2.1.5.2《点到直线的距离公式》课件(北师大版必修2)
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《点到直线的距离》课件2(北师大版必修2)
Ax0 By0 C Ax0 By0 C . A B
S
d
Ax0 By0 C A2 B 2
A=0或B=0，此公式也成立， 但当A=0或B=0时一般不用此 公式计算距离．
注： 在使用该公式前，须将 直线方程化为一般式．
例1:求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。 解： ①根据点到直线的距离公式，得
法二：P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, 设AB≠0,
AB 0, 这时l与x轴, y轴都相交,
d 作y轴的平行线, 交l与点S x0 , y2 Q Ax1 By0 C 0, Ax0 By2 C 0 By0 C Ax0 C x x1 , y2 S O A B Ax0 By0 C Ax0 By0 C PR x0 x1 , PS y0 y2 A B
小结：
（1）点到直线距离公式：
d
Ax0 By0 C A B
2 2
，
注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；
（2）两平行直线间的距离：
d
C2 C1 A2 B 2
，
注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理 为对应相等的形式。
作业: 书本P109 (A)9,10(B)2,4,5 随堂:P105 8,9
d
y
P(-1,2) O
2 1 1 2 10 2 1
2 2
2 5
②如图，直线3x=2平行于y轴，
2 5 d ( 1) 3 3 x 用公式验证，结果怎样？ l:3x=2
• 例2、已知点A（1，3），B（3，1）， • C（-1,0），求三角形ABC的面积。
高中数学北师大版必修二《2.1.5点到直线的距离》课件
2
单击当此A=处0或编B=辑0时母,直版线方标程题为样y=y式1或x=x1的情势.
• 单击此处编辑y 母版文本样式
• 二级 • y三=•y级1四级
• 五级
P (x0,y0) Q (x0,y1)
o
x
y (x1,y0)
Q
P(x0,y0)
o
x
PQ y0 - y1
x=x1
PQ x0 - x1
3
单击此下处面编设辑A≠母0,B版≠0标, 我题们样进一式步探求点到
方程求•出五级点Q的坐标；
y
R
由此根据两点间的距离
d
P( x0,y0)
公式求出｜PQ｜，得到 新疆 王新敞 学案
Q
点P到直线l的距离为d. 新疆 王新敞 学案
o
S
x l
5
单击此[思处路编二]辑母构造版直标角题三样角形式求其高.
• 单击此处编辑母版文y 本样式
• 二级
• 三级
• 四级
R
• 五级
Q
P(x0,y0)
S
O
x
L:Ax+By+C=0
6
单击此方处案二编：辑设母A 版0，标B题 0样， 式
• 单击此处这编l与辑母x轴版、文本y轴样都式相交，
• 二•级三过级 点P作x轴的平行线， 交• 四l级•于五级点R(x1, y0 )；
作y轴的平行线，交l于点S(x0, y2 )
由
A1x1 Ax0
By0 By2
C C
0 0
7
单击此处编辑母版标题样式
•
单击此处得编x辑1 母版B文yA0本样C式,
y2
Ax0 C B
• 二级
单击当此A=处0或编B=辑0时母,直版线方标程题为样y=y式1或x=x1的情势.
• 单击此处编辑y 母版文本样式
• 二级 • y三=•y级1四级
• 五级
P (x0,y0) Q (x0,y1)
o
x
y (x1,y0)
Q
P(x0,y0)
o
x
PQ y0 - y1
x=x1
PQ x0 - x1
3
单击此下处面编设辑A≠母0,B版≠0标, 我题们样进一式步探求点到
方程求•出五级点Q的坐标；
y
R
由此根据两点间的距离
d
P( x0,y0)
公式求出｜PQ｜，得到 新疆 王新敞 学案
Q
点P到直线l的距离为d. 新疆 王新敞 学案
o
S
x l
5
单击此[思处路编二]辑母构造版直标角题三样角形式求其高.
• 单击此处编辑母版文y 本样式
• 二级
• 三级
• 四级
R
• 五级
Q
P(x0,y0)
S
O
x
L:Ax+By+C=0
6
单击此方处案二编：辑设母A 版0，标B题 0样， 式
• 单击此处这编l与辑母x轴版、文本y轴样都式相交，
• 二•级三过级 点P作x轴的平行线， 交• 四l级•于五级点R(x1, y0 )；
作y轴的平行线，交l于点S(x0, y2 )
由
A1x1 Ax0
By0 By2
C C
0 0
7
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•
单击此处得编x辑1 母版B文yA0本样C式,
y2
Ax0 C B
• 二级
北师大版数学必修二：2.1.5平面直角坐标系中的距离公式ppt课件
3
7
1
9
3
D. 或
|6 +3+1|
解析
|-3-4+1|
2 +1
7
1
9
3
,解得 a=- 或 a=- .
