北师大版八年级下册数学《角平分线》课件
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北师大版八年级下册数学第一章 三角形的证明第4节《角平分线》参考课件
相等的点,在这个角的平分线上.
如图, ∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分
A D
别是D,E(已知),
O
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一
1 2
P C
个角的内部,且到角的两边距离相
E
等的点,在这个角的平分线上).
B
老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线
上(或直线经过某一点)的根据之一.
例题讲析
角的两边距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC
上任意一点
O
,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别
是D,E(已知)
∴PD=PE(角平分线上的点到
这个角的两边距离相等).
A D
1P
2
C
E B
逆定理 在一个角的内部,且 到角的两边距离相等的点,在 这个角的平分线上. ∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂 O 足分别是D,E(已知), ∴点P在∠AOB的平分线 上.(在一个角的内部,且到角 的两边距离相等的点,在这个 角的平分线上).
任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.
求证:PD=PE.
A D
分析:要证明PD=PE,只要
证明它们所在△OPD≌△OPE
O
1 2
P C
而△OPD≌△OPE的条件由已 知易知它满足公理(AAS).
故结论可证.
E B
老师期望:你能写出规范的证明过程.
证明： ∵ OC是∠AOB的平分线 ∴ ∠1= ∠2 ∵ PD⊥OA,PE⊥OB ∴ ∠PDO= ∠PEO ∵OP=OP ∴ △OPD≌△OPE (AAS). ∴ PD=PE
BD 2 2D2E4 2cm
ACBCCD BD (44 2)cm
北师大版八年级数学角平分线(1)课件
一、激活思维
1、什么是角平分线的定义？
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相等的
角，这条射线就叫这个角的角平分线. 2、角平分线的性质是什么？
角平分线上的点到角两边的距离相等
A P
O
B
你是怎样得到的？
探究一：
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
注意：
点与点—两点之间的距离
B
在 Rt△ADE中，∠EAD＝30° ∴DE＝ AD ＝ ×10＝5 (在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一 半).
四、课堂检测(10min)
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,作AB的垂直平分线，交AB于点D， 交AC于点E，连接BE，求证：BE平分∠ABC
2.：如图：OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站
三、知识运用
１.在△ABC 中，∠BAC = 60°，点D在BC上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分 别为 E，F，且DE=DF，求DE 的长.
方法二： 证明： ∵DE丄AB, DF丄AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF ∴AD平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边
距离相等的点在这个角的平分线上〕. ∵∠BAC＝60° ∴∠BAD＝ ∠BAC =30°
从线外一点 到这条直线的垂线段 叫做点到直线的距离。
A.5 cm
B.4 cm C.3 cm D.2 cm
2.如图, DE⊥AB, DF⊥BC, 垂足分别是E，F，
DE =DF, ∠EDB= 60°, 那么∠EBF= _6_0_°______，BE=2_D_E____
EA
2DF
30°
D
B
1、什么是角平分线的定义？
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相等的
角，这条射线就叫这个角的角平分线. 2、角平分线的性质是什么？
角平分线上的点到角两边的距离相等
A P
O
B
你是怎样得到的？
探究一：
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
注意：
点与点—两点之间的距离
B
在 Rt△ADE中，∠EAD＝30° ∴DE＝ AD ＝ ×10＝5 (在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一 半).
四、课堂检测(10min)
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,作AB的垂直平分线，交AB于点D， 交AC于点E，连接BE，求证：BE平分∠ABC
2.：如图：OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站
三、知识运用
１.在△ABC 中，∠BAC = 60°，点D在BC上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分 别为 E，F，且DE=DF，求DE 的长.
方法二： 证明： ∵DE丄AB, DF丄AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF ∴AD平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边
距离相等的点在这个角的平分线上〕. ∵∠BAC＝60° ∴∠BAD＝ ∠BAC =30°
从线外一点 到这条直线的垂线段 叫做点到直线的距离。
A.5 cm
B.4 cm C.3 cm D.2 cm
2.如图, DE⊥AB, DF⊥BC, 垂足分别是E，F，
DE =DF, ∠EDB= 60°, 那么∠EBF= _6_0_°______，BE=2_D_E____
EA
2DF
30°
D
B
初中数学《角平分线》课件-完美版【北师大版】2
解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于 E，OF⊥AC 于 F， 连接 OA． ∵点 O 是∠ABC， ∠ACB 的平分线的交点， ∴OE＝OD，OF＝OD，即 OE＝OF＝OD＝3.
∴S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO ＝ AB·OE+ BC·OD+ AC·OF ＝ ×3×（AB+BC+AC） ＝ ×3×20 ＝30．
14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC， DE⊥AB 于点 E，点 F 在 AC 上，且 BD=DF. （1）求证：CF=EB； （2）请你判断 AE、AF 与 BE 之间的数量关
系，并说明理由.
初中数学《角平分线》完美ppt北师大 版2-精 品课件 ppt(实 用版)
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三级拓展延伸练
13. 如图所示，若 AB∥CD，AP，CP 分别平分 ∠BAC 和∠ACD，PE⊥AC 于点 E，且 PE=3 cm， 求 AB 与 CD 之间的距离.
