2023年九年级数学中考一轮基础复习--有理数(含解析)
备考2023年中考数学一轮复习-数与式_有理数_绝对值及有理数的绝对值-单选题专训及答案
备考2023年中考数学一轮复习-数与式_有理数_绝对值及有理数的绝对值-单选题专训及答案绝对值及有理数的绝对值单选题专训1、(2019阜新.中考真卷) -2的绝对值是（）A . 2B . -2C . ±2D .2、(2013无锡.中考真卷) |﹣2|的值等于（）A . 2B . ﹣2C . ±2D .3、(2017和平.中考模拟) 若两个非零的有理数a，b满足：|a|=﹣a，|b|=b，a+b ＜0，则在数轴上表示数a，b的点正确的是（）A .B .C .D .4、(2017安次.中考模拟) 计算（﹣3）×|﹣2|的结果等于（）A . 6B . 5C . ﹣6D . ﹣55、(2017宁城.中考模拟) 实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A . ac＞bcB . |a﹣b|=a﹣bC . ﹣a＜﹣b＜cD . ﹣a﹣c＞﹣b﹣c6、(2018南京.中考模拟) 计算│－5＋3│的结果是（）A . －8B . 8C . －2D . 27、(2020宁波.中考模拟) -3的绝对值是（）A . 3B .C . -3D . -8、(2019鄂州.中考真卷) －2019的绝对值是（）A . 2019B . －2019C .D .9、(2017台州.中考模拟) 3的绝对值是（）A . 3B . ﹣3C . ±3D .10、(2017临海.中考模拟) 定义新运算：对于任意实数a、b都有a⊗b=|3a﹣b|，则x⊗1﹣x⊗2的值为（）A . ﹣2B . ﹣1C . ﹣D . 011、(2017冷水滩.中考模拟) ﹣2017的绝对值是（）A . 2017B .C . ﹣2017D . ﹣12、(2019滨州.中考真卷) 下列各数中，负数是（）．A .B .C .D .13、(2017滨州.中考真卷) 计算﹣（﹣1）+|﹣1|，其结果为（）A . ﹣2B . 2C . 0D . ﹣114、(2017濮阳.中考模拟) ﹣2017绝对值是（）A . ﹣2017B . 2017C .D . 015、(2017樊城.中考模拟) 若|a|=3，则a的值是（）A . ﹣3B . 3C .D . ±316、(2018宜昌.中考真卷) ﹣2018的绝对值是（）A . 2018B . ﹣2018C .D . ﹣17、(2015河池.中考真卷) ﹣3的绝对值是（）A . -3B .C .D . 318、(2017德阳.中考模拟) |﹣3+1|=（）A . 4B . ﹣4C . 2D . ﹣219、(2017贵州.中考模拟) |﹣5|的值是（）A . 5B . ﹣5C .D .20、(2020秦安.中考模拟) 若x与3互为相反数，则|x+3|等于（）A . 0B . 1C . 2D . 321、(2022山西.中考模拟) 一5的绝对值是（）A . 5B .C .D . －522、(2020拱墅.中考模拟) ﹣6的绝对值等于（）A . 6B .C . ﹣D . ﹣623、(2020眉山.中考真卷) -5的绝对值是（）A . 5B .C .D . －524、(2020澧.中考模拟) 给出下列命题：；（2）若，则x的相反数是2；（3）的平方根是；（4）是最简二次根式；（5）．其中符合题意命题的个数有（）A . 5B . 4C . 3D . 225、(2020南召.中考模拟) 的绝对值是（）A . -2B .C . 2D .26、(2020无锡.中考模拟) 的值是（）A . 2B .C . -2D .27、(2020濠江.中考模拟) -2020的绝对值是（）A . 2020B .C .D .28、的绝对值是（）A .B .C .D .29、计算的最后结果是（）A . 1B .C . 5D .30、下列各式正确的是（）A . |﹣3|＝|3|B . |﹣3|＝﹣|3|C . |﹣3|＝﹣3D .绝对值及有理数的绝对值单选题答案1.答案：A2.答案：A3.答案：A4.答案：C5.答案：D6.答案：D7.答案：A8.答案：A9.答案：A10.答案：B11.答案：A12.答案：B13.答案：B14.答案：B15.答案：D16.答案：A17.答案：D18.答案：C19.答案：A20.答案：A21.答案：A22.答案：A23.答案：A24.答案：25.答案：26.答案：27.答案：28.答案：29.答案：30.答案：。
2023中考数学一轮复习专题1
专题1.1 实 数（知识讲解）【基本考点要求】1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用.【知识点梳理】 考点一、实数的分类 1.按定义分类：2.按性质符号分类：有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如（m ，n 是整数n≠0）”的数叫有理数． 无理数：无限不循环小数叫无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 特别说明：常见的无理数有以下几种形式：（1）字母型：如π是无理数，等都是无理数，而不是分数； （2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；（3…都是一些开方开不尽的数；⎧⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎨⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数自然数整数零有理数有限小数或无限循环小数负整数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零负整数负有理数负实数负分数负无理数nm24ππ、（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.考点二、实数的相关概念 1.相反数（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0；（2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；（3)互为相反数的两个数之和等于0.a 、b 互为相反数a+b=0. 2.绝对值（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．可用式子表示为：（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a 是实数，则|a|≥0． 特别说明：若则则表示的几何意义就是在数轴上表示数a 与数b 的点之间的距离. 3.倒数（1)实数的倒数是；0没有倒数； （2)乘积是1的两个数互为倒数．a 、b 互为倒数. 4.平方根（1)如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a （a ≥0）的平方根记作．（2)一个正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根．a （a ≥0）的算术平方根记作． 5.立方根如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0．考点三、实数与数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．特别说明：（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度. （2）实数和数轴上的点是一一对应的. 考点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小. ⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a ,a a =0a ≥；-,a a =0a ≤；-a b (0)a a ≠a11a b ⇔⋅=a ±a3.对于实数a 、b ， 若a-b>0a>b ；a-b=0a=b ；a-b<0a<b.4.对于实数a ，b ，c ，若a>b ，b>c ，则a>c.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a 2>b 2a>b ；或利用倒数转化：如比较与.特别说明：实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.考点五、实数的运算 1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．满足运算律：加法的交换律a+b=b+a ，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)． 2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数． 3.乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba ；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac ． 4.除法（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0． 5.乘方与开方（1)求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，a 所表示的意义是n 个a 相乘.正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． （2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方． （3)零指数与负指数011(0)(0).ppa a aa a -==≠，≠ 特别说明：加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．考点六、有效数字和科学记数法一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.把一个数用±a ×10（其中1≤＜10，n 为整数）的形式记数的方法叫科学记数法．特别说明：（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a ×10，其中1≤＜10，n 为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1； ⇔⇔⇔⇔b a >⇔417-154-nn na（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a ×10，其中1≤＜10，n 为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.