B， ∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为( A ) A ．3 B． C ．6 D ．9
第25讲与圆有关的位置关系
1. (10分) 已知⊙O的半径为6，A为线段PO的中点，当 OP=10时，点A与⊙O的位置关系为( C ) A. 在圆上 C. 在圆内 B. 在圆外 D. 不确定
2. (10分) 已知⊙O的面积为9π cm2，若圆心O到直线的距离为3cm，则直线与⊙O的位置关系是( A ) A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 无法判断
∴∠ADO=∠CAD.∴AC∥DO．
∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，即OD⊥BC．
又∵Байду номын сангаасD为半径，∴BC是⊙O 的切线.
（2）解：∵在Rt△ACB中，AC=3，BC=4， ∴AB=5．设OD=r，则BO=5-r． ∵OD∥AC， ∴△BDO∽△BCA. ∴ 即解得r= . ，
∴BE=AB-AE=5-
5. (10分)如图K1-25-3，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD. 若∠ACD=30°，则∠DBA的大小是( C ) A. 15° B. 30° C. 60° D. 75°
6. （15分）如图K1-25-4，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( B ) A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点

广东省2019年中考数学一轮复习优质课件：第1课时圆的基本性质

第七章圆
第1课时圆的基本性质
1
课前小练 ……………..…
2
考点梳理 ……………..…
3
广东真题 ……………..…
4
中考特训 ……………..…来自课前小练1.下列说法正确的是(
B
)
A．平分弦的直径垂直于弦
B．半圆(或直径)所对的圆周角是直角
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．若两个圆有公共点，则这两个圆相交 2.如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，
考点梳理
考点三：垂径定理及其推论垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦(不是直径 )的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．拓展：对于①过圆心；②垂直弦； ③平分弦；④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧中的任意两条结论成立，那么其他的结论也成立．(知二得三)
课前小练
4. 如图，⊙O的内接四边形ABCD
中，∠A＝115°，则∠BOD等于 130° __________.
第4题图
5. 如图，圆的内接△ABC中，
∠C＝90°，BC＝12，AC＝16 ，则此圆的最大的弦长是 20 __________.
第5题图
课前小练
考点一：圆心角与圆周角 1．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 __________ ． 2．同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的直角，90°圆周角所对的弦是圆周角是__________ 直径 __________ ，90°圆周角所对的弧是半圆．
考点梳理
如图，四边形ABCD内接⊙O， AC平分∠BAD，则下列结论正确的是( B ) A．AB＝AD B．BC＝CD C. ＝ D．∠BCA＝∠DCA
解：A.∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定， ∴AB与AD不一定相等，故本选项错误； B.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC， ∴BC＝CD，故本选项正确； C.∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定， ∴ 与不一定相等，故本选项错误； D．∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．

2019版中考数学专题复习专题六圆(23)第1课时圆的有关性质教案

2019版中考数学专题复习专题六圆（23）第1课时圆的有关性质教案二、【教学流程】顾（1）如果AB=CD，那么 _______,_______.（2）如果AB CD=那么 _________,______. (3）如果∠AOB=∠COD，那么 ________,______.（4）如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,OE与OF 相等吗？为什么？第2题图第3题图综合运用【自主探究】例（1）如图，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，OD是半径，且OD//AC。

求证：CD=BD组一：连接OC，ODAC//CODACOBODA∠=∠∠=∠∴,OCOA=∴ACOA∠=∠DOBCOD∠=∠∴BDCD=∴师：这是通过证圆心角相等，得到弦相等.还有其他证明方法吗？组二：连接AD，ODAC//，OA=OD∠=∠∴CAD OADODA∠=∴弧CD=弧BD∴CD=BD（学生分组交流，一会后学生汇报成果.）从不同的方法中进行知识整合ADCBOEFMNBAC·O师：由圆周角相等，我们可以得到弧相等（或圆心角相等），从而得到弦相等.这种证法利用了圆心角、圆周角与弧的关系.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于所对圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.这样，证弦相等，又多了两条途径：可以考虑去证弧相等，也可以考虑去证圆周角相等.师：还有其他方法吗？组三：连接BC，AB是直径090=∠∴ACBAC//OD ODBC⊥∴由垂径定理可以得到弧CD=弧BD ∴CD=BD师：这就利用了垂径定理的基本图形.垂径定理及逆定理体现了直径、弧、弦三种量之间的关系：直径垂直弦、直径平分弦、直径平分弧，这三个结论中，只要有一个成立，则另两个也同时成立.但要注意，若条件是直径平分弦，则这条弦必须不是直径，另两个结论才会成立.垂径定理及逆定理体现的是圆的轴对称性.（边总结，边在黑板上抽离基本图形）（同时在黑板上画出这个基本图形）从不同的方法中进行知识整合而在圆中，要构造直角，大家要想到直径所对的圆周角是直角；而090的圆周角所对的弦是直径。

