初二数学上册培优辅导讲义手册(人教版)

第12讲 与相交有关概念及平行线的判定

考点·方法·破译

1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.

2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析

【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共

构成哪几对邻补角？ 【解法指导】

⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.

⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.

⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】

01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：

⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角

是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；

当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.

问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．

⑴求∠EOF 的度数；

⑵写出∠BOE 的余角及补角.

【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各

角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；

【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝2

1∠BOC ，∠FOC

＝

21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋21∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠2

1

又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝

2

1

×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE . 【变式题组】

A

B

C

D

E

F

A

B C

D

E

F

P Q R

A B

C

E

F

01．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是（）A．20°B．40°C．50°D．80°

02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .

【例３】如图，直线l1、l2相交于点O，A、B分别是l1、l2上的点，试用三角尺完成下列作图：

⑴经过点A画直线l2的垂线.

⑵画出表示点B到直线l1的垂线段.

【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.

【变式题组】

01．P为直线l外一点，A、B、C是直线l上三点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离为（）A．4cm B．5cm C．不大于4cm D．不小于6cm

02如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N为位于公路两侧的村庄；

⑴设汽车行驶到路AB上点P的位置时距离村庄M最近.行驶到AB上点Q的位置时，距离村庄N最近，请在

图中的公路上分别画出点P、Q的位置.

⑵当汽车从A出发向B行驶的过程中，在的路上距离M村越来越近..在

的路上距离村庄N越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远.

【例４】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF＝65°，求∠BOE和∠AOC的度数.

【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图E

A A

C

D

O

（第1题图）

1 4

3 2

（第2题图）

A

B

O

2

l1

B

A

O

D

E

形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ．

【变式题组】

01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝

1︰3，求∠AOC 、

∠AOE 的度数.

02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ． ⑴求∠AOC 的度数；

⑵试说明OD 与AB 的位置关系.

03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE

︰∠ABD ＝1︰2，请

作出∠CBE 的对顶角，并求其度数.

【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并

说出它们的名称：

∠1和∠2：

∠1和∠3：

∠1和∠6：

C

D

B

A

E

O

B

A

C

D

O

A

B

A

E

D

C

F

E

B

A

D

1 4

2

3 6

5

∠2和∠6：

∠2和∠4： ∠3和∠5：

∠3和∠4：

【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.

【变式题组】

01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同

旁内角共有（ ）

A ．4对

B ． 8对

C ．12对

D ．16对

02．如图，找出图中标出的

各角的同位角、内错角和同旁内角.

03．如图，按各组角的位置

判断错误的是（ ）

A ．∠1和∠2是同旁内角

B ．∠3和∠4是内错角

C ．∠5和∠6是同旁内角

D ．∠5和∠7是同旁内角

【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由• ⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180° ⑶∠ACD ＝∠BAC 【解法指导】图中有即即有同

旁内

A

B

D

C

H

Ｇ

E

F

7 1 5 6 8 4 1 2 乙

丙

3 2

3 4 5 6

1 2

3 4

甲

1 A B

C

2 3 4

5

6

7 A

B

C

D

O