【典型例题】类型一、实数的有关概念1．（1）2-的相反数是__________，13-的绝对值是________，立方等于64-的数是_______．【答案】213-4 解：﹣2的相反数是2，的绝对值是，立方等于﹣64的数是﹣4．（2）（2021·四川广元·中考真题）如图，实数m 在数轴上所对应的点分别为A ，B ，C ，点B 关于原点O 的对称点为D ．若m 为整数，则m 的值为________．【答案】-3【分析】先求出D 点表示的数，再得到m 的取值范围，最后在范围内找整数解即可． 解：∵点B 关于原点O 的对称点为D ，点B ∵点D 表示的数为∵A 点表示C 点位于A 、D 两点之间， ∵m < ∵m 为整数， ∵3m =-； 故答案为：3-．【点拨】本题考查了数轴上点的特征，涉及到相反数的性质、对无理数进行估值、确定不等式组的整数解等问题，解决本题的关键是牢记相关概念和性质，本题蕴含了数形结合的思想方法．（3）（2020·辽宁朝阳·中考真题）在全国上下众志成城抗疫情、保生产、促发展的关键时刻，三峡集团2月24日宣布：在广东、江苏等地投资580亿元，开工建设25个新能源项目，预计提供17万个就业岗位将“580亿元”用科学记数法表示为____________元． na【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．解：580亿＝58000000000=5.8×1010．故答案为：5.8×1010．【点拨】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．．举一反三：【变式1】下列说法正确的是（）A．1的相反数是﹣1B．1的倒数是﹣1C．1的立方根是±1D．﹣1是无理数【答案】A解：A、1的相反数为-1，故A正确；B、1的倒数是1，故B错误；C、1的立方根是1，故C错误；D、-1是有理数，是整数，故D错误．故选A考点：相反数的定义【变式2】（2016·山东烟台·中考真题）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为__________ ．解：根据题意得，等腰∵ABC中，OA=OB=3,由等腰三角形的性质可得OC∵AB，根据勾股定理可得，又因M考点：勾股定理；实数与数轴．【变式3】（2020·辽宁朝阳·中考真题）在全国上下众志成城抗疫情、保生产、促发展的关键时刻，三峡集团2月24日宣布：在广东、江苏等地投资580亿元，开工建设25个新能源项目，预计提供17万个就业岗位将“580亿元”用科学记数法表示为____________元．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数，据此判断即可．解：580亿＝58000000000=5.8×1010． 故答案为：5.8×1010．【点拨】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n ，其中1≤|a|＜10，确定a 与n 的值是解题的关键．类型二、实数的分类与计算2．（2018·黑龙江绥化·中考真题）在163，3，π， 1.6-，25这五个数中，有理数有______个.【答案】3【分析】根据有理数和无理数的定义进行判断即可得.解：根据题意可得有理数有163， 1.6-5=π为无理数， 所以有理数有3个， 故答案为3．【点拨】本题考查了实数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数与无理数的定义. 举一反三：（2018·河南新乡·）下列实数10.727，，π中，无理数有_______个.【答案】3解：根据无理数的定义可得：2π是无理数，共3个，故答案为：3.3．（2020·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）计算：27+（13）﹣2﹣3tan60°+（π2-）＝_____．【答案】10【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．+（13）﹣2﹣3tan60°+（π）0＝﹣＝10． 故答案为：10．【点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 举一反三：【变式1】（2021·四川内江·中考真题）计算：0216sin 45|1(2021)()2π-︒---． 【答案】-3【分析】根据特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等运算法则计算即可．解：原式61)14=--14=-3=-．【点拨】本题考查了特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等知识点，熟知相关运算法则是解题的关键．【变式2】（2020·四川·中考真题）计算：（﹣2）-2﹣2|+02cos30°． 【答案】324-【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．解：（﹣2）﹣2﹣2|+02cos30°＝14﹣﹣2﹣＝﹣234．【点拨】本题主要考查实数的混合运算及特殊三角函数值，熟练掌握运算法则及三角函数值是解题的关键．类型三、实数大小的比较4．（2021·山东临沂·中考真题）比较大小：26___5（选填“>”、“ =”、“ <” ）． 【答案】＜【分析】先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解．解：∵5而24＜25， ∵5． 故答案为：＜．【点拨】此题主要考查了实数的大小的比较，当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把它们还原成带根号的形式，然后比较被开方数即可解决问题．举一反三：【变式1】 （2017·甘肃张掖·与0.5______0.5．（填“＞”、“=”、“＜”）【答案】＞解：-12，2＞0，0． 故答案为：＞【变式2】（2017·河北·中考真题）对于实数p ，q ，我们用符号{}min ,p q 表示p ，q 两数中较小的数，如{}min 1,21=，因此{min =_________；若{}22min (1),1x x -=，则x=_________．【答案】 2或-1 解：因为，所以min{，}=. 当时，，解得(舍)，； 当时，，解得，(舍).考点：新定义，实数大小的比较，解一元二次方程. 类型四、平方根的应用5．（2021·四川达州·中考真题）已知a ，b 满足等式216903a ab +++-=，则20212020a b =___________．【答案】-3【分析】先将原式变形，求出a 、b ，再根据同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算即可求解．解：由2690a a ++，变形得()230a +， ∵130,03a b +=-=，∵13,3a b =-=， ∵()()()()20202020202020212020202120201113=33=33=3333ab⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为：-3【点拨】本题考查了完全平方公式，平方、算术平方根的非负性，同底数幂的乘法、积的乘方的逆用等知识，根据题意求出a 、b 的值，熟知同底数幂的乘法、积的乘方是解题关键．【变式1】 （2019·山东临沂·中考真题）一般地，如果()40x a a =≥，则称x 为a 的四次方根，一个正数a 的四次方根有两个．它们互为相反数，记为10=，则m =_____．【答案】 10±【分析】利用题中四次方根的定义求解．解：10=， ∵4410m =， ∵10m =±. 故答案为10±.【点拨】本题考查了方根的定义．关键是求四次方根时，注意正数的四次方根有2个． 【变式】（2013·四川巴中·中考真题）若直角三角形的两直角边长为a 、b ，且满足b 40-=，则该直角三角形的斜边长为_____．【答案】5．解：b 40-=，∵2a 6a 9-+=0，b －4=0，解得a=3，b=4． ∵直角三角形的两直角边长为a 、b ，∵该直角三角形的斜边长5=．类型五、实数运算中的规律探索6．（2021·湖南怀化·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】2m m -【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++的和，即可计算1001011011992222++++的和．解：由题意规律可得：2399100222222++++=-．∵1002=m ∵23991000222222=2m m +++++==，∵22991001012222222+++++=-，∵10123991002222222=++++++12=2m m m m =+=． 102239910010122222222+=++++++224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++3248=2m m m m m m =+++=．……∵1999922m =． 故10010110110199992222222m m m ++++=+++．令012992222S ++++=① 12310022222S ++++=②∵-∵，得10021S -= ∵10010110110199992222222m m m ++++=+++=()100221m m m -=-故答案为：2m m -．【点拨】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．举一反三：【变式1】（2021·四川眉山·中考真题）观察下列等式：1311212x ==+⨯；2711623x ==+⨯；313111234x ==+⨯； …… 根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-=______． 【答案】12021-【分析】根据题意，找到第n 等式右边为1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120202021⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯ 12320202021x x x x ++++-＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021 ＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12020﹣12021﹣2021 ＝2020+1﹣12021﹣2021 ＝12021-． 故答案为：12021-． 【点拨】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．【变式2】（2020·湖南张家界·中考真题）观察下面的变化规律：212112112111,,,133353557577979=-=-=-=-⨯⨯⨯⨯，…… 根据上面的规律计算：222213355720192021++++=⨯⨯⨯⨯__________． 【答案】20202021 【分析】 本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题． 由题干信息可抽象出一般规律：211a b a b =-•（,a b 均为奇数，且2b a =+）． 故2222=13355720192021++++⨯⨯⨯⨯原式 1111111=1335572019202111111111()()()335520192019202112020120212021-+-+-++-=+-+-++--=-=． 故答案：20202021． 【点拨】本题考查规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．。
