高中数学概率题型总结
高中数学解题方法系列：概率的热点题型及其解法
高中数学解题方法系列：概率的热点题型及其解法概率主要涉及等可能事件，互斥事件，对立事件，独立事件的概率的求法，对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合，在以后的高考中，可能出现概率与数列、函数、不等式等有关内容的结合的综合题，下面就谈一谈概率与数列、函数、不等式等有关知识的交汇处命题的解题策略。
题型一：等可能事件概率、互斥事件概率、相互独立事件概率的综合。
例1：甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和43.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.(Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;(Ⅲ)假设某人连续2次未击中．．．目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?解：（1）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件A 为“4次均击中目标”，则()()426511381P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭（2）设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则()22323442131133448P B C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∙∙∙∙∙= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。
故()22123313145444441024P C C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+∙∙∙∙=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦例2：某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率.解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.（I）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为!324⋅C （从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有624=C 种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A 1，那么事件A 1的概率为P（A 1）=.943!3424=⋅C （II）解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A 2和A 3，则事件A 3的概率为P（A 3）=271334=，事件A 2的概率为P（A 2）=1－P（A 1）－P（A 3）=.2714271941=--解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为).!2(32414C C +⋅（先从3个景区任意选定2个，共有323=C 种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有!214⋅C 种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有24C 种不同选法）.所以P（A 2）=.27143)!2(342424=+⋅C C 例3：某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。
高中数学概率与统计题型解答方法
高中数学概率与统计题型解答方法概率与统计是高中数学中的重要内容，也是学生们普遍感觉较为困难的部分。
在这篇文章中，我将为大家介绍一些解答概率与统计题型的方法和技巧，希望能够帮助大家更好地理解和应对这一部分的考试内容。
一、概率题型解答方法概率题型主要涉及到事件的发生可能性以及事件之间的关系。
在解答概率题型时，我们可以按照以下步骤进行：1. 确定样本空间：首先要明确问题中所涉及的所有可能结果，这些结果构成了样本空间。
例如，如果问题是抛一枚硬币，我们可以得到样本空间为{正面，反面}。
2. 确定事件：根据问题的要求，确定我们关注的事件。
例如，如果问题是抛一枚硬币，要求出现正面的概率，那么我们可以将事件定义为“出现正面”。
3. 计算概率：根据事件发生的可能性和样本空间的大小，计算事件发生的概率。
例如，对于抛一枚硬币出现正面的问题，由于样本空间中只有两个结果，所以事件发生的概率为1/2。
除了基本的概率计算，还有一些特殊的概率题型，例如条件概率、独立事件等。
对于这些题型，我们需要根据具体情况使用相应的公式和方法进行计算。
二、统计题型解答方法统计题型主要涉及到数据的收集、整理和分析。
在解答统计题型时，我们可以按照以下步骤进行：1. 收集数据：首先要明确问题中所要求的数据类型和范围，然后进行数据的收集。
例如，如果问题是调查学生的身高，我们可以通过测量学生的身高来收集数据。
2. 整理数据：将收集到的数据进行整理和分类，以便后续的分析。
例如，可以将学生的身高按照一定的范围进行分组，并制作成频数表或直方图。
3. 分析数据：根据问题的要求，对数据进行分析和计算。
例如，可以计算出数据的平均值、中位数、众数等统计量，以及数据的方差和标准差等。
除了基本的数据分析，还有一些特殊的统计题型，例如假设检验、相关性分析等。
对于这些题型，我们需要根据具体情况使用相应的统计方法和检验标准进行分析。
三、举一反三在解答概率与统计题型时，我们可以通过举一反三的方法拓展思路，将相似的题目进行比较和联系，从而更好地理解和解答题目。
22 高中数学概率的问题
专题22高中数学概率的问题【知识总结】1．古典概型的概率公式P (A )＝事件A 包含的样本点数试验的样本点总数. 2．独立重复试验如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0，1，2，…，n ． 3．相互独立事件同时发生的概率：若A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )·P (B )．4．互斥事件至少有一个发生的概率：若事件A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，P (A －)＝1－P (A )．5．条件概率公式设A ，B 为随机事件，且P(A)>0，则P (B |A )＝P (AB )P (A ). 【高考真题】1．(2022·全国乙理)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ____________．2．(2022·全国甲理) 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________． 3．(2022·全国甲文) 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )A ．15B ．13C ．