1
2
3
4
4
6
5
3.直线 − =1 与 3x-2y+27=0 之间的距离为
4
6
解析:直线 − =1 可化为 3x-2y-12=0,因此所求距离
|27-(-12)|
2
122 +(-5)2
=
13
2
13
1
= .
2
探求一
探求二
探求三
易错辨析
未思索直线斜率不存在的情形而致误
典例求经过点A(1,2)且原点到直线的间隔等于1的直线方程.
错解:∵所求直线过点A(1,2),
∴可设直线方程为y-2=k(x-1),
即kx-y-k+2=0.
∵原点到此直线的间隔为1,
∴
|- +2|
由|PA|=|PB|得 x=1,
所以点 P 的坐标为(1,0),
且|PA|= (1 + 1)2 + (0-2)2 =2 2.
探求一
探求二
探求三
易错辨析
探求二点到直线的间隔公式及其运用
【例2】 (1)求点P(-1,2)到直线3x=2的间隔;
3
1
(2)求点P(3,-2)到直线 y=4x+4 的间隔.
解:(1)由图可知直线 3x=2 平行于 y 轴,
2 +1
3
=1,解得 k= ,
高中数学北师大版必修2课件2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式精选ppt课件
由两条平行线间的距离公式得 d＝－332＋＋1212＝
10 4.
故填
10 4.
(2)依题意设所求直线方程为 x－2y＋C＝0，则有
12|＋－（1－－C2|）2＝ 12＋|13（－－C|2）2，
即|－1－C|＝|13－C|，
解得 C＝6，故所求直线方程为 x－2y＋6＝0.
探究点四 用坐标法证明几何问题 已知等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD，试建立适当的直角 坐标系，证明：|AC|＝|BD|. [证明] 以下底
将本例中的条件“原点到直线的距离等于 22” 改为“点 M(2，1？ 解：因为点 M(2，1)与点 N(－3，1)到直线 x＝－1 的距离不相 等，所以直线的斜率存在，设为 k，则直线 l 的方程为 y－2＝ k(x＋1)，即 kx－y＋k＋2＝0.
由 点 M(2 ， 1) 与 点 N( － 3 ， 1) 到 直 线 l 的 距 离 相 等 ， 得 |2k－k12＋＋k1＋2|＝|－3k－k21＋＋1k＋2|， 化简得 k2＋2k＝0， 解得 k1＝0 或 k2＝－2. 所以直线 l 的方程为 y＝2 或 2x＋y＝0.
由题意，得|C1－36|＝2， 所以 C＝32 或 C＝－20. 故所求直线的方程为 5x－12y＋32＝0 或 5x－12y－20＝0. 法二：设所求直线的方程为 5x－12y＋C＝0， 由两平行直线间的距离公式得 2＝
52＋|C（－－6|12）2， 解得 C＝32 或 C＝－20. 故所求直线的方程为 5x－12y＋32＝0 或 5x－12y－20＝0.
④当直线方程 Ax＋By＋C＝0 中 A＝0 或 B＝0 时，公式仍然成 立. (2)求点到一些特殊直线的距离时，可用以下方法求解： ①点 P(x0，y0)到直线 x＝a 的距离为 d＝|x0－a|； ②点 P(x0，y0)到直线 y＝b 的距离为 d＝|y0－b|.
高中数学 2.1.5 第2课时 点到直线的距离公式多媒体教学优质课件 北师大版必修2
MN
PM 2 PN 2
A2 B2
第八页，共20页。
M (x1, y0 )
x
点到直线的距离公式 由此我们(wǒ men)得到，
点 P(x0, y0 )到直线 l : Ax By C 0 的距离
(jùlí)
d Ax0 By0 C . A2 B2
点到直线(zhíxiàn)的距离公式
第九页，共20页。
k| 1
5
所以 k=0 或 k 5 12
当 k=0 时， l1 的方程为 y 0 , l2 的方程为 y=5.
当
k=
5 12
时，
l1
的方程为
y
5 (x 12
1) , l2 的方程为 y
5x 12
5
故所求两直线方程分别为 l1 : y 0, l2 : y 5 或l1 :5x 12y 5 0, l2 :5x 12y 60 0
答案:(1) | 6 ( 1) | 7 13
32 ( 2)2 13
(2) | 0 ( 7) | 7 5 22 42 10
第十七页，共20页。
1.求点(-1,3)到直线(zhíxiàn)3x+4y-5=0的距离.