2023中考数学一轮复习专题1
专题1.7 数与式的综合复习（知识讲解）【基本考点要求】(1) 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的倒数、相反数与绝对值．理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算；（2）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应；会用根号表示数的平方根、立方根．了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算；（3）了解整式、分式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算．会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算．【知识点梳理】【知识网络】【考点梳理】1．实数及其分类实数可以按照下面的方法分类：实数还可以按照下面的方法分类：特别说明：整数和分数统称有理数．无限不循环小数叫做无理数．有理数和无理数统称实数．2．数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数和数轴上的点是一一对应的关系．特别说明：实数和数轴上的点的这种一一对应的关系是数学中把数和形结合起来的重要基础．3．相反数实数a和-a叫做互为相反数．零的相反数是零．一般地，数轴上表示互为相反数的两个点，分别在原点的两旁，并且离原点的距离相等．特别说明：两个互为相反数的数的运算特征是它们的和等于零，即如果a和b互为相反数，那么a+b＝0；反过来，如果a+b＝0，那么a和b互为相反数．4．绝对值一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，即如果a＞0，那么|a|＝a；如果a＜0，那么|a|＝-a；如果a＝0，那么|a|＝0．特别说明：从绝对值的定义可以知道，一个实数的绝对值是一个非负数．5．实数大小的比较在数轴上表示两个数的点，右边的点所表示的数较大．6．有理数的运算(1)运算法则(略)．(2)运算律：加法交换律 a+b ＝b+a ；加法结合律 (a+b)+c ＝a+(b+c)； 乘法交换律 ab ＝ba ；乘法结合律 (ab)c ＝a(bc)； 分 配 律 a(b+c)＝ab+ac ．(3)运算顺序：在加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算中，加、减是第一级运算，乘、除是第二级运算，乘方、开方是第三级运算．在没有括号的算式中，首先进行第三级运算，然后进行第二级运算，最后进行第一级运算，也就是先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减．算式里如果有括号，先进行括号内的运算． 如果只有同一级运算，从左到右依次运算． 7．平方根如果x 2＝a ，那么x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根)． 特别说明：正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根． 8．算术平方根正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根．零的算术平方根是零． 特别说明：从算术平方根的概念可以知道，算术平方根是非负数． 9．近似数及有效数字近似地表示某一个量准确值的数，叫做这个量准确值的近似数．一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字． 10．科学记数法把一个数记成±a ×10n的形式(其中n 是整数，a 是大于或等于1而小于10的数)，称为用科学记数法表示这个数． 1．二次根式的概念(a ≥0) 的式子叫做二次根式．2．最简二次根式和同类二次根式的概念最简二次根式是指满足下列条件的二次根式： (1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 特别说明：把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式. 常用的二次根式的有理化因式：（1（2）a a +-互为有理化因式；一般地a a +-（3+一般地化因式.3．二次根式的主要性质（1； （2）；（3(0)||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩；（400)a b =≥≥，；（500)a b =≥>，. 4． 二次根式的运算(1)二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并．(2)二次根式的乘除二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变．特别说明：二次根式的混合运算：1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果. 5．代数式的有关概念(1)代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值．代数式的分类：(2)有理式：只含有加、减、乘、除、乘方运算(包含数字开方运算)的代数式，叫做有理式．(3)整式：没有除法运算或者虽有除法运算但除式里不含字母的有理式叫做整式． 整式包括单项式和多项式．(4)分式：除式中含有字母的有理式，叫做分式．分式的分母取值如果为零，分式没有意义．6．整式的运算(1)整式的加减：整式的加减运算，实际上就是合并同类项．在运算时，如果遇到括号，根据去括号法则，先去括号，再合并同类项． 0(0)a ≥≥2(0)a a =≥(2)整式的乘法：①正整数幂的运算性质：m n m n a a a +=；()m n mn a a =；()m m m ab a b =；m n m n a a a -÷=(a ≠0，m ＞n)．其中m 、n 都是正整数．②整式的乘法：单项式乘单项式，用它们的系数的积作为积的系数，对于相同字母，用它们的指数的和作为积里这个字母的指数，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．单项式乘多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．③乘法公式：22()()a b a b a b +-=-； 222()2a b a ab b ±=±+．④零和负整数指数：在mnm na a a-÷=(a ≠0，m ，n 都是正整数)中，当m ＝n 时，规定01a =；当m ＜n 时，如m-n ＝-p(p 是正整数)，规定1pp a a-=． 7．因式分解（1）因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解． 在因式分解时，应注意：①在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内分解．②因式分解以后，如果有相同的因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简． （2）因式分解的方法①提公因式法：ma+mb+mc ＝m(a+b+c)．②运用公式法：22()()a b a b a b -=+-；2222()a ab b a b ±+=±；③十字相乘法：2()x a b x ab +++()()x a x b =++．（3）因式分解的步骤①多项式的各项有公因式时，应先提取公因式； ②考虑所给多项式是否能用公式法分解． 特别说明：因式分解时应注意:①在指定数（有理数、实数）的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，若题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内因式分解；②因式分解后，如果有相同因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简，同时每个因式的首项不含负号；③多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形. 8．分式（1）分式的概念 形如AB的式子叫做分式，其中A 和B 均为整式，B 中含有字母，注意B 的值不能为零． （2）分式的基本性质分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．A A MB B M ⨯=⨯，A A MB B M÷=÷．(其中M 是不等于零的整式) （3）分式的运算 ①加减法：a b a b c c c ±±=，a c ad bcb d bd ±±=． ②乘法：ac acb d bd=． ③除法：a c a d adb d bc bc÷==． ④乘方：nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 为正整数）．特别说明：解分式方程的注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤： (1)审——仔细审题，找出等量关系； (2)设——合理设未知数； (3)列——根据等量关系列出方程； (4)解——解出方程； (5)验——检验增根； (6)答——答题．【典型例题】1．（2021·贵州·江口县民族中学八年级期中）在1.44，3-，3π，3.14159，233+这些数中，无理数的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据无理数是无限不循环小数和它的常见形式判断即可．