25D ．23 4．(2022·新高考Ⅰ) 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( ) A ．16 B ．13 C ．12 D ．235．(2022·全国乙理) 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、 乙、丙比赛获胜的概率分别为123, , p p p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘的概率为p ，则( ) A ．p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B ．该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大 C ．该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大 D ．该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大【题型分类】题型一 古典概型1．(2021·全国甲)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )A ．13B ．25C ．23D ．452．已知多项选择题的四个选项A ，B ，C ，D 中至少有两个选项正确，规定：如果选择了错误选项就不得 分．若某题的正确答案是ABC ，某考生随机选了两个选项，则其得分的概率为( )A ．12B ．310C ．16D ．3113．有4个大小、形状相同的小球，装在一个不透明的袋子中，小球上分别标有数字1,2,3,4．现每次有放 回地从中随机取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止．小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有4个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下21组随机数：1314 1234 2333 1224 3322 1413 31244321 2341 2413 1224 2143 4312 24121413 4331 2234 4422 3241 4331 4234由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为( )A ．23B ．13C ．27D ．5214．从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为( )A ．114B ．37C ．47D ．345．定义：abcde ＝10 000a ＋1 000b ＋100c ＋10d ＋e ，当五位数abcde 满足a <b <c ，且c >d >e 时，称这个 五位数为“凸数”．由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为( )A ．16B ．110C ．112D ．1206．《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的 上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率为________．7．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分 为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A ．516B ．1132C ．2132D ．11168．“六艺”出自《周礼·地官司徒·保氏》，是指礼、乐、射、御、书、数．已知某人觉得“君子不学礼无 以立”，而其两个孩童对“数”均有浓厚兴趣，该人依据自己能力，只能为每个孩童选择六艺中的四艺进行培养，若要令该人和两个孩童对所选的四艺都满意，那么两个孩童至少有一个选到“御”的概率为( )A ．12B ．34C ．59D ．459．甲、乙、丙三人被系统随机地预约到A ，B ，C 三家医院接种新冠疫苗，每家医院恰有1人预约．已知 A 医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体新冠疫苗，B 医院接种的是需要打两针的灭活新冠疫苗，C 医院接种的是需要打三针的重组蛋白新冠疫苗，问：甲不接种只打一针的腺病毒载体新冠疫苗且丙不接种需要打三针的重组蛋白新冠疫苗的概率等于( )A ．13B ．23C ．12D ．1910．北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用．北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗，一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为( )A ．1021B ．1121C ．1142D ．521题型二 相互独立事件与独立重复试验11．(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立12．某国产杀毒软件的比赛规则为每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是56，35，34，13，且各轮考核能否通过互不影响，则( )A ．该软件通过考核的概率为18B ．该软件在第三轮考核被淘汰的概率为18C ．该软件至少能够通过两轮考核的概率为23D ．在此次比赛中该软件平均考核了6524轮13．甲、乙两个球队进行篮球决赛，采取五局三胜制(共赢得三场比赛的队伍获胜，最多比赛五局)，每场球赛无平局．根据前期比赛成绩，甲队的主场安排为“主客主主客”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以3∶2获胜的概率为________．14．小明在做一个与扔质地均匀的正六面体骰子有关的游戏，规定：若骰子1点或2点向上，则小明前进1步，若骰子3点或4点向上，则小明前进2步，若骰子5点或6点向上，则小明前进3步．小明连续扔了三次骰子，则他一共前进了8步的概率是( )A ．127B ．227C ．19D ．2915．在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为p 1和p 2，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1<p 2C ．p 1>p 2D ．以上三种情况都有可能16．(多选)甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的 是( )A ．目标恰好被命中一次的概率为12＋13B ．目标恰好被命中两次的概率为12×13C ．目标被命中的概率为12×23＋12×13D ．目标被命中的概率为1－12×2317．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制(当一人先赢3局时获胜，比赛结束)．棋局以红棋与黑棋对阵，两人执色轮流交换，执红棋者先走．假设甲执红棋时取胜的概率为23，执黑棋时取胜的概率为12，各局比赛结果相互独立，且没有和局．若比赛开始，甲执红棋开局，则甲以3∶2获胜的概率为________．18．