2016-两个绝对值的函数的图象
x+2<0 3x-6<0
∴ y =|x+2|+|3x-6|= -2x+8 (-2≤x<2) -4x+4 (x<-2)
4x-4
(x≥2)
y =|x+2|+|3x-6|= -2x+8 (-2≤x<2) -4x+4 (x<-2)
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2
y
-6 -4 -2 O -2
y
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 x
y =|x-1|+|3x+4|=
4 ≤x<1) 2x+5 ( - 3
-4x-3
4) (x< - 3
-3 -2 -1 O -1
解题后： 反思-归纳-小结
y =|x+2|+|3x-6|
y
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 -6 -4 -2 O -2 2 4 6 8 x
y =|x-1|+|3x+4|
y
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 O -1 1 2 3 4 x
跟踪训练 ： (1) 作出函数 y =|x+2|+|2x-3|的图象; (2) 作出函数 y =|3x+1|+|x-2|的图象. 3 3x-1 (x≥ 2 ) 解:
3 ) (1) y=|x+2|+|2x-3|= -x+5 (-2≤x< 2 -3x+1 (x< -2 ) 4x-1 (x≥2) 1 ≤x<2) (2) y =|3x+1|+|x-2|= 2x+3 (- 3 y
a ( -1≤x< - 2 ) -3x-1-a (x< -1 ) a a 得 a< 2, 如图, f(x)min=f( - 2 )=3( - 2 )+1+a=3, ∴ a=-4 a ② 当 -1< - 2 时, f(x)=
-x+1-a
y
y=f(x)
-1
O
a -2
x
变式训练： 若函数 f(x) =|x+1|+|2x+a|的最小值为3,
2 4 6 8 x
x+2<0 3x-6<0
1. 作出函数 y =|x+2|+|3x-6|的图象. 1. 解: y =|x+2|+|3x-6|= (x+2)+(3x-6)
x+2≥0 3x-6≥0 x+2≥0 3x-6<0 x+2<0 3x-6≥0
(x+2)-(3x-6)
-(x+2)+(3x-6) -(x+2)-(3x-6) 4x-4 (x≥2)
y y=f(x)
a -2
-1 O
x
变式训练： 若函数 f(x) =|x+1|+|2x+a|的最小值为3,
求实数a的值.
y
y=f(x)
y y=f(x)
-1
O
a -2
x
a -2
-1 O
x
变式训练： 作出函数 y =|x-1|+|3x+4|的图象. 解: 4x+3 (x≥1)
4 ≤x<1) (- 3 4) (x< - 3 y
含有两个绝对值的函数的图象
复习： 作出函数 y =|2x+6|的图象. 解: y =|2x+6|=
∴ y =|2x+6|=
2x+6 -(2x+6) 2x+6 -2x-6
(2x+6≥0) (2x+6<0) (x≥-3) (x<-3)
y
6 5 4 3 2 1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 O -1
1 2 x
1. 作出函数 y =|x+2|+|3x-6|的图象. 1. 解: y =|x+2|+|3x-6|= (x+2)+(3x-6)
x+2≥0 3x-6≥0 x+2≥0 3x-6<0 x+2<0 3x-6≥0
(x+2)-(3x-6)
-(x+2)+(3x-6) -(x+2)-(3x-6) 4x-4 (x≥2) -2x+8 (-2≤x<2) ∴ y =|x+2|+|3x-6|= 2x-8 (x∈f ) -4x+4 (x<-2)
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y =|x-1|+|3x+4|=
2x+5
-4x-3
-3 -2 -1 O -1
1 2 3 4 x
4x-4
(x≥2)
y =|x+2|+|3x-6|= -2x+8 (-2≤x<2) -4x+4 (x<-2)
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2
y
-6 -4 -2 O -2
求实数a的值.
解:
a 时, f(x)= ③ 当 -1> - 2
3x+1+a
(x≥-1 )
a -a 得 a >2, 如图, f(x)min=f( - 2 )= 2 +a-1=3, ∴ a=8
a ≤x< -1) x+a-1 (- 2 a) -3x-1-a (x< - 2
综合 ①,②,③ 得: a=Байду номын сангаас4 或 a=8 .
2 4 6 8 x
1. 作出函数 y =|x+2|+|3x-6|的图象. 1. 解: y =|x+2|+|3x-6|= (x+2)+(3x-6)
x+2≥0 3x-6≥0 x+2≥0 3x-6<0 x+2<0 3x-6≥0
(x+2)-(3x-6)
-(x+2)+(3x-6) -(x+2)-(3x-6) 4x-4 (x≥2)
-4x+1
y=f(x)
1) (x< - 3 y y=f(x)
-2
O
3 2
x
1O -3
2
x
变式训练： 若函数 f(x) =|x+1|+|2x+a|的最小值为3,
求实数a的值. a 解: ① 当 -1= - 2 时, f(x)=|x+1|+|2x+2|=3|x+1|, f(x)的最小值是0; a 3x+1+a (x≥ - 2 )
x+2<0 3x-6<0
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 -6 -4 -2 O -2
y
∴ y =|x+2|+|3x-6|= -2x+8 (-2≤x<2) -4x+4 (x<-2)
2 4 6 8 x
变式训练 ： 作出函数 y =|x-1|+|3x+4|的图象. 解: 4x+3 (x≥1)
高考总复习理数(人教版)第02章函数的概念与基本初等函数第7节函数的图象
第七节 函数的图象考点高考试题考查内容核心素养函数的图象2016·全国卷Ⅰ·T7·5分 已知函数解析式判断函数的图象 数学运算 逻辑推理2016·全国卷Ⅱ·T12·5分 利用函数的图象和性质求值数学运算 逻辑推理 2015·全国卷Ⅱ·T10·5分 判断函数图象 数学运算 数学建模 2014·全国卷Ⅰ·T6·5分判断函数图象数学运算 数学建模命题 分析本节内容在高考中的考查形式有两种：一种是给出函数解析式判断函数图象；一种是函数图象的应用.1．利用描点法作函数的图象 方法步骤：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)； (4)描点连线．2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换：(2)伸缩变换：(3)对称变换：y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )；y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x ). (4)翻折变换：y ＝f (x )―――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝f (|x |)； y ＝f (x )――――――――――――――→保留x 轴上方图将x 轴下方的图象翻折到上方去 y ＝|f (x )|. 提醒：(1)辨明三个易误点①图象左右平移仅仅是相对x 而言的，即发生变化的只是x 本身，利用“左加右减”进行操作．如果x 的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换．②图象上下平移仅仅是相对y 而言的，即发生变化的只是y 本身，利用“上加下减”进行操作．但平时我们是对y ＝f (x )中的f (x )进行操作，满足“上加下减”．③要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别． (2)会用两种数学思想 ①数形结合思想借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质；利用函数的图象，还可以判断方程f (x )＝g (x )的解的个数、求不等式的解集等．