解：在1.44，3π，3.14159，2+ 1.44和3.14159是分数，不是无理数；3π，2+ 故选：C ．【点拨】本题考查了无理数的定义，解题关键是熟记无理数的定义和常见形式，含π的无理数，开不尽的方根和无限不循环小数．举一反三：【变式1】（2018·四川绵阳·x 的取值范围在数轴上可表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x 的范围．解：由题意可知：3010x x -≥⎧⎨+>⎩ , 解得：3x , 故选B ．【点拨】考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.【变式2】（2021·四川广元·中考真题）如图，实数m 在数轴上所对应的点分别为A ，B ，C ，点B 关于原点O 的对称点为D ．若m 为整数，则m 的值为________．【答案】-3【分析】先求出D 点表示的数，再得到m 的取值范围，最后在范围内找整数解即可．解：∵点B 关于原点O 的对称点为D ，点B∵点D 表示的数为∵A 点表示C 点位于A 、D 两点之间，∵m < ∵m 为整数， ∵3m =-； 故答案为：3-．【点拨】本题考查了数轴上点的特征，涉及到相反数的性质、对无理数进行估值、确定不等式组的整数解等问题，解决本题的关键是牢记相关概念和性质，本题蕴含了数形结合的思想方法．2．（2021·青海西宁·中考真题）计算： 121(2)|3|2-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭．【答案】3【分析】由乘方、负整数指数幂、绝对值的意义进行化简，即可得到答案． 解：原式423=+-3=．【点拨】本题考查了乘方、负整数指数幂、绝对值的意义，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．举一反三：【变式1】（2021·新疆·中考真题）计算：020211)|3|(1)+--． 【答案】0．【分析】第一项根据零指数幂计算，第二项根据绝对值的意义计算，第三项进行立方根运算，第四项进行有理数的乘方运算，最后进行加减运算即可．解：原式=1+3-3+(-1) =0．【点拨】本题考查了实数的运算，包括零指数幂、绝对值的意义，求一个数的立方根，有理数的乘方运算．正确化简各数是解题的关键．【变式2】2021·山西·中考真题）（1）计算：()()24311822⎛⎫-⨯-+-⨯ ⎪⎝⎭．（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．2132132x x -->- 解：()()2213326x x ->--第一步42966x x ->--第二步49662x x ->--+第三步 510x ->-第四步2x >第五步 任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的； ①第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集．【答案】（1）6；（2）任务一：∵乘法分配律（或分配律）；∵五；不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；任务二：2x <【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可； （2）根据不等式的性质3判断并计算即可． （1）解：原式118(8)4=⨯+-⨯()826=+-=．（2）∵乘法分配律（或分配律）∵五 不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）； 任务二：不等式两边都除以－5，改变不等号的方向得：2x <．【点拨】本题主要考查实数的运算，不等式的性质等知识点，熟练掌握实数的运算法则以及不等式的性质是解题关键．3． （2020·广东·中考真题）先化简，再求值：22()()()2x y x y x y x +++--，其中2x =，3y =．【答案】2xy ；【分析】根据完全平方公式、平方差公式、整式的加减运算法则进行运算即可，最后代入数据即可求解．解：原式2222222x xy y x y x =+++--2xy =，将x =y =原式2== 故答案为：【点拨】本题考查了完全平方公式、平方差公式的运算，实数的化简求值，熟练掌握公式及运算法则是解决此类题的关键．举一反三：【变式】（2011·四川凉山·中考真题）已知3y ，则2xy 的值为（ ） A ．15- B ．15 C ．152-D ．152【答案】A解：由3y =，得 250{520x x -≥-≥， 解得 2.5{3x y ==-． 2xy =2×2.5×（-3）=-15， 故选A ．4．（2019·四川成都·中考真题）先化简，再求值：24211326x x x x -+⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中21x =+.【分析】根据分式的运算法则进行化简，再代入求解.解：原式=221(1)12(3)232(3)3(1)1x x x x x x x x x ---+⎛⎫⎛⎫÷=⋅= ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭.将1x ==【点拨】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.【变式1】（2018·山东泰安·中考真题）先化简，再求值：2443(1)11m m m m m -+÷----，其中2m =.【答案】22mm-+ 1． 分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m 的值代入计算可得．详解：原式=221m m --（）÷（31m -﹣211m m --）=221m m --（）÷241m m --=221m m --（）•122m m m --+-（）（）=﹣22m m -+=22mm-+当m 2时，原式===﹣=1．点拨：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．【变式2】（2018·四川眉山·中考真题）先化简，再求值：22122()121x x x xx x x x ----÷+++，其中x 满足x 2－2x －2=0.【答案】12分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由x 2-2x -2=0得x 2=2x+2=2（x+1），整体代入计算可得．解：原式=()()()()2222112[]111x x x x xx x x x x ----÷+++ =()()()2121•121x x x x x x +-+-=21x x +， ∵x 2-2x -2=0，∵x 2=2x+2=2（x+1）， 则原式=()11212x x +=+．点拨：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．5．计算：（3 +2）2﹣48+2﹣2【答案】294【分析】按顺序分别利用完全平方公式展开，化简二次根式，利用负指数幂进行计算，然后再按运算顺序进行计算即可．【详解】原式﹣14=294．【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．举一反三：【变式1】（2013·山东滨州·(22π+．【答案】-【分析】针对二次根式化简，零指数幂，绝对值3个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解：原式312+-=-【变式2】（2020·广西玉林·()23.141π-+【答案】10．【分析】先计算零指数幂、绝对值运算、算术平方根，再计算二次根式的乘法、去括号、有理数的乘方，然后计算二次根式的加减法即可得．解：原式211)3=-+19=+10=．【点拨】本题考查了零指数幂、绝对值运算、算术平方根、二次根式的加减法与乘法等知识点，熟记各运算法则是解题关键．6．（2011·北京·中考真题）如果2(21)12a a -=-，则a 的取值范围是（ ） A ．12a <B ．12a ≤C ．12a >D ．12a ≥【答案】B解：根据二次根式的性质1|21|12a a =-=-，即210a -≤故答案为B.12a ≤. 考点：二次根式的性质. 举一反三：【变式1】（2019·湖北黄石·x 的取值范围是（ ）A ．1≥x 且2x ≠B ．1x ≤C ．1x >且2x ≠D ．1x <【答案】A【分析】分式有意义，分母不等于零；二次根式的被开方数是非负数． 解：依题意，得x -1≥0且x -2≠0， 解得x≥1且x≠2． 故选A ．【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．【变式2】（2020·四川遂宁·中考真题）函数y 自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ＞﹣2 B ．x ≥﹣2C ．x ＞﹣2且x ≠1D ．x ≥﹣2且x ≠1【答案】D【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不为0，列不等式组可求得自变量x 的取值范围．解：根据题意得：2010x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得：x≥﹣2且x≠1．故选：D．【点拨】本题考查了函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．类型四、数与式的综合运用7．（2018·浙江临安·中考真题）阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为①ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断①ABC的形状．解：①a2c2﹣b2c2=a4﹣b4（A）①c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）（B）①c2=a2+b2（C）①①ABC是直角三角形问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）错误的原因为：；（3）本题正确的结论为：．【答案】（1）C；（2）没有考虑a=b的情况；（3）∵ABC是等腰三角形或直角三角形．【详解】【分析】（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题；（2）根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况；（3）根据题意可以写出正确的结论．解：（1）由题目中的解答步骤可得，错误步骤的代号为：C，故答案为C；（2）错误的原因为：没有考虑a=b的情况，故答案为没有考虑a=b的情况；（3）本题正确的结论为：∵ABC是等腰三角形或直角三角形，故答案为∵ABC是等腰三角形或直角三角形．