(广西专用)2019年中考数学复习第五章圆5.1圆的性质及与圆有关的位置关系(讲解部分)素材(pdf)

ｃ．平分弦所对的一条弧的直径，③㊀垂直平分弦并且平分弦（２）圆的两条平行弦所夹的弧相等．
ｂ．弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
２．直线和圆的位置关系
２．与圆有关的角的弧的度数㊀．
（１）顶点在圆心的角叫做圆心角，它的度数等于 ④㊀它所对圆周角定理：（２） ⑤㊀顶点在圆上并且两边都和圆相交的角㊀叫做圆周角．
（２）如图，连接ＢＤ，则øＢＤＣ＝９０ʎ．
在ＲｔәＡＢＣ中，由勾股定理，得ＡＣ＝由Ｓ әＡＢＣ＝
在ＲｔәＡＢＤ中，ＡＤ＝
又ＡＦ＝ＡＢ＝３，ʑ 来自Ｆ＝３－在ＲｔәＢＤＦ中，ＢＦ＝
＝
方法二㊀判定直线与圆相切的方法
定理）．
４５．５
１２６５ＢＤＢＦ５５＝＝易知 әＢＤＦ ʐ әＣＥＦ， ʑ ，即，解得ＣＥＣＥＣＦＣＥ２
解析㊀（１）证明：ȵ Ｅ为ＣＤ的中点，
ȵ øＦＡＣ＝ øＡＯＤ，øＤ＝ øＢＡＦ， ʑ øＤ＋øＡＯＤ＝９０ʎ． ȵ ＯＡ为☉Ｏ的半径， ʑ ＡＤ是☉Ｏ的切线．（２）如图，连接ＢＦ．
(
ʑ øＣＦＥ＋øＥＣＦ＝９０ʎ． ȵ øＡＢＣ＝９０ʎ ，ʑ øＡＢＦ＋øＣＢＦ＝９０ʎ． ʑ øＡＢＦ＝ øＡＦＢ． ʑ ＡＢ＝ＡＦ．
３．切线的判定方法
圆周角所对的弧相等；弦是直径．
ａ．同弧或等弧所对的圆周角相等，在同圆或等圆中，相等的
圆周角定理的推论：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
（１）定义：⑧㊀直线与圆有唯一公共点，这条直线叫做圆的切线㊀．