②分类讨论思想画函数图象时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论，分别画出其图象．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．( ) (2)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称．( )(3)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝f (|x |)的图象与y ＝|f (x )|的图象相同．( )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材习题改编)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )解析：选C 距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故第一段是直线段，途中停留时距离不变，最后一段加速，最后的直线段比第一段下降得快，故应选C.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋ln x ，x ≥1，x 3，x <1，则f (x )的图象为( )解析：选A 由题意知函数f (x )在R 上是增函数，当x ＝1时，f (x )＝1，当x ＝0时，f (x )＝0，故选A.4．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 解析：因为 f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，所以4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.答案：－25．(2018·大同检测)若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________.解析：在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示．由图象知当a ＞0时，方程|x |＝a －x 只有一个解．答案：(0，＋∞)作函数的图象 [明技法]画函数图象的2种常用方法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出．(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．[提能力]【典例】 分别作出下列函数的图象． (1)y ＝2x ＋2；(2)y ＝x ＋2x －1.解：(1)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图①所示．(2)因为y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如图②.① ②[母题变式] 将本例(2)的函数变为“y ＝x ＋2x ＋3”，函数的图象如何？解： y ＝x ＋2x ＋3＝1－1x ＋3，该函数图象可由函数y ＝－1x 向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．[刷好题](金榜原创)分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |；(2)y ＝sin|x |.解：(1)∵y ＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0＜x ＜1.∴函数y ＝|lg x |的图象，如图①.(2)当x ≥0时，y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象完全相同，又y ＝sin|x |为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②.函数图象的识别与辨析[明技法]识辨函数图象的入手点(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．[提能力]【典例】(1)(2017·全国卷Ⅰ)函数y＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为()(2)如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P 所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为()解析：(1)选C 令f (x )＝sin 2x1－cos x ，∵f (1)＝sin 21－cos 1>0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，∴排除选项A ，D.由1－cos x ≠0得x ≠2k π(k ∈Z )， 故函数f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin 2x1－cos x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，∴排除选项B.故选C.(2)选D 方法一 由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ，则AD ＝8－2x2＝4－x ，所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分， 且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3,4)，故选D.方法二 在判断出点P 的轨迹后，发现当x ＝1时，y ＝3－π4∈(2,3)，故选D.[刷好题]1．下列四个函数中，图象如图所示的只能是( )A ．y ＝x ＋lg xB ．y ＝x －lg xC ．y ＝－x ＋lg xD ．y ＝－x －lg x解析：选B 特殊值法：当x ＝1时，由图象知y >0，而C ，D 中y <0，故排除C ，D ；又当x ＝110时，由图象知y >0，而A 中y ＝110＋lg 110＝－910<0，排除A.故选B.2．函数y ＝sin x 2的图象是( )解析：选D 排除法：由y ＝sin x 2为偶函数判断函数图象的对称性，排除A ，C ；当x ＝π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π22＝sin π24≠1，排除B.故选D. 3．如图，矩形ABCD 的周长为4，设AB ＝x ，AC ＝y ，则y ＝f (x )的大致图象为( )解析：选C 方法一 由题意得y ＝x 2＋(2－x )2＝2x 2－4x ＋4，x ∈(0,2)不是一次函数，排除A 、B.当x →0时，y →2，故选C.方法二 由法一知y ＝2(x －1)2＋2在(0,1]上是减函数，在[1,2)上是增函数，且非一次函数，故选C.函数图象的应用 [析考情]函数图象的应用是每年高考的必考内容，多以选择题、填空题的形式出现，考查两图象的交点、函数性质、方程解的个数、不等式的解集等，难度中档或偏上．[提能力]命题点1：利用图象研究函数的性质【典例1】 (2018·长春质检)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析：选C 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．命题点2：方程的根或函数图象的零点【典例2】 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解的个数为________.解析：方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或f (x )＝1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知直线y ＝12与函数y ＝f (x )的图象有2个公共点；直线y ＝1与函数y ＝f (x )的图象有3个公共点．