【点拨】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．举一反三：【变式1】（2019·贵州贵阳·中考真题）如图是一个长为a，宽为b的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在矩形对边上的平行四边形．（1）用含字母a，b的代数式表示矩形中空白部分的面积；（2）当a＝3，b＝2时，求矩形中空白部分的面积．【答案】（1）S＝ab﹣a﹣b+1；（2）矩形中空白部分的面积为2；【分析】（1）空白区域面积=矩形面积-两个阴影平行四边形面积+中间重叠平行四边形面积；（2）将a=3，b=2代入（1）中即可；【详解】（1）S＝ab﹣a﹣b+1；（2）当a＝3，b＝2时，S＝6﹣3﹣2+1＝2；【点拨】本题考查阴影部分面积，平行四边形面积，代数式求值；能够准确求出阴影部分面积是解题的关键．【变式2】（2018·安徽·中考真题）观察以下等式：第1个等式：10101 1212++⨯=，第2个等式：11111 2323++⨯=，第3个等式：12121 3434++⨯=，第4个等式：13131 4545++⨯=，第5个等式：14141 5656++⨯=，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：(用含n的等式表示)，并证明.【答案】（1）1515++=16767；（2）1111++=111n nn n n n--⋅++，证明见解析.【分析】（1）根据观察到的规律写出第6个等式即可；（2）根据观察到的规律写出第n 个等式，然后根据分式的运算对等式的左边进行化简即可得证.解：（1）观察可知第6个等式为：15151 6767++⨯=，故答案为15151 6767++⨯=；（2）猜想：1n-11n-11 n n1n n1++⨯=++，证明：左边=1n-11n-1n n1n n1++⨯++=n1n n-1n-1n n1++++（）（）=n n1n n1++（）（）=1，右边=1，∵左边=右边，∵原等式成立，∵第n个等式为：1n-11n-11 n n1n n1++⨯=++，故答案为1n-11n-11 n n1n n1++⨯=++.【点拨】本题考查了规律题，通过观察、归纳、抽象出等式的规律与序号的关系是解题的关键.。
中考数学必考考点 专题1 有理数的运算(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
专题01有理数的运算1．有理数：整数和分数统称有理数⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数理解：只有能化成分数的数才是有理数。
①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。
②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
2．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.3.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 4.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.5.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.6．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.7．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.8.有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； 专题知识回顾（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.9.有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .10．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a .11．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n ,当n 为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n =(b-a)n. 12．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；13．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.14.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.15.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.16.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.【例题1】（2019•某某某某）5的相反数是（ ）A ．15B ．15-C ．5D ．5-【答案】D5-。
2024年初中升学考试九年级数学专题复习有理数的混合运算
有理数的混合运算4．（2023•内蒙古）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a2－|b|，则（－2）⊗（－1）的运算结果为（）A．－5B．－3C．5D．3【答案】D【分析】直接利用已知运算公式代入，进而计算得出答案．【解答】解：由题意可得：（－2）⊗（－1）＝（－2）2－|－1|＝4－1＝3．故选：D．【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．有理数的混合运算5．（2023•杭州）（﹣2）2+22＝（）A．0B．2C．4D．8【答案】D【分析】根据有理数的混合运算顺序，先计算乘方，再计算加法即可．【解答】解：（﹣2）2+22＝4+4＝8．故选：D．【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的乘方的定义是解答本题的关键．有理数的混合运算2．（2023•随州）计算：（﹣2）2+（﹣2）×2＝0．【答案】0．【分析】根据有理数的混合运算顺序，先计算乘方，再计算乘法，后计算加法即可．【解答】解：（﹣2）2+（﹣2）×2＝4+（﹣4）＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的相关运算法则是解答本题的关键．有理数的混合运算1．（2023•广西）计算：（﹣1）×（﹣4）+22÷（7﹣5）．【答案】6．【分析】先算括号里面的，再算乘方，乘除，最后算加减即可．【解答】解：原式＝（﹣1）×（﹣4）+4÷2＝4+2＝6．【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的顺序是解题的关键．有理数的混合运算2．（2023•常德）下面算法正确的是（）A．（﹣5）+9＝﹣（9﹣5）B．7﹣（﹣10）＝7﹣10C．（﹣5）×0＝﹣5D．（﹣8）÷（﹣4）＝8÷4【答案】D【分析】根据加括号的法则可以判断A；根据去括号的法则可以判断B；根据任何数和零相乘都得零可以判断C；根据有理数的除法可以判断D．【解答】解：（﹣5）+9＝﹣5+9＝﹣（5﹣9），故选项A错误，不符合题意；7﹣（﹣10）＝7+10，故选项B错误，不符合题意；（﹣5）×0＝0≠﹣5，故选项C错误，不符合题意；（﹣8）÷（﹣4）＝8÷4，故选项D正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．有理数的混合运算2．（2023•遂宁）已知算式5□（﹣5）的值为0，则“□”内应填入的运算符号为（）A．+B．﹣C．×D．÷【考点】有理数的混合运算．【分析】分别代入“+”、“﹣”、“×”、“÷”符号进行计算即可．【解答】解：A、5+（﹣5）＝0，符合题意；B、5﹣（﹣5）＝10，不符合题意；C、5×（﹣5）＝﹣25，不符合题意；D、5÷（﹣5）＝﹣1，不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的加、减、乘、除运算法则．有理数的加减混合运算7．（2023•温州）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（）A．﹣1B．0C．1D．2【答案】D【分析】结合数轴得出A对应的数，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：由数轴可得：A表示﹣1，则比数轴上点A表示的数大3的数是：﹣1+3＝2．故选：D．【点评】此题主要考查了有理数的加减混合运算以及数轴，正确掌握有理数的加减混合运算法则是解题关键．。
专题01 实数(课件)-2023年中考数学一轮复习(全国通用)
①掌握实数的加、减、乘、
除、乘方及简单的混合运算( 运算法则、运算顺序的理解、运用
实数的混合 以三步为主)；②理解实数的 和计算的准确性、迅速性．
5
运算
运算律，能运用运算律简化 以选择题、填空题为主，有时也以
运算，并能运用实数的运算 简单解答题的形式命题．
解决简单的问题．
思维导图
知识点1 ：实数的有关概念
2
2
故选：A．
知识点1 ：实数的有关概念
典型例题
【例6】（3分）（2021•天津6/25）估计 17 的值在（ ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【考点】估算无理数的大小 【分析】本题需先根据 17 的整数部分是多少，即可求出它的范围． 【解答】解：∵ 17 4.12 ， ∴ 17 的值在4和5之间． 故选：C． 【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，在解题时确定无理数的整数部分即 可解决问题．
a<b ．
知识点梳理
知识点1 ：实数的有关概念
7．非负数：
非负数：正数和 0 统称非负数． 若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于 0 ， 即若A≥0，B≥0，C≥0，A＋B＋C＝0， 则A＝B＝C＝0．
典型例题
知识点1 ：实数的有关概念
【例1】（2022•桂林）在东西向的马路上，把出发点记为0，向东与向西意义
知识点梳理
知识点1 ：实数的有关概念
4．绝对值：
数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|，离原点越远的数的绝对值越大．
|a|＝
a ， a ，
a≥0 ， a 0.