广东省2019中考数学总复习第七章圆第2课时与圆有关的位置关系备考演练(含答案)_259

第七章圆第2课时与圆有关的位置关系【备考演练】一、选择题1．已知⊙O 的半径是6，点O 到直线l 的距离为5，则直线l 与⊙O 的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法判断2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A＝30°，则sin ∠E 的值为( )A.12B.22C.32D.33第2题图第3题图3．在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点O 为BC 的中点，以O 为圆心作⊙O 交BC 于点M 、N ，⊙O 与AB 、AC 相切，切点分别为D 、E ，则⊙O 的半径和∠MND 的度数分别为( )A ．2，22.5°B ．3，30°C ．3，22.5°D ．2，30°二、填空题1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为(－3，0)，将⊙P 沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为 __________．第1题图第2题图2．(2018·徐州)如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为D，AB ＝BC＝2，则∠AOB＝__________°.3．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则∠E＝__________．第3题图第4题图4．如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO＝5，PA切⊙O于A点，则PA ＝__________．三、解答题1．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC 为半径的圆与AB相切于点D，连接OD.(1)求证：△ADO∽△ACB.(2)若⊙O的半径为1，求证：AC＝AD·BC.2．(2018·金华)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC.(1)求证：AC平分∠DAO.(2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°①求∠OCE的度数；②若⊙O的半径为22，求线段EF的长．四、能力提升1．(2018·丽水)如图，在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.(1)求证：∠A＝∠ADE；(2)若AD＝16，DE＝10，求BC的长．2．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点C ，与AB 的延长线交于点D ，DE ⊥AD 且与AC 的延长线交于点E.(1)求证：DC ＝DE ；(2)若tan ∠CAB ＝12，AB ＝3，求BD 的长．答案：一、1.C 2.A3．A 解：连接OA ，∵AB 与⊙O 相切，∴OD ⊥AB ，∵在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，O 为BC 的中点，∴AB ⊥BC ，∴OD ∥AC ，∵O 为BC 的中点，∴OD ＝12AC ＝2；∵∠DOB ＝45°， ∴∠MND ＝∠DOB ＝22.5°，答案：A.二、1.1或5 2.60 3.60° 4.4三、1.(1)证明：∵AB 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AB ，∴∠ACB ＝∠ADO ＝90°，∵∠A ＝∠A ，∴△ADO ∽△ACB ；(2)解：由(1)知：△ADO ∽△ACB .∴AD AC ＝OD BC， ∴AD ·BC ＝AC ·OD ，∵OD ＝1，∴AC ＝AD ·BC .2．解：(1)∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ，∵AD ⊥CD ，∴AD ∥OC ，∴∠DAC ＝∠OCA ，∵OC ＝OA ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∴∠OAC ＝∠DAC ，∴AC 平分∠DAO ；(2)①∵AD ∥OC ，∴∠EOC ＝∠DAO ＝105°.∵∠E ＝30°，∴∠OCE ＝45°；②作OG ⊥CE 于点G ，则CG ＝FG ，∵OC ＝22，∠OCE ＝45°，∴CG ＝OG ＝2，∴FG ＝2，在Rt △OGE 中，∠E ＝30°，∴GE ＝23，∴EF ＝GE －FG ＝23－2.四、1.(1)证明：连接OD ，∵DE 是切线，∴∠ODE ＝90°，∴∠ADE ＋∠BDO ＝90°，∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°，∵OD ＝OB ，∴∠B ＝∠BDO ，∴∠ADE ＝∠A .(2)连接CD .∵∠ADE ＝∠A ，∴AE ＝DE ，∵BC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝90°，∴EC 是⊙O 的切线，∴ED ＝EC ，∴AE ＝EC ，∵DE ＝10，∴AC ＝2DE ＝20，在Rt △ADC 中，DC ＝202－162＝12，设BD ＝x ，在Rt △BDC 中，BC 2＝x 2＋122，在Rt △ABC 中，BC 2＝(x ＋16)2－202，∴x 2＋122＝(x ＋16)2－202，解得x ＝9，∴BC ＝122＋92＝15.2．(1)证明：连接OC ，∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD ＝90°，∴∠ACO ＋∠DCE ＝90°，又∵ED ⊥AD ，∴∠EDA ＝90°，∴∠EAD ＋∠E ＝90°，∵OC ＝OA ，∴∠ACO ＝∠EAD ，∴∠DCE ＝∠E ，∴DC ＝DE ，(2)解：设BD ＝x ，则AD ＝AB ＋BD ＝3＋x ，OD ＝OB ＋BD ＝1.5＋x ，在Rt △EAD 中，∵tan ∠CAB ＝12，∴ED ＝12AD ＝12(3＋x )，由(1)知，DC ＝12(3＋x )，在Rt △OCD 中，OC 2＋CD 2＝DO 2，则1.52＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（3＋x ）2＝(1.5＋x )2，解得：x 1＝－3(舍去)，x 2＝1，故BD ＝1.。

2019年中考复习课件圆的基本性质专项复习(共18张PPT)

图13
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第21页
②如图13，∵在变化过程中∠ACB=30°恒成立， ∴点C在以AB为弦的某个圆上运动，设这个圆的圆心为H，连接AH、BH， ∴∠AHB=2∠ACB=60°，∵AH=BH，∴△ABH是等边三角形， ∵AB=2 3 ，∴⊙H的半径HA=2 3 ，作CG⊥AB，显然，当C点运动到CG经过圆心H时△ABC面积最大．此时，CG=CH+HG，CH=2 3 ， ∵HG⊥AB，AB=2 3 ，∴BG= 3 ，∴BH=2 3 ，∴HG=3， ∴CG=2 3+3， 1 ∴△ABC面积最大值是： AB•CG= 2 ×2 3×（2 3 +3）=6+ 3 3 。
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例2答案： ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90° ，∵CE⊥BD，∴∠DEC=90° ， ∴∠DEA=∠ABC，∴AD∥CF，∴∠F=∠PDA， ∵四边形ACBDF是⊙O的内接四边形，∴∠F+∠DAC=180° ， ∵∠PAD+∠DAC=180° ，∴∠F=∠PAD，∴∠PAD、互动固学
1. 如图14，△ABC中，∠ACB=90° ，一个量角器的直径与斜边AB重合，点D 对应的读数是56° ，则∠ACD= °。 A C D D Q ． O ． B O A · B B O A E P 图14 C 图15 图16 2. 如图15，点A、B、C、D、E在⊙O上，AE 的度数为50° ，则∠B +∠D= 3. 如图16，已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，AB=8，Q为AB中点，P 是圆上的一点（不与A、B重合），连接PQ，则PQ的最小值为
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例2.如图10，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，点D是⊙O上的一个动点，且C、D位于AB的两侧，连接AD、BD，过点C作CE⊥BD，垂足为 E．延长CE交⊙O于点F，CA、FD的延长线交于点P。判断△PAD的形状，并说明理由。 P D F A C O