故方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0有5个解．答案：5命题点3：利用图象求不等式的解集【典例3】 设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x ＜0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选D f (x )为奇函数，所以不等式f (x )－f (－x )x ＜0化为f (x )x ＜0，即xf (x )＜0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )＜0的解集为(－1,0)∪(0,1)．命题点4：利用函数图象的对称性解题【典例4】 (2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：选B 由f (－x )＝2－f (x )可知f (x )的图象关于点(0,1)对称，又易知y ＝x ＋1x ＝1＋1x 的图象关于点(0,1)对称，所以两函数图象的交点成对出现，且每一对交点都关于点(0,1)对称，则x 1＋x m ＝x 2＋x m －1＝…＝0，y 1＋y m ＝y 2＋y m －1＝…＝2，∴∑i ＝1m(x i ＋y i )＝0×m 2＋2×m2＝m .故选B.命题点5：利用函数图象求参数的取值范围【典例5】 函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围是________.解析：当x ≤0时，f (x )＝2－x －1，当0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.当1<x ≤2时，－1<x －2≤0，f (x )＝f (x －1)＝f (x －2)＝2－(x －2)－1.故x >0时，f (x )是周期函数，如图，欲使方程f (x )＝x ＋a 有两解，即函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，则a 的取值范围是(－∞，1)．答案：(－∞，1) [悟技法]函数图象应用中的几个问题(1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域；上下范围对应值域；上升、下降趋势对应单调性；对称性对应奇偶性．(2)有关不等式的问题常常转化为两函数图象的上、下关系来解．(3)有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的图象交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．[刷好题]1．(2018·潍坊检测)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是( )A ．多于4个B ．4个C ．3个D ．2个解析：选B 因为偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，故函数的周期为2.当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，故当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x .函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点的个数等于函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象，如图所示，函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象有4个交点，故选B.2．(2018·滁州质检)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析：如图，要使f (x )≥g (x )恒成立，则－a ≤1，∴a ≥－1.答案：[－1，＋∞)3．设函数y ＝2x －1x －2，关于该函数图象的命题如下：①一定存在两点，这两点的连线平行于x 轴； ②任意两点的连线都不平行于y 轴； ③关于直线y ＝x 对称；④关于原点中心对称．其中正确的是________.解析：y ＝2x －1x －2＝2(x －2)＋3x －2＝2＋3x －2，图象如图所示．可知②③正确．答案：②③。
专题2.8绝对值函数和绝对值不等式的解法(原卷版)
2.8 绝对值函数和绝对值不等式的解法a,a0定义：我们把数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值，即a0,a0 ．a, a0 1．绝对值函数常有的绝对值函数是： y x x, x0 ，其图象是x, x0绝对值函数学习时，要抓重点点，这里的重点点是x 0 ．思虑怎样画y x a的图象？【例我们知道，1】画出yx 表示 x 轴上的点x 1 的图像x 到原点的距离；x a的几何意义是表示x 轴上的点x 到点 a 的距离．变式 1.（ 1）画出 y x 2 的图像；（2）画出y 2 x 的图像对于绝对值函数，我们常常用到的一种方法是去绝对值，一般采纳零点分段法，零点分段法的一般步骤：①找零点→ ②分区间→ ③定符号→④去绝对值符号．【例 2】阅读以下资料并解决有关问题：x x0我们知道 x0x0，利用这一结论能够化简含有绝对值的代数式，如化简代数式 y x 1 x 2 x x0时，可令 x 10 和 x20，分别求得 x1，x 2 （称 1，2 分别为 x 1 与 x 2的零点），在有理数范围内，零点值x1和 x 2 可将全体有理数分红不重复且不易遗漏的以下3种状况：⑴当x1时，原式x 1x 22x 1 ；⑵当 1 x 2 时，原式x1x2 3 ；⑶当 x≥ 2 时，原式x1x22x1.2x 1 x1综上所述， y x 1x231x 2 ．2 x 1 x2经过阅读上边的文字，请你解决以下的问题：（ 1）化简代数式 y x1 2 x2；（ 2）画出 y x 1 2 x 2 的图象【例 3】画出以下函数的图象（ 1） y x2 2 x 3（2）y x23x 22．绝对值不等式的解法到了高中，绝对值不等式需要重申的有两点：一是由定义引出的绝对值的几何意义的应用；二是代数意义上的分类议论，此中几何意义的应用主要波及到有关绝对值不等式的解法，而分类议论的思想就表现为去绝对值、画绝对值函数图象、解绝对值不等式．【例 4】解不等式x 1．变式 1．解不等式：（1）x 3 ；（2）x3（3）x2结论：（ 1）（ 2）x a( a 0)的解集是 { x | ax a} ，如图 ．1xa( a 0) 的解集是 { x | xa 或 x a} ，如图 2．【例 5】解不等式x 2 1．结论：（ 1） axb c(c 0) c ax b c ．（ 2） axbc(c 0)ax b c 或 axb c变式 1：解不等式：（1） x10 3； （ 2）2x 52 ；（ 3） 3 2 x 5 ；2 x 4 0变式 2：解不等式组1 3x ．52变式 3：解不等式 12x 1 5 ．【例 6】解不等式：4x 3 2 x 1结论：（ 1） ax b f ( x) f ( x) ax bf ( x) ．变式（ 2）ax b4：解不等式：f (x)4x 3ax bx 1．f (x) 或ax b f ( x) ．【例 7】解不等式：x 2 x 15说明：选择题和填空题中，利用绝对值的几何意义解含有两个绝对值不等式优势显然．变式 1．解不等式：（ 1）x 2 x 1 7（2）x 3 x 2 4（3）2x 3 2x 28【例 8】解不等式：x 1 x 2 x3【例 9】解对于x的不等式 2 x 3 1a1.已知a 6 ，化简6a2得 ()A. 6 aB.a6C. a 6D. a 62.不等式x2 3 的解是，不等式1 1 x 1 的解是______________.23．化简 x1x2，并画出 y x 1 x 2的图象4.画出y x22x3 的图像5.解不等式3x296.解不等式x 1 x 247.解以下对于x 的不等式：12x 358.解不等式3x 4 1 2x9．解不等式：x 1 x 2 x21．已知f x x 1ax 1 .（ I）当a 1 时，求不等式f x1的解集；（ II ）若x0,1时不等式f x x 建立，求a的取值范围.2．已知函数 f (x) = |x + a| + |x-2|.（Ⅰ）当 a = -3 时，求不等式 f (x)≥ 的3解集；3．已知函数 f x x 1 x 2 ．（ 1）求不等式 f x 1 的解集；（2）若不等式 f x x2–x m 的解集非空，求m 的取值范围．4．设函数f (x)x a3x ，此中 a0 ．（ 1）当a 1时，求不等式 f ( x)3x 2的解集；（ 2）若不等式 f (x)0的解集为x | x 1 ，求a的值．5．已知函数 f x2x a a .(1)当 a= 2时，求不等式 f x 6 的解集；(2)设函数g x2x1. 当x R 时， f x g x 3 ，求 a 的取值范围．。
