给定下述系统的差分方程

第四套

1. 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果、稳定系统，并说明理由。

(1) 1

1

()()N k y n x n k N

-==

-∑

(2) ()()(1)y n x n x n =++ (3) ()

()x n y n e =

解：

（1）只要N ≥1，该系统就是因果系统，因为输出只与n 时刻的和n 时刻以前的输入有关。如果|()|x n M ≤，则|()|y n M ≤，因此系统是稳定系统。

（2）该系统是非因果系统，因为n 时刻的输出还和n 时刻以后（（n+1）时间）的输入有关。如果|()|x n M ≤，则|()||()||(1)|2y n x n x n M ≤++≤，因此系统是稳定的。

（3）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果

|()|x n M ≤，则

()|()||()|||x n x n M

y n e e e =≤≤，因此系统是稳定的。 2. 工程实际中，经常采用数字滤波器对模拟信号进行滤波处理，处理系统框图如图所示。图中T 为采样周期，假设T 满足采样定理（无频率混叠失真）。把从()a x t 到y(t)的整个系统等效成一个模拟滤波器。

(a)如果数字滤波器h(n)的截止频率为8

c w ra

d π

=

，

1

T

=10 kHz ，求整个等效系统的截止频率c Ω。 (b)对于1

T

=20 kHz ，重复(a)。 解：

(a) 对采样数字滤波器，w T =Ω，所以

8

c c w T π

=Ω=

8c c w T T

π

Ω=

=

最后一级理想低通滤波器的截止频率为T

π

rad/s ，因此整个系统截止频率由8c T

πΩ=

rad/s 确定。

11000062521616

c c f T πΩ=

=== Hz (b) 当1/T=20 Hz 时，与(a)同样道理得：

120000

12501616c f T === Hz

3. 求以下序列x(n)的频谱()jw X e (1)1()()|1jw jw a jw

z e X e X z e e --===-

(2) ()an e u n - 解：

（1）00()[()][()]n

X z Z x n Z n n z δ-==-=

0()()|jw jn w jw z e X e X z e -===

（2）1

1

()[()]1an a X z Z e u n e z

---==

- 1

()()|1jw jw a jw z e X e X z e e --===-

4. 设h(n)为一个LSI 系统的单位采样响应，h(n)= 21

()(2)3

n u n +-,求其频

率响应。

解：其频率响应为： 2

2

1()()()

3n jw jnw

jnw n H e h n e

e +∞

∞

--=-∞

=

=∑∑

改变这个和的下限以使其开始于n=0，得：

4

(2)42001

11()()

()()333

n n

jw j n w

jw jw n n H e e e e +∞

∞-+--====∑∑ 利用几何级数，得

241()()1313

jw

jw

jw

e H

e e --=-

5. 已知X(k) ,

2,2

0,

j j N e k m N

e k N m

k θ

θ-?=???==-?????其它，其中，m 为正整数，02

N m <<

，N 为变换区间长度，求x(n)=IDFT[X(k)]。

解：

1

1

()[()]()N kn N

k x n IDFT X k X k W

N

--===

∑

22()1[]22

j mn j N m n j j N N

N N e e

e e N ππθθ--=+ 22()()1[]2

j mn j mn N

N

e

e ππ

θθ+-+=+ 2cos(

)mn N

π

θ=+ n=0,1,1N -

6. 已知两个有限长序列为1,03()0,46n n x n n +≤≤?=?≤≤?，1,04

()1,56n y n n -≤≤?=?≤≤?，试

用作图表示想x(n),y(n)以及f(n),f(n)为x(n)与y(n)的七点圆周卷积。 解：

利用圆周卷积公式求解得：

7. 已知调幅信号的载波频率1c f kHz =，调制信号频率100m f Hz =，用FFT 对其进行谱分析，试问：

（1）最小记录时间min p T =？ （2）最低采样频率min s f =？ （3）最少采样点数min N =？

解：由已知条件得知，已调AM 信号的最高频率max 1.1f kHz =，频率分辨率

100F Hz ≤。所以，

（1）min 11

0.0110100p T s ms F ====

（2）min max 2 2.2s f f kHz == （3）33min min max

1010 2.21022p p s T N T f T -=

==???=

8. N ＝16时，画出基2按频率抽取法的FFT 流图（采用输入自然顺序，输出

倒位序）

解：图略，课本上有。

9. 已知X （k ）,Y(k)是两个N 点实序列x(n),y(n)的DFT 值，今需要从X （k ）,Y(k)求x(n),y(n)的值，为了提高运算效率，试用一个N 点IFFT 运算一次完成。 解：依据题意

x(n) ()X k ?，()()y n Y k ? 取序列

()()()Z k X k jY k =+

对()Z k 作N 点的IFFT 可得序列z(n). 又根据DFT 性质

x(n) y(n) z -1 -0.59

0.9 z -4

()()()()IDFT X K jIDFT Y k x n jy n +=+????????

由原题可知，x(n),y(n)都是实序列。再根据z （n ）=x(n)+jy(n),可得

x(n)=Re[z(n)] y(n)=Im[z(n)]

10. 已知滤波器的单位脉冲响应5()0.9()n h n R n =,求出该滤波器的系统函数，并

画出期直接型结构。 解：

5()0.9()n h n R n = 4

50

()0.9()0.9n n

n n

n n H z R n z

z

∞

--=-∞

==

=∑

∑5

1

10.5904910.9z z

---=- 画出其直接型结构图。

11. 设计一模拟滤波器 21

()1

a H s s s =

++

抽样周期T ＝2，试用双线性变换法将它转换成数字系统函数H （z ）。

解： 由变换公式

1

1

11z s c z ---=+

及2

c T

=

,T=2,可得 1

1

11z s z

---=+ 所以

11

11()()|

a z s z H z H s ---=+=

11211

122

1

11()()111(1)3z z z z

z z ------=

--+++++=

+ 12. 设计第一类线性相位FIR 高通数字滤波器，3dB 截止频率c ω＝

3416

rad ππ

±，阻带最小衰减50s dB α=，过渡带宽度/16ωπ?=。用窗函数法设计。 解：根据设计要求，N 必须取奇数。按照设计流程进行设计。 （1）确定逼近理想高通频响函数()jw d H e :

,||()0,0||j j c d c

e H e ωαω

ωωπ

ωω-?≤≤=?≤≤?

（2）求()d h n ：

()d h n =

1()2jw j n

d H

e e d πωπωπ

-? =1[]2c c

jw j n

jw j n e e d e e d ωπαωαωπ

ωωωπ----+??

= ()[]{}

1

sin sin ()()

c n n n παωαπα---????- 其中12

N α-=

。 （3） 选择窗函数类型，估计窗函数长度N ，根据阻带最小衰减50s dB α=，

查表，可选择汉明窗。表中给出汉明窗设计的滤波器过渡带宽度为8π/N ，本题要求过渡带宽度/16ωπ?=，所以应满足π/16＝8π/N ，N ＝128。但N 必须取奇数，故取N ＝129。

（4） 加窗设计()()()d h n h n n ω=：汉明窗的表达式为

()()20.540.46cos 1Hm N n n R n N πω??

??=- ???-????

代入N ＝129，12N α-=＝64，c ω＝34

π

，得到 ()h n ＝

()13sin 64sin (64)(64)4n n n πππ??

??---????????-????

()12820.540.46cos 128n R n π??

??- ???????