2020年中考数学专题训练：图形的相似
2020年九年级中考数学复习专题训练：《相似综合 》(含答案)
2020年九年级中考数学复习专题训练：《相似综合》1．如图1，点P从菱形ABCD的顶点B出发，沿B→D→A匀速运动到点A，BD的长是；图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．（1）点P的运动速度是cm/s；（2）求a的值；（3）如图3，在矩形EFGH中，EF＝2a，FG﹣EF＝1，若点P、M、N分别从点E、F、G三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，当点M到达点G（即点M与点G重合）时，三个点随之停止运动；若点P不改变运动速度，且点P、M、N的运动速度的比为2：6：3，在运动过程中，△PFM关于直线PM的对称图形是△PF'M，设点P、M、N的运动时间为t（单位：s）．①当t＝s时，四边形PFMF'为正方形；②是否存在t，使△PFM与△MGN相似，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．2．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝6，动点P从点A出发以1个单位/秒的速度沿AB运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度沿CB 运动，过点P作EP⊥AB，交BD于E，连接EQ．当点Q与点B重合时，两动点均停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当t＝1时，求线段EP的长；（2）运动过程中是否存在某一时刻，使△BEQ与△ABD相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接CE，求运动过程中△CEQ的面积S的最大值．3．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C 重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．4．如图（1），在矩形ABCD中，AD＝nAB，点M，P分别在边AB，AD上（均不与端点重合），且AP＝nAM，以AP和AM为邻边作矩形AMNP，连接AN，CN．【问题发现】（1）如图（2），当n＝1时，BM与PD的数量关系为，CN与PD的数量关系为．【类比探究】（2）如图（3），当n＝2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD，则CN与PD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由．【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，已知AD＝4，AP＝2，当矩形AMNP旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段CN的长．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D、E分别是AB、BC的中点．连接DE．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动．同时，动点Q从点C 出发，沿折线CE﹣ED向终点D运动，在CE、ED上的速度分别是每秒3个单位长度和4个单位长度，连接PQ，以PQ、PD为边作▱DPQM．设▱DPQM与四边形ACED重叠部分图形的面积是S（平方单位），点P的运动时间为t（s）．（1）当点P在AD上运动时，PQ的长为（用含t的代数式表示）；（2）当▱DPQM是菱形时，求t的值；（3）当0＜t＜2时，求S与t之间的函数关系式；（4）当△DPQ与△BDE相似时，直接写出t的值．6．如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，过点D作DE⊥DC交直线AB于点E，过点E 作EH⊥AD于点H，过点B作BF⊥AD于点F．（1）如图1，若∠BAD＝60°，AF＝3，AH＝2，求AC的长；（2）如图2，若BF＝DH，在AC上取一点G，连接DG、GE，若∠DGE＝75°，∠CDG＝45°﹣∠CAB，求证：DG＝CG．7．（1）问题引入：如图1所示，正方形ABCD和正方形AEFG，则BE与DG的数量关系是，＝；（2）类比探究：如图2所示，O为AD、HG的中点，正方形EFGH和正方形ABCD中，判断BE和CF的数量关系，并求出的值；（3）解决问题：①若把（1）中的正方形都改成矩形，且＝＝，则（1）中的结论还成立吗？若不能成立，请写出BE与GD的关系，并求出值；②若把（2）中的正方形也都改成矩形，且＝＝2n，请直接写出BE和CF的关系以及的8．在正方形ABCD中，点E是直线AB上动点，以DE为边作正方形DEFG，DF所在直线与BC 所在直线交于点H，连接EH．（1）如图1，当点E在AB边上时，延长EH交GF于点M，EF与CB交于点N，连接CG，①求证：CD⊥CG；②若tan∠HEN＝，求的值；（2）当正方形ABCD的边长为4，AE＝1时，请直接写出EH的长．9．如图a，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE交于点G．（1）求证：AF⊥DE；（2）如图b，连接BG，BD，BD交AF于点H．①求证：GB2＝GA•GD；②若AB＝10，求三角形GBH的面积．10．如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB＝90°．将△ADP沿AP 翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．（1）求证：AD2＝DP•PC；（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；（3）如图2，连接AC分别交PM、PB于点E、F．若AD＝3DP，探究EF与AE之间的的数量关系．11．△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts．（1）当0≤t≤1时，PM＝，QN＝（用t的代数式表示）；（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？12．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝4，点E在边AB上（不与点A、B重合），过点D作DF⊥DE，交边BC的延长线于点F．（1）求证：△DAE∽△DCF．（2）设线段AE的长为x，线段BF的长为y，求y与x之间的函数关系式．（3）当四边形EBFD为轴对称图形时，则cos∠AED的值为．13．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M在BC上，连接AM，作∠AMN＝∠AMB，点N 在直线AD上，MN交CD于点E．（1）求证：△AMN是等腰三角形；（2）求证：AM2＝2BM•AN；（3）当M为BC中点时，求ME的长．14．如图，在平面直角坐标系中，过原点O及A（8，0）、C（0，6）作矩形OABC，连接AC，一块直角三角形PDE的直角顶点P始终在对角线AC上运动（不与A、C重合），且保持一边PD始终经过矩形点B，PE交x轴于点Q（1）＝；（2）在点P从点C运动到点A的过程中，的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围，如果不变，请说明理由，并求出其值；（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为．15．如图，在矩形OABC中，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（4，3），动点N，P分别从点B，A同时出发，点N以1单位/秒的速度向终点C运动，点P以5/4单位/秒的速度向终点C运动，连结NP，设运动时间为t秒（0＜t＜4）（1）直接写出OA，AB，AC的长度；（2）求证：△CPN∽△CAB；（3）在两点的运动过程中，若点M同时以1单位/秒的速度从点O向终点A运动，求△MPN的面积S与运动的时间t的函数关系式（三角形的面积不能为0），并直接写出当S ＝时，运动时间t的值．16．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），连结AE，BD交于点F．（1）若点E为CD中点，AB＝2，求AF的长．（2）若tan∠AFB＝2，求的值．，（3）若点G在线段BF上，且GF＝2BG，连结AG，CG，＝x，四边形AGCE的面积为S1，求的最大值．△ABG的面积为S217．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边BC，AC上的点，且∠ADE＝∠B．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）若AB＝5，BC＝6，求AE的最小值；（3）如图2，若△ABC为等边三角形，AD⊥DE，BE⊥DE，点C在线段DE上，AD＝3，BE ＝4，求DE的长．18．如图，△ABC中，AB＝AC，点P为BC边上一动点（不与B，C重合），以AP为边作∠APD＝∠ABC，与BC的平行线AD交于点D，与AC交于点E，连结CD．（1）求证：△ABP∽△DAE．（2）已知AB＝AC＝5，BC＝6．设BP＝x，CE＝y．①求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；＝时，求CE的值．②当S△ACD19．如图，在矩形ABCD的边AB上取一点E，连接CE并延长和DA的延长线交于点G，过点E作CG的垂线与CD的延长线交于点H，与DG交于点F，连接GH．（1）当tan∠BEC＝2且BC＝4时，求CH的长；（2）求证：DF•FG＝HF•EF；（3）连接DE，求证：∠CDE＝∠CGH．20．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”．（1）如图1，在4×4的正方形网格中，有一个网格Rt△ABC和两个网格四边形ABCD与ABCE，其中是被AC分割成的“友好四边形”的是；（2）如图2，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，点B'落在边AC，过点A作AD∥A'B'交CA'的延长线于点D，求证：四边形ABCD是“友好四边形”；（3）如图3，在△ABC中，AB≠BC，∠ABC＝60°，△ABC的面积为6，点D是∠ABC 的平分线上一点，连接AD，CD．若四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”，求BD 的长．参考答案1．解：（1）由图2可知，s点P从点B运动到点D，∵BD＝，∴点P的运动速度＝÷＝1（cm/s），故答案为：1；（2）如图1，作DQ⊥BC于点Q，当点P在BD上时，a＝×BC×DP，∵四边形ABCD为菱形，点P的运动速度为1，∴AD＝BC＝1×a＝a，∴a＝×a×DP，解得，DQ＝2，在Rt△BDQ中，BQ＝＝1，∴CQ＝a﹣1，在Rt△CDQ中，CD2＝CQ2+DQ2，即a2＝（a﹣1）2+22，解得，a＝；（3）①∵点P的运动速度1cm/s，点P、M的运动速度的比为2：6 ∴点M的运动速度3cm/s，由题意得，EF＝2a＝5，∵FG﹣EF＝1，∴FG＝6，∴PF＝5﹣t，FM＝3t，由翻转变换的性质可知，PF＝PF′，FM＝FM′，当PF＝FM时，PF＝PF′＝FM＝FM′，∴四边形PFMF'为菱形，又∠F＝90°，∴四边形PFMF'为正方形，∴5﹣t＝3t，即t＝1.25时，四边形PFMF'为正方形，故答案为：1.25；②存在，∵点P的运动速度1cm/s，点P、M、N的运动速度的比为2：6：3，∴点M的运动速度3cm/s，点N的运动速度1.5cm/s，∴PF＝5﹣t，FM＝3t，GN＝1.5t，∵点M的运动速度3cm/s，FG＝6，∴0≤t≤2，当△PFM∽△MGN时，＝，即＝，解得，t＝，当△PFM∽△NGM时，＝，即＝，解得，t1＝﹣7﹣（舍去），t2＝﹣7+，综上所述，当t＝或﹣7+时，△PFM与△MGN相似．2．解：（1）当t＝1时，则AP＝1，∴BP＝AB﹣AP＝3，∵EP⊥AB，∴∠EPB＝∠A＝90°，∴EP∥AD，∴△BPE∽△BAD，∴，∴，∴EP＝；（2）∵∠A＝90°，AD＝3，AB＝4，∴BD＝＝＝5，∵EP⊥AB，∴∠EPB＝∠A＝90°，∴EP∥AD，∴△BPE∽△BAD，∴，∴，∴BE＝5﹣t，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBQ，若∠BEQ＝∠A＝90°，∴△BAD∽△QEB，∴，∴＝，∴t＝28（不合题意舍去），若∠BQE＝∠A＝90°，∴△BAD∽△EQB，∴，∴t＝，（3）∵S＝×CQ×PB＝×2t×（4﹣t）＝﹣（t﹣2）2+4，∴当t＝2时，S最大值为4，∴△CEQ的面积S的最大值为4．3．证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，∴△BAD∽△DCE；（2）如图2中，作AM⊥BC于M．在Rt△ABM中，设BM＝4k，∵＝，∴，由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2，∴102＝（3k）2+（4k）2，∴k＝2或﹣2（舍弃），∴AM＝6，BM＝8，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BC＝2BM＝2×2k＝16，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，∴∠BAD＝∠ACB，∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴，∴＝，∵DE∥AB，∴，∴＝．（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．理由：作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，∴四边形AMHN为矩形，∴∠MAN＝90°，MH＝AN，∵AB＝AC，AM⊥BC，∵AB＝10，∴BM＝CM＝8，∴BC＝16，在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝6，∵AN⊥FH，AM⊥BC，∴∠ANF＝90°＝∠AMD，∵∠DAF＝90°＝∠MAN，∴∠NAF＝∠MAD，∴△AFN∽△ADM，∴，∴，∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝8﹣＝，当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，∵FH⊥DC，∴CD＝2CH＝7，∴BD＝BC﹣CD＝16﹣7＝9，∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝9．4．解：（1）BM＝PD，，理由如下：当n＝1，则AD＝AB，AP＝AM，∴AD﹣AP＝AB﹣AM，∴DP＝BM，∵四边形ABCD是矩形，四边形AMNP是矩形，∴AD＝CD＝AB，AP＝AM＝NP，∠ADC＝∠APN＝90°，∴AC＝AD，AN＝AP，∴AC﹣AN＝（AD﹣AP），∴CN＝PD，故答案为：BM＝PD，；（2）CN与PD之间的数量关系发生变化，，理由如下：如图（1）在矩形ABCD和矩形AMNP中，∵当n＝2．AD＝2AB，AP＝2AM，∴，，∴.，如图（3）连接AC，∵矩形AMNP绕点A顺时针旋转，∴∠NAC＝∠PAD，∴△ANC∽△APD，∴，∴；（3）如图，当点N在线段CM上时，∵AD＝4，AD＝2AB，∴AB＝CD＝2，∴AC＝＝＝，∵AP＝2，AP＝2AM，∴AM＝1，∴CM＝＝＝，∴CN＝CM﹣MN＝﹣2；如图，当点M在线段CN上时，同理可求CM＝，∴CN＝CM+MN＝+2；综上所述：线段CN的长为或．5．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝＝6，∵D、E分别是AB、BC的中点．∴DE∥AC，DE＝AC＝4，BD＝AD＝5，BE＝CE＝3，∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动，∴AP＝5t，∴BP＝10﹣5t，∵DE∥AC，∴△BPQ∽△BAC，∴，∴∴PQ＝8﹣4t，故答案为：8﹣4t；（2）当点P在AD上运动时，∵四边形DPQM是菱形，∴PD＝PQ，∴5﹣5t＝8﹣4t，∴t＝﹣3（不合题意舍去），当点P在BD上运动时，过点P作PH⊥DQ于H，∵四边形DPQM是菱形，∴PD＝PQ，且PH⊥DQ，∴DH＝HQ＝DQ＝[4﹣4（t﹣1）]＝4﹣2t，∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠ACB＝90°＝∠PHD，∴PH∥BE，∴△PDH∽△BDE，∴，∴，∴t＝，PH＝3t﹣3，综上所述：当t＝时，▱DPQM是菱形；（3）当0＜t＜1时，S＝×（8﹣4t+4）×（3﹣3t）＝6t2﹣24t+18，当t＝1时，不能作出▱DPQM，当1＜t＜2时，S＝×（8﹣4t）×（3t﹣3）＝﹣6t2+18t﹣12；（4）当点P在AD上时，不存在△DPQ与△BDE相似，当点P在BD上时，则∠PDQ＝∠BDE，若∠PQD＝∠DEB＝90°时，∴△PDQ∽△BDE，∴，∴∴t＝，若∠DPQ＝∠DEB＝90°时，∴△QPD∽△BED，∴，∴∴t＝综上所述：当t＝或时，△DPQ与△BDE相似．6．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，CD∥AB，∵BF⊥AD于F，∴∠AFB＝90°，∵∠BAD＝60°，∴AB＝2AF＝6，BF＝AF＝3，∵EH⊥AD于H，∴AE＝2AH＝4，EH＝AH＝2，∵DE⊥DC交AB于E，∴∠DEA＝90°，∴AD＝2AE＝8，∴CB＝AD＝8，如图1，作AM⊥CB于M，则∠ABM＝∠BAD＝60°，∴BM＝（1/2）AB＝3，AM＝BM＝3，∴CM＝CB+BM＝11，在Rt△ACM中：AC＝＝＝2．