绝对值函数
绝对值函数在整个函数问题当中，算作一个难点，一个我们较为熟悉的常见函数，在其中添加了绝对值符号之后，从几何上来看，它的图象就不再是我们熟悉的图线；而从我们研究问题的方向去看，这个函数的性质（单调性与奇偶性）一般也会发生改变．那这些东西的改变直接对我们在研究函数的最值或者值域的过程中产生了影响，所以想要解决绝对值函数相关的问题，我们的核心思想就是去研究函数的图象到底是什么样的，函数的单调性到底是什么样的！首先，我们先来看一下什么是绝对值函数，绝对值函数的定义是：(),0,0x x f x x x x ⎧==⎨-<⎩≥根据我们初中对绝对值的认识，其实绝对值就是把符号里的这个整体变成非负的．一个大于等于零的数想要变成非负的其实不需要改变，保留自身就行；而一个小于等于零的数想要变成非负的就需要给它整体添加一个负号．那所以，对于绝对值函数的关键就在于去分析符号里的这个整体与零的关系，将与零的关系分作大于等于和小于两类之后，我们就能把任意的绝对值函数改写成分段函数的形式．如：()()()()434,34033443434,3403x x x f x x x x x x ⎧-+-+⎪⎪=-+=⎨⎪--+=--+<>⎪⎩≥即≤即；()()()()2222223,230132323,23013x x x x x x f x x x x x x x x ⎧-----⎪=--=⎨-----<-<<⎪⎩≥即≤或≥即；()()()()()2,20222,202x x x x f x x x x x x x --⎧⎪=-=⎨⋅---<<⎡⎤⎪⎣⎦⎩≥即≥即对于月考中涉及到的绝对值相关的问题，都可以采用分类讨论去绝对值的方式去转化成分段函数研究，而只要有了分段函数的形式，那我们就可以根据自变量x 在不同区间内不同的解析式去把整个函数图象给画出来，并且准确的去刻画函数的单调性，最终根据图象以及单调性解题如：（18苏高）函数()22f x x x =-+的递减区间是________【解析】：将绝对值符号内的2x 根据与零的关系进行分类讨论，可以将原函数转化为分段函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨--<⎪⎩≥，也就是该函数在自变量大于等于零和小于零的部分应该是不一样的函数图象，所以我们可以分别去画两段的函数图象根据图象得到答案．根据图象，我们可以知道，该函数的减区间为[]1,0-和[)1,+∞（18星海）函数221y x x =-+的单调增区间为________【解析】：同样的分析我们可以得到分段函数形式2221,021,0x x x y x x x ⎧-+⎪=⎨++<⎪⎩≥，根据解析式画得函数图像如下根据图象，我们可以知道，该函数的增区间为[]1,0-和[)1,+∞如：（18十中）若关于x 的方程220x a --=有三个不相等的实数解，则实数a 的值是________【解析】：这是一道研究根的个数的问题，题目中的方程含有绝对值，我们还是选择数形结合，原方程转化为()22f x x a =-=，我们只需要画出()22f x x =-的函数图像即可．()2222,2222,22x x x f x x x x ⎧--⎪=-=⎨--<<⎪⎩≥或≤，函数图像如下而该函数函数值为a 的时候有三个不同的实数解，所以在图像中我们添加一条水平直线y a =，观察怎样能使直线与()f x 有三个不同的交点即可，最终根据图像可得，只有当2a =时满足题意．以上是一些出现在第一次月考中的含有绝对值的填空选择题，大多难度不大，只要熟练掌握去绝对值并画图的能力数形结合即可；而出现在大题中的带绝对值问题，在第一次月考中通常会出现在比较靠后的位置，会成为拉分的关键．总结历年的月考试卷，不难发现，大题中绝对值函数考察的函数模型几乎全是二次函数，要么是二次函数整体带绝对值，要么是二次函数中部分带绝对值，而为了体现作为压轴题的难度，解析式中一定会带有参数使得函数图象不确定，比如我们可以看一下以下几个题目中的函数解析式．如：（18星海20）()2f x x ax =+①（18苏高21）()f x x x m =-②（18新实19）()()f x x x a =-③（18圆三19）()21f x x x a =+-+④（18十中19）()22f x x x m =---⑤通过以上的总结，我们可以知道其实这类题的考察函数很类似，而最终无论出题人想根据这个函数问我们什么样的问题，核心都在于能不能想明白随着参数的变化，函数图象会发生什么变化，函数的单调性会发生什么变化．而这种变化就会是我们最终研究问题时分论讨论的依据．这里将所有这类题中出现的函数分作两大类，一类是可因式分解的（如①②③），另一类是不可因式分解的（如④⑤），两类中第一类的函数会更容易分析一些．类型一：二次含参绝对值函数我们的处理方式也是分情况讨论去绝对值，明确函数图象到底在什么地方分界，而这类可因式分解的情况，有一个很关键的入手点在于我们可以知道这个函数的零点（函数图像与x 轴交点的横坐标）是多少，再根据零点去分析图象即可．如：（18星海20）设a ∈R ，函数()2f x x ax=+（1）若()f x 在[]0,1上单调递增，求a 的取值范围（2）记()M a 为()f x 在[]0,1上的最大值，求()M a 的最小值【思路】：函数()2f x x ax =+中的形式可因式分解，我们可以发现函数的两个零点为0和a -，因此在画图的时候可以先将这两个点在图上标出来．在标的时候，0很容易就标在了原点的位置，但是a -我们由于不知道它到底是正数还是负数还是零，所以无法确定这个点应该在哪里．而正是因为这个点位置的不确定，所以在这道题中，我们需要将a -根据0去分三种情况讨论，最后对应的分别是0a >，0a =和0a <【解析】：（1）1︒0a =时，此时()2f x x =，符合题意；2︒0a >（即0a -<时），原函数是开口向上且过()0,0和(),0a -的二次函数，而整体加了绝对值，就只是将函数图像中小于0的部分全部翻折转化成大于0的，图象如下，符合题意；3︒0a <（即0a ->时），同样的分析我们可以得到如下函数图像在这种种况下，我们会发现没办法直接确定[]0,1上的单调性，因为该函数是在0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增的，为了保证符合题意，所以需要12a -，解得2a -≤；综上所述，a 的取值范围为(][),20,-∞-+∞ （2）【思路】：题目需要我们求()M a 的最小值，从形式上这是一个关于a 的函数，我们需要现有它的解析式才能够去求最值．而()M a 是原函数在[]0,1上的最大值，所以我们得先确定原函数在[]0,1上的最大值是多少，而要求最大值，核心就在于函数的单调性，根据第一问知道函数在[]0,1上单调增，所以这些情况中，最大值就在1x =时取到，而其他情况中单调性不明确，所以我们要根据单调性去分析函数的最值．【解析】：1︒由第一问可知，当(][),20,a ∈-∞-+∞ 时，()f x 在[]0,1上单调增，所以()()11M a f a ==+．2︒在其他情况中即20a -<<时，1会出现在2a -的右边，而此时函数在[]0,1上单调性不明，所以我们在画图时分析1的具体位置去考虑单调性．