广东省2019年中考数学总复习第一部分知识梳理第五章特殊四边形第23讲正方形课件2019021415

∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，
∴AE=BE=DF=AF，OF=12DC，OE=12BC，OE∥BC.
在△BCE和△DCF中，
BE=DF,
∠B=∠D,
BC=DC,
∴△BCE≌△DCF（SAS）.
（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下.
由（1），得AE=OE=OF=AF，
3. (10分) 已知正方形的一条对角线长为8cm，则其面积是____________ cm2. 32
4.（10分）矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件_______ AB=BC （答案不唯一），使其成为正方形.（只填一个即可） 5. (10分)如图K1-23-2，点E在正方形ABCD的边CD上. 若△ABE的面积为 5 8，CE=3,则线段BE的长为_____.
8.(30分)（2017青岛）已知如图K1-23-5，在菱形ABCD 中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，
OE，OF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B=∠D，AB=BC=DC=AD.
6.（10分）如图K1-23-3,在△ABC中， ∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC 于点D，交AB于点E，且BE=BF，请你添加一个条件:_______( AC=BC 答案不唯一)，使四边形BECF是正方形．
7. (10分)如图K1-23-4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为(1， )，则点C的坐标为__________. (，1)
第23讲正方形

广东省2019年中考数学总复习第一部分知识梳理第五章特殊四边形第23讲正方形课件(含答案)5

（2）解:当AB⊥BC时,四边形AEOF是正方形, 理由如下. 由（1）,得AE=OE=OF=AF, ∴四边形AEOF是菱形. ∵AB⊥BC,OE∥BC, ∴OE⊥AB. ∴∠AEO=90°. ∴四边形AEOF是正方形．
3. (10分) 已知正方形的一条对角线长为8cm,则其面积是_____3_2______ cm2.
4.（10分）矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,请你添加一个适当的条件____A_B_=_B（C 答案不唯一）,使其成为正方形.（只填一个即可）
5. (10分)如图K1-23-2,点E在正方形ABCD的边CD上. 若△ABE的面积为 8,CE=3,则线段BE的长为___5__.
8.(30分)（2017青岛）已知如图K1-23-5,在菱形ABCD 中,点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,连接 CE,CF,OE,OF．（1）求证:△BCE≌△DCF；（2）当AB与BC满足什么关系时,四边形AEOF是正方形？请说明理由．
（1）证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴∠B=∠D,AB=BC=DC=AD. ∵点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点, ∴AE=BE=DF=AF,OF=12DC,OE=12BC,OE∥BC. 在△BCE和△DCF中, BE=DF, ∠B=∠D, BC=DC, ∴△BCE≌△DCF（SAS）.
6.（10分）如图K1-23-3,在△ABC中, ∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC 于点D,交AB于点E,且BE=BF,请你
添加一个条件:_A_C_=_B_C__(答案不唯一),
使四边形BECF是正方形．
7. (10分Байду номын сангаас如图K1-23-4,将正方形OABC 放在平面直角坐标系中,O是原点, 点A的坐标为(1, ),则点C的坐标为_(_-____,_1_)__.