（2）如图2，作EN⊥AC于N，连接DN、CE，则∠CNE＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，CD∥AB，∵DE⊥DC交AB于E，∴∠CDE＝∠DEA＝90°，∵EH⊥AD于H，∴∠DHD＝∠EHA＝90°，∵BF⊥AD于F，∴∠DFB＝∠AFB＝90°，∴∠DHE＝∠BFA，∵∠DEH+∠HEA＝∠HEA+∠BAF＝90°，∴∠DEH＝∠BAF，∵DH＝BF，∴△DEH≌△BAF（AAS），∴DE＝BA＝CD，∴△CDE是等腰直角三角形，∠DCE＝∠DEC＝45°，∵∠CDE＝∠CNE＝90°，∴C、D、N、E四点共圆，∴∠DNC＝∠DEC＝45°，∵∠CDG＝45°﹣∠CAB，∴∠CDG+∠CAB＝45°，∵CD∥AB，∴∠CAB＝∠DCG，∴∠DGN＝∠DCG+∠CDG＝45°＝∠DNC，∴△DGN是等腰直角三角形，∠GDN＝90°，DG＝DN，∵∠CDG+∠GDE＝∠GDE+∠EDN＝90°，∴∠CDG＝∠EDN，∴△CDG≌△EDN（SAS），∴EN＝CG，∵∠CGD＝75°，∴∠CGN＝∠CGD﹣∠DGN＝30°，∴GN＝EN＝CG，∴DG＝GN＝CG7．解：（1）如图1中，连接AC，AF．∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，AC＝AB，AF＝AE，∠BAC＝45°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＝∠DAG，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG，∵AC＝AB，AF＝AE，∴＝，∵∠BAC＝∠EAF＝45°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE∽△CAF，∴＝＝，∵DG＝BE，∴＝．故答案为：BE＝DG，．（2）如图2中，连接OB，OE，OF，OC．∵四边形ABCD是正方形，OA＝OD，∴∠A＝∠CDO＝90°，AB＝CD，∴△AOB≌△DOC（SAS），∴OB＝OC，同法可证OE＝OF，∴∠OBC＝∠OCB，∠OEF＝∠OFE，∵BC∥AD，∴∠CBO＝∠AOB，∴tan∠CBO＝tan∠AOB＝2，同法可证：tan∠FEO＝2，∴tan∠CBO＝tan∠FEO，∴∠CBO＝∠FEO，∴∠OBC＝∠OCB＝∠OEF＝∠OFE，∴∠BOC＝∠EOF，∴∠EOB＝∠FOC，∵OE＝OF，OB＝OC，∴△OEB≌△OFC（SAS），∴BE＝FC，∵tan∠COD＝tan∠COD＝2，∴∠FOG＝∠COD，∴∠FOC＝∠GOD，∵＝＝，∴△FOG∽△GOD，∴＝＝．（3）①如图3中，结论不成立，BE＝3DG．连接BE，AC，AF，CF．∵四边形ABCD，四边形AEFG都是矩形，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，∵AB＝3AD，AE＝3AG，∴△BAE∽△DAG，∴＝＝3，∴BE＝3DG，由题意：＝，＝，∴＝，∴＝，∵tan∠BAC＝tan∠EAF＝，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE∽△CAF，∴＝＝，∴＝．②如图4中，连接OE，OB，OF，OC．由（2）可知，∠BOC＝∠EOF，OE＝OF，OB＝OC，∴∠EOB＝∠FOC，∴△EOB≌△FOC（SAS），∴BE＝CF．同法可证△FOC∽△GOD，∴＝，设EH＝k，则GH＝2nk，∴OG＝nk，∴OF＝＝•k，∵BE＝CF，∴＝＝．8．证明：（1）①∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠A＝∠DCG＝90°，∴CD⊥CG；②如图1，过点N作NP∥DE，∵四边形DEFG是正方形，∴EF＝GF，∠EFH＝∠GFH＝45°，且HF＝HF，∴△EFH≌△GFH（SAS），∴EH＝GH，∠HEF＝∠HGF，∵∠HEF＝∠HGF，EF＝GF，∠EFM＝∠GFN，∴△EFM≌△GFN（ASA），∴FM＝NF，EM＝GN，∵tan∠HEN＝＝，∴EF＝4MF＝4NF＝GF，∴GM＝3MF＝EN＝3NF，∴NP∥DE，∴△PNE∽△MFE，∴，∴PN＝MF，∵NP∥DE，∴＝，∴；（2）如图1，∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝＝＝，∴EF＝GF＝，∴NF＝EF＝，∵GN2＝GF2+NF2，∴GN＝，∵∴GH＝GN＝，∴EH＝GH＝若点E在点A左侧，如图2，设AB与DH于点O，过点F作FN⊥AB，∵∠DEA+∠FEB＝90°，∠DEA+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠FEB，且∠DAE＝∠FNE＝90°，DE＝EF，∴△ADE≌△NEF（AAS）∴AE＝NF＝1，DA＝EN＝4，∴AN＝3，BN＝1，∵DA∥NF，∴，∴ON＝，∴BO＝，∴AO＝∵DA∥BH，∴，∴BH＝，∴EH＝＝＝9．证明：（1）∵正方形ABCD，E、F分别为边AB、BC的中点，∴AD＝BC＝DC＝AB，AE＝BE＝AB，BF＝CF＝BC，∴AE＝BF，∵在△ADE和△BAF中，∴△ADE≌△BAF（SAS）∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAF+∠DAF＝90°∴∠ADE+∠DAF＝90°＝∠AGD，∴AF⊥DE；（2）①如图b，过点B作BN⊥AF于N，∵∠BAF＝∠ADE，∠AGD＝∠ANB＝90°，AB＝AD，∴△ABN≌△ADG（AAS）∴AG＝BN，DG＝GN，∵∠AGE＝∠ANB＝90°，∴EG∥BN，∴，且AE＝BE，∴AG＝GN，∴AN＝2AG＝DG，∵BG2＝BN2+GN2＝AG2+AG2，∴BG2＝2AG2＝2AG•AG＝GA•DG；②∵AB＝10，∴AE＝BF＝5，∴DE＝＝＝5，∵×AD×AE＝×DE×AG，∴AG＝2，∴GN＝BN＝2，∴AN＝DG＝4，∴△DGH∽△BNH，∴＝＝2，∴GH＝2HN，且GH+HN＝GN＝2，∴GH＝，＝×GH×BN＝××2＝．∴S△GHB10．（1）证明：过点P作PG⊥AB于点G，如图1所示：则四边形DPGA和四边形PCBG是矩形，∴AD＝PG，DP＝AG，BG＝PC，∵∠APB＝90°，∴∠APG+∠GPB＝∠GPB+∠PBG＝90°，∴∠APG＝∠PBG，∴△APG∽△PBG，∴＝，∴PG2＝AG•BG，即AD2＝DP•PC；（2）解：四边形PMBN是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∵BM∥PN，BN∥MP，∴四边形PMBN是平行四边形，∵DP∥AB，∴∠DPA＝∠PAM，由题意可知：∠DPA＝∠APM，∴∠PAM＝∠APM，∵∠APB﹣∠PAM＝∠APB﹣∠APM，即∠ABP＝∠MPB∴AM＝PM，PM＝MB，∴四边形PMBN是菱形；（3）解：∵AD＝3DP，∴设DP＝1，则AD＝3，由（1）可知：AG＝DP＝1，PG＝AD＝3，∵PG2＝AG•BG，∴32＝1•BG，∴BG＝PC＝9，AB＝AG+BG＝10，∵CP∥AB，∴△PCF∽△BAF，∴＝＝，∴＝，∵PM＝MB，∴∠MPB＝∠MBP，∵∠APB＝90°，∴∠MPB+∠APM＝∠MBP+∠MAP＝90°，∴∠APM＝∠MAP，∴PM＝MA＝MB，∴AM＝AB＝5，∵AB∥CD，∴△PCE∽△MAE，∴＝＝，∴＝，∴EF＝AF﹣AE＝AC﹣AC＝AC，∴＝＝．11．解：（1）由题意得：AM＝t，∵PM⊥AB，∴∠PMA＝90°，∵∠A＝60°，∴∠APM＝30°，∴PM＝AM＝t．∵∠C＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴AB＝2AC＝4，BC＝AC＝2，∵MN＝1，∴BN＝AM﹣AM﹣1＝3﹣t，∵QN⊥AB，∴QN＝BN＝（3﹣t）；故答案为：tcm，（3﹣t）cm．（2）四边形MNQP有可能成为矩形，理由如下：由（1）得：QN＝（3﹣t）．由条件知，若四边形MNQP为矩形，则需PM＝QN，即t＝（3﹣t），∴t＝．∴当t＝s时，四边形MNQP为矩形；（3）由（2）知，当t＝s时，四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC．除此之外，当∠CPQ＝∠B＝30°时，△QPC∽△ABC，此时＝tan30°＝．∵＝cos60°＝，∴AP＝2AM＝2t．∴CP＝2﹣2t．∵＝cos30°＝，∴BQ＝（3﹣t）．又∵BC＝2，∴CQ＝2 ．∴．综上所述，当s或s时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．12．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，∴∠ADE+∠EDC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDC+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，且∠A＝∠DCF＝90°，∴△DAE∽△DCF；（2）∵△DAE∽△DCF，∴，∴∴y＝x+4；（3）∵四边形EBFD为轴对称图形，∴DE＝BE，∵AD2+AE2＝DE2，∴16+AE2＝（6﹣AE）2，∴AE＝，∴DE＝BE＝，∴cos∠AED＝＝，故答案为：．13．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠NAM＝∠BMA，∵∠AMN＝∠AMB，∴∠AMN＝∠NAM，∴AN＝MN，即△AMN是等腰三角形；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2，AB＝CD＝3，∴∠NAM＝∠BMA，作NH⊥AM于H，如图所示：∵AN＝MN，NH⊥AM，∴AH＝AM，∵∠NHA＝∠ABM＝90°，∠NAM＝∠BMA，∴△NAH∽△AMB，∴＝，∴AN•BM＝AH•AM＝AM2，∴AM2＝2BM•AN；（3）解：∵M为BC中点，∴BM＝CM＝BC＝×2＝1，由（2）得：AM2＝2BM•AN，即：AM2＝2AN，∵AM2＝AB2+BM2＝32+12＝10，∴10＝2AN，∴AN＝5，∴DN＝AN﹣AD＝5﹣2＝3，设DE＝x，则CE＝3﹣x，∵AN∥BC，∴△DNE∽△CME∴＝，即＝，解得：x＝，即DE＝，∴CE＝DC﹣DE＝3﹣＝，∴ME＝＝＝．14．解：（1）∵A（8，0）、C（0，6），∴OA＝8，OC＝6，∵四边形OABC是矩形，∴∠ABC＝∠OAB＝90°，BC＝OA＝8，AB＝OC＝6，∴＝＝，故答案为：；（2）的值不发生变化，＝，理由如下：∵∠OAB＝∠BPQ＝90°，∴∠AOB+∠BPQ＝180°，∴A、B、P、Q四点共圆，∴∠PQB＝∠PAB，∵∠ABC＝∠BPQ＝90°，∴△PBQ∽△BCA，∴＝＝；（3）设BQ交AP于M，如图所示：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝10，由折叠的性质得：BQ⊥AP，PM＝AM，∴∠AMB＝90°＝∠ABC，∵∠BAM＝∠CAB，∴△ABM∽△ACB，∴＝，即＝，解得：AM＝3.6，∴PA＝2AM＝7.2，∴PC＝AC﹣PA＝10﹣7.2＝2.8；故答案为：2.8．15．（1）证明：∵四边形OABC是矩形，A（4，0），B（4，3），∴OA＝BC＝4，AB＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴AC＝＝＝5；（2）解：由题意得：BN＝t，AP＝t，∵＝，＝＝，∴＝，∴PN∥AB，∴△CPN∽△CAB；（3）解：分两种情况：①当0＜t＜2时，延长NP交OA于D，如图1所示：由（2）得：PD∥AB，∴△APD∽△ACO，∴＝＝，即＝＝，解得：PD＝t，AD＝t，∴PN＝3﹣t，DM＝4﹣t﹣t＝4﹣2t，∴△MPN的面积S＝PN×DM＝×（3﹣t）×（4﹣2t）＝t2﹣t+6，即S＝t2﹣t+6（0＜t＜2）；②当2＜t＜4时，延长NP交OA于D，如图2所示：由（2）得：PD∥AB，∴△APD∽△ACO，∴＝＝，即＝＝，解得：PD＝t，AD＝t，∴PN＝3﹣t，DM＝t+﹣4t＝2t﹣4，∴△MPN的面积S＝PN×DM＝×（3﹣t）×（2t﹣4）＝﹣t2+t﹣6，即S＝﹣t2+t﹣6（2＜t＜4）；当S＝，0＜t＜2时，则t2﹣t+6＝，整理得：t2﹣6t+6＝0，解得：t＝3﹣，或t＝3+（不合题意舍去），∴t＝3﹣；当S＝，2＜t＜4时，则﹣t2+t﹣6＝，整理得：t2﹣6t+10＝0，∵△＝36﹣40＜0，∴此方程无解；综上所述，当S＝时，运动时间t的值为（3﹣）秒．16．解：（1）∵点E为CD中点，AB＝AD＝CD＝2，∴DE＝，∴AE＝＝＝5，∵AB∥CD，∴△ABF∽△EDF，∴，∴AF＝2EF，且AF+EF＝5，∴AF＝；（2）如图1，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BD＝AB，AO⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO，∴AO＝DO＝BO＝AB，∵tan∠AFB＝＝2，∴OF＝AO＝AB，∴DF＝OD﹣OF＝AB，BF＝OB+OF＝AB，∴；（3）如图2，设AB＝CD＝AD＝a，则BD＝a，∵＝x，∴DE＝xa，∴S△ADE＝×AD×DE＝xa2，∵△ABF∽△EDF，∴＝x，∴DF＝x•BF，∴S△ABF＝a2，∵GF＝2BG，∴S2＝S△ABG＝S△ABF＝，∵AB＝CB，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，∴△ABG≌△CBG（SAS）∴S△ABG ＝S△CBG，∴S1＝四边形AGCE的面积＝a2﹣xa2﹣2×∴＝﹣3x2+3x+4＝﹣3（x﹣）2+∴当x＝时，的最大值为．17．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠ADC为△ABD的外角，∴∠ADE+∠EDC＝∠B+∠DAB，∵∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE，∴＝，∴AB•CE＝BD•CD；（2）解：设BD＝x，AE＝y，由（1）得，5×（5﹣y）＝x×（6﹣x），整理得，y＝x2﹣x+5＝（x﹣3）2+，∴AE的最小值为；（3）解：作AF⊥BE于F，则四边形ADEF为矩形，∴EF＝AD＝3，AF＝DE，∴BF＝BE﹣EF＝1，设CD＝x，CE＝y，则AF＝DE＝x+y，由勾股定理得，AD2+CD2＝AC2，CE2+BE2＝BC2，AF2+BF2＝AB2，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∴32+x2＝AC2，y2+42＝BC2，（x+y）2+12＝AC2，∴x2﹣y2＝7，y2+2xy＝8，解得，x＝，y＝，∴DE＝x+y＝．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠APC＝∠ABC+∠BAP，∠APC＝∠APD+∠EPC，∠APD＝∠ABC，∴∠BAP＝∠EPC，∴△ABP∽△PCE，∵BC∥AD，∴△PCE∽△DAE，∴△ABP∽△DAE；（2）解：①∵△ABP∽△PCE，∴＝，即＝，∴y＝﹣x2+x（0＜x＜6）；②∵△ABP∽△DAE，∴＝，即＝，∴AD＝，∵AD∥BC，∴，∵，∴，∴，即13x2+24x﹣100＝0，∴x＝2，（舍去）1∴．19．（1）解：在Rt△BCE中，当tan∠BEC＝2，∴＝2，即＝2，解得，BE＝2，由勾股定理得，CE＝＝＝2，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠ECH＝∠BEC，∴tan∠ECH＝＝2，即＝2，∴EH＝4，∴CH＝＝10；（2）证明：∵∠FEG＝∠FDH＝90°，∠EFG＝∠DFH，∴△EFG∽△DFH，∴＝，∴DF•FG＝HF•EF；（3）证明：∵△EFG∽△DFH，∴∠CGD＝∠CHE，又∠GCD＝∠HCE，∴△GCD∽△HCE，∴＝，又∠GCD＝∠HCE，∴△CDE∽△CGH，∴∠CDE＝∠CGH．20．解：（1）AB＝2，BC＝1，AD＝4，由勾股定理得，AC＝＝，CD＝＝，AE＝＝2，CE＝＝5，＝＝＝，∴△ABC∽△EAC，∴四边形ABCE是“友好四边形”，≠，∴△ABC与△ACD不相似，∴四边形ABCD不是“友好四边形”，故答案为：四边形ABCE；（2）证明：根据旋转的性质得，∠A'CB'＝∠ACB，∠CA'B'＝∠CAB，∵AD∥A'B'，∴∠CA'B'＝∠D，∴∠CAB＝∠D，又∠A'CB'＝∠ACB，∴△ABC∽△DAC，∴四边形ABCD是“友好四边形”；（3）如图3，过点A作AM⊥BC于M，在Rt△ABM中，AM＝AB•sin∠ABC＝AB，∵△ABC的面积为6，∴BC×AB＝6，∴BC×AB＝24，∵四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”，且AB≠BC，∴△ABD∽△DBC∴，∴BD2＝AB×BC＝24，∴BD＝＝2．。
2020年九年级数学中考三轮冲刺 ：《图形相似综合》 练习题