2.求两条平行(píngxíng)直线3x+4y-1=0与3x+4y-6=0之间的距离.
答案(dá àn)| :3(1() 1) 3 4 5 | 4
32 42
5
| ( 1) ( 6) |
(2)
1
32 42
第十八页，共20页。
１．点到直线的距离公式(gōngshì)及其证明方法． ２．两平行线间的距离(jùlí)公式．
第十九页，共20页。
不是拥有幸福的人才幸福，而是知道(zhī dào)幸 福的人才幸福。幸福不在于享受了多少，而在于感 受了多少。
《点到直线的距离》课件2(北师大版必修2)
PR 2 PS 2 A2 B 2 Ax0 By0 C AB
l 过p作x轴的平行线, 交l与点R x1 , y0 ; R
y
P
RS
由三角形面积公式可得：
d RS PR PS
d A2 B 2 Ax0 By0 C AB
l R
y
P d Q
x O
小结：
（1）点到直线距离公式：
d
Ax0 By0 C A B
2 2
，
注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；
（2）两平行直线间的距离：
d
C2 C1 A2 B 2
，
注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理 为对应相等的形式。
作业: 书本P109 (A)9,10(B)2,4,5 随堂:P105 8,9
Ax0 By0 C Ax0 By0 C . A B
S
d
Ax0 By0 C A2 B 2
A=0或B=0，此公式也成立， 但当A=0或B=0时一般不用此 公式计算距离．
注： 在使用该公式前，须将 直线方程化为一般式．
例1:求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。 解： ①根据点到直线的距离公式，得
d
y
P(-1,2) O
2 1 1 2 10 2 1
2 2
2 5
②如图，直线3x=2平行于y轴，
2 5 d ( 1) 3 3 x 用公式验证，结果怎样？ l:3x=2
• 例2、已知点A（1，3），B（3，1）， • C（-1,0），求三角形ABC的面积。
Ax0 By0 C1 PQ C2 C1 2 2
《点到直线的距离》课件2(北师大版必修2)
A x0 B y0 C A B
2 2
注： 在使用该公式前，须将 直线方程化为一般式．
A=0或B=0，此公式也成立， 但当A=0或B=0时一般不用此 公式计算距离．
例1:求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。 解： ①根据点到直线的距离公式，得
d 2 1 1 2 10 2 1
RS
PR
2
PS
2
A
2
B
2
AB
A x0 B y0 C
由三角形面积公式可得：
d RS PR PS
d A B
2 2
l R
y
P d Q
x O
AB
A x0 B y0 C A x0 B y0 C B
A x0 B y0 C A
.
S
d
则 点 P 到 直 线 l 2的 距 离 为 : P Q A x0 B y0 C 2 A
2
点 P 在 直 线 l1 上 ， A x 0 B y 0 C 1 0
B
2
A x0 B y0 C1 P Q
C 2 间 的距离公式）
2 2
2
5
y
P(-1,2) O
②如图，直线3x=2平行于y轴，
d 2 3 ( 1) 5 3
x l:3x=2
用公式验证，结果怎样？
• 例2、已知点A（1，3），B（3，1）， • C（-1,0），求三角形ABC的面积。
例3： 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y 两平行线间的 l1:2x-7y+8=0 距离处处相等 l2: 2x-7y-6=0 x O P(3,0) 在l2上任取一点，例如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
2014年(北师大版)数学必修二课件：2.1.5.2点到直线的距离公式
【解析】(1)将直线方程化为一般式为x-y-3=0， 由点到直线的距离公式得d= |1 2 3 | ＝2 2. 2 答案：2 2
12 1
(2)方法一：直线方程化为一般式为y+1=0， 由点到直线的距离公式得d=
2 1 0 1
2 2
＝3.
方法二：如图，因为y=-1平行于x轴，
a 11 12 12 2 2，即
知识点2
两条平行线间的距离公式
对两条平行直线间的距离的两点说明 (1)两条平行直线间的距离是分别在两条直线上的两点间的距 离的最小值. (2)除了将两平行直线间的距离转化为点到直线的距离求解
外，还可以利用两条平行直线间的距离公式 d
平行直线间的距离.
所以d=|-1-2|=3.
答案：3
(3)方法一：y轴的方程为x=0，由点到直线的距离公式得
d 1 0 0 1 0
2 2
＝ 1.
方法二：如图可知，d=|1-0|=1.