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【例1】（2015广州）已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，
思路点拨：根据直线和圆的位置关系可直接得到点O到直线l的距离是5.
答案：C
考题再现
1. （2016湘西州）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3 cm，AC= 4 cm，以点C为圆心，以2.5 cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是 A. 相交 C. 相离 B. 相切 D. 不能确定（ A ）
（2）过圆心作这条直线的垂线段——证明这条垂线段和半径
相等，则该直线为切线. （3）当题中已有切线时，常连接圆心和切点得到半径或90° 角，由此可展开其他问题的计算或证明.
中考考点精讲精练
考点1 点、直线和圆的位置关系考点精讲
则点O到直线l的距离是 A. 2.5 B. 3 C. 5 （ D. 10 ）
∵∠CAB=30°，
∴∠COF=60°.
∵PC是半⊙O的切线，AB=10，
∴OC⊥PF，OC=OB=
AB=5.
∴BF=OF-OB=5.
线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫切点.
（3）相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线
和圆相交，这条直线叫做圆的割线.
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：
（1）直线l和⊙O相离（2）直线l和⊙O相切
d＞r. d=r.
（3）直线l和⊙O相交
3. 切线
d＜r.
（1）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. （2）切线的主要性质：
①性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
②切线和圆只有一个公共点. ③切线和圆心的距离等于圆的半径. ④经过圆心且垂直于切线的直线必过切点. ⑤经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
4. 三角形的内心和外心（1）三角形的内心：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的
内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做
2. （2015湘西州）⊙O的半径为5 cm，点A到圆心O的距离OA=
3 cm，则点A与圆O的位置关系为 A. 点A在圆上 C. 点A在圆外（ B ） B. 点A在圆内 D. 无法确定
考点演练
3. 一个点到圆的最小距离为3 cm，最大距离为8 cm，则该圆
的半径是 A. 5 cm或11 cm C. 5.5 cm B. 2.5 cm D. 2.5 cm或5.5 cm （ D ）
考点3=32°， ∴∠CAD=32°.
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAC=2∠CAD=64°.
∴∠EBC+∠ECB=（180°-64°）÷2=58°.
∴∠BEC=180°-58°=122°. 答案：122°
D
125°
B
120°
考点点拨：
本考点的题型一般为选择题或填空题，难度较低.
第一部分教材梳理
第五章第2节图形的认识（二）与圆有关的位置关系
知识梳理
概念定理
1. 点和圆的位置关系（三种）（1）点在圆外. （2）点在圆上. （3）点在圆内. 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
（1）点P在圆外
（2）点P在圆上
d＞r.
d=r.
（3）点P在圆内
d＜r.
注意：已知点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来，已知点到圆心距离与半径的关系也可以确定该点与圆的位置关系. 2. 直线和圆的位置关系（三种）（1）相离：一条直线和圆没有公共点. （2）相切：一条直线和圆只有一个公共点，此时叫做这条直
三角形的内心.它到三角形各边的距离相等.
（2）三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外
接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.它到三角形各顶点的距离相等.
方法规律
与切线有关问题常作的辅助线和解题思路
（1）连接圆心和直线与圆的公共点——证明该半径与已知直
线垂直，则该直线为切线.
4. 在平面直角坐标系中，M（2，0），圆M的半径为4，那么点P（-2，3）与圆M的位置关系是 A. 点P在圆内 B. 点P在圆上（ C ）
C. 点P在圆外
D. 不能确定
考点点拨：
本考点的题型一般为选择题，难度较低.
解答本考点的有关题目，关键在于掌握点（或直线）与圆心的
距离和半径的关系（相关要点详见“知识梳理”部分）.注意以下要点：根据点（或直线）的位置可以确定该点（或直线）到圆心的距离和半径的关系，反过来，已知点（或直线）到圆心的距离与半径的关系也可以确定该点（或直线）和圆的位置关系.
考点2
切线的判定和性质
（1）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB， ∴∠PEA=90°，∠ADO=90°. 在△ADO和△PEO中，
∴△POE≌△AOD（AAS）. ∴OD=OE.
考点点拨：
本考点是广东中考的高频考点，其题型一般为解答题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于熟练掌握切线的性质和判定定理，同时要注意圆周角定理、相似三角形的性质、锐角三角函数等知识的综合考查.注意以下要点：在解有关圆的切线问题时，常需添加辅助线，通常为连接圆心与切点（或待证切点），再通过推理证明实现对切线的判定或求出相关线段的长度.
解答本考点的有关题目，关键在于掌握三角形的内心和外心的
含义与性质. 注意以下要点：（1）三角形的内心是三条角平线的交点，它到三角形三边的距离都相等；（2）三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离都相等.
课堂巩固训练
C
C
B
B
27°
30°
（2）解：∵AB是直径， ∴∠ACB=90°.