中考三轮冲刺复习：《图形相似综合》练习1．在△ABC中，点D在边BC上，点E在线段AD上．（1）若∠BAC＝∠BED＝2∠CED＝α，①若α＝90°，AB＝AC，过C作CF⊥AD于点F，求的值；②若BD＝3CD，求的值；（2）AD为△ABC的角平分线，AE＝ED＝2，AC＝5，tan∠BED＝2，直接写出BE的长度．2．已知▱EFGH的顶点E、G分别在▱ABCD的边AD、BC上，顶点F、H在▱ABCD的对角线BD上．（1）如图1，求证：BF＝DH；（2）如图2，若∠HEF＝∠A＝90°，，求的值；（3）如图1，当∠HEF＝∠A＝120°，，时，求k的值．3．如图，BM、DN分别平分正方形ABCD的两个外角，且∠MAN＝45°，连接MN．（1）猜想以线段BM、DN、MN为三边组成的三角形的形状，并证明你的结论；（2）若△AMN为等腰直角三角形，探究线段BM、DN之间的数量关系；（3）当MN∥AD时，直接写出的值．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P，Q在对角线BD上，且BQ＝BP，过点P 作PH⊥AB于点H，连接HQ，以PH、HQ为邻边作平行四边形PHQG，设BQ＝m．（1）若m＝2时，求此时PH的长．（2）若点C，G，H在同一直线上时，求此时的m值．（3）若经过点G的直线将矩形ABCD的面积平分，同时该直线将平行四边形PHQG的面积分成1：3的两部分，求此时m的值．5．如图，四边形ABCD是矩形．（1）如图1，E、F分别是AD、CD上的点，BF⊥CE，垂足为G，连接AG．①求证：；②若G为CE的中点，求证：sin∠AGB＝；（2）如图2，将矩形ABCD沿MN折叠，点A落在点R处，点B落在CD边的点S处，连接BS交MN于点P，Q是RS的中点．若AB＝2，BC＝3，直接写出PS+PQ的最小值为．6．矩形ABCD中，AD＝9，AB＝12，点E在对角线BD上（不与B、D重合），EF⊥AE交CD 于F点，连接AF交BD于G点．（1）如图1，当G为DE中点时．①求证：FD＝FE；②求BE的长．（2）如图2，若E为BD上任意点，求证：AG2＝BG•GE．7．已知△ABC中，∠ABC＝90°，点D、E分别在边BC、边AC上，连接DE，DF⊥DE，点F、点C在直线DE同侧，连接FC，且＝＝k．（1）点D与点B重合时，①如图1，k＝1时，AE和FC的数量关系是，位置关系是；②如图2，k＝2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；（2）BD＝2CD时，＝6，求FC的长度；①如图3，k＝1时，若AE＝2，S△CDF②如图4，k＝2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB＝10，直接写出MN的最小值．8．如图1，△ABC的两条中线BD、CE交于点F．（1）＝；（2）如图2，若BE2＝EF•EC，且，EF＝，求DE的长；（3）如图3，已知BC＝4，∠BAC＝60°，当点A在直线BC的上方运动时，直接写出CE 的最大值．9．已知，在△ABC和△EFC中，∠ABC＝∠EFC＝90°，点E在△ABC内，且∠CAE+∠CBE＝90°（1）如图1，当△ABC和△EFC均为等腰直角三角形时，连接BF，①求证：△CAE∽△CBF；②若BE＝2，AE＝4，求EF的长；（2）如图2，当△ABC和△EFC均为一般直角三角形时，若＝k，BE＝1，AE＝3，CE＝4，求k的值．10．如图，在▱ABCD中，AB＝4，∠B＝45°，AC⊥AB，P是BC上一动点，过P作AP的垂线交CD于E，将△PCE折叠得到△PCF，延长FP交AB于H，连结AE，PE交AC于G．（1）求证PH＝PF；（2）当BP＝3PC时，求AE的长；（3）当AP2＝AH•AB时，求AG的长．11．已知菱形ABCD中BD为对角线，P、Q两点分别在AB、BD上，且满足∠PCQ＝∠ABD．（1）如图1，当∠BAD＝90°时，求证：△APC∽△DQC；（2）如图2，当∠BAD＝120°时，过点C作CK⊥BC交BD于点K，①求证：∠ACP＝∠KCQ；②探究：三条线段DQ，BP，CD的数量关系？（3）如图3，在（2）的条件下，延长CQ交AD边于点E交BA的延长线于点M，作∠DCE 的平分线交AD边于点F，若，EF＝，求线段CD的长．12．已知：如图①、②、③，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是边BC上的一个动点．（1）如图①，若DE⊥AP，垂足为E．求证：△AED∽△PBA．（2）如图②，在（1）的条件下，将DE沿AP方向平移，使P、E两点重合，且与边CD 的交点为M，若MC＝3，求BP的长．（3）如图③，Q是边CD上的一个动点，若＝2，且H，N，G分别为AP，PQ，PC的中点，请问：在P、Q两点分别在BC、CD上运动的过程中，四边形HPGN的面积是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出它的面积．13．在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上（AP＞BP），作AQ⊥AB，且AQ＝BP，连接CQ，如图1．（1）求证：△ACQ≌△BCP；（2）延长QA至点R，使得∠RCP＝45°，RC与AB交于点H，如图2．①求证：CQ2＝QA•QR；②求证：PH2＝AH2+PB2．14．锐角△ABC中，BC＝6，AD为BC边上的高线，S＝12，两动点M，N分别在边AB，AC△ABC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN（如图1），设其边长为x，（1）当PQ恰好落在边BC上（如图2）时，求x；（2）正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为时，求x的值．15．如图1，D是△ABC内任意一点，连接AD，DB，分别以AD，DB为边作△ADE（AE在AD 的左侧）和△DBF（BF在BD的右侧），使得△ADE∽△ABC，△DBF∽△ABC，连接CE，CF．（1）求证：△CBF∽△ABD；（2）如图2，DF，BC交于点G，若∠CAB＝90°，点E，D，B共线，其他条件不变，①判断四边形CEDF的形状，并说明理由；②当，AB＝4，且四边形CEDF是正方形时，直接写出FG的长．16．如图①，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，BP＝1，∠MPN＝90°，将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交边AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F．当PN 旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止．（1）特殊情形：如图②，发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时△ABP是否与△PCD 相似？并说明理由；（2）类比探究：如图③，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）拓展延伸：设AE＝t时，△EPF的面积为S，试用含t的代数式表示S；①在旋转过程中，若t＝1时，求对应的△EPF的面积；②在旋转过程中，当△EPF的面积为4.2时，求对应的t的值．17．（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，填空：的值为；∠AMB的度数为，（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M，请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由．参考答案1．解：（1）①∵∠BAC＝∠BED＝2∠CED＝α，∴当α＝90°，AB＝AC时，△ABC与△CEF都是等腰直角三角形，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∠ACF+∠FAC＝90°，∴∠BAE＝∠AFC，∴在△ABE与△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AE＝CF＝EF，∴BE＝AF＝2EF＝2CF，∴＝2；②如图，过点C作CF∥BE，交AD的延长线于点F，在AD上取一点G，使得CG＝CF，∵∠BAC＝∠BED＝2∠CED＝α，∴∠ABE＝∠CAG，∠F＝∠BED＝α＝∠CGF，∴∠AEB＝∠AGC，∴△ABE∽△CAG，∴＝．∵CF∥BE，∴△BED∽△CFD，∴＝＝3，设CF＝x，BE＝3x，AE＝y，则CG＝EG＝x，∴＝，解得：＝，∴＝；（2）如图，过点C作CF∥AD，交BA的延长线于F，延长BE交CF与G，则∠BAD＝∠F，∠DAC＝∠ACF，又∵AD为△ABC的角平分线，即∠BAD＝∠DAC，∴∠ACF＝∠F，∴AF＝AC＝5，又AE＝ED，∴FG＝CG，∴AG⊥CF，∴∠CAG＝∠FAG，∴AD⊥AG，∵tan∠BED＝2，∴tan∠AEG＝2，∵AE＝ED＝2，∴＝2，∴AG＝2AE＝4，又∵AC＝5，∴FG＝CG＝3，∵DE∥CG，∴＝，∴＝，∴解得，BE＝4．2．（1）证明：∵四边形EFGH是平行四边形，∴EF＝HG，EF∥HG，∴∠EFD＝∠GHB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EDF＝∠GBH，在△EFD和△GHB中，，∴△EFD≌△GHB（AAS），∴DF＝BH，∴DF﹣HF＝BH﹣HF，∴BF＝DH；（2）解：作EM⊥FH于M，如图2所示：设MH＝a，∵四边形ABCD、四边形EFGH都是平行四边形，∠A＝∠FEH＝90°，∴四边形ABCD、四边形EFGH都是矩形，∴AD＝BC，∴tan∠ADB＝＝＝，tan∠EFH＝＝，∵∠FEH＝∠EMH＝90°，∴∠MEH+∠EHM＝90°，∠EFH+∠EHF＝90°，∴∠MEH＝∠EFH，∴tan∠MEH＝tan∠EFH＝＝＝，∴EM＝2a，FM＝4a，∵tan∠EDM＝＝，∴DM＝4a，FH＝5a，由（1）得：BF＝DH，∴BF＝DH＝3a，∴＝＝；（3）过点E作EM⊥BD于M，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∵＝，∴＝，即＝，∵∠HEF＝∠A，∴△EFH∽△ADB，∴∠EFH＝∠ADB，∴EF＝ED，∴FM＝DM，设BF＝3a，∵＝，∴FH＝7a，∴DF＝10a，∴DM＝5a，由（1）得：BF＝DH，∴DH＝3a，MH＝DM﹣DH＝5a﹣3a＝2a，过点E作∠NEH＝∠EDH，交BD于N，∵∠ENH＝∠DNE，∴△ENH∽△DNE，∴＝，∴EN2＝DN•HN，设HN＝x，∴EN2＝x•（3a+x），∴EN＝，∵∠NEH＝∠EDH，∴∠NEH＝∠EFH，∵∠EHN＝∠FHE，∴△ENH∽△FEH，∴∠END＝HEF＝120°，∴∠ENM＝60°，∴∠NEM＝30°，∴EN＝2MN，∴＝2（2a﹣x），解得：x＝a，∴EN＝2a，MN＝a，由勾股定理得：EM＝＝＝a，EH＝＝＝a，EF＝DE＝＝＝2a，∴k＝＝＝．3．解：（1）以BM，DN，MN为三边围成的三角形为直角三角形．证明如下：如图，过点A作AF⊥AN并截取AF＝AN，连接BF、FM，∵∠1+∠BAN＝90°，∠3+∠BAN＝90°，∴∠1＝∠3，在△ABF和△ADN中，，∴△ABF≌△ADN（SAS），∴BF＝DN，∠FBA＝∠NDA＝135°，∵∠FAN＝90°，∠MAN＝45°，∴∠1+∠2＝∠FAM＝∠MAN＝45°，在△AFM和△ANM中，，∴△AFM≌△ANM（SAS），∴FM＝NM，∴∠FBP＝180°﹣∠FBA＝180°﹣135°＝45°，∴∠FBP+∠PBM＝45°+45°＝90°，∴△FBM是直角三角形，∵FB＝DN，FM＝MN，∴以BM，DN，MN为三边围成的三角形为直角三角形；（2）∵BM、DN分别平分正方形的两个外角，∴∠CBM＝∠CDN＝45°，∴∠ABM＝∠ADN＝135°，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠NAD＝45°，在△ABM中，∠BAM+∠AMB＝∠MBP＝45°，∴∠NAD＝∠AMB，在△ABM和△NDA中，，∴△ABM∽△NDA，∵△AMN是等腰直角三角形，∴；（3）连接BD并延长交MN延长线于点G，如图2，由题意知∠GDN＝∠GBM＝90°，∠ADN＝135°，∵MN∥AD，∴∠GND＝45°，∴∠G＝90°﹣∠GND＝45°，∴△DGN和△BGM均为等腰直角三角形，∴GN＝DN，GM＝BM，由（1）知，DN2+BM2＝MN2，∴设BM＝x，DN＝y，则GM＝x，GN＝y，∴MN＝（y﹣x），∴x2+y2＝[（y﹣x）]2，∴x1＝（2+）y（舍），x2＝（2﹣）y，∴．4．解：（1）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，∴BD＝＝＝5，∵BQ＝2，，∴BP＝3，∵PH∥AD，∴△BPH∽△BDA，∴，∴；（2）如图，设HG与PQ交于点O，设BQ＝2x，则BP＝3x，PQ＝x，∴PO＝QO＝，∴BO＝x，∵PH∥BC，∴△PHO∽△BCO，∴，∴PH＝＝，∵PH∥AD，∴△BPH∽△BDA，∴，∴，∴x＝，∴BQ＝；（3）连接AC交BD于O，∵经过点G的直线将矩形ABCD的面积平分，∴这条直线经过矩形ABCD的对角线的交点O．①如图，当直线OG经过PH的中点R时，直线OG将平行四边形PHQG的面积分成1：3的两部分，∵PH∥GQ，∴，∴，∴m＝；②如图，当直线OG经过HQ的中点N时，直线OG将平行四边形PHQG的面积分成1：3的两部分，∵PG∥HQ，∴＝＝，∴＝，∴m＝；综上所述，满足条件的m的值为或．5．（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠CDE＝∥BCF＝90°，∵BF⊥CE，∴∠BGC＝90°，∴∠BCG+∠FBC＝∠BCG+∠ECD＝90°，∴∠FBC＝∠ECD，∴△FBC∽△ECD，∴＝．②证明：如图1中，连接BE，GD．∵BF⊥CE，EG＝CG，∴BF垂直平分线段EC，∴BE＝CB，∠EBG＝∠CBG，∵DG＝CG，∴∠CDG＝∠GCD，∵∠ADG+∠CDG＝90°，∠BCG+∠ECD＝90°，∴∠ADG＝∠BCG，∵AD＝BC，∴△ADG≌△BCG（SAS），∴∠DAG＝∠CBG，∴∠DAG＝∠EBG，∴∠AEB＝∠AGB，∴sin∠AGB＝sin∠AEB＝＝＝＝．（2）如图2中，取AB的中点T，连接PT，CP．∵四边形MNSR与四边形MNBA关于MN对称，T是AB中点，Q是SR中点，∴PT＝PQ，MN垂直平分线段BS，∴BP＝PS，∵∠BCS＝90°，∴PC＝PS＝PB，∴PQ+PS＝PT+PC，当T，P，C共线时，PQ+PS的值最小，最小值＝＝＝，∴PQ+PS的最小值为．故答案为．6．（1）①证明：如图1，取AF的中点O，连接OD，OE，∵∠ADF＝∠FEA＝90°，∴OE＝OD＝AF，∵点G是DE的中点，∴OG⊥DE，∴AF⊥DE，∵点G是DE的中点，∴FD＝FE；②解：由①知，AF⊥DE，∴∠AGD＝90°，∵∠ADG＝∠ADB，∴△ADG∽△BDA，∴，在Rt△ABD中，AD＝9，AB＝12，根据勾股定理得，BD＝15，∴，∴DG＝，∴DE＝2DG＝，∴BE＝BD﹣DE＝；（2）如图2，过点E作MN∥BC分别交AB，CD于M，N，∴BC⊥CD，∴MN⊥CD且MN⊥AB，∴∠DNE＝∠AME＝90°，∵∠FEA＝90°，∴∠NEF＝∠MAE，∴△NEF∽△MAE，∴，∵AM＝DN，∴，∵∠FEA＝∠END＝90°，∴△FEA∽△END，∴∠FAE＝∠EDN，∵∠EDN＝∠ABG，∴∠FAE＝∠ABG，∵∠AGE＝∠BGA，∴△AGE∽△BGA，∴，∴AG2＝BG•GE．7．解：（1）①如图1中，结论：AE＝CF，AE⊥CF理由：由题意：BA＝BC，BE＝BE，∠ABC＝∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF，∠A＝∠ACB＝45°，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴AE＝CF，∠A＝∠BCF＝45°，∴∠ACF＝∠ACB+∠BCF＝90°，∴AE⊥CF，故答案为AE＝CF，AE⊥CF．②如图2中，结论：AE＝2CF，AE⊥CF．理由：∵＝＝2，∠ABE＝∠CBF，∴△ABE∽△CBF，∴＝＝2，∠A＝∠BCF，∴AE＝2CF，∵∠A+∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠ACB＝90°，∴AE⊥CF．（2）①如图3中，过点D作DH⊥AC于H，作DT∥AB交AC于T．由题意AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∵DT∥AB，∴∠CDT＝∠CBA＝90°，∴∠DTC＝∠DCT＝45°，∴DT＝DC，∵DH⊥CT，∴HT＝HC，∴DH＝HT＝HC，设DH＝HT＝HC＝m，∵DT∥AB，∴＝＝，∴AT＝4m，∵AE＝2，∴ET＝4m﹣2，∵DE＝DF，DT＝DC，∠EDF＝∠TDC＝90°，∴∠EDT＝∠FDC，∴△EDT≌△FDC（SAS），∴S△EDT ＝S△FDC＝6，ET＝FC，∴•（4m﹣2）•m＝6，解得m＝2或﹣（舍弃），∴CF＝ET＝4m﹣2＝8﹣2＝6．②如图4中，连接DM，CM，根点M作MK⊥BC于K，交AC于J．同法可证：AE⊥CF，∵∠EDF＝∠ECF＝90°，EM＝MF，∴DM＝MC＝EF，∴点M在长度CD的垂直平分线MK上，当NM⊥NK时，MN的值最小，由题意：AB＝10，BC＝5，CD＝，CK＝DK＝，在Rt△ABC中，AC＝＝5，∵AN＝CN，∴CN＝AC＝，∵JK∥AB，∴＝，∴＝，∴CJ＝，∴NJ＝CN﹣CJ＝﹣＝，∵NM⊥MK时，△NMK∽△CKJ，∴＝，∴＝，∴MN＝，∴MN的最小值为．8．解：（1）如图1中，∵AE＝BE，AD＝DC，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△EDF∽△CBF，∴＝＝，故答案为：．（2）如图2中，∵DE∥BC，且DE＝BC，∵△EDF∽CBF，∴＝＝＝，∵EF＝，∴CF＝2，EC＝3，∵BE2＝EF•EC，∴BE＝3，∵DF＝BE＝2，∴BF＝4，∵＝，∠BEF＝∠CEB，∴△BEF∽△CEB，∴＝，∴＝，∴CB＝4，∴DE＝BC＝2．（3）如图3中，如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，取OB的中点F，连接EF，过点O作OH⊥BC于H，过点F作FT⊥BC于T．∵∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵OB＝OC，OH⊥BC，∴BH＝CH＝BC＝2，∠BOH＝∠COH＝60°，∴OH＝＝，OB＝2OH＝，∵AE＝EB，BF＝OF，∴EF＝OA＝，∴点E的运动轨迹是以F为圆心FE为半径的⊙F，∴CE的最大值＝EF+CF，∵FT⊥BC，OH⊥BC，∴FT∥OH，∵BF＝OF，∴BT＝TH＝1，FT＝OH＝，在Rt△FCT中，CF＝＝＝，∴CE的最大值为．9．解：（1）①∵△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，∴∠ECF＝∠ACB＝45°，∴∠BCF＝∠ACE，∵△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，∴CE＝CF，AC＝CB，∴＝，∴，∴△BCF∽△ACE；②由①知，△BCF∽△ACE，∴∠CBF＝∠CAE，＝，∴BF＝AE＝×4＝2，∵∠CAE+∠CBE＝90°，∴∠CBF+∠CBE＝90°，即：∠EBF＝90°，根据勾股定理得，EF＝＝＝2；（2）如图（2），连接BF，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝k，同理，tan∠ECF＝k，∴tan∠ACB＝tan∠ECF，∴∠ACB＝∠ECF，∴∠BCF＝∠ACE，在Rt△ABC中，设BC＝m，则AB＝km，根据勾股定理得，AC＝＝m；在Rt△CEF中，设CF＝n，则EF＝nk，同理，CE＝n∴，＝，∴，∵∠BCF＝∠ACE，∴△BCF∽△ACE，∴∠CBF＝∠CAE，∵∠CAE+∠CBE＝90°，∴∠CBF+∠CBE＝90°，即：∠EBF＝90°，∵△BCF∽△ACE，∴，∴BF＝AE＝，∵CE＝4，∴n＝4，∴n＝，∴EF＝，在Rt△EBF中，根据勾股定理得，BE2+BF2＝EF2，∴12+（）2＝（）2，∴k＝或k＝﹣（舍），即：k的值为．