西电2015年应用随机过程考试试题

西安电子科技大学

研究生课程考试试题

考试科目：随机过程课程编号：X00MS0033 X/Z00MS1033

考试日期：2015 年7 月日考试时间：150 分考试方式：（闭卷）任课教师：班号：

学生姓名：学号：

(说明：学术型、博士生做一二三四五六七题，专业型做一二三’四’五六七’题) 一、（10分）设随机过程X={X t,t∈[?2,2]}，其中X t=U+t，U为随机变量，服从(0，π)上的均匀分布。（1）试求任意两个样本函数，并绘出草图。（2）计算随机过程X特征函数。（3）计算随机过程X的均值函数与自协方差函数。

二、（15分）设W={W t,t≥0}是标准布朗运动，令B t=W t?tW1,t∈[0,1]。

（1）证明随机过程B={B t,0≤t≤1}是正态过程。（2）求B={B t,0≤t≤1}的一维分布函数F(t;x)=P(B t≤x)。（3）计算B={B t,0≤t≤1}的方差函数。

三、（学术型）（20分）设高速公路上每天到达某加油站的卡车数和小汽车数分别为N1(t)和N2(t)，t≥0。如果设N1={N1(t),t≥0}和N2={N2(t),t≥0}分别是参数为λ1和λ2的泊松过程，且过程N1与N2独立。（1）试分析随机过程N={N t=N1(t)+N2(t),t≥0 }是什么过程。（2）试计算某一天到达加油站的车流中，卡车首先到达加油站的概率。三’、（专业型）（20分）学生要去A报告厅听讲座，现有两个入口B和C可以进入A报告厅。设在时刻t≥0，从B口进入A报告厅的人数为N t B，从C口进入A报告厅的人数为N t C，假设N B={N t B,t≥0}和N C={N t C,t≥0}是两个分别服从参数为λB=0.5和λC=1.5的独立的泊松过程。（1）计算在一个固定的4分钟内没有学生进入A报告厅的概率；进一步，若已知一个学生进入了A报告厅，那么他从C口进入的概率是多少？（2）计算学生到达A报告厅的时间间隔的均值。

四、（学术型）（20分）（1）设平稳序列X={X n,n=0,±1,±2,?}的相关函数为

ρ|τ|, τ=0,±1,?,|ρ|<1，求X的谱密度。（2）若（1）中R(τ)为平稳过程R(τ)=1

2π

X={X t,?∞0和?∞<α<+∞）的平稳过程。对任意的t∈(?∞,+∞)，定义Y t=X t+1?X t。

（1）试判断随机过程Y={Y t,t≥0}的平稳性。（2）求出过程Y={Y t,t≥0}的谱密度。

（3）判断过程X 的均值的各态历经性。

五、（10分）设齐次马尔可夫链X ={X n ,n =0,1,?}的状态空间为S ={0,1,2}，一步转

移概率矩阵为P =[ 1323012141402313]

。（1）计算条件概率P (X n+3=0|X n+1=1)。（2）若X 0=2，计算概率P (X 2=1)。（3）若马氏链X 有初始概率分布(617 817 317)，试计算概率

P (X n+1=1, X n+2=0, X n+3=1, X n+4=2)。

六、（10分）设齐次马尔可夫链X ={X n ,n =0,1,?}的状态空间为S ={1,2,3,4}，一步转

移概率矩阵为P =[00.400.6

0.500.5000.60.40

0.6000.4

]。（1）分解X 的状态空间，并判断极限分布和平稳分布是否存在，若存在请计算出来，若不存在请说明理由。（2）若X 的一步转移概率

矩阵为P =[ 121200132300141414140001]

，分解X 的状态空间，并判断极限分布和平稳分布是否存在，若存在请计算出来，若不存在请说明理由。

七、（学术型）（10分）设奇次马尔科夫链X ={X n ,n =0,1,?}的状态空间S ={1,2,?,N }，N 为某确定的正数。若S 是不可约的，试判断该马氏链X 状态的类型，并给出证明。 七’、（专业型）（10分）设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1表示）、正常（用2表示）、畅销（用3表示）。若经过对历史资料的整理分析，其销售状态的变化（从这月到下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为P ij （P ij 表示从销售状态i 经过一个月后转为销售状态j 的概率），一步转移概率矩阵为：

P =[ 12120131959121] 试对经过长时间后的销售状况进行分析。