当1从对称轴开始往右挪动后，结合图像，会发现此时最大值就在顶点处，也即2ax =-时取最大值但是当1x =这条线出现在上图中点A 的右侧时，[]0,1中的最大值又会是在1x =时取到，所以这道题做到这还需找找出点A 的横坐标．点A 的唯一信息在于纵坐标和顶点纵坐标相同，而顶点纵坐标为224a a f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，点A 出的函数解析式为()2f x x ax =+，令()24a f x =即224a x ax +=解得x =A的横坐标为)122a a x +-==-，如果)1122aa +->>-即22a -<<-时，()f x 在2a x =-时取到最大值；如果)1012a <-≤即20a -<时，()f x 在1x =时取到最大值．综上所述()()(])(211,,22,2,224f a a M a a a f a ⎧⎡=+∈-∞--+∞⎣⎪⎪=⎨⎛⎫-=∈--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩ ，去绝对值后得())()(](21,21,,2,2,24a a M a a a a a ⎧⎡+∈-+∞⎪⎣⎪⎪=-+∈-∞-⎨⎪⎪∈--⎪⎩，在三段上分别考虑()M a 的最小值最终得到()M a的最小值为(23M -=-．如：（18苏高21）已知函数()f x x x m =-，()m ∈R （1）当4m =时，解不等式()82f x x -≥；（2）若函数()f x 在[]1,1-上为增函数，求实数m 的取值范围；（3）若0m >，且存在相异实数,,a b c 使得()()()1f a f b f c m ===+，求a b c ++的取值范围．【分析】：函数解析式中绝对值内的部分为x m -，将其根据与零的大小分类可知最终函数图象在x m =的两侧会发生改变，即()()(),,x x m x m f x x x m x m ⎧-⎪=⎨--<⎪⎩≥．在作图时，因为该函数两个零点分别为0和m ，所以在确定m 的位置时也会根据m 与0的位置关系将之分成0m =，0m <，0m >三种．10m ︒=时，()22,0,0x x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩≥，所以函数图象如下20m ︒<时，函数过点()0,0和(),0m 并且在x m =的两侧不一样，观察两侧的函数形式，可以发现共同点在于都过这两个零点，而不同点在于开口方向的差别，因此可以先将两个图都画出来，再在两侧进行取舍，x m =的左侧保留开口向下的部分，右侧保留开口向上的部分30m ︒>时，同样的方式我们可以得到函数图象如下【解析】：（1）当4m =时，原不等式为482x x x --≥，当4x ≥时，即为2280x x --≥，解得4x ≥；当4x <时，即为2680x x -+≤，解得24x <≤，综上所述，不等式的解集为[)2,+∞（2）()f x 在[]1,1-上单调增，根据开头的分析，当0m =时符合要求；当0m <时，结合图像，需保证对称轴12m x =-≤即2m -≤；当0m >时，结合图像，需保证对称轴12m x =≥即2m ≥．综上所述，m 的取值范围为2m -≤或0m =或2m ≥．（3）0m >时，根据开头的分析，可知函数图像如下题目中所说的存在相异实数,,a b c 使得()()()1f a f b f c m ===+，即函数图象与直线1y m =+要存在三个不同的交点，如上图所示，并且该三点横坐标从左到右记作,,a b c ．如果要满足题意，则要求1m +比顶点纵坐标更小，即2124m m m f ⎛⎫+<= ⎪⎝⎭，解得m的范围为2m >+．根据对称性可知a b m +=，()f c 处的解析式为()()1f c c c m m =-=+，即()()110c m c -++=⎡⎤⎣⎦解得1c m =+，所以21a b c m ++=+，因为2m >+，所以a b c ++的取值范围为()5,++∞以上是两个可因式分解的类型，在作图时可利用零点的位置更快的作图，而如果是没法因式分解的类型，那我们只能分情况讨论去绝对值转化为分段函数作图，在作图的时候明确两个关键点，第一，该函数在什么地方分界，即绝对值内等于零时自变量的取值；第二，在分界点的两侧，二次函数开口朝向，以及其对称轴与分界点的关系．将这两点明确之后，就可以精确的描述函数在各段上的单调性，并借此解题．如：（18圆三19）已知()()21f x x x a x =+-+∈R （1）讨论函数的奇偶性；（2）求函数()f x 的最小值()g a 的解析式．【解析】：（1）若函数为偶函数，则()()f x f x =-，即()2211x x a x x a +-+=-+--+，解得0a =；若函数为奇函数，则()()0f x f x +-=，即2220x x a x a +-+--+=，无解；综上所示，当0a =时，()f x 为奇函数，当0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数（2）去绝对值之后得()()221,1,x x a x a f x x x a x a ⎧+-+⎪=⎨--+<⎪⎩≥可知该函数在x a =处分界，并且两侧都是开口向上的二次函数，接下来对于对称轴与分界点位置的分析会是重中之重，决定最终分类讨论的依据．当x a <时，对称轴为12x =，当x a ≥时，对称轴为12x =-，而分界线x a =出现在不同位置会对整体的单调性造成改变．1︒12a -≤时，函数在(],a -∞上单调减，1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调减，1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调增，图象如下根据图象以及函数的单调性可知此时()1724g a f a ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭；122a ︒≥时，函数在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调减，1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调增，[),a +∞上单调增，图象如下根据图象以及函数的单调性可知此时()1724g a f a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；3︒1122a -<<时，函数在(],a -∞上单调减，(),a +∞上单调增，图象大致如下．根据图象得此时()()21g a f a a ==+综上所述()()2171,,242171,,242111,,22f a a g a f a a f a a a ⎧⎛⎫⎛⎤=-∈-∞- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎦⎪⎪⎛⎫⎡⎫=-=+∈+∞⎨ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭⎪⎪⎛⎫=+∈-⎪ ⎪⎝⎭⎩。
高考数学微专题4 分段函数(含有绝对值的函数)的图象与性质 课件
实数 m 的最小值为( )
27 A. 8
29 B. 8
13 C. 4
15 D. 4
【思路分析】 根据已知计算出 f(x)＝21n[1－|2x－(2n＋1)|]≤21n，画出
图象，计算 f(x)＝332，解得 x＝289，从而求出实数 m 的最小值．
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【解析】 由题意，得当 x∈[1,2)时，f(x)＝12×f(x－1)＝12(1－|2x－3|)； 当 x∈[2,3)时，f(x)＝12f(x－1)＝14(1－|2x－5|)；…，可得在区间[n，n＋1)(n ∈Z)上，f(x)＝21n[1－|2x－(2n＋1)|]≤21n，所以当 n≥4 时，f(x)≤332.作出函 数 y＝f(x)的图象，如图所示，当 x∈72，4时，由 f(x)＝18(1－|2x－7|)＝332， 解得 x＝289，则 m≥289，所以实数 m 的最小值为289.