10．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠PCE＝180°，∵∠B＝45°，∴∠PCE＝135°，由折叠知，∠PCF＝∠PCE＝135°，∵AC⊥AB，∴∠ACB＝45°，∴∠ACB+∠PCF＝180°，∴点F在AC的延长线上，∵∠CEG+∠CGE＝90°，∠CGE＝∠PGA，∴∠CEG+∠PGA＝90°，∵∠PAG+∠PGA＝90°，∴∠PEC＝∠PAG，∵∠PEC＝∠F，∴∠PAF＝∠F，∴PA＝PF，∵∠CAP+∠PAH＝90°，∠F+∠PHA＝90°，∴∠PAH＝∠PHA，∴PA＝PH，∴PF＝PH；（2）过点A作AM⊥BC于M，∵AB＝AC，AB＝4，∴BM＝CM＝2，AM＝2，∵BC＝3CP，∴MP＝，∴AP＝，由折叠知，PE＝PF，由（1）知，PA＝PF，∴AP＝PE，∵∠APE＝90°，∴△APE是等腰直角三角形，∴AE＝2；（3）∵AP2＝AH•AB，∠PAH＝∠PAB，∴△APH∽△ABP，∴∠APH＝∠B＝45°，∴∠PAF＝∠F＝22.5°，∴∠BPA＝∠BAP＝67.5°，∴BP＝AB＝4，∴PC＝4﹣4，∵∠EPC＝∠FPC＝∠ACP﹣∠F＝22.5°，∴∠GPC＝∠PAC，∵∠APC＝∠APC，∴△CPG∽△CAP，∴CP2＝CG•CA，∴CG＝12﹣8，∴AG＝8﹣8．11．（1）证明：如图1，连接AC，在菱形ABCD中，∵∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形．∴∠PCQ＝∠CDQ＝45°，∠PAC＝∠QDC＝∠ACD＝45°∴∠ACP+∠ACQ＝∠ACQ+∠QCD＝45°，∴∠ACP＝∠QCD∴△APC∽△DQC．（2）①证明：如图2﹣1中，连接AC，过点C作CK⊥BC交BD于点K．∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝BC，AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABD＝∠ABC＝30°，∴∠ACB＝60°，∵∠BCK＝90°，∴∠ACK＝30°，∵∠PCQ＝∠ABD＝30°，∴∠PCQ＝∠ACK，∴∠ACP＝∠QCK．②解：结论：DQ+BP＝2CD．理由：如图2﹣2中，作∠QCM＝∠PCQ，过B作BL∥CM．∵BL∥CM，LM∥BC，∴四边形BCML是平行四边形，∴BC＝LM＝AD，∴AL＝DM，∴∠CQD＝∠CKD，∵CM∥BL，∴∠CMD＝∠BLD，∴△DLB∽△DQC．∴DL＝DQ，∵CD＝AD，AL＝DM，∴CD+DM＝DQ，又∵∠CAP＝∠CDM＝60°，∠ACD＝∠PCM＝60°，∴∠ACP＝∠DCM，∵CA＝CD，∴△ACP≌△DCM（ASA），∴DM＝AP，∴CD+DM＝CD+AP＝2CD﹣BP＝DQ，即DQ+BP＝2CD．（3）解：如图3中，在菱形ABCD中，∠ABD＝∠BDC＝30°，∵∠PCQ＝∠ABD＝30°，∵BM∥CD，∴∠PMC＝∠DCQ，∴△DQC∽△MPC∴CQ：PM＝DC：MC＝5：7，∴BC：MC＝5：7．设BC＝5k，则MC＝7k，如图3，过C作CG⊥AB于G，则∠CGB＝90°∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°．∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴BG＝k，CG＝k．在Rt△MGC中，MG＝＝k，∴BM＝8k．∵AB＝BC＝5k，∴AM＝BM﹣AB＝3k．∵AM∥CD，∴∠AMC＝∠DCM，∵∠AEM＝∠DEC，∴△AME∽△DCE，∴AM：DC＝AE：DE．∴AE＝k．延长CF、BM交于H，则∠DCF＝∠MHC∵FC平分∠ECD，∴∠ECF＝∠DCF，∴∠MCH＝∠MHC，∴MH＝MC＝7k，∴AH＝AM+MH＝10k．∵∠HFA＝∠CFD，∴△DFC∽△AFH，∴DF：AF＝DC：AH∴AF＝k，EF＝AF﹣AE＝k，∵EF＝，∴k＝1．∴DC＝5．12．解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAE＝∠APB．又∵DE⊥AP，∴∠DEA＝90°，∴∠DEA＝∠B，∴△AED∽△PBA；（2）由题意知，MP⊥AP，∴∠APM＝90°，∴∠APB+∠MPC＝90°．又∵∠APB+∠PAB＝90°，∴∠PAB＝∠MPC．∵∠B＝∠C＝90°，∴△APB∽△PMC，∴＝．设BP＝x，则PC＝8﹣x，∴＝，解之，得x＝2或6，∴BP的长为2或6．（3）∵＝2，设CQ ＝k ，则BP ＝2k ．如图，过点H 作HF ⊥BC 于F ，∵点H 是AP 的中点，∴AP ＝2PH ，又∵AB ⊥BC ，∴HF ∥AB ，∴△PHF ∽△PAB ， ∴＝＝＝，∴HF ＝AB ＝2，PF ＝PB ＝k ．∵N 、G 分别是PQ ，PC 的中点，∴NG ＝CQ ，NG ∥QC ，∴△PNG ∽△PQC ， ∴＝＝＝，∴PG ＝PC ＝（ BC ﹣BP ）＝4﹣k ，NG ＝CQ ＝k ．∴S 四边形HPGN ＝S 梯形HFGN ﹣S △HFP ＝（k +2）（4﹣k +k ）﹣×2k ＝k +4﹣k ＝4． 即：四边形HPGN 的面积不会发生变化，它的面积是4．13．解：（1）∵AC ＝BC ，∴∠CAB ＝∠B ＝45°，又∵AQ ⊥AB ，∴∠BAQ ＝90°，∴∠QAC ＝∠CAB ＝45°＝∠B ，在△ACQ 和△BCP 中，，∴△ACQ≌△BCP（SAS）；（2）①由（1）知△ACQ≌△BCP，则∠QCA＝∠PCB，∵∠RCP＝45°，∴∠ACR+∠PCB＝45°，∴∠ACR+∠QCA＝45°，即∠QCR＝45°＝∠QAC，又∠Q为公共角，∴△CQR∽△AQC，∴，∴CQ2＝QA•QR；②如图，连接QH，由（1）和（2）②知，∠QCH＝∠PCH＝45°，CQ＝CP．又∵CH是△QCH和△PCH的公共边，∴△QCH≌△PCH（SAS）．∴HQ＝HP，∵在Rt△QAH中，QA2+AH2＝HQ2，又由（1）知：QA＝PB，∴AH2+PB2＝HP2．14．解：（1）∵BC＝6，AD为BC边上的高线，S＝12，△ABC ∴，∴AD＝4，设AD交MN于点H，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，即，解得x＝，∴当PQ恰好落在边BC上时，x＝．（2）①当PQ在△ABC的内部时，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积即为正方形MPQN 的面积，∴，解得，②当PQ在△ABC的外部时，如图3，PM交BC于点E，QN交BC于点F，AD交MN于点H，设HD ＝a ，则AH ＝4﹣a ， 由得，解得a ＝，∴矩形MEFN 的面积为MN ＝﹣（2.4＜x ≤6）． 即， 解得x 1＝4，x 2＝2（舍去），综上：正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积为时，x 为或4． 15．解：（1）∵△ADE ∽△ABC ， ∴，∠ABC ＝∠DBF ． ∴，∠ABC ﹣∠DBC ＝∠DBF ﹣∠DBC ，即．∠ABD ＝∠CBF ． ∴△CBF ∽△ABD ；（2）①四边形CEDF 是矩形．理由如下：由（1）知，△CBF ∽△ABD ， ∴．∵△ADE ∽△ABC ， ∴． ∴．∴ED ＝CF ．∵△ADE ∽△ABC ，∴，∠DAE＝∠BAC，∴，∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE．∴△AEC∽△ADB，∴．∵△DBF∽△ABC，∴．∴，∴，∴DF＝CE．∴四边形CEDF是平行四边形；∵△DBF∽△ABC，∠CAB＝90°，点E，D，B共线，∴∠BDF＝∠CAB＝90°．∴四边形CEDF是矩形；②∵，AB＝4，∴AC＝2，∵∠CAB＝90°，∴BC＝＝2，∵△DBF∽△ABC，∴＝，设DF＝x，BD＝2x，∵四边形CEDF是正方形，∴CF＝DF＝x，CF∥BE，∴△CFG∽△BDG，∴＝＝，∴CG＝，FG＝x，∵CF2+FG2＝CG2，∴x2+（x）2＝（）2，∴x＝（负值舍去），∴FG＝x＝．16．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAP+∠BPA＝90°．∵∠MPN＝90°，∴∠BPA+∠CPD＝90°，∴∠BAP＝∠CPD，∴△ABP∽△PCD；（2）是定值．如图3，过点F作FH⊥PC于点H，∵矩形ABCD中，AB＝2，∴∠B＝∠FHP＝90°，HF＝AB＝2，∴∠BPE+∠BEP＝90°．∵∠MPN＝90°，∴∠BPE+∠HPE＝90°，∴∠BEP＝∠HPF，∴△BEP∽△HPF，∴＝，∵BP＝1，∴＝．（3）分两种情况：如图3，当点E在AB上时，0≤t≤2．∵AE＝t，AB＝2，∴BE＝2﹣t．由（2）可知：△BEP∽△HPE，∴＝，即＝，∴HP＝4﹣2t．∵AF＝BH＝PB+BH＝5﹣2t，∴S＝S矩形ABHF ﹣S△AEF﹣S△BEP﹣S△PHF＝AB•AF﹣AE•AF﹣BE•PB﹣PH•FH＝t2﹣4t+5（0≤t≤2）．①当t＝1时，△EPF的面积＝2；②当S＝4.2时，t2﹣4t+5＝4.2，解得：t＝2±．∵0≤t≤2，∴t＝2﹣；如图4，当点E在AD上时，0≤t≤1，过点E作EK⊥BP于点K，∵AE＝t，BP＝1，∴PK＝1﹣t．同理可证：△PKE∽△FCP，∴＝，即＝，∴FC＝2﹣2t．∴DF＝CD﹣FC＝2t，DE＝AD﹣AE＝5﹣t，∴S＝S矩形EKCD ﹣S△EKP﹣S△EDF﹣S△PCF＝CD•DE﹣EK•KP﹣DE•DF﹣PC•FC＝t2﹣2t+5（0≤t≤1）．①若t＝1时，△EPF的面积＝4；②当S＝4.2时，t2﹣2t+5＝4.2，解得：t＝1±．∵0≤t≤1，∴t＝1﹣．综上所述：当点E在AB上时，S＝t2﹣4t+5（0≤t≤2），当S＝4.2时，t＝2﹣；当点E在AD上时，S＝t2﹣2t+5（0≤t≤1），当S＝4.2时，t＝1﹣．17．解：（1）∵∠AOB＝∠COD＝40°，OA＝OB，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，∠OAB+∠OBA＝180°﹣40°＝140°，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS）∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，∴＝1，∠AMB＝180°﹣∠MAH﹣∠HAB﹣∠MBA＝180°﹣∠HAB﹣∠MBA﹣∠DBO＝40°，故答案为：1；40°；（2）∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，即∠AOC＝∠BOD，在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，∴＝tan30°＝，同理，＝，∴＝，∴＝，又∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴＝＝，∠CAO＝∠DBO，∴∠AMB＝180°﹣∠CAO﹣∠OAB﹣∠MBA＝180°﹣∠HAB﹣∠MBA﹣∠DBO＝90°，∴＝，∠AMB＝90°．。
2020年数学中考专题练习：《相似图像综合》(含答案)
《相似图像综合》题号一二三总分得分第Ⅰ卷（选择题）一．选择题1．如图，正方形ABCD边长为3，M、N在对角线AC上，且∠MBN＝45°，作ME⊥AB 于点E，NF⊥BC于点F，反向延长ME、NF交于点G，则GE•GF的值是（）A．3 B．3C．3D．2．如图，在正方形ABCD中，△ABP是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD于点E、F，联结AC，CP，AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（）A．AE＝2DE B．△CFP～△APH C．△CFP～△APC D．CP2＝PH•PB 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P是边AC上一点，过点P作PQ∥AB交BC 于点Q，D为线段PQ的中点，BD平分∠ABC，以下四个结论①△BQD是等腰三角形；②BQ＝DP；③PA＝QP；④＝（1+）2；其中正确的结论的个数（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB和AC边上且DE∥BC，点M为BC边上一点（不与点B、C重合），联结AM交DE于点N，下列比例式一定成立的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．如图，过菱形ABCD的顶点C的直线与AB的延长线交于点E，与AD的延长线交于点F，若菱形的边长为x，BE＝a，DF＝b，则a，b，x满足的关系是（）A．2x＝a+b B．x2＝a•b C．x（a+b）＝a•b D．2x2＝a2+b2 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，P是AB边上一动点，PD⊥AC 于点D，点E在P的右侧，且PE＝1，连接CE，P从点A出发，沿AB方向运动，当E 到达点B时，P停止运动，设PD＝x，图中阴影部分面积S1+S2＝y，在整个运动过程中，函数值y随x的变化而变化的情况是（）A．一直减小B．一直增大C．先减小后增大D．先增大后减小7．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，D是△ABC内部或BC边上的一个动点（与B、C不重合），以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△AB C（相似比k＞1），EF∥BC．两三角形重叠部分是四边形AGDH，当四边形AGDH的面积最大时，最大值是多少？（）A．12 B．11.52 C．13 D．88．如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（）A．60mm B．mm C．20mm D．mm 9．如图，点E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上一点，AC、BD交于点O，且∠EAF＝45°，AE，AF分别交对角线BD于点M，N，则有以下结论：①△AOM∽△ADF；②EF＝BE+DF；③∠AEB＝∠AEF＝∠ANM；④S△AEF＝2S△AMN以上结论中，正确的个数有（）个．A．1 B．2 C．3 D．410．如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达即停止），连接AE、BF交于点P，过点P作PM ∥CD交BC于M点，PN∥BC交CD于N点，连接MN，在运动过程中则下列结论：①△ABE≌△BCF；②AE＝BF；③AE⊥BF；④CF2＝PE•BF；⑤线段MN的最小值为．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题11．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，∠ADE＝∠C，若DE＝1，四边形DBCE的面积是△ADE的面积的3倍，则BC的长为．12．平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（2，4），B（3，0），在第一象限内以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A'的坐标为．13．小明用这样的方法来测量某建筑物的高度：如图，在地面上放一面镜子，调整位置，直至刚好能从镜子中看到建筑物的顶端．如果此时小明与镜子的距离是2m，镜子与建筑物的距离是20m．他的眼睛距地面1.5m，那么该建筑物的高是．14．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q．平行四边形ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为．15．如图，AB、AC分别为⊙O内接正三边形和正四边形的边，OC与AB交于点D，若BD ＝2，则图中阴影部分的面积为．16．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若∠BAD+∠ACB＝180°，且BC ＝3，AD＝4，AC＝5，AB＝6，则＝．17．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝16，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个长度单位的速度向点B运动：同时点Q从点C出发，沿CA方向以每秒3个长度单位的速度向点A运动，其中一点到达终点，则另一点也随之停止运动，当△ABC与以A、P、Q为顶点的三角形相似时，运动时间为秒．18．如图，点C为半圆的中点，AB是直径，点D是半圆上一点，AC，BD交于点E，若AD＝1，BD＝7，则CE的长为．19．梯形ABCD中，AD∥BC，AC交BD于点O，若S△AOD＝4，S△AOB＝6，则△BCD 的面积为．20．如图，⊙O是锐角△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF 交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．下列结论：①AF平分∠BAC；②点F为△BDC的外心；③；④若点M，N分别是AB和AF上的动点，则BN+MN的最小值是AB sin∠BAC．其中一定正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）．三．解答题21．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC边上取一点E，使∠ADE＝45°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD＝x，AE＝y．①求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；②求y的最小值．22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长；（3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长．23．如图，△ABC中，AB＝AC，AM为BC边的中线，点D在边AC上，联结BD交AM 于点F，延长BD至点E，使得＝，联结CE．