答案：1
【要点探究】
知识点1 点到直线的距离公式
1.应用点到直线的距离公式的注意事项
(1)点到直线的距离是点与过该点且垂直于已知直线的直线与 已知直线的交点间的距离. (2)在应用此公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先 把方程化为一般式，再利用公式求距离. (3)对于特殊直线还可采用数形结合的思想方法求解.
2.几种特殊的点到直线的距离 (1)点P(x1，y1)到x轴的距离为d=|y1|. (2)点P(x1，y1)到y轴的距离为d=|x1|. (3)点P(x1，y1)到与x轴平行的直线y=a(a≠0)的距离为d=|y1a|. (4)点P(x1，y1)到与y轴平行的直线x=b(b≠0)的距离为d=|x1b|.
《点到直线的距离》课件2(北师大版必修2)
Ax0 By0 C1 PQ C2 C1 2 2
A B
（两平行线间 的距离公式）
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为 对应相同的形式。
例4、过点（1，2），且与点A（2，3）和 B（4，-5）距离相等的直线L的方程。
例5.求两直线l1 : 4 x 3 y 1 0和l2 :12 x 5 y 13 0 夹角平分线方程.
小结：
（1）点到直线距离公式：
d
Ax0 By0 C A B
2 2
，
注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；
（2）两平行直线间的距离：
d
C2 C1 A2 B 2
，
注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理 为对应相等的形式。
作业: 书本P109 (A)9,10(B)2,4,5 随堂:P105 8,9
PR 2 PS 2 A2 B 2 Ax0 By0 C AB
l 过p作x轴的平行线, 交l与点R x1 , y0 ; R
y
P
RS
由三角形面积公式可得：
d RS PR PS
d A2 B 2 Ax0 By0 C AB
l R
y
P d Q
x O
d
y
P(-1,2) O
2 1 1 2 10 2 1
2 2
2 5
②如图，直线3x=2平行于y轴，
2 5 d ( 1) 3 3 x 用公式验证，结果怎样？ l:3x=2
• 例2、已知点A（1，3），B（3，1）， • C（-1,0），求三角形ABC的面积。
点到直线的距离
点到直线的距离
《点到直线的距离》课件2(北师大版必修2)
点到直线的距离
点到直线的距离
l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0 Q
. P(x0,y0)
o x
问题：求点P（x0 ,y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。
P
y l Q P（x0，y0） x l:Ax+By+C=0
O
法一：写出直线PQ的方程，与l 联立求出点Ｑ的坐标， 然后用两点间的距离公式求得 PQ .
法二：P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, 设AB≠0,
AB 0, 这时l与x轴, y轴都相交,
l 过p作x轴的平行线, 交l与点R x1 , y0 ; R 作y轴的平行线, 交l与点S x0 , y2
y
P
d
By0 C Ax0 C x x1 , y2 S O A B Ax0 By0 C Ax0 By0 C PR x0 x1 , PS y0 y2 A B
小结：
（1）点到直线距离公式： d
Ax0 By0 C A B
2 2
，
注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；
（2）两平行直线间的距离：
d
C2 C1 A B
2 2
，
注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理 为对应相等的形式。
作业: 书本P109 (A)9,10(B)2,4,5 随堂:P105 8,9
例3： 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y 两平行线间的 l1:2x-7y+8=0 距离处处相等 l2: 2x-7y-6=0 x O P(3,0) 在l2上任取一点，例如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
点到直线的距离
l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0 Q
. P(x0,y0)
o x
问题：求点P（x0 ,y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。
P
y l Q P（x0，y0） x l:Ax+By+C=0
O
法一：写出直线PQ的方程，与l 联立求出点Ｑ的坐标， 然后用两点间的距离公式求得 PQ .
法二：P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, 设AB≠0,
AB 0, 这时l与x轴, y轴都相交,
l 过p作x轴的平行线, 交l与点R x1 , y0 ; R 作y轴的平行线, 交l与点S x0 , y2
y
P
d
By0 C Ax0 C x x1 , y2 S O A B Ax0 By0 C Ax0 By0 C PR x0 x1 , PS y0 y2 A B
小结：
（1）点到直线距离公式： d
Ax0 By0 C A B
2 2
，
注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；
（2）两平行直线间的距离：
d
C2 C1 A B
2 2
，
注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理 为对应相等的形式。
作业: 书本P109 (A)9,10(B)2,4,5 随堂:P105 8,9
例3： 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y 两平行线间的 l1:2x-7y+8=0 距离处处相等 l2: 2x-7y-6=0 x O P(3,0) 在l2上任取一点，例如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
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) (B) 1 或-6 2 1 (D)0或 2
3-1 2+4 + +3=0， 2 2
【解析】选B.由题知直线mx+y+3=0与AB平行或过AB的中点， 则有 -m= ∴m= 或m
1 或m=-6. 2
4.(2010·泰安高一检测）如图，点A的坐标为（1，0），点B
在直线y=-x 上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为(
三、解答题（每题8分，共16分）
7.（2010·云南联考）已知直线l经过点P（-2，5），且斜率 为 -3. 4 （1）求直线l的方程；（2）若直线m与l平行，且点P到直线m
的距离为3，求直线m的方程. 【解析】（1）由直线方程的点斜式，得y-5= - 3 (x+2),整 4 理，得所求直线方程为3x+4y-14=0.