如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯 亮的概率为( )A ．38B ．12C ．58D ．7819．甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制(当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束)．根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13．若前两局中乙队以2∶0领先，则下列说法中正确的有________(填序号)．①甲队获胜的概率为827；②乙队以3∶0获胜的概率为13； ③乙队以3∶1获胜的概率为29；④乙队以3∶2获胜的概率为49． 20．甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方．在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球赢球的概率为25，则在比分为10∶10后甲先发球的情况下，甲以13∶11赢下此局的概率为( )A ．225B ．310C ．110D ．325题型三 条件概率与全概率21．2020年12月4日是第七个“国家宪法日”．某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为23，连续答对两道题的概率为12.用事件A 表示“甲同学答对第一道题”，事件B 表示“甲同学答对第二道题”，则P (B |A )＝( )A ．13B ．12C ．23D ．3422．篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出2个球，记事件A 为“取出的2个球颜色不同”，事件B 为“取出1个红球，1个白球”，则P (B |A )等于( )A ．16B ．313C ．59D ．2323．某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件A 为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件B 为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则P (A |B )等于( )A ．16B ．310C ．12D ．3524．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )A ．310B ．13C ．38D ．2925．某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30．若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是( )A ．0.155B ．0.175C ．0.016D ．0.09626．已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为( )A ．1100B ．160C ．150D ．13027．(多选)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A 为“第1次抽到选择题”，事件B 为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )A ．P (A )＝35B ．P (AB )＝310C ．P (B |A )＝12D ．P (B |A )＝1228．甲、乙两个均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1,2,3,4，乙四个面上分别标有数字5,6,7,8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A 为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B 为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C 为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是( )A ．P (A )＝P (B )＝P (C ) B ．P (BC )＝P (AC )＝P (AB )C ．P (ABC )＝18D ．P (B |A )＝1229．有三个箱子，分别编号为1,2,3．1号箱装有1个红球、4个白球，2号箱装有2个红球、3个白球，3号箱装有3个红球．某人从三个箱子中任取一箱，从中任意摸出一球，取得红球的概率为________．30．有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2,3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1,2,3台车床的零件数分别占总数的25%,30%,45%，则下列选项正确的有( )A ．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0．06B ．任取一个零件是次品的概率为0．052 5C ．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为27D ．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为27。
高中概率题型及解题方法
高中概率题型及解题方法概率是高中数学中重要且有趣的话题。
它涉及到事件发生的可能性，并通过数学方法计算概率值。
在高中学习中，学生经常会遇到各种概率题型。
本文将介绍一些常见的高中概率题型及解题方法。
1. 事件概率计算：在这种类型的题目中，我们需要计算某个特定事件发生的概率。
一般情况下，事件概率等于事件发生的次数除以总的可能次数。
解决这类问题时，关键是确定事件发生的次数和总的可能次数。
2. 独立事件概率计算：当我们面对多个独立事件时，我们可以将每个事件的概率相乘来得到它们同时发生的概率。
例如，投掷一枚硬币和掷一颗骰子是独立事件，我们可以计算得到同时出现正面和点数为3的概率。
3. 互斥事件概率计算：互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。
在这种情况下，我们可以计算每个事件发生的概率并将它们相加。
例如，抽一张扑克牌，获得红桃和黑桃的两个事件就是互斥事件，我们可以计算它们的概率并相加。
4. 条件概率计算：当我们已经知道某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率，我们可以使用条件概率来解决问题。
条件概率等于两个事件同时发生的概率除以已知条件发生的概率。
解题时，我们需要明确给出的条件和需要计算的事件。
5. 排列组合问题：在一些概率问题中，我们需要考虑对象的排列顺序或组合方式。
这涉及到排列和组合的概念。
排列是指对象的顺序，组合是指对象的选择，与顺序无关。
解决这类问题时，我们需要正确地使用排列和组合的公式。
高中概率题型多种多样，每个题目都有其独特的解题方法。
关键是理解概率的基本概念，掌握如何把问题转化为数学语言，并使用适当的公式和计算方法得出正确的答案。
通过反复的练习和理解，我们可以在高中学习中显著提高我们的概率问题解决能力。
高中数学概率与统计的常见题型解析