求证：（1）∠ECD＝2∠BAM；（2）BF是DF和EF的比例中项．24．教材呈现：下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容猜想如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，根据画出的图形，可以猜想：DE∥BC，且DE＝BC．对此，我们可以用演绎推理给出证明证明在△ABC中，∵点D、E分别是AB与AC的中点，∴请根据教材提示，结合图①，写出完整证明过程，结论应用：如图②在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，M是DC中点，N是AB中点，MN与BD相交于点Q．（1）求证：∠PMN＝∠PNM；（2）若AD＝BC＝4，∠ADB＝90°，∠DBC＝30°，则PQ＝．25．已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、DC上，AB2＝BE•DC，DE：EC＝3：1，F是边AC上的一点，DF与AE交于点G．（1）找出图中与△ACD相似的三角形，并说明理由；（2）当DF平分∠ADC时，求DG：DF的值；（3）如图2，当∠BAC＝90°，且DF⊥AE时，求DG：DF的值．参考答案一．选择题1．解：如图所示，过M作MQ⊥BC于Q，过N作NP⊥AB于P，则Rt△APN中，AN＝PN＝EG，Rt△CMQ中，CM＝MQ＝GF，∵正方形ABCD中，AC是对角线，∴∠BAN＝∠MCB＝45°，又∵∠MBN＝45°，∴∠ABN＝∠ABM+45°＝∠CMB，∴△ABN∽△CMB，∴＝，即CM×AN＝AB×CB，∴GF×EG＝9，即2GF×EG＝9，∴GE•GF的值是，故选：D．2．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠DAB＝90°，∵△APB是等边三角形，∴∠PAB＝∠PBA＝∠APB＝60°，∴∠DAE＝30°，∴AE＝2DE，故①正确，∵AB∥CD，∴∠PFE＝∠ABP＝∠APH＝60°，∵∠AHP＝∠PBA+∠BAH＝60°+45°＝105°，又∵BC＝BP，∠PBC＝30°，∴∠BPC＝∠BCP＝75°，∴∠CPF＝105°，∴∠PHA＝∠CPF，∴△CFP∽△APH，故②正确，∵∠CPA＝60°+75°＝135°≠∠CPF，∴△PFC与△PCA不相似，故③错误，∵∠PCH＝∠PCB﹣∠BCH＝75°﹣45°＝30°，∴∠PCH＝∠PBC，∵∠CPH＝∠BPC，∴△PCH∽△PBC，∴＝，∴CP2＝PH•PB，故④正确，故选：C．3．解：∵PQ∥AB，∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD，∴∠QBD＝∠BDQ，∴QB＝QD，∴△BQD是等腰三角形，故①正确，∵QD＝DF，∴BQ＝PD，故②正确，∵PQ∥AB，∴＝，∵AC与BC不相等，∴BQ与PA不一定相等，故③错误，∵∠PCQ＝90°，QD＝PD，∴CD＝QD＝DP，∵△ABC∽△PQC，∴＝（）2＝（）2＝（1+）2，故④正确，故选：C．4．解：∵DE∥BC，∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，∴，，∴，即，故选：B．5．解：∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥AE，∴△FDC∽△FAE，∴＝，∴＝，整理得：x2＝ab，故选：B．6．解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，∴AB＝＝2，设PD＝x，AB边上的高为h，h＝＝，∵PD∥BC，∴△ADP∽△ACB∴，∴AD＝2x，AP＝x，∴S 1+S2＝•2x•x+（2﹣1﹣x）•＝x2﹣2x+4﹣＝（x﹣1）2+3﹣，∴当0＜x＜1时，S1+S2的值随x的增大而减小，当1≤x≤2时，S1+S2的值随x的增大而增大．故选：C．7．解：∵AB2+AC2＝100＝BC2，∴∠BAC＝90°，∵△DEF∽△ABC，∴∠EDF＝∠BAC＝90°，如图1延长ED交BC于M，延长FD交BC于N，∵△DEF∽△ABC，∴∠B＝∠E，∵EF∥BC，∴∠E＝∠EMC，∴∠B＝∠EMC，∴AB∥DE，同理：DF∥AC，∴四边形AGDH为平行四边形，∵∠EDF＝90°，∴四边形AGDH为矩形，∵GH⊥AD，∴四边形AGDH为正方形，当点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，如图2，点D在内部时（N在△ABC内部或BC边上），延长GD至N，过N作NM⊥AC于M，∴矩形GNMA面积大于矩形AGDH，∴点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，只有点D在BC边上时，面积才有可能最大，如图2，点D在BC上，∵△DEF∽△ABC，∴∠F＝∠C，∵EF∥BC．∴∠F＝∠BDG，∴∠BDG＝∠C，∴DG∥AC，∴△BGD∽△BAC，∴＝，∴＝，∴＝，∴AH＝8﹣GA，S矩形AGDH＝AG×AH＝AG×（8﹣AG）＝﹣AG2+8AG，当AG＝﹣＝3时，S矩形AGDH最大，S矩形AGDH最大＝12．故选：A．8．解：如图，设AD交PN于点K．∵PM：PQ＝3：2，∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．∵四边形PQNM是矩形，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC，∵AD⊥BC，BC∥PM，∴AD⊥PM，∴＝，∴＝，解得k＝20mm，∴PM＝3k＝60mm，故选：A．9．解：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF∵∠EAF＝45°∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°∴∠EAH＝∠EAF＝45°在△AEF和△AEH中∴△AEF≌△AEH（SAS）∴EH＝EF∴∠AEB＝∠AEF∴BE+BH＝BE+DF＝EF，故②正确∵∠ANM＝∠ADB+∠DAN＝45°+∠DAN，∠AEB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣（∠HAE﹣∠BAH）＝90°﹣（45°﹣∠BAH）＝45°+∠BAH∴∠ANM＝∠AEB∴∠ANM＝∠AEB＝∠ANM；故③正确，∵AC⊥BD∴∠AOM＝∠ADF＝90°∵∠MAO＝45°﹣∠NAO，∠DAF＝45°﹣∠NAO∴△OAM∽△DAF故①正确连接NE，∵∠MAN＝∠MBE＝45°，∠AMN＝∠BME∴△AMN∽△BME∴∴∵∠AMB＝∠EMN∴△AMB∽△NME∴∠AEN＝∠ABD＝45°∵∠EAN＝45°∴∠NAE＝NEA＝45°∴△AEN是等腰直角三角形∴AE＝∵∠MBE＝∠EAF＝45°，∠AEB＝∠AEF，∴△AFE∽△BME，∵△AMN∽△BME，∴△AMN∽△AFE∴∴∴∴S△AFE＝2S△AMN故④正确故选：D．10．解：如图，∵动点F，E的速度相同，∴DF＝CE，又∵CD＝BC，∴CF＝BE，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF（SAS），故①正确；∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，故②正确；∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠APB＝90°，故③正确；在△BPE和△BCF中，∵∠BPE＝∠BCF，∠PBE＝∠CBF，∴△BPE∽△BCF，∴，∴CF•BE＝PE•BF，∵CF＝BE，∴CF2＝PE•BF，故④正确；∵点P在运动中保持∠APB＝90°，∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△BCG中，CG＝，∵PG＝AB＝，∴MN＝CP＝CG﹣PG＝，即线段MN的最小值为，故⑤错误；综上可知正确的有4个，故选：C．二．填空题（共10小题）11．解：∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C，∴△ADE∽△ACB，∵四边形DBCE的面积是△ADE的面积的3倍，∴，∵，∴，∴BC＝2，故答案为：212．解：以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，A（2，4），∴A的对应点A'的坐标为（2×，4×），即（1，2），故答案为：（1，2）．13．解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，∴△ABP∽△CDP∴＝，即：，解得：CD＝15（米）．故答案为：15．14．解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴AD＝BC＝CE，AB∥C D，AC∥DE，∴平行四边形ACED的面积＝平行四边形ABCD的面积＝6，△BCP∽△BDE，△ABP ∽△CQP∽△DQR，∴△ABC的面积＝△CDE的面积＝3，CP：ER＝BC：BE＝1：2，∵点R为DE的中点，∴CP：DR＝1：2，∴CP：AC＝CP：DE＝1：4，∵S△ABC＝3，∴S△ABP＝S△ABC＝，∵CP：AP＝1：3，∴S△PCQ＝S△ABP＝，∵CP：DR＝1：2，∴S△DQR＝4S△PCQ＝1，∴S阴影＝S△PCQ+S△DQR＝．故答案为：．15．解：∵AB、AC分别为⊙O内接正三边形和正四边形的边，∴∠AOB＝120°，∠AOC＝90°，∴∠BOC＝∠ABO＝30°，∴OD＝BD＝2，过点D作DE⊥OB于E，如图所示：则DE＝OD＝，OB ＝2OE＝2×OD＝2××2＝6，∴扇形BOC的面积＝＝3π，△OBD的面积＝×6×＝3，∴阴影部分面积为3π﹣3，故答案为：3π﹣3．16．解：如图，过点O作OE∥AD，交AB于E，∵OE∥AD，∴∠OEB＝∠DAB，∵∠BAD+∠ACB＝180°，∴∠ACB+∠OEB＝180°，∴∠ABC+∠COE＝180°，且∠AOE+∠COE＝180°，∴∠AOE＝∠ABC，且∠BAC＝∠EAO，∴△AOE∽△ABC，∴，∴∴OE＝，∵OE∥AD，∴△BOE∽△BDA，∴，∴＝∴BE＝，∴AE＝6﹣BE＝，∵OE∥AD，∴＝＝＝，故答案为：．17．解：设运动时间为t秒．AP＝2t，CQ＝3t，AQ＝AC﹣CQ＝16﹣3t，当△ABC∽△APQ，，即，解得t＝；当△ACB∽△APQ，，即，解得t＝4，故答案为4或．18．解：如图，连接AD，BC∵AB为直径∴∠C＝∠D＝90°∵AD＝1，BD＝7，∴AB＝＝＝5∵点C为半圆的中点，∴AC＝BC∴AC2+BC2＝AB2∴2BC2＝50∴BC＝AC＝5∵∠C＝∠D，∠BEC＝∠AED ∴△BEC∽△AED∴＝＝＝∴∴故答案为：．19．解：∵S△AOD＝4，S△AOB＝6，∴OD：OB＝2：3，∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴＝（）2＝，∴S△OBC＝9，∴S△ODC＝S△OBC＝6，∴S△BCD＝S△OBC+S△ODC＝9+6＝15，故答案为15．20．解：如图1，连接OF，CF，∵FH是⊙O的切线，∴OF⊥FH，∵FH∥BC，∴OF⊥BC，且OF为半径，∴OF垂直平分BC，∴＝∴∠1＝∠2，BF＝CF，∴AF平分∠BAC，故①正确，∵∠1＝∠2，∠4＝∠3，∠5＝∠2，∴∠1+∠4＝∠2+∠3，∴∠1+∠4＝∠5+∠3，∵∠1+∠4＝∠BDF，∠5+∠3＝∠FBD，∴∠BDF＝∠FBD，∴BF＝FD，且BF＝CF，∴BF＝DF＝CF，∴点F为△BDC的外心，故②正确；如图2，过点C作CG∥AB，交AF的延长线于点G，∵CG∥AB，∴∠BAE＝∠EGC，且∠BAE＝∠CAE，∴∠CAE＝∠CGE，∴AC＝CG，∵CG∥AB，∴△BAE∽△CGE，∴，∴＝＝，故③正确；如图3，作点M关于AF的对称点M'，∵点M与点M'关于AF对称，∴MN＝M'N，∴BN+MN＝BN+M'N，∴当点N在线段BM'上，且BM'⊥AC时，BN+MN有最小值为BM'，且sin∠BAC＝，∴BN+MN最小值为AB sin∠BAC，故④正确，故答案为：①②③④．三．解答题（共5小题）21．（1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，BC＝2，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝45°+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠EAC＝45°+∠EAC，∴∠BAD＝∠EAC，又∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE；（2）解：①∵△ABD∽△DCE，∴＝，即＝∴y＝x2﹣x+2（0＜x＜2）；②y＝x2﹣x+2＝（x﹣）2+1，则当x＝时，y的最小值是1．22．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∠ADC＝∠BAD+∠B，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，∴△BAD∽△CDE，∴＝，即AB•CE＝BD•CD；（2）解：∵DF平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∵∠CDE＝∠BAD，∴∠ADE＝∠BAD，∴DF∥AB，∴＝，∵∠BAD＝∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠C，又∠B＝∠B，∴△BDA∽△BAC，∴＝，即＝解得，BD＝，∴＝，解得，AE＝；（3）解：作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝HC＝BC＝8，由勾股定理得，AH＝＝＝6，∴tan B＝＝，∴tan∠ADF＝＝，设AF＝3x，则AD＝4x，由勾股定理得，DF＝＝5x，∵△BAD∽△CDE，∴＝，当点F在DE的延长线上，FA＝FE时，DE＝5x﹣3x＝2x，∴＝，解得，CD＝5，∴BD＝BC﹣CD＝11，当EA＝EF时，DE＝EF＝2.5x，∴＝，解得，CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝；当AE＝AF＝3x时，DE＝x，∴＝，解得，CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝；当点F在线段DE上时，∠AFE为钝角，∴只有FA＝FE＝3x，则DE＝8x，∴＝，解得，CD＝20＞16，不合题意，∴△AEF是等腰三角形时，BD的长为11或或．23．证明：（1）∵AB＝AC，AM为BC边的中线，∴∠BAC＝2∠BAM，∵＝，∠ADB＝∠CDE，∴△ADB∽△CDE，∴∠BAC＝∠ECD，∴∠ECD＝2∠BAM；（2）如图，连接CF，∵AB＝AC，AM为BC边的中线，∴AM是BC的垂直平分线，∴BF＝CF，且AB＝AC，AF＝AF，∵△ABF≌△ACF（SSS）∴∠ABF＝∠ACF，由（1）可知：△ADB∽△CDE，∴∠ABF＝∠E，∴∠ACF＝∠E，且∠EFC＝∠DFC，∴△DCF∽△CEF，∴，且BF＝CF，∴BF2＝DF•EF，∴BF是DF和EF的比例中项．24．教材呈现：证明：在△ABC中，∵点D、E分别是AB与AC的中点，∴，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴DE∥BC，＝，即：DE∥BC，DE＝BC，结论应用：（1）证明：∵点P，M分别是BD，DC的中点，∴PM＝BC，∵点P，N分别是BD，AB的中点，∴PN＝AD，∵BC＝AD，∴PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM；（2）解：∵点P，M分别是BD，DC的中点，∴PM∥BC，∴∠DPM＝∠DBC＝30°∵点P，N分别是BD，AB的中点，∴PN∥AD，∴PN＝AD＝2，∠DPN＝180°﹣∠ADB＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝120°，由（1）知，∠PMN＝∠PNM，∴∠PMN＝∠PNM＝30°，过点P作P E⊥MN于E，∴∠NPE＝90°﹣∠PNM＝60°，∴∠EPQ＝∠DPN﹣∠NPE＝30°，在Rt△PEN中，∴∠PNE＝30°，PN＝2，∴PE＝PN＝1，在Rt△PEQ中，PQ＝＝＝＝，故答案为：．25．解：（1）与△ACD相似的三角形有：△ABE、△ADC，理由如下：∵AB2 ＝BE•DC，∴＝，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，＝，∴△ABE∽△DCA．∵△ABE∽△DCA，∴∠AED＝∠DAC．∵∠AED＝∠C+∠EAC，∠DAC＝∠DAE+∠EAC，∴∠DAE＝∠C．∴△ADE∽△CDA；（2）∵△ADE∽△CDA，又∵DF平分∠ADC，∴＝＝，设CE＝a，则DE＝3CE＝3a，CD＝4a，∴＝，解得：AD＝2a，∴＝＝＝；（3）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠DAE＝∠C＝45°∵DG⊥AE，∴∠DAG＝∠ADF＝45°，∴AG＝DG＝AD＝×2a＝a，∴EG＝＝＝a，∴AE＝AG+EG＝（+）a，∵∠AED＝∠DAC，∴△ADE∽△DFA，∴＝，∴DF＝＝＝4（﹣）a，∴＝＝．。
重庆市第一 一〇中学校2020年九年级数学中考复习 图形的相似 测试卷(含答案详解)