5．倒数：
当a≠0时，a与
1 a
互为倒数，即a、b互为倒数⇔ab＝1．
2023年中考苏科版数学一轮复习专题讲义与练习-有理数
2023年中考数学一轮复习专题讲义与练习七上第二单元 有理数［课标要求］1.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小.2.借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道|a|的含义（这里a 表示有理数.3.理解乘方的意义，掌握有理数的加.减.乘.除.乘方及简单的混合运算（以上三步以内为主）.4.理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算.5.能运用有理数的运算解决简单的问题. ［要点梳理］1.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做有理数.2.规定了＿＿＿＿＿.＿＿＿＿＿ 和＿＿＿＿＿的直线叫做数轴．3.如果两个数符号不同，绝对值相同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．0的相反数是 ．4.数轴上表示一个数的点与原点的 叫做该数的绝对值．正数的绝对值是 ；负数的绝对值是 ；0的绝对值是 .5.数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的＿＿＿；正数＿＿＿0，负数＿＿＿＿0，正数＿＿负数；两个负数比较大小，＿＿＿＿＿＿＿.6.乘积为 1的两个有理数互为＿＿＿＿＿．7.有理数分类应注意：（1）0是整数但不是正整数；（2）整数分为三类：正整数.零.负整数，易把整数误认为分为二类：正整数.负整数．（3）整数还可以分为自然数和负整数两类或分为偶数和奇数两类.8.两个数a.b 互为相反数，则a ＋b ＝＿＿＿＿＿．9.绝对值是易错点：如绝对值是5的数应为±5，易丢掉－5．10.乘方的意义：求n 个相同因数a 的积的运算叫做＿＿＿，乘方的结果叫做＿＿. 11.科学计数法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ［规律总结］1.搞清有理数的三种常见形式：①整数；②分数；③无限循环小数，如0.01010101…… .2.绝对值的性质——要注意正确区分数的三种情况，尤其是负数去掉绝对值应变为其相反数.3.有理数的混合运算应灵活运用运算律. 乘方计算时注意：（1）注意分清底数，如：－a n 的底数是 a ，而不是－a ；（2）注意运算顺序，运算时先算乘方，如 3 ×52＝3 ×25＝75； ［强化训练］ 一、选择题1.a 的相反数是（ ）．A ．aB ．aC ．aD ．a12.如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作（ ）A ．－3℃B ．－2℃C ．+3℃D ．+2℃ 3.31-的相反数是 ( ) A ．31 B ．－31C ．3D ．－34.下面的数中，与－3的和为0的是 （ ）A ．3B ．－3C ．31D ．31-5.若|a|＝7，|b|＝5，a ＋ b ＞0，那么a －b 的值是（ ）A ．2或 12B ．2或－12C ．－2或－12D ．－2或 126.已知55,33,22===c b a ，则下列大小关系正确的是（ ） A ．a ＞b ＞c B ．c ＞b ＞a C ．b ＞a ＞c D ．a ＞c ＞b7.如图，若A 是实数a 在数轴上对应的点，则关于a ，－a ，1的大小关系表示正确的是（ ）A ．a ＜1＜－aB ．a ＜－a ＜1C ．1＜－a ＜aD ．－a ＜a ＜18.首届中国（北京）国际服务贸易交易会（京交会）于2012年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元，将60 110 000 000用科学记数法表示应为（ ）A ．96.01110⨯B ．960.1110⨯C ．106.01110⨯D ．110.601110⨯9.已知161152143-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a ，⎪⎭⎫ ⎝⎛--=161152143b ，161152143--=c ，下列结论正确的是（ ）A ．c b c a ==,B ．c b c a ≠=,C ．c b c a =≠,D ．c b c a ≠≠, 二、填空题 10.－1, 0， 0.2，71， 3 中正数一共有 个． 11.既不是正数也不是负数的数是 . 12.－3的倒数是＿＿＿＿＿13.在﹣1.0.1.2这四个数中，最小的数是___________14.已知a 与b 互为倒数，c 和d 互为相反数，且|x|＝6，则3ab －（c ＋d ）＋x 2＝ 15.如图，数轴上的点P 表示的数是－1，将点P 向右移动3个单位长度得到点P’，则点P’表示的数是： ． 16.计算：82014×(一0.125)2015= .17.为改善学生的营养状况，中央财政从2011年秋季学期起，为试点地区在校生提供营养餐1A膳食补助，一年所学资金约为160亿元，用科学计数法表示为 元. 18.若a 的相反数是最大的负整数，b 是绝对值最小的数，则a ＋b ＝＿＿＿＿＿． 19.如图，在数轴上，点A 表示的数为－1，点B 表示的数为4，C 是点B 关于点A 的对称点，则点C 表示的数为________.20.a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--．已知113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依此类推，则a 2014＝＿＿＿＿．21.将从1开始的自然按以下规律排列，例如位于第3行.第4列的数是12，则位于第45行.第8列的数是________.第21题 第22题22.根据如图所示的程序计算，若输入x 的值为1，则输出y 的值为＿＿＿＿＿ 三、解答题 23.计算（1）（－3）×13 ÷(－13 )×3 （2）)1()32(32101-+-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-24.若|m|=37，|n|=31，且|m+n|=―（m+n ），求m―n 的值.输入x 输出y平方 乘以2 减去4若结果大于0否则25.计算：（1）(12)(7)(5)(30)+--+--+（2）32201913(2)(2)2(1)184-⨯-÷--⨯-⨯+（3）231121()12()3336-÷-⨯-（4）（4）42311(10.5)10(2)(1)3⎡⎤---⨯+----⎣⎦26.A .B 两点在数轴上，点A 表示的数是﹣6，点B 在原点的右边且与点A 相距15个单位长度．（1）求出点B 表示的数，画一条数轴并在数轴上标出点A 和点B ；（2）在数轴上有一点C ，点C 到点A 和点B 的距离之和为30，求点C 所表示的数； （3）若点A 以2个单位/秒的速度向右运动，同时点B 以3个单位/秒的速度向左运动，经过多长的时间A .B 两点相距20个单位长度？（4）A .B 从初始位置分别以1单位/秒和2单位/秒同时向左运动，是否存在t 的值，使t 秒后点B 到原点的距离与点A 到原点距离相等？若存在请求出t 的值；若不存在，请说明理由．。
备考2023年中考数学一轮复习-数与式_有理数_数轴及有理数在数轴上的表示-单选题专训及答案