高中数学概率与统计的常见题型解析概率与统计是高中数学中的一门重要课程，也是学生们普遍感觉较难的一部分内容。
在考试中，概率与统计题型占比较大，因此对于这部分知识的掌握至关重要。
本文将结合常见的概率与统计题型，进行解析和说明，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应对这些题目。
一、事件概率计算题事件概率计算题是概率与统计中的基础题型，也是最常见的题型之一。
这类题目要求计算某个事件发生的概率。
例如：【例题】已知一副扑克牌中有52张牌，其中红心牌有13张。
从中随机抽取一张牌，求抽到红心牌的概率。
解析：这是一个典型的事件概率计算题。
根据题目所给的信息，我们知道红心牌有13张，总共有52张牌，因此红心牌的概率为13/52，即1/4。
这类题目的考点在于理解概率的定义，并且能够根据题目给出的条件计算出事件发生的概率。
在解题过程中，可以通过简化分数、约分等方法，使计算更加简便。
二、排列组合题排列组合题是概率与统计中的另一类常见题型，也是较为复杂的题目之一。
这类题目要求计算事件的排列或组合方式。
例如：【例题】某班有10个学生，要从中选出3个学生组成一支篮球队，求不考虑位置的情况下，有多少种不同的组合方式。
解析：这是一个排列组合题。
我们需要从10个学生中选出3个学生，不考虑位置的情况下，即选出的学生是无序的。
根据组合的定义，我们可以使用组合公式C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)进行计算。
代入题目的数据，即C(10,3) = 10!/(3!(10-3)!)=120种不同的组合方式。
这类题目的考点在于理解排列和组合的概念，并且能够根据题目给出的条件进行计算。
在解题过程中，可以使用排列组合公式简化计算，同时注意分子和分母的阶乘运算。
三、事件独立性题事件独立性题是概率与统计中的另一个重要题型，也是较为复杂的题目之一。
这类题目要求判断多个事件之间是否独立。
例如：【例题】甲、乙、丙三个人独立地进行一项考试，他们的及格率分别为0.8、0.9和0.7。
高中数学解概率题的常用技巧和注意事项
高中数学解概率题的常用技巧和注意事项概率题是高中数学中的一个重要考点，也是让很多学生头疼的难题。
在解概率题时，我们需要掌握一些常用的技巧和注意事项，以提高解题的效率和准确性。
本文将介绍几个常见的概率题类型，并给出相应的解题技巧和注意事项。
一、排列组合型概率题在排列组合型概率题中，常常涉及到从一组元素中选取若干个元素进行排列或组合的情况。
例如：从10个不同的球中任意取3个，求其中有2个红球的概率是多少？解题技巧：1. 确定元素个数和要求的条件：在这个例子中，元素个数为10，要求有2个红球。
2. 计算总的可能性：从10个球中任意取3个的总共可能性为C(10,3)。
3. 计算满足条件的可能性：从10个球中选取2个红球的可能性为C(4,2)，再从剩下的6个球中选取1个非红球的可能性为C(6,1)。
4. 计算概率：满足条件的可能性除以总的可能性即为所求的概率。
注意事项：1. 在计算组合数时，要注意使用组合公式C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)。
2. 在计算概率时，要将满足条件的可能性除以总的可能性。
二、事件的互斥与独立性在概率题中，有时会涉及到多个事件的互斥或独立性。
例如：从一副扑克牌中任意抽取2张牌，求第一张是红心牌，第二张是黑桃牌的概率是多少？解题技巧：1. 确定事件的互斥与独立性：在这个例子中，第一张是红心牌与第二张是黑桃牌是两个独立的事件。
2. 计算第一张是红心牌的概率：红心牌有13张，总共有52张牌，所以第一张是红心牌的概率为13/52。
3. 计算第二张是黑桃牌的概率：黑桃牌有13张，总共有51张牌，所以第二张是黑桃牌的概率为13/51。
4. 计算概率：两个事件独立，所以将两个概率相乘即为所求的概率。
注意事项：1. 在判断事件的互斥与独立性时，要根据题目中给出的条件进行分析。
2. 在计算概率时，要注意将独立事件的概率相乘。
三、条件概率与贝叶斯定理在概率题中，有时会涉及到条件概率与贝叶斯定理。
高考数学复习：概率与分布列题型
高考数学复习：概率与分布列题型1.已知随机变量且1211211P X P X P X μμμμ-<+-≥++≤<+=，则（）A．1-B．0C．1D．22.已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若函数()(2)f x P x x ξ=≤≤+是偶函数，则实数μ=（）A．0B．12C．1D．23.随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，且()()322P a P a ξξ-≥=≤，则=a （）A．12B．1C．43D．34.设X~N (1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P (X ≥3)=0.0228，那么向正方形OABC 中随机投掷20000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）[附:随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则P (μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P (μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544]A．12076B．13174C．14056D．7539题型二：二项分布型求参二项分布：若在一次实验中事件发生的概率为p ()01p <<，则在n 次独立重复实验中恰好发生k 次概率()=p k ξ=()1n kk k n C p p --()0,1,2,,k n =⋯，称ξ服从参数为,n p 的二项分布，记作ξ~(),B n p ，E ξ=npi =D npq .1.在n 次独立重复试验（伯努利试验）中，若每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布(),B n p ，事实上，在伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显然1()(1)k P Y k p p -==-，1k =，2，3，…，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得1EY p =．据此，若随机变量X 服从二项分布1,6B n ⎛⎫⎪⎝⎭时，且相应的“几何分布”的数学期望EY EX <，则n的最小值为（）A．6B．18C．36D．372.已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，且()9E X =，9()4D X =，则n =（）A．3B．6C．9D．123.设随机变量ξ服从二项分布(),B n p ，若() 1.2E ξ=，()0.96D ξ=，则实数n 的值为__________.题型三：二项分布与正态分布综合离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质（1）离散型随机变量ξ的分布列ξ1ξ2ξ3ξ…n ξP1p 2p 3p np ①()11,i p i n i N θ*≤≤≤≤∈;②121n p p p ++= .（2）E ξ表示ξ的期望：1122=+n n p p p E ξξξξ++…，反应随机变量的平均水平，若随机变量ξη，满足=a b ηξ+，则E aE b ηξ=+.（3）D ξ表示ξ的方差：()()()2221122=---n n E p E p E p D ξξξξξξξ+++ ，反映随机变量ξ取值的波动性。