图形的相似复习测试卷一、选择题（48分）1.如图，中，D，E两点分别在AB，AC 边上，且，如果，，那么AE 的长为A. 3B. 4C. 9D. 122.如图，已知直线，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F ，若，则A.B.C.D. 13.与的相似比为1：4，则与的周长比为A. 1：2B. 1：3C. 1：4D. 1：164.下列四组线段中，是成比例线段的是A. 5cm，6cm，7cm，8cmB. 3cm，6cm，2cm，5cmC. 2cm，4cm，6cm，8cmD. 12cm，8cm，15cm，10cm5.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D ，使得，，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得，，，则河的宽度AB长为A. 90mB. 60mC. 45mD. 30m6.如图，，直线、与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E 、若，，，则DE 的长度是A.B. 3C. 5D. 7.下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与相似的是A. B. C. D.8.如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE ：：3，的面积为4，则▱ABCD 的面积为A. 30B. 27C. 14D. 329.如图，在中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，若，，则下面所列比例式中正确的是A. B. C. D.10.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD 上，且，将绕点A 顺时针旋转，使点E 落在点处，则下列判断不正确的是A. 是等腰直角三角形B. AF 垂直平分C. ∽D. 是等腰三角形11.如图，正方形ABCD中，M为BC 上一点，，ME交AD的延长线于点若，，则DE 的长为A. 18B.C.D.12.如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m 的竹竿的影长是，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上如图，他先测得留在墙壁上的影高为，又测得地面的影长为，请你帮她算一下，树高是A. B. C. D.二、填空题（24分）13.如图，直线，，，那么EF的值是______．14.若，则______．15.如图，中，，AD：DF ：：3：4，若，则______．16.已知，则______．17.如图，在中，，，，，，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F ，当时，______．18.如图，小明周末晚上陪父母在锦江绿道上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子BC长为1米，已知小明身高米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子DE长为______米．三、解答题（78分）19.如图，已知求证：∽．20.如图，矩形ABCD中，E为BC 上一点，于点F．证明∽；若，，，求DF的长．21.如图，在中，，在AB边上取一点D，使，过D 作交AC于E ，，求DE的长．22.如图，在中，点D，E分别在边AB，AC 上，若，，，求的值．23.如图，在中，，，，以AC 为边作，，，延长BC至点D ，使，连接求证：∽．24.如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB 上，于点G ，于点F ，．求证：∽；若，，求的值．25.已知，如图，在四边形ABCD 中，，延长AD、BC相交于点求证：∽；．26.如图：在矩形ABCD 中，，，动点P 以的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q 以的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t 秒．为多少时，以P、Q、C 为顶点的三角形与相似？在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP 与的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，正确运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理，得到比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】解：，，又，，故选B．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．直接根据平行线分线段成比例定理求解．【解答】解：，．故选B．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键．由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果．【解答】解：与的相似比为1：4，与的周长比为1：4；故选C．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了成比例线段的定义，注意在定义中四条线段的顺序．根据成比例选段的定义，若a、b、c、d 是成比例选段，则有，据此即可判断．【解答】解：A 、，则不是成比例线段，选项错误；B 、，则不是成比例线段，选项错误；C 、，则不是成比例线段，选项错误；D 、，则是成比例线段，选项正确．故选D．5.【答案】B【解析】【分析】求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，确定出相似三角形是解题的关键．【解答】解：，，，又对顶角相等，∽，，即，解得．故选B．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例得到比例式，代入数据即可得到结论．【解答】解：，，即：，，故选B．7.【答案】B【解析】【分析】此题考查了勾股定理逆定理对直角三角形的判定，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．【解答】解：根据勾股定理逆定理，，是直角三角形，夹直角的两边的比为，选项A不是直角三角形，所以不符合题意．选项B 是直角三角形，且三边分别为，夹直角的两边的比为，两三角形相似，所以符合题意．选项C 是直角三角形，且三边分别为，夹直角的两边的比为，和题干所给三角形不相似，所以不符合题意．选项D 不是直角三角形，因为三边分别为，所以不符合题意．故选B．8.【答案】A【解析】【分析】此题是相似三角形的性质和判定，主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质，解本题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．用相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及面积的和差求解．【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，，，，∽，，，，的面积为4，，，，，，，∽，，，，故选A．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理有关知识，根据平行线分线段成比例定理找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：，，，，选项A不正确；，，，，，，，选项B不正确；，，选项C正确；，，，，，，选项D不正确；故选C．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的判定，线段垂直平分线的判定，正确的识别图形是解题的关键．由旋转的性质得到，，于是得到是等腰直角三角形，故A正确；由旋转的性质得到，由正方形的性质得到，推出，于是得到AF 垂直平分，故B正确；根据余角的性质得到，于是得到∽，故C正确；由于，但不一定等于，于是得到不一定是等腰三角形，故D错误．【解答】解：将绕点A 顺时针旋转，使点E 落在点处，，，是等腰直角三角形，故A正确；将绕点A 顺时针旋转，使点E 落在点处，，四边形ABCD是正方形，，，，，，，垂直平分，故B正确；，，，，∽，故C正确；，但不一定等于，不一定是等腰三角形，故D错误；故选D．11.【答案】B【解析】解：四边形ABCD 是正方形，，，．，，．，，，∽，，即，解得，．，，，∽，，即，解得．故选：B．先根据题意得出∽，故可得出CG的长，再求出DG 的长，根据∽即可得出结论．本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行投影解题的关键要知道竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同．此题首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高．【解答】解：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为xm，根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得而，，树在地面的实际影子长是，再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，，树高是．故选C．13.【答案】2 【解析】解：，，，，，，．故答案为2．根据可得，再根据条件，可得，再把代入可得EF的值．此题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．14.【答案】2【解析】解：，，，，，，，．故答案为：2．去掉分母，然后整理求解即可．本题考查了比例的性质，比较简单，用含k的式子表示出分子是解题的关键．15.【答案】12【解析】【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，分别求出AE、GC的长，计算即可．【解答】解：，：EG ：：DF ：：3：4，，，，，故答案为：12．16.【答案】【解析】【分析】此题考查了比例的性质，关键是将变形为根据，可得，再根据比例的性质即可求解．【解答】解：，，，．故答案为．17.【答案】3【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．如图作于Q ，于由∽，推出，可得，由，可得AQ：QP ：：BC ：：4：5，设，则，，，可得，求出x即可解决问题．【解答】解：如图作于Q ，于R．，四边形PQBR是矩形，，，∽，，，，：QP ：：BC ：：4：5，设，则，，，，，．故答案为3．18.【答案】2 【解析】【分析】此题考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用有关知识，依据∽，即可得到，再依据∽，即可得到DE长．【解答】解：由可得，∽，，即，解得，由可得，∽，，即，解得，故答案为2．19.【答案】证明：，在与中，，∽．【解析】利用相似三角形的性质得出，进而利用相似三角形的判定方法得出答案．此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相似三角形判定方法是解题关键．20.【答案】解：四边形ABCD是矩形，，，，∽；，，由勾股定理得，∽；即：【解析】利用矩形和直角三角形的性质得到、，从而证得两个三角形相似．首先利用勾股定理求得线段AE的长，然后利用相似三角形的性质：对应边成比例即可求得DF的长．本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的性质的知识，综合性比较强，但难度不是很大．21.【答案】解：在中，，，，，又，，，，又，∽，，．【解析】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形对应边成比例．依题意易证∽，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求出DE的长．22.【答案】解：，，，，．【解析】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，解题的关键是注意准确应用平行线分线段成比例定理与数形结合思想的应用．根据平行线分线段成比例定理得出，再根据，，即可得出答案．23.【答案】证明：，，，，，，，，，，，，，．．∽．【解析】先利用勾股定理计算出，则，所以，再证明然后根据相似三角形的判定方法可判断∽．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．24.【答案】解：，，，，，，∽，由可知：∽，由可知：，，∽，，．【解析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于中等题型．由于，，所以，从而可证明，进而可证明∽；∽，，又易证∽，所以，从而可知．25.【答案】证明：，，∽；∽，，，∽，，，．【解析】根据邻补角的定义得到，即可得到结论；根据相似三角形的性质得到，由于，得到∽，由相似三角形的性质得到，等量代换得到，即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，邻补角的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．26.【答案】解：在中，，，当时，∽，则，即，解得；当时，∽，则，即，解得；为或时，以P、Q、C 为顶点的三角形与相似；四边形ABQP与的面积不能相等．理由如下：作于H，如图，，∽，，即，，当四边形ABQP与的面积相等时，，即，，整理得，此时方程无实数解，四边形ABQP与的面积不能相等．【解析】先利用勾股定理计算出，由于，根据三角形相似的判定，当时可判断∽，利用相似比得到；当时可判断∽，利用相似比得到，然后分别解方程求出t的值即可；作于H，如图，先证明∽，利用相似比可得到，再利用四边形ABQP与的面积相等得到，利用三角形面积公式得到，然后解关于t的方程可判断四边形ABQP与的面积能否相等．本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．熟练应用相似比计算线段的长．。
2020年中考数学专题24相似三角形判定与性质
【答案】见解析。 【解析】根据平行四边形的性质得到 AD∥CD，AD＝BC，得到△EBF∽△EAD，根据相似三角形的性质证明即 可；根据相似三角形的性质列式计算即可． （1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥CD，AD＝BC， ∴△EBF∽△EAD， ∴ ＝ ＝，
∴BF＝ AD＝ BC， ∴BF＝CF； （2）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥CD，
C．4
D．
【答案】B 【解析】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形 的判定与性质等知识点． 由 S△ABC＝16.S△A′EF＝9 且 AD 为 BC 边的中线知 S△A′DE＝ S△A′EF＝ ，S△ABD＝ S△ABC＝8，根据△
DA′E∽△DAB 知（
专题 24 相似三角形判定与性质
专题知识回顾
1．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做 相似比。 2．三角形相似的判定方法: （1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 （2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相 似。 （3）判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似， 可简述为两角对应相等，两三角形相似。 （4）判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两 个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （5）判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似， 可简述为三边对应成比例，两三角形相似。 3．直角三角形相似判定定理: ①以上各种判定方法均适用 ②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。 ③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 4． 相似三角形的性质: （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例 （2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 （3）相似三角形周长的比等于相似比 （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
中考数学《图形的相似》专项练习题及答案