【答案】 ABD
1234
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－x2＋2， x≤1， 3. (2022 浙江卷)已知函数 f(x)＝x＋1x－1， x>1，
则 ff12＝
________；若当 x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则 b－a 的最大值是________.
1234
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【解析】 f12＝－122＋2＝74，f74＝74＋47－1＝3278，所以 ff12＝3278.当 x≤1 时，由 1≤f(x)≤3，得 1≤－x2＋2≤3，所以－1≤x≤1；当 x>1 时， 由 1≤f(x)≤3 可得 1≤x＋1x－1≤3，所以 1<x≤2＋ 3.综上，由 1≤f(x)≤3， 得－1≤x≤2＋ 3，所以[a，b]⊆[－1,2＋ 3]，所以 b－a 的最大值为 3＋
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函数的图像与性质
• （6）新定义问题和抽象函数的问题点缀其中，对函数本质 的认识考查深入．
热点考向一
函数的图象及应用
命题解读:主要考查利用函数的解析式选择图象,利用
函数的图象选择解析式、利用函数的图象来研究函数
的性质(特别是单调性、最值、零点)、方程解的问题 以及解不等式、比较大小等,以选择题、填空题为主.
1 2a , 则 f(x) 是周期函数 , 其中一个周期是T=___(a≠0); f x
2a 一个周期是T=___(a≠0).
4.函数对称性 ①若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x), x=a对称; 则y=f(x)的图象关于直线____ ②若函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(a-x),即f(x)=-f(2a-x), (a,0) 对称; 则y=f(x)的图象关于点______
3.函数的周期性 ①若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a),则f(x)是周期函数, 2a 其中一个周期是T=___(a≠0);
2a ②若满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期函数,其中一个周期是T=___(a≠0)
③若满足f(x+a)=
1 ④若函数满足f(x+a)=,则f(x)是周期函数,其中 f x
1 ⇔ <x<1. 3
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【变式训练】
3 f ( x ) x 8( x 0) （2010 年全国卷Ⅰ，理 8）已知偶函数
则 {x f ( x 2) 0} =（ A. (,2) (4,)
） B.
(,0) (4,)
(,2) (2,)
第四讲绝对值函数和绝对值不等式
绝对值函数和绝对值不等式典型例题：【过关习题4】1.【2018年学考选考十校联盟，☆☆】已知a，b是实数，则“|a|≤1且|b|≤1”是“|a+b|+|a －b|≤2”的 .A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.【2018年高三适应性考试，，☆☆】已知a>0，函数f (x)=|x2+|x－a|－3|在区间[－1，1]上的最大值是2，则a= .3.【2018年二模，17，，☆☆☆】已知f (x)=x2－ax，|f (f (x))|≤1在[1，2]上恒成立，则实数a的最大值为 .4.【2017年诸暨二模，，☆☆☆☆】已知函数f (x)=|x2+ax+b|在区间[0，c]的最大值为M(a，b∈R，c>0为常数)且存在实数a，b，使得M取最小值2，则a+b+c= .5.【☆☆】设正实数x ，y ，则|x －y |+1x+y 2的最小值为 .6.【2017年二模，10，☆☆】设函数f (x )=x 2+ax +b (a 、b ∈R)的两个零点为x 1、x 2，若|x 1|+|x 2|≤2，则 .A .|a |≥1B .|b |≤1C .|a +2b |≥2D .|a +2b |≤27.【2017年4月份学考，☆☆】已知a ，b ∈R ，a ≠1，则|a +b |+⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a +1－b 的最小值为 . 8.【2017年市柯桥中学5月质检，8，☆☆】已知x ，y ∈R ，则 .A .若|x 2+y |+|x －y 2|≤1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122+⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122≤32 B .若|x 2－y |+|x －y 2|≤1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122+⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122≤32C .若|x +y 2|+|x 2－y |≤1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122+⎝ ⎛⎭⎪⎫y +122≤32D .若|x +y 2|+|x 2+y |≤1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122+⎝ ⎛⎭⎪⎫y +122≤329.【2016年高考，8，☆☆☆】已知实数a 、b 、c ，下面四个选项中正确的是 .A .若|a 2+b +c |+|a +b 2+c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100B .若|a 2+b +c |+|a 2+b －c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100C .若|a +b +c 2|+|a +b －c 2|≤1，则a 2+b 2+c 2<100D .若|a 2+b +c |+|a +b 2－c |≤1，则a 2+b 2+c 2<10010.【2017年高级中学最后一模，17，☆☆】设实数x ，y ，z 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x +2y －3z |≤6，|x －2y +3z |≤6，|x －2y －3z |≤6，|x +2y +3z |≤6，则|x |+|y |+|z |的最大值为 .11.【2017年名校协作体，7，☆】设f (x )=|2x －1|，若f (x )≥|a +1|－|2a －1||a |对任意的a ≠0恒成立，则x 的取值围为 .12.【2016年样卷，☆】已知f (x )=ax 2+bx +c ，a 、b 、c ∈R ，且a ≠0，记M (a ，b ，c )为|f (x )|在[0，1]上的最大值，则a +b +2cM (a ，b ，c )的最大值是 .13.【☆☆】设函数f (x )=|x 2+ax +b |，若对任意的实数a 、b ，总存在x 0∈[0，4]使得f (x 0)≥m 成立，则实数m 的取值围是 .14.【2017年缙云、富阳、长兴联考，☆☆☆】已知函数f (x )=－x 3－3x 2+x ，记M (a ，b )为函数g (x )=|ax +b －f (x )|(a >0，b ∈R)在[－2，0]上的最大值，则M (a ，b )的最小值为 .15.【2017年一模，9，☆☆☆】设函数f (x )=x 2+ax +b ，记M 为函数y =|f (x )|在[－1，1]上的最大值，N 为|a |+|b |的最大值，则 . A .若M =13，则N =3 B .若M =12，则N =3C .若M =2，则N =3D .若M =3，则N =316.【2017年诸暨，☆☆☆】设函数f (x )=|ax +2x +b |，若对任意的x ∈[0，4]，函数f (x )≤12恒成立，则a +2b = . 17.【省市2017届高三二模，17，☆☆☆】已知对任意实数x 都有|a cos 2x +b sin x +c |≤1恒成立，则|a sin x +b |的最大值为 .18.【省市2016届高三教学质量测试(二)，14，☆☆】设max{a ，b }=⎩⎨⎧a (a ≥b )b (a <b )，已知x ，y ∈R ，m +n =6，则F =max {}|x 2－4y +m |，|y 2－2x +n |的最小值为 ．19.【☆☆】已知f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)，若对任意的|x |≤1，都有|f (x )|≤1，则|a |+|b |+|c |的最大值为 .20.