高中数学概率与统计常考题型归纳
高中数学概率与统计(理科)常考题型归纳题型一:常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式.【例1】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列. 解 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4). 则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥，∴P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.(3)依题设，ξ的所有可能取值为0，2，4. 且A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥. 则P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827， P (ξ＝2)＝P (A 1＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 3) ＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0＋A 4)＝P (A 0)＋P (A 4) ＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝1781.所以ξ的分布列是【类题通法】(1)本题44人中恰有i 人参加甲游戏的概率P ＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i，这是本题求解的关键.(2)解题中常见的错误是不能分清事件间的关系，选错概率模型，特别是在第(3)问中，不能把ξ＝0，2，4的事件转化为相应的互斥事件A i 的概率和.【变式训练】甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分. (1)求ξ＝2的概率；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率. 解 (1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，故P (ξ＝2)＝34×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×12＝1124；(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A ，甲队比乙队得分高为事件B .设乙队得分为η，则η～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，23.P (ξ＝1)＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＝14， P (ξ＝3)＝34×23×12＝14，P (η＝1)＝C 13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29，P (η＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝49，P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，∴P (A )＝P (ξ＝1)P (η＝3)＋P (ξ＝2)P (η＝2)＋P (ξ＝3)·P (η＝1) ＝14×827＋1124×49＋14×29＝13， P (AB )＝P (ξ＝3)·P (η＝1)＝14×29＝118，∴所求概率为P (B|A )＝P （AB ）P （A ）＝11813＝16.题型二:离散型随机变量的分布列、均值与方差离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题的考查，属于中档题.复习中应强化应用题目的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中强化解答题的规范性训练.【例2】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望).解 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)·P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681.(2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝2 9，P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝10 81，P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝8 81 .故X的分布列为E(X)＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×81＝81.【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤第一步：确定随机变量的所有可能值；第二步：求每一个可能值所对应的概率；第三步：列出离散型随机变量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【变式训练】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.解(1)设顾客所获的奖励额为X.①依题意，得P(X＝60)＝C11C13C24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为1 2 .②依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X＝60)＝12，P(X＝20)＝C23C24＝12，即X的分布列为所以顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)＝20×2＋60×2＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X 1的数学期望为E(X1)＝20×16＋60×3＋100×6＝60(元)，X 1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X 2的数学期望为E(X2)＝40×16＋60×3＋80×6＝60(元)，X 2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.题型三:概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组75，80)，第2组80，85)，第3组85，90)，第4组90，95)，第5组95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.