（2）请你判断 AE、AF 与 BE 之间的数量关
系，并说明理由.
（2）AF+BE＝AE．理由如下： ∵在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）. ∴AC=AE. ∴AF+FC=AE，即AF+BE=AE.
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∴S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO ＝ AB·OE+ BC·OD+ AC·OF ＝ ×3×（AB+BC+AC） ＝ ×3×20 ＝30．
14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC， DE⊥AB 于点 E，点 F 在 AC 上，且 BD=DF. （1）求证：CF=EB； （2）请你判断 AE、AF 与 BE 之间的数量关
系，并说明理由.
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三级拓展延伸练
13. 如图所示，若 AB∥CD，AP，CP 分别平分 ∠BAC 和∠ACD，PE⊥AC 于点 E，且 PE=3 cm， 求 AB 与 CD 之间的距离.
（2）请你判断 AE、AF 与 BE 之间的数量关
系，并说明理由.
（2）AF+BE＝AE．理由如下： ∵在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）. ∴AC=AE. ∴AF+FC=AE，即AF+BE=AE.
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八年级数学北师大版下册第一章1.4.2角平分线教学课件
A D
2.如图3所示，已知∠A＝90°，CD平分∠ACB， B DE⊥BC于点E，且AB=3 cm，BD=2 cm，
则DE=_____1___cm.
E
C
图3
A
3.如图4所示，BD，CE是△ABC的角平分线，
E
D
且BD，CE相交于点O，若∠ABC＝45°，
∠ACB＝56°，则∠BAO的大小为__2_2__._5_°_.
∴△BOD≌△COE（ASA）
∴OB=OC
五、分层作业的布置
2.如图12所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC的中点，
AE平分∠BAD.
A
求证：DE平分∠ADC.
证明：过点E作EF⊥AD于点F ∵AE平分∠BAD AB⊥BC，EF⊥AD ∴BE=EF ∵点E是BC的中点 ∴BE=EC ∴EF=EC ∵DC⊥BC，EF⊥AD ∴在Rt△CDE和Rt△FDE中 ∵DE=EC，DE=DE ∴Rt△CDE≌Rt△FDE（HL）
E
C
D
B
图6
B D D 2 B E 2 E 2 D 2 4 E 2 cm
∴AC=BC=CD+BD=(4+ 4 2 )cm
三、重难点精讲
1.如图6，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，
AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB=AC+CD．
∴∠2=∠3 (1)P是∠AOB角平分线上的一点，
=15-6
∴CO平分∠ACB
∴∠1=∠3
=9
∴BD＝OD
同理可得CE=OE
三条角平分线
三 锐角三角形 交于三角形内一点
北师大版八年级数学下册1.4角平分线角平分线的性质与判定课件
= ，
∴△ADB≌△ADC(SAS)．
∴BD＝CD.
复习训练
1．如图，视察尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ C ）
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C，D到OE的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
2．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，且PD＝PE，若
∠BAP＝20°，则∠BAC＝（ D ）
5.如图，DA⊥AC于点A，DE⊥BC于点E.若AD＝5，DE＝5，∠ACD
＝30°，则∠DCE＝（ A ）
A.30°
B．40°
C．50°
D．60°
例2
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别是点E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵点D是BC的中点，∴DB＝DC.
D，DE⊥BC于点E，若AD＝3，DC＝5，则DE＝ 3 ，CE＝ 4 ．
例1
如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：EB＝FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
= ，
解：如图，连接BD.
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴BD平分∠ABC.
∴∠ABD＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°.
在Rt△BDE中，DE＝ ，∠DBE＝30°，
∴BD＝2DE＝2 .∴BE＝ − ＝3.
基础巩固
1．如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为点B，C，AD平分
∠BAC，BD＝2，∠BAC＝80°，则DC＝ 2 ，∠ADC＝ 50 °.
∴△ADB≌△ADC(SAS)．
∴BD＝CD.
复习训练
1．如图，视察尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ C ）
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C，D到OE的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
2．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，且PD＝PE，若
∠BAP＝20°，则∠BAC＝（ D ）
5.如图，DA⊥AC于点A，DE⊥BC于点E.若AD＝5，DE＝5，∠ACD
＝30°，则∠DCE＝（ A ）
A.30°
B．40°
C．50°
D．60°
例2
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别是点E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵点D是BC的中点，∴DB＝DC.
D，DE⊥BC于点E，若AD＝3，DC＝5，则DE＝ 3 ，CE＝ 4 ．
例1
如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：EB＝FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
= ，
解：如图，连接BD.
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴BD平分∠ABC.
∴∠ABD＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°.
在Rt△BDE中，DE＝ ，∠DBE＝30°，
∴BD＝2DE＝2 .∴BE＝ − ＝3.
基础巩固
1．如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为点B，C，AD平分
∠BAC，BD＝2，∠BAC＝80°，则DC＝ 2 ，∠ADC＝ 50 °.