【2014年高考，☆☆】在直角平面坐标系xOy 中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|=1，则|OA →+OB →+OD →|的最大值为 .21.【省2017年预赛，10，☆☆☆】已知f (x )=⎩⎨⎧－2x ， x <0，x 2－1，x ≥0，若方程f (x )+21－x 2+|f (x )－21－x 2|－2ax －4=0有三个不等的实数根x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，若x 3－x 2=2(x 2－x 1)，则a = .22.【2006年，☆】已知函数f (x )=12(sin x +cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域为 .23.【2008年，☆】函数y =tan x +sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2的图像是 .ABCD24.【省市2015年高三教学质量调测，15，☆☆☆】当且仅当x ∈(a ，b )∪(c ，d )(b ≤c )时，函数f (x )=2x 2+x +2的图像在函数g (x )=|2x +1|+|x －t |的下方，则b －a+d －c 的取值围为 .25.【2016高考文数，☆☆】已知平面向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，a ·b =1．若e 为平面单位向量，则|a ·e |+|b ·e |的最大值是______．26.【2014年预赛，9，☆☆】已知a 、b 为实数，对任何满足0≤x ≤1的实数x ，都有|ax +b |≤1成立，则|20a +14b |+|20a －14b |的最大值是 .27.【2014年预赛，14，☆☆】已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧－x 2+x ，x ≤1，log 12x ， x >1，g (x )=|x －k |+|x －1|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数k 的取值围为 .28.【2014年全国联赛，3，☆☆】若函数f (x )=x 2+a |x －1|在[0，+∞)上单调递增，则实数a 的取值围是 .29.【2015年预赛，1，☆☆】若对任意实数x ，|x +a |+|x +1|≤2a 恒成立，则实数a 的最小值为 .30.【2016年预赛，1，☆☆☆】方程x =|x －|x －6||的解为 .31.【2016年预赛，12，☆☆】设x ∈R ，则函数f (x )=|2x －1|+|3x －2|+|4x －3|+|5x －4|的最小值为 .32.【2016年预赛，11，☆☆☆】设a ∈R ，方程||x －a |－a |=2恰有三个不同的实数根，则a = .33. 【1982年全国，4，☆☆】由曲线|x －1|+|y －1|=1确定的曲线所围成的图形的面积是 .A .1B .2C .πD .434.【2017年预赛，5，，☆☆】定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1.若函数y =|log 2x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0，2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值和最小值的差为 . 35.【2018年预赛，8，☆】设f (x )=|x +1|+|x |－|x －2|，则f (f (x ))+1=0有 个不同的解.36.【2015年全国，6，☆☆】在平面直角坐标系xOy 中，点集K ={(x ，y )|(|x |+3|y |－6)(3|x |+|y |－6)≤0}所对应的平面区域的面积为 .37.【2008年预赛，9，☆☆☆】在平行直角坐标系中，定义点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)之间的“直角距离”为d (P ，Q )=|x 1－x 2|+|y 1－y 2|.若C (x ，y )到点A (1，3)、B (6，9)的“直角距离”相等，其中实数x 、y 满足0≤x ≤10，0≤y ≤10，则所有满足条件点C 的轨迹的长度之和为 .38.【2014年预赛，4，☆☆】在直角坐标系中，曲线|x －1|+|x+1|+|y |=3围成的图形的面积是 .39.【2017年十校期末调研考试，9，☆☆】设x 、y ∈R ，下列不等式成立的是 .A .1+|x +y |+|xy |≥|x |+|y |B .1+2|x +y |≥|x |+|y |C .1+2|xy |≥|x |+|y |D .|x +y |+2|xy |≥|x |+|y |40.【2017年市高三教学质量调测，9，☆☆☆】记min{x ，y }=⎩⎨⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设f (x )=min{x 2，x 3}，则 .A .存在t >0，|f (t )+f (－t )|>f (t )－f (－t )B .存在t >0，|f (t )－f (－t )|≥f (t )－f (－t )C .存在t >0，|f (1+t )+f (1－t )|>f (1+t )+f (1－t )D .存在t >0，|f (1+t )－f (1－t )|>f (1+t )－f (1－t )41.【省2016届高三下学期第二次五校联考(理)，18，☆☆☆】已知函数f (x )=ax 2+bx +c ，g (x )=c |x |+bx +a ，对任意x ∈[－1，1]，|f (x )|≤12.(I)求|f (2)|的取值围；(II)证明：对任意的x∈[－1，1]，都有|g(x)|≤142.【省市2016届高三期末考试，20，☆☆☆】已知函数f (x)=－x2+2bx+c，，设函数g(x)=|f (x)|在区间[－1，1]上的最大值为M．(I)若b=2，试求出M；(II)若M≥k对任意的b，c恒成立，试求出k的最大值．标准43.【2016预赛，16，☆☆☆☆】已知a为实数，函数f (x)=|x2－ax|－ln x，请讨论函数f (x)的单调性.文案。
2020版高考数学复习课件： 绝对值函数与分段函数 (共27张PPT)
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高考总复习 一轮复习导学案 ·数学文科
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高考总复习 一轮复习导学案 ·数学文科
微难点1 绝对值函数与分段函数
7. 已知函数f(x)＝x2＋2x－a(x∈R，a为常数)． (1) 当a＝2时，讨论函数f(x)的单调性； (2) 若a>－2，函数f(x)的最小值为2，求实数a的值．
【解答】(1)
当a＝2时，f(x)＝x2＋|2x－2|＝
x2＋2x－2，x≥1， x2－2x＋2，x<1，
结合图象知，
函数y＝f(x)的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．
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微难点1 绝对值函数与分段函数
(2) 易知f(x)＝xx22－＋22xx＋－aa，，xx<≥a2a2，， 因为a>－2，所以a2>－1，结合图象可知： 当a≥2时，f(x)min＝f(1)＝a－1＝2，解得a＝3，符合题意； 当－2<a<2时，f(x)min＝f a2＝a42＝2，无解．
当x≥0时，f(x)＝x＋4 2－1，令f(x)＝0，即x＋4 2－1＝0，
(第4题)
解得x＝2；令f(x)＝1，即
4 x＋2
－1＝1，解得x＝0.易知函数f(x)在[0，＋∞)上为减函
数，又f(x)为偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上为增函数，且f(－2)＝0，根据图象可
基本初等函数的图像与性质
力。以函数的图像为载体，重点考查函数
的性质等有关知识。数形结合是重要的数
学思想，并且是高考考查的重点。
知识梳理一
一、中学基本初等函数
1.一元一次函数
3.指数函数
2.一元二次函数
4.对数函数
5．幂函数
7．绝对值函数
6.三角函数
8．分式函数
9．根式函数
10.三次函数
② 画图：把题目中涉及的基本条件在图像中反映 出来，特别是一些特殊点、特殊线以及图像的 变化规律等。
③ 求解：根据题目所要求的结论结合图像特点直 观判断、分析并求解，即数形结合综合求解。
数形结合思想
• 1.数形结合的思想方法也是一种重要的数学策略, 它包括两个方面:“以形助数”和“以数助形”. “以形助数”即是借助形的生动性和直观性来阐 明数之间的联系，它是以“形”为手段，以“数” 为目的，如应用函数的图象来直观地说明函数的 性质，应用数轴直观表达不等式组的解 集. “以数助形”是借助于数的精确性和规范严密性 来阐明形的某些属性，它是以“数”为手段，以 “形”为目的，如二分法确认方程根的分布，曲 线方程可以精确地阐明曲线的几何性质.