解(1)由频率分布直方图知：第3组的人数为5××40＝12.第4组的人数为5××40＝8.第5组的人数为5××40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组，第4组，第5组中分别抽取3人，2人，1人.①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A，则P(A)＝1－C310C312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为5 11 .②X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝C24C26＝25，P(X＝1)＝C12C14C26＝815，P(X＝2)＝C22C26＝115.所以X的分布列为E(X)＝0×25＋1×815＋2×115＝1015＝3.【类题通法】本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X服从超几何分布.【变式训练】某公司为了解用户对某产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A 1表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A 2表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； C B 1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； C B 2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”， 则C A 1与C B 1独立，C A 2与C B 2独立，C B 1与C B 2互斥，C ＝C B 1C A 1∪C B 2C A 2. P (C )＝P (C B 1C A 1∪C B 2C A 2) ＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2) ＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2).由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1620，420，1020，820，即P (C A 1)＝1620，P (C A 2)＝420，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝820，故P (C )＝1020×1620＋820×420＝.题型四:统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查.【例4】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝，a ^＝y －b ^ x ，其中x ，y 为样本平均值. 解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n∑ni ＝1x i ＝8010＝8， y ＝1n∑ni ＝1y i ＝2010＝2， 又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b^＝lxylxx＝2480＝，a^＝y－b^x＝2－×8＝－，故所求线性回归方程为y^＝－.(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b^＝>0)，故x与y之间是正相关.(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y^＝×7－＝(千元).【类题通法】(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r来确定，r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用b^，a^的公式进行准确的计算.【变式训练】4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？(2)将频率视为概率.1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、期望E(X)和方差D(X).解(1)完成2×2列联表如下：K2＝10060×40×55×45≈＞，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.(2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P ＝25.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，P (X ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353－i(i ＝0，1，2，3).X 的分布列为均值E (X )＝np ＝3×25＝65，方差D (X )＝np (1－p )＝3×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝1825.。
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高中数学概率题型总结
高中数学中，概率是一个重要的章节。
概率论是研究随机现象规律的数学分支，它在现实中有着广泛的应用。
在高中数学中，学生需要学习概率的基本概念、概率公式和概率问题的解法。
下面是高中数学概率题型的总结和拓展。
1. 基本概率问题
基本概率问题是指在一定条件下，计算某个事件发生的概率。
例如，从一副扑克牌中任取一张，求取到红桃的概率。
这类问题需要使用概率公式：P(A) = N(A)/N(S)，其中N(A)为事件A发生的可能性数，N(S)为样本空间的可能性数。
2. 条件概率问题
条件概率问题是指在已知某一事件发生的情况下，计算其他事件发生的概率。
例如，已知某人有糖尿病，求他/她的胰岛素水平高于正常水平的概率。
这类问题需要使用条件概率公式：P(B|A) = P(A∩
B)/P(A)，其中A为已知事件，B为所求事件。
3. 相互独立事件
相互独立事件是指两个或多个事件之间没有任何联系，一个事件的发生不影响另一个事件的发生。
例如，两次抛掷硬币，求两次都出现正面的概率。
这类问题需要使用相互独立事件的概率公式：P(A∩B) = P(A) × P(B)。
4. 互斥事件
互斥事件是指两个或多个事件之间有着排斥关系，一个事件的发生排除了另一个事件的发生。
例如，从一副扑克牌中任取一张，求取到黑桃或红桃的概率。
这类问题需要使用互斥事件的概率公式：P(A∪B) = P(A) + P(B)。
5. 贝叶斯定理
贝叶斯定理是指在已知某一事件发生的前提下，计算其他事件的概率。
例如，已知某人感染了某种疾病，求它是某种疾病的概率。
这类问题需要使用贝叶斯定理：P(B|A) = P(A|B) × P(B)/P(A)，其中B为所求事件，A为已知事件。
以上是高中数学概率题型的总结和拓展。
除了上述题型，还有复合事件、条件概率树、期望值等概率问题。
在学习概率时，需要注重理解概念，熟练掌握概率公式，多做练习题，提高解题能力。