中考数学《图形的相似》专项练习题及答案一、单选题1．一块含30°角的直角三角板（如图），它的斜边AB=8cm，里面空心△DEF的各边与△ABC的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm，那么△DEF的周长是（）A．5cm B．6cm C．（6-√3）cm D．（3+√3）cm2．如图，DE△BC，EF△AB，现得到下列结论：AEEC=BFFC，ADBF=ABBC，EFAB=DEBC，CECF=EABF其中正确的比例式的个数有()A．4个B．3个C．2个D．1个3．如图，△ABC与△ADE成位似图形，位似中心为点A，若AD:AB=1:3，则△ADE与△ABC面积之比为（）A．1:2B．1:3C．1:9D．1:164．如图，△ABC中，三边互不相等，点P是AB上一点，有过点P的直线将△ABC切出一个小三角形与△ABC相似，这样的直线一共有（）A．5条B．4条C．3条D．2条5．如图，已知△ABC和△EDC是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△EDC的位似比为1：2，△ABC面积为2，则△EDC的面积是（）A．2B．8C．16D．326．如图，△ADE△△ABC，若AD＝2，BD＝4，则△ADE与△ABC的相似比是（）A．1：2B．1：3C．2：3D．3：27．如图，以A为位似中心，将△ADE放大2倍后，得位似图形△ABC，若s1表示△ADE的面积，s2表示四边形DBCE的面积，则s1：s2=（）A．1︰2B．1︰3C．1︰4D．2︰38．如图，按如下方法，将△ABC的三边缩小到原来的12，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F得△DEF，则下列说法正确的是（）①△ABC与△DEF是相似图形；②△ABC与△DEF的周长比为2：1；③△ABC与△DEF的面积比为4：1．A．①、②B．②、③C．①、③D．①、②、③9．如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，CB相交于点P，若∠DPB=45°，则S△CDP：S△ABP 的值（）A．25B．23C．13D．1210．如图，AD△BE△CF，直线l1、l2这与三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长为（）A．4B．5C．6D．811．一个三角形的三边长分别为3,4,5,另一个与它相似的三角形中有一条边长为6.则这个三角形的周长不可能是()A．725B．18C．48D．2412．如图，小正方形的边长为均为1，下列各图（图中小正方形的边长均为1）阴影部分所示的三角形中，与△ABC相似的三角形是（）A．B．C．D．二、填空题13．勾股定理是一个基本的几何定理，有数百种证明方法．“青朱出入图”是我国古代数学家证明勾股定理的几何证明法．刘徽描述此图“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，加就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也”．若图中BF=4，DF=2，则AE=．14．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC上一点，BE=1，AE与BD交于点F．则DF的长为．15．如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，AD为△ABC的外角的平分线，AB＝2BC，AC＝3，CD＝4，则AB的长为．16．如图，在△ABC中，△BAC=90°，AD△BC于D，BD=3，CD=12，则AD的长为17．在某一时刻，测得一根高为1m的竹竿的影长为2m，同时测得一栋高楼的影长为40m，这栋高楼的高度是m．18．如图，已知路灯离地面的高度AB为4.8m，身高为1.6m的小明站在D处的影长为2m，那么此时小明离电杆AB的距离BD为m．三、综合题19．如图，已知△BAC=90°，AD△BC于D，E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F．求证：（1）△DFB△△AFD；（2）AB：AC=DF：AF．20．一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上）.（1）发现BE与DG数量关系是，BE与DG的位置关系是.（2）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图2），（1）中的结论还成立吗？若能，请给出证明；若不能，请说明理由.（3）把图1中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG=ABAD=23，AE=2，AB=4，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG.小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请直接写出这个定值.21．如图，已知点D在△ABC的外部，AD△BC，点E在边AB上，AB•AD＝BC•AE．（1）求证：△BAC＝△AED；（2）在边AC取一点F，如果△AFE＝△D，求证：ADBC=AFAC．22．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作BD的垂线与边AD，BC分别交于点E，F，连接BE交AC于点K，连接DF。
2020年中考数学专题相似三角形综合练习（含答案）
2020年中考数学专题 相似三角形综合（含答案）一、单选题（共有10道小题） 1.如图，在△在△ABC ABC 中，∠ACB= 90，CD CD⊥⊥AB AB，，垂足为D ，点E 是AB 的中点，CD=DE=a CD=DE=a，，则AB 的长为（的长为（ ）A ．2a 2aB B ．a 22C ．3aD ． 2.根据下列条件，△根据下列条件，△ABC ABC 和△111C B A 不相似的是（不相似的是（ ）A.A.∠∠A=68°，∠B=40°，∠A 1=68°，∠B 1=72°B.B.∠∠B=∠B 1，BC=2，BC:A 1 B 1= A B: B 1C 1C.C.AB=1AB=1，BC=2， CA=1.5，A 1 B 1=4， B 1 C 1 =8，D.D.AB=12AB=12，BC=15，CA=24，A 1 B 1=24，A 1 B 1=20，B 1 C 1 =25，A 1 C 1=32 3.用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心（用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心（ ） A.A.只能选在原图形的外部只能选在原图形的外部只能选在原图形的外部B.B.只能选在原图形的内部只能选在原图形的内部只能选在原图形的内部C.C.只能选在原形的边上只能选在原形的边上只能选在原形的边上D.D.可以选择任意位置可以选择任意位置可以选择任意位置4.如图，如图，AB AB AB，，CD 都是BD 的垂线，的垂线，AB=4AB=4AB=4，，CD=6CD=6，，BD=14BD=14。
P 是BD 上一点，连接AP AP，，CP CP，所得，所得两个三角形相似，则BP 的长是（的长是（ ）A.2B.5.6C.12D.上述都有可能上述都有可能上述都有可能5.如图，是一束平行的光线从教室窗户射入教室的示意图，测得光线与地面所成的角∠AMC=30AMC=30°，窗户的高在教室地面上的影长°，窗户的高在教室地面上的影长MN=32m ，窗户的下沿到教室地面的距离BC=1m （点M ，N ，CC 在同一直线上），则窗户的高AB= 。
2020届中考数学知识点练习：图形的相似(含答案)
图形的相似一、选择题1．（2019常德）如图，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是A．20 B．22 C．24 D．26【答案】D2．（2019凉山）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD∶DC=1∶2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE∶EC=A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶3【答案】B3．（2019赤峰）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE=∠ACB，若AD=2，AB=6，AC=4，则AE的长是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C4．（2019重庆）如图，△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2，则AB的长是A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C5．（2019连云港）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似A ．①处B ．②处C ．③处D ．④处【答案】B6．（2019邵阳）如图，以点O 为位似中心，把△ABC 放大为原图形的2倍得到△A ′B ′C ′，以下说法中错误的是A ．△ABC ∽△A ′B ′C ′B ．点C 、点O 、点C ′三点在同一直线上 C ．AO ∶AA ′=1∶2D ．AB ∥A ′B ′ 【答案】C7．（2019温州）如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 中点，以BE 为边作正方形BEFG ，边EF 交CD 于点H ，在边BE 上取点M 使BM =BC ，作MN ∥BG 交CD 于点L ，交FG 于点N ，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a +b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2，现以点F 为圆心，FE 为半径作圆弧交线段DH 于点P ，连结EP ，记△EPH 的面积为S 1，图中阴影部分的面积为S 2．若点A ，L ，G 在同一直线上，则12S S 的值为A ．2 B ．3C D 【答案】C8．（2019淄博）如图，在△ABC 中，AC =2，BC =4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD =∠B ．若△ADC 的面积为a ，则△ABD 的面积为A ．2aB ．52a C ．3aD ．72a【答案】C9．（2019杭州）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB 和AC 上，DE ∥BC ，M 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），连接AM 交DE 于点N ，则A ．AD ANAN AE = B ．BD MNMN CE =C ．DN NEBM MC=D ．DN NEMC BM= 【答案】C10．（2019玉林）如图，AB ∥EF ∥DC ，AD ∥BC ，EF 与AC 交于点G ，则是相似三角形共有A．3对B．5对C．6对D．8对【答案】C11．（2019安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC 于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF=EG，则CD的长为A．3.6 B．4 C．4.8 D．5【答案】B12．（2019兰州）已知△ABC∽△A'B'C'，AB=8，A'B'=6，则BCB'C'=A．2 B．43C．3 D．169【答案】B13．（2019常州）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4【答案】B二、填空题14．（2019吉林）在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时同地测得一栋楼的影长为90 m，则这栋楼的高度为__________m．【答案】5415．（2019台州）如图，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC=90°，BD=4，且23mn，则m+n的最大值为__________．【答案】25 316．（2019南京）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠AC B．若AD=2，BD=3，则AC的长__________．17.(2019)烟台）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（-2，-1），B（-2，-3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，-1），B1（1，-5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为__________．【答案】（-5，-1）18.(2019)本溪）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为__________．【答案】（2，1）或（-2，-1）19．（2019宜宾）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC=4，BC=3，则AD=__________．【答案】16 520．（2019河池）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=2，AC=3，则ABCD=__________．【答案】2 521．(2019淮安）如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=3，DE=2，BC=6，则EF=__________．【答案】4三、解答题22．（2019福建）已知△ABC和点A'，如图．（1）以点A'为一个顶点作△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，且△A'B'C'的面积等于△ABC面积的4倍；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、C'A'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'．解：（1）作线段A 'C '=2AC 、A 'B '=2AB 、B 'C '=2BC ，得△A 'B 'C '即可所求．∵A 'C '=2AC 、A 'B '=2AB 、B 'C '=2BC ，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴2()4A B C'ABC ''S A B''S AB==△△． （2）如图，∵D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、AC 的中点， ∴111222DE BC DF AC EF AB ===，，， ∴△DEF ∽△ABC同理：△D 'E 'F '∽△A 'B 'C '， 由（1）可知：△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∴△DEF ∽△D 'E 'F '．23．（2019绍兴）如图，矩形ABCD 中，AB =a ，BC =b ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，MN ，EF 交于点P ，记k =MN ：EF ．（1）若a ：b 的值为1，当MN ⊥EF 时，求k 的值．（2）若a ：b 的值为12，求k 的最大值和最小值．（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE=60°，MP=EF=3PE时，求a：b的值．解：（1）如图1中，作FH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O．∵四边形ABCD是正方形，∴FH=AB，MQ=BC，∵AB=CB，∴FH=MQ，∵EF⊥MN，∴∠EON=90°，∵∠ECN=90°，∴∠MNQ+∠CEO=180°，∠FEH+∠CEO=180°，∴∠FEH=∠MNQ，∵∠EHF=∠MQN=90°，∴△FHE≌△MQN（ASA），∴MN=EF，∴k=MN：EF=1．（2）∵a：b=1：2，∴b=2a，由题意：2a≤MN≤，a≤EF≤，∴当MN的长取最大时，EF取最短，此时k当MN的长取最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为5．（3）连接FN，ME．∵k=3，MP=EF=3PE，∴MN EFPM PE==3，∴PN PFPM PE==2， ∴△PNF ∽△PME ，∴NF PNME PM==2，ME ∥NF ， 设PE =2m ，则PF =4m ，MP =6m ，NP =12m ，①如图2中，当点N 与点D 重合时，点M 恰好与点B 重合．过点F 作FH ⊥BD 于点H ．∵∠MPE =∠FPH =60°，∴PH =2m ，FH ，DH =10m ，∴a AB FHb AD HD ===．②如图3中，当点N 与点C 重合，过点E 作EH ⊥MN 于点H ．则PH =m ，HE =，∴HC =PH +PC =13m ，∴tan ∠HCE MB HE BC HC ===， ∵ME ∥FC ，∴∠MEB =∠FCB =∠CFD ， ∵∠B =∠D ，∴△MEB ∽△CFD ，∴CD FC MB ME ==2，∴213a CD MBb BC BC ===，综上所述，a ：b 24．（2019凉山）如图，∠ABD =∠BCD =90°，DB 平分∠ADC ，过点B 作BM ∥CD 交AD 于M ．连接CM 交DB 于N ． （1）求证：BD 2=AD ·CD ；（2）若CD =6，AD =8，求MN 的长．解：（1）证明：∵DB 平分∠ADC ， ∴∠ADB =∠CDB ，且∠ABD =∠BCD =90°， ∴△ABD ∽△BCD ， ∴AD BDBD CD=， ∴BD 2=AD ·CD ．（2）∵BM ∥CD ，∴∠MBD =∠BDC ， ∴∠ADB =∠MBD ，且∠ABD =90°， ∴BM =MD ，∠MAB =∠MBA ， ∴BM =MD =AM =4，∵BD 2=AD ·CD ，且CD =6，AD =8，∴BD 2=48， ∴BC 2=BD 2-CD 2=12， ∴MC 2=MB 2+BC 2=28，∴MC =∵BM ∥CD ，∴△MNB ∽△CND ，∴23BM MN CD CN ==，且MC =∴MN =5． 25．（2019舟山）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．（1）温故：如图1，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，正方形PQMN 的边QM 在BC 上，顶点P ，N 分别在AB ，AC 上，若BC=a，AD=h，求正方形PQMN的边长（用a，h表示）．（2）操作：如何画出这个正方形PQMN呢？如图2，小波画出了图1的△ABC，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使点Q'，M'在BC边上，点N'在△ABC内，然后连结BN'，并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．（4）拓展：小波把图2中的线段BN称为“波利亚线”，在该线上截取NE=NM，连结EQ，EM（如图3），当∠QEM=90°时，求“波利亚线”BN的长（用a，h表示）．请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．解：（1）证明：如图1，由正方形PQMN得PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴NP AEBC AD=，即PN h PNa h-=，解得PNaha h =+．（3）证明：由画法得，∠QMN=∠PNM=∠POM=90°，∴四边形PQMN为矩形，∵N'M'⊥BC，NM⊥BC，∴NM'∥NM，∴△BN'M'∽△BNM，∴N'M'BN'NM BN=，同理可得=N'P'BN'NP BN，∴N'M'P'N' NM PN=.