2 2 4 x x 0, x 4 x 0, x 0, 解析 方法一 x 0, x2 4x x2 2 x 2 4 x
0 x 4, x 0, 2 x 4. x 2或x 0,
典型例题2（图像法）
以上10种基本初等函数的图像要会画。
知识梳理二
二、基本初等函数的图像的变换 1．平移变换：水平平移和竖直平移
2．对称变换：关于x轴、y轴和原点对称
3．翻折变换： y | f ( x) | 与 y f ( x ) 图像画法 4．伸缩变换：主要指的是三角函数中的周期变换和 振幅变换
微难点1 含有绝对值的函数与分段函数
(a＞0， 且 a≠1)在 R 上单调递减，
且关于 x 的方程|f(x)|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是( C ) A. C.
2 0， 3 1 2 3 ， ∪ 3 3 4
B. D.
2 3 ， 3 4 1 2 3 ， ∪ 3 3 4
m x1＋x2＋…＋xm m m－1 1，相加得 ＝ 2 ，故 xi＝m.当 m 为奇数，其和为 2× 2 ＋1＝m， 2 i＝1
m
故 xi＝m.
i＝1
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m
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微难点1
含有绝对值的函数与分段函数
5．设函数 f(x)＝x2＋|2x－a|(x∈R，a 为常数)． (1)当 a＝2 时，求函数 f(x)的单调性； (2)若 a＞－2 时，函数 f(x)的最小值为 2，求 a 的值．
(第5题)
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微难点1
含有绝对值的函数与分段函数
a 2 x ＋2x－a，x≥2， (2)f(x)＝ x2－2x＋a，x＜a， 2
a 因为 a＞－2，所以2＞－1，结合图象，当 a≥2
时，函数 y＝f(x)的最小值为 f(1)＝a－1＝2，解得 a＝3，符合题意；当－2＜a＜2 时， 函数 y＝f(x)的最小值为 f
所以 0
a a f(x)在－∞，2上单调递增，在2，a上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，所以
＜a≤3.综上，a 的取值范围是(－∞，3]．
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微难点1
含有绝对值的函数与分段函数
最新中考数学——绝对值函数
初高中数字衔接一例——绝对值函数绝对值是初中代数的基本概念之一在平面直角坐标系中，绝对值函数本质上是一个分段函数.在初中数学教材中，分段函数已在练习题及复习题中占有一席.本文举一例分析说明.例1 [人教版课本复习题](1)画出函数y x =的图象.(2)设(,0)P x 是x 轴上的一个动点，它与x 轴上表示3-的点的距离为y .求y 关于x 的函数解析式，并画出这个函数的图象.简解 (1)由绝对值的概念，有(0)(0)x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩，图象如图1. (2)由题意，得3y x =+，将函数y x=的图象向左平移3个单位即得(如图2). 评注 渗透绝对值函数y x =及由y x =的图象画出3y x =+的图象，即当0m >时y x m =+的图象可由y x =向左平移m m =个单位得到; 当0m <时，y x m =+的图象可由y x =向右平移m m =-个单位得到，即有口诀:“左加右减”. 例2 [2015年安徽高考题]在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y a =与函数1y x a =--的图象只有一个交点，则a 的值为 .简解 当0a >时，显然不符合题意;当0a <时，如图3，则21a =-. 所以，12a =-. 评注 (1)当0n >时，将函数y x =的图象沿y 轴向上平移n n =个单位，可得y x n =+的图象.当0n <时，将函数y x =的图象沿y 轴向下平移n n =-个单位，可得y x n =+的图象.也即口诀“上加下减”.(2)将函数y x =的图象沿y 轴向下移1个单位，即得11y x =-的图象.当0a <时，再将1y 的图象向左平移a a =-个单位，即得21y x a =--的图象.例3 [2016年武汉中考题]将函数2y x b =+(b 为常数)的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折至其上方后，所得的折线是函数2y x b =+(b 为常数)的图象.若该图象在直线2y =下方的点的横坐标x 满足03x <<，则b 的取值范围为 .简解 当0b >时，显然不符合题意;当0b <时，2y x b =+与2y =交点2(,2)2b A --， 2y x b =--与2y =交点2(,2)2b B +-. 由已知得20322032b b -⎧≤-≤⎪⎪⎨+⎪≤-≤⎪⎩，即42b -≤≤-(如图4).评注 (1)当0b >时，直线2y x b =+与x 轴交点在y 轴左侧，折后的图象在直线2y =下方的点的横坐标有负值，不符合题意.(2)本题解法较多，此处不再赘述.。