备考2023年中考数学一轮复习-数与式_有理数_数轴及有理数在数轴上的表示-单选题专训及答案数轴及有理数在数轴上的表示单选题专训1、(2020九台.中考模拟) 如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A . 3B . 2C . 1D . －12、(2019长春.中考真卷) 如图，数轴上表示-2的点A到原点的距离是（）A . -2.B . 2.C .D .3、(2014徐州.中考真卷) 点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC等于（）A . 3B . 2C . 3或5D . 2或64、(2016南京.中考真卷) 数轴上点A、B表示的数分别是5、﹣3，它们之间的距离可以表示为（）A . ﹣3+5B . ﹣3﹣5C . |﹣3+5|D . |﹣3﹣5|5、(2017无棣.中考模拟) 实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则这四个数中，相反数是正数的为（）A . aB . bC . cD . d6、(2018房山.中考模拟) 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A .B .C .D .7、(2017滨海新.中考模拟) 有理数a、b在数轴上的对应的位置如图所示，则下列各式中正确的是（）A . a+b＜0B . a+b＞0C . a﹣b=0D . a﹣b＞08、(2017路南.中考模拟) 如图，在数轴上有A、B、C、D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD，若A、D两点表示的数分别为﹣5和6，且AC的中点为E，BD的中点为M，BC之间距点B的距离为BC的点N，则该数轴的原点为（）A . 点EB . 点FC . 点MD . 点N9、(2019吉林.中考模拟) 如图，若数轴上A、B两点之间的距离是5，且点B在原点左侧，则点B表示的数是（）A . 5B . -5C . 2D . -210、(2017灌南.中考模拟) 如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c，AB=BC，则下列关系正确的是（）A . a+c=2bB . b＞cC . c﹣a=2（a﹣b）D . a=c11、(2018金华.中考模拟) 如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示-2的相反数的点是（）A . 点DB . 点C C . 点BD . 点A12、(2018青岛.中考真卷) 如图，点A所表示的数的绝对值是（）A . 3B . ﹣3C .D .13、(2017揭西.中考模拟) 如图所示，则下列选项中代表数值最小的是（）A . aB . bC . ﹣aD . ﹣b14、(2019梧州.中考模拟) 在数轴上，点A表示的数是﹣4，点B表示的数是2，线段AB的中点表示的数为（）A . 1B . ﹣1C . 3D . ﹣315、(2020四川.中考模拟) 实数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）A .B .C .D .16、(2019信阳.中考模拟) 实数在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中最大的是（）A .B .C .D .17、(2022黄埔.中考模拟) 如图，数轴上有三个点A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（）A . ﹣2B . 0C . 1D . 418、(2017乌鲁木齐.中考真卷) 如图，数轴上点A表示数a，则|a|是（）A . 2B . 1C . ﹣1D . ﹣219、(2019沙雅.中考模拟) 实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式成立的是（）A .B . a-b＞0C . ab＞0D . a+b＞020、(2020遵化.中考模拟) 如图，数轴上有三个点A、B、C，若点A、B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（）A . ﹣2B . 0C . 1D . 421、(2020鼓楼.中考模拟) (2019·中山模拟) 如图，点A所表示的数的绝对值是（）A . 3B . ﹣3C .D .22、(2020贵州.中考模拟) 下列说法中错误的有（）个①绝对值相等的两数相等.②若a，b互为相反数，则=﹣1.③如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数.④任意有理数都可以用数轴上的点来表示.⑤x2﹣2x ﹣33x3+25是五次四项.⑥两个负数比较大小，绝对值大的反而小.⑦一个数的相反数一定小于或等于这个数.⑧正数的任何次幂都是正数，负数的任何次幂都是负数.A . 4个B . 5个C . 6个D . 7个23、(2020开平.中考模拟) 如图，数轴上，，，，五个点表示连续的五个整数，，，，，且，则下列说法正确的有（）①点表示的数字是②③④A . 都之前B . 只有①③正确C . 只有①②③正确D . 只有③错误24、(2020邯郸.中考模拟) 边长为5的菱形ABCD按如图所示放置在数轴上，其中A 点表示数﹣2，C点表示数6，则BD＝（）A . 4B . 6C . 8D . 1025、(2016河北.中考真卷) 点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a 和b。
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2023年数学中考一轮基础复习--有理数一、单选题1．下列各数： 2-1（）， --3（） ， 3-2（） ， -1-2⨯（）（） 其中负数有( )个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．下列四个算式中运算结果为2022的是（ ）A ．2021(1)+-B ．2021(1)--C ．2021(1)-⨯-D ．2022(1)÷-3．在课题学习中，老师要求用长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．甲：如图1，盒子底面的四边形ABCD 是正方形； 乙：如图2，盒子底面的四边形ABCD 是正方形；丙：如图3，盒子底面的四边形ABCD 是长方形，AB=2AD ．将这三位同学所折成的无盖长方体的容积按从大到小的顺序排列，正确的是A ．甲＞乙＞丙B ．甲＞丙＞乙C ．丙＞甲＞乙D ．丙＞乙＞甲4．若|2|b +与2(3)a -互为相反数，求a b 的值为（ ）．A ．8-B ．8C ．18-D ．185．2019年7月盐城黄海湿地中遗成功，它的面积约为400000万平方米，将数据400000用科学记数法表示应为（ ） A ． 60.410⨯ B ．9410⨯ C ．44010⨯D ．5410⨯6．在算式 123-- 中，“□”内填入下列运算符号中的一种，计算结果最大的是（ ） A ．+B ．-C ．×D ．÷7．已知a ＝2 0162，b ＝2 015×2 017，则( )A ．a ＝bB ．a ＞bC ．a ＜bD ．a ≤b8．已知 23x <≤ ，则 3x -的值为（ ）A ．25x -B ．-1C ．1D ．52x -9．有理数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，则a bab+ 的值是( )A ．负数B ．正数C ．0D ．正数或10．据中央电视台新闻联播报道：今年4月我国国际收支口径的国际货物和服务贸易顺差337亿美元.用科学记数法表示337亿正确的是（ ） A ．337×108B ．3.37×1010C ．3.37×1011D ．0.337×1011二、填空题11． 2019年国庆 7 天长假期间，河南、山西、湖北、西和陕西等 5 省份接待游客总数均超过 6000 万人次，这个数据用科学记数法表示为 人次.12．﹣2021的相反数是 ．13．若 ()2230x y -++= ，则 x y ＝ 14．绝对值不大于10的所有整数的和等于 .15．某学习小组在“设计自己的运算程序”这一综合与实践课题的研究中发现，任意写下一个三位数（三位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差．