一、选择题（每题4分，共16分）
1.(2010·三明高一检测）点P（-1，2）到直线8x-6y+15=0的
距离为( )
1 (B) 2
(D) 7 2 【解析】选B.由点到直线的距离公式得 (A)2 (C)1
|8 (-1)-6 2+15| 5 1 d= = = . 2 2 10 2 8 +(-6)
二、填空题（每题4分，共8分）
5.（2010·榆林高一检测）直线3x+4y-12=0和6x+8y+6=0间的 距离是_________.
【解析】方程6x+8y+6=0可化为3x+4y+3=0,从而两直线是平行
|-12-3| 15 = =3. 直线，故两直线间的距离 d= 2 2 5 3 +4 答案：3
(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为 3x+4y+c=0, 由点到直线的距离公式，得 |3 (-2)+4 5+c|=3, 32 +42 即 |14+c|=3, 解得c=1或c=-29， 5 故所求直线方程3x+4y+1=0或3x+4y-29=0.
8.已知正方形的中心为O（-1，0）,一边所在直线的方程为 x+3y-5=0，求其他三边所在的直线方程.
3 (-1)+n 10
6 = , 10
即｜n-3｜=6.解得n=9或n=-3. 所以正方形另两边所在直线的方程为3x-y+9=0和3x-y-3=0. 综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为： x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0.
9.(10分)若P（a,b）在直线x+y+1=0上， 求
(A)(0,0)
1 1 - ) (B)( , 2 2
)
2 2 ) ,2 2 (D)( - 1 , 1 ) 2 2
(C)(
【解析】选B.由题意可知当AB垂直于直线x+y=0时线段AB最短,
此时kAB=1，设B（a,-a）,则 k AB = -a =1. a-1 1 ∴a= 1 ,∴B( , - 1 ). 2 2 2
2 ∴ （a-1）+(b-1)2 即是点（1,1）与直线x+y+1=0上任一点之
间的距离，
2 因此，点(1,1)到直线x+y+1=0的距离即是 （a-1）+(b-1)2
的最小值.
由于点(1,1)到直线x+y+1=0的距离为
|1+1+1| 3 2 d= = , 2 2 2 1 +1 故 的最小值为 3 2. 2 2 a +b -2a-2b+2 2
6 【解析】正方形中心O（-1,0）到四边距离均为 -1-5 = ， 2 2 10 1 +3 设正方形与已知直线平行的一边所在直线方程为
6 = , 即｜m-1｜=6. 10 10 解得m=-5（舍去）或m=7.
x+3y+m=0,则 故与已知边平行的直线方程为x+3y+7=0.
-1+m
设正方形另一组对边所在直线方程为3x-y+n=0, 则
a2 +b2 -2a-2b+2 的最小值.
【解题提示】 a2 +b2 -2a-2b+2= (a-1)2 +(b-1)2 ,可以借 助两点间的距离思想求解.
【解析】 a2 +b2 -2a-2b+2= (a-1)2 +(b-1)2 , 可看成是点
P（a,b）与点(1,1)之间的距离.
又∵点P是直线x+y+1=0上任一点，
6.到两条直线3x-4y+5=0及5x-12y+13=0的距离相等的点 P（x,y）满足的关系是_____. 【解析】由点到直线的距离公式可得：
3x-4y+5 3 +4
2 2
=
5x-12y+13 5 +(-12)
2 2
，
整理得7x+4y=0或32x-56y+65=0. 答案：7x+4y=0或32x-56y+65=0
2.两平行直线3x+4y+10=0与3x+4y+5=0之间的距离为( (A)3 (B)1 (C)5 (D)7
)
【解析】选B.由题意可知，两平行直线间的距离
d= 10-5 3 +4
2 2
=1.
3.已知两点A（3，2）和B（-1，4）到直线mx+y+3=0的距离相 等，则m为(
1 (A)0或 2 1 1 (C) - 或 2 2 4-2 -1-3