重复这个过程，就能得到一个固定的数字，他们称它为“数字黑洞”．这个固定的数字是 ．16．已知 2(3)60a b -++= ，则方程ax=b 的解为 ．17．据统计，2018年国家公务员考试报名最终共有1 659 745人通过了招聘单位的资格审查，这个数据用科学记数法可表示为 （精确到万位）18．“辽宁号”航空母舰的满载排水量为67500吨，将数67500用科学记数法表示为 ．三、计算题19．计算： 2012sin 45124sin 60(2020)122π-⎛⎫----++-- ⎪⎝⎭20．计算题（1）30×（124235-- ） （2）－14－（1－0.5）×13×[1－（－2）3] 21．计算：()()235248-----÷22．计算： 225323(2)23⎡⎤⎛⎫-⨯-⨯-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦四、解答题23．把下列各数填入相应的大括号里：(){}160-0.618-3.14,2602015--2---2,0.337⋅-+⎡⎤⎣⎦，，，，，，， 正分数集合｛ …｝； 整数集合｛ …｝； 非正数集合｛ …｝； 有理数集合｛ …｝24．若a ，b ，c 是ABC 的三边的长，化简|a ﹣b ﹣c|+|b ﹣c ﹣a|+|c+a ﹣b|.25．有理数a 的绝对值为5，有理数b 的绝对值为3，且a ，b 一正一负，求a ﹣b 的值．26．在数轴上表示下列各数：﹣3，4，﹣213，1.5，并按从小到大的顺序用“＜”号把这些数连接起来．27．已知1-12 = 12 , 12 - 13 = 16 , 13 - 14 = 112 , 14 - 15 = 120………根据这些等式求值。
请你仔细观察，并找出其奥妙，再计算：11111223344950++++⨯⨯⨯⨯28．若有理数a 、b 、c 在数轴上对应的点A 、B 、C 位置如图，化简c c b a b b --+++ ．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：∵2-1（）=1； --3（） =3； 3-2（） =-8； -1-2⨯（）（） =2. ∴其中负数只有一个-8. 故答案为：A.【分析】根据乘方的意义，符号化简，乘法法则等逐一判断即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：A 、 2021(1)2020+-= ，不符合题意；B 、 2021(1)=2021+1=2022-- ，符合题意；C 、 2021(1)=2021-⨯- ，不符合题意；D 、 2022(1)=2022÷- ，不符合题意； 故答案为：B ．【分析】利用有理数的加、减、乘、除计算逐项判断即可。
3．【答案】C【解析】【解答】解：甲：长方体的长为5cm ，宽为3 cm ，高为3 cm ，容积为353345cm ⨯⨯=乙：长方体的长为10 cm ，宽为2 cm ，高为2 cm ，容积为 3102240cm ⨯⨯= 丙：长方体的长为6 cm ，宽为4 cm ，高为2 cm ，容积为 364248cm ⨯⨯= 所以，丙＞甲＞乙 故答案为：C【分析】分别将甲乙丙三位同学折成的无盖长方体的容积计算出来，即可比较大小4．【答案】A【解析】【解答】∵|2|b +与2(3)a -互为相反数， ∴|2|b ++2(3)a -=0， ∴|2|b +=0，2(3)a -=0，∴b=-2，a=3， ∴a b =（-2）3=-8． 故答案为：A ．【分析】根据非负数之和为0的性质求出a 、b 的值，再将a 、b 的值代入a b 计算即可。
5．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可知，将400000用科学记数法表示为：5400000410=⨯ ，故答案为：D.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于等于1时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数.6．【答案】D【解析】【解答】解：∵123110--+=-= ， 123154---=-=- ，123165--⨯=-=- ， 21123133--÷=-= ∵13＞0＞−4＞−5，∴在“□”中填入“÷”，使得计算结果最大， 故答案为：D ．【分析】把加减乘除放入算式，利用运算法则判断即可。
7．【答案】B【解析】【解答】解：b=2015×2017=(2016-1)×(2016+1)=20162-1，a ＝20162， 所以a ＞b ， 故答案为：B.【分析】利用平方差公式计算求解即可。
8．【答案】C【解析】【解答】解∶∵23x <≤∴30x -≤ ， 20x -<∴332x x x -=-+-(3)[(2)]x x =--+-- 32x x =-+-+ 1=故答案为：C.【分析】根据x 的范围可得x-3≤0，2-x<0，然后根据绝对值的非负性以及二次根式的性质化简即可.9．【答案】B【解析】【解答】根据数轴可得: 01a <<,1b <- ,所以 0a b +< , 0ab < , 因为两数相除,同号得正,异号得负, 所以0a bab+> , 故答案为：B.【分析】根据数轴可得: 01a <<,1b <- ,继而可得: 0a b +< , 0ab < ,再根据两数相除,同号得正,异号得负,进行判定即可.10．【答案】B【解析】【解答】解：337亿=33700000000= 103.3710⨯ .故答案为：B.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数.11．【答案】7610⨯【解析】【解答】6000万人次，这个数据用科学记数法表示为 7610⨯ 人次.故答案为： 7610⨯ .【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数.12．【答案】2021【解析】【解答】解：﹣2021的相反数是：2021．故答案为：2021．【分析】根据相反数的定义求解即可。
13．【答案】9【解析】【解答】由题意，得：x-2=0， ∴x=2； y+3=0，∴y=-3． ∴y x =（-3）2=9．故答案是：9.【分析】根据绝对值、平方数的非负性，求出x 、y 的值，得到结论.14．【答案】0【解析】【解答】解：绝对值不大于10的所有整数有10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0±±±±±±±±±± ，共有21个，再根据互为相反数的两个数的和为0 ，得它们的和是0. 故答案是：0【分析】根据绝对值的意义，结合数轴找到所有符合条件的数，再进一步根据数的运算法则进行计算．15．【答案】495【解析】【解答】解：任选三个不同的数字，如357，组成一个最大的数753和一个最小的数357， 用大数减去小数，753-357=396， 用所得的结果的三位数重复上述的过程， 963−369＝594； 954--459=495； 如316： 631-136=315 531-135=396， 963−369＝594； 954-459=495； 故答案为：495．【分析】利用已知条件：任意写下一个三位数（三位数字相同的除外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差．重复这个过程，就能得到一个固定的数字，他们称它为“数字黑洞”，举出符合题意的数字进行计算，可得答案.16．【答案】x=-2【解析】【解答】 ∵ 2(3)60a b -++= ，∴a-3=0，b+6=0， ∴a=3，b=-6， 即得方程为3x=-6， 解得x=-2.【分析】根据非负性求出a 、b 的值，再将其代入方程中求出x 值即可.17．【答案】1.66×106【解析】【解答】解：1659745这个数据用科学记数法可表示为（精确到万位）1.66×106．故答案为：1.66×106【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n 。