∵N′M′=P′N′，∴NM=PN，∴四边形PQMN为正方形．（4）如图2，过点N作NR⊥ME于点R．∵NE=NM，∴∠NEM=∠NME，∴ER=RM=12 EM，又∵∠EQM+∠EMQ=∠EMQ+∠EMN=90°，∴∠EQM=∠EMN.又∠QEM=∠NRM=90°，NM=QM，∴△EQM≌△RMN（AAS），∴EQ=RM，∴EQ=12 EM，∵∠QEM=90°，∴∠BEQ+∠NEM=90°，∴∠BEQ=∠EMB，又∵∠EBM=∠QBE，∴△BEQ∽△BME，∴1=2 BQ BE EQBE BM EM==．设BQ=x，则BE=2x，BM=4x，∴QM=BM–BQ=3x=MN=NE，∴BN=BE+NE=5x，∴BN=53NM=533aha h+．26．（2019巴中）△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示．①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1∶2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．③在②的条件下求出点B经过的路径长．解：①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，-3）．②如图，△A2B2C为所作．③OB=点B经过的路径长=．27．（2019衢州）如图，在Rt△AB C中，∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE ∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G．（1）求CD的长．（2）若点M是线段AD的中点，求EFDF的值．（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG=60°？解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴∠DAC12=∠BAC=30°，在Rt△ADC中，DC=AC•tan30°=63⨯=．（2）由题意易知：BC BD∵DE∥AC，∴∠EDA=∠DAC，∠DFM=∠AGM，∵AM=DM，∴△DFM≌△AGM（ASA），∴DF=AG，由DE∥AC，得△BFE∽△BGA，∴EF BE BD AG AB BC==，∴23 EF EF BDDF AG BC====．（3）∵∠CPG=60°，过C，P，G作外接圆，圆心为Q，∴△CQG是顶角为120°的等腰三角形．①当⊙Q与DE相切时，如图1，过点Q作QH⊥AC于H，并延长HQ与DE交于点P．连结QC，QG．设⊙Q 的半径QP =r ．则QH 12=r ，r 12+r ，解得r =，∴CG ==4，AG =2， 易知△DFM ∽△AGM ，可得43DM DF AM AG ==，∴DM 47=，∴DM = ②当⊙Q 经过点E 时，如图2，过点C 作CK ⊥AB ，垂足为K ，设⊙Q 的半径QC =QE =r ．则QK r .在Rt △EQK 中，12+（r ）2=r 2，解得r =∴CG 143==，易知△DFM ∽△AGM ，可得DM 5=．③当⊙Q经过点D时，如图3中，此时点M与点G重合，且恰好在点A处，可得DM．∴综上所述，当DM=DM≤P只有一个．28．（2019荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC=2 m，BD=2.1 m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6 m，试确定楼的高度OE．解：如图，设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，∵GF∥AC，∴△MAC∽△MFG，∴AC MA MO FG MF MH==，即：AC OE OE OEBD MH MO OH OE BF ===++，∴21.62.1OE OE =+，∴OE =32，答：楼的高度OE 为32米．29．（2019安徽）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，P 为△ABC 内部一点，且∠APB =∠BPC =135°． （1）求证：△PAB ∽△PBC ； （2）求证：PA =2PC ；（3）若点P 到三角形的边AB ，BC ，CA 的距离分别为h 1，h 2，h 3，求证h 12=h 2·h 3．证明：（1）∵∠ACB =90°，AB =BC ， ∴∠ABC =45°=∠PBA +∠PBC ，又∠APB =135°，∴∠PAB +∠PBA =45°， ∴∠PBC =∠PAB ， 又∵∠APB =∠BPC =135°， ∴△PAB ∽△PBC ．（2）∵△PAB ∽△PBC ，∴PA PB ABPB PC BC ==，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∴ABBC=∴PB PA ==，，∴PA =2PC ．（3）如图，过点P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AC 交BC 、AC 于点D ，E ，∴PF =h 1，PD =h 2，PE =h 3，∵∠CPB +∠APB =135°+135°=270°， ∴∠APC =90°， ∴∠EAP +∠ACP =90°， 又∵∠ACB =∠ACP +∠PCD =90°， ∴∠EAP =∠PCD ， ∴Rt △AEP ∽Rt △CDP ，∴2PE APDP PC==，即322h h =，∴h 3=2h 2， ∵△PAB ∽△PBC，∴12h AB h BC==∴12h =，∴2212222322h h h h h h ==⋅=．即h 12=h 2·h 3．30．（2019长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．①四条边成比例的两个凸四边形相似；（__________命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（__________命题） ③两个大小不同的正方形相似．（__________命题）（2）如图1，在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，∠ABC =∠A 1B 1C 1，∠BCD =∠B 1C 1D 1，1111AB BC A B B C ==11CDC D ．求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似．（3）如图2，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ∥AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ．记四边形ABFE 的面积为S 1，四边形EFCD 的面积为S 2，若四边形ABFE 与四边形EFCD 相似，求21S S 的值．解：（1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等． ②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例． ③两个大小不同的正方形相似．是真命题．故答案为：假，假，真． （2）证明：如图1中，连接BD ，B 1D 1．∵∠BCD =∠B 1C 1D 1，且1111BC CDB C C D =， ∴△BCD ∽△B 1C 1D 1，∴∠CDB =∠C 1D 1B 1，∠C 1B 1D 1=∠CBD ，∵111111AB BC CD A B B C C D ==，∴1111BD ABB D A B =， ∵∠ABC =∠A 1B 1C 1， ∴∠ABD =∠A 1B 1D 1， ∴△ABD ∽△A 1B 1D 1，∴1111AD ABA D AB =，∠A =∠A 1，∠ADB =∠A 1D 1B 1， ∴11111111AB BC CD ADA B B C C D A D ===，∠ADC =∠A 1D 1C 1，∠A =∠A 1，∠ABC =∠A 1B 1C 1，∠BCD =∠B 1C 1D 1， ∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似．（3）证明：∵四边形ABCD 与四边形EFCD 相似．∴DE EFAE AB=， ∵EF =OE +OF ，∴DE OE OFAE AB+=， ∵EF ∥AB ∥CD ， ∴DE OE DE OC OF AD AB AD AB AB =-=，，∴DE DE OE OF AD AD AB AB +=+，∴2DE DEAD AE=， ∵AD =DE +AE ， ∴21DE AE AE=+，∴2AE =DE +AE ，∴AE =DE ，∴12S S =1．。
专题27 图形的相似(46题)(解析版)--2024年中考数学真题分类汇编
专题27图形的相似（46题）一、单选题1．（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比是1:3，则这两个相似三角形的面积比是（）A ．1:3B ．1:4C ．1:6D ．1:9【答案】D【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可．【详解】解：两个相似三角形的相似比是1:3，则这两个相似三角形的面积比是1:9，故选：D ．2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为260cm 的三角形硬纸板（记为ABC ）平行于投影面时，在点光源O 的照射下形成的投影是111A B C △，若123OB BB =::，则111A B C △的面积是（）A ．290cmB ．2135cmC ．2150cmD ．2375cm 【答案】D【详解】解：∵一块面积为260cm 的三角形硬纸板（记为ABC ）平行于投影面时，在点光源O 的照射下形成的投影是111A B C △，123OB BB =::，∴125OB OB =，∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2:5，∵三角形硬纸板的面积为260cm ，∴111224525ABC A B C S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，∴111A B C △的面积为2375cm ．故选：D ．3．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形CEFG 的顶点G 在正方形ABCD 的边CD 上，AF 与DC 交于点H ，若6AB =，2CE =，则DH 的长为（）A ．2B ．3C ．52D ．834．（2024·湖南·中考真题）如图，在ABC 中，点D E ，分别为边AB AC ，的中点．下列结论中，错误的是（）A ．DE BC ∥B ．ADE ABC △△∽C ．2BC DE=D ．12ADE ABC S S =【答案】D【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断A C 、；由相似三角形的判定和性质可判断B D 、，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】解：∵点D E ，分别为边AB AC ，的中点，∴DE BC ∥，2BC DE =，故A C 、正确；∵DE BC ∥，∴ADE ABC △△∽，故B 正确；∵ADE ABC △△∽，∴221124ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△，∴14ADE ABC S S =，故D 错误；故选：D ．5．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（）A ．甲和乙B ．乙和丁C ．甲和丙D ．甲和丁【答案】D【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可．【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形．故选D ．6．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABC 与A B C ''' 是位似图形，位似中心为点O ．若点(3,1)A -的对应点为(6,2)A '-，则点(2,4)B -的对应点B '的坐标为（）A ．(4,8)-B ．(8,4)-C ．(8,4)-D ．(4,8)-【答案】A【分析】本题考查了位似变换，根据点'A A 、的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键．【详解】解：∵ABC 与A B C ''' 是位似图形，点(3,1)A -的对应点为(6,2)A '-，∴A B C ''' 与ABC 的位似比为2，∴点(2,4)B -的对应点B '的坐标为()22,42-⨯⨯，即()4,8-，故选：A ．7．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，矩形OABC 各顶点的坐标分别为()0,0O ，()3,0A ，()3,2B ，()0,2C ，以原点O 为位似中心，将这个矩形按相似比13缩小，则顶点B 在第一象限对应点的坐标是（）A ．()9,4B ．()4,9C ．31,2⎛⎫ ⎪D ．21,3⎛⎫ ⎪8．（2024·四川成都·中考真题）如图，在ABCD Y 中，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交BA ，BC 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在ABC ∠内交于点O ；③作射线BO ，交AD 于点E ，交CD 延长线于点F ．若3CD =，2DE =，下列结论错误的是（）A ．ABE CBE ∠=∠B ．5BC =C ．DE DF =D ．53BE EF =【答案】D【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到BF 为ABC ∠的角平分，利用平行线证明AEB ABE ∠=∠，从而得到3AE AB CD ===，再利用平行四边形的性质得到325BC AD AE ED ==+=+=，再证明AEB DEF △∽△，分别求出32BE EF =，2DF =，则各选项可以判定．【详解】解：由作图可知，BF 为ABC ∠的角平分，∴ABE CBE ∠=∠，故A 正确；∵四边形ABCD 为平行四边形，∴,,AD BC AB CD AD BC == ，∵AD BC∥∴AEB CBE ∠=∠，∴AEB ABE ∠=∠，∴3AE AB CD ===，∴325BC AD AE ED ==+=+=，故B 正确；∵AB CD =，∴ABE F ∠=∠，∵AEB DEF ∠=∠，∴AEB DEF △∽△，∴BE AB AEEF DF ED ==，∴332BE EF DF ==，∴32BE EF =，2DF =，故D 错误；∵2DE =，∴DE DF =，故C 正确，故选：D ．9．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为对角线BD AC ，的三等分点，连接AE 并延长交CD 于点G ，连接EF FG ，，若AGF α∠=，则FAG ∠用含α的代数式表示为（）A ．452α︒-B ．902α︒-C ．452α︒+D ．2α【答案】B【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．证明EOF DOC ∽△△，求得45OFE ∠=︒，证明ABE GDE ∽，证得12DG CD CG ==，推出()SAS DEG CFG ≌，得到GE GF =，据此求解即可．【详解】解：∵正方形ABCD 中，点E ，F 分别为对角线BD AC ，的三等分点，∴OD OC =，45ODC OCD ∠=∠=︒，DE CF =，∴OE OF =，∵EOF DOC ∠=∠，OE OFOD OC=，∴EOF DOC ∽△△，∴45OFE OCD ∠=∠=︒，∵点E ，F 分别为对角线BD AC ，的三等分点，∴12DE BE =，∵正方形ABCD ，∴AB CD ∥，∴ABE GDE ∽，∴12DG DE AB BE ==，∴12DG CD CG ==，∴()SAS DEG CFG ≌，∴GE GF =，∴()111809022GEF AGF α∠=︒-∠=︒-，∴1190904545222FAG GEF AFE ααα∠=︒-︒--︒=︒-=∠-∠=，故选：B ．10．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A 为反比例函数()0y x x=-<图象上的一点，连接AO ，过点O 作OA 的垂线与反比例()40y x x =>的图象交于点B ，则AOBO的值为（）A ．12B ．14C ．33D ．13【答案】A【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k 的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A 作AC x ⊥轴于C ，过B 作BD x ⊥轴于D ，证明AOC OBD △∽△，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．【详解】解：过A 作AC x ⊥轴于C ，过B 作BD x ⊥轴于D ，∴11122ACO S =⨯-= ，1422BDO S =⨯= ，90ACO ODB ∠=∠=︒，∵OA OB ⊥，∴90AOC OBD BOD ∠=∠=︒-∠，∴AOC OBD △∽△，∴2ACO BDO S OA S OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，即2122OA OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴12OA OB =（负值舍去），故选：A ．11．（2024·山东威海·中考真题）如图，在ABCD Y 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点E 在BC 上，点F 在CD 上，连接AE ，AF ，EF ，EF 交AC 于点G ．下列结论错误的是（）A ．若CE ADCF AB=，则EF BD ∥B ．若AE BC ⊥，AF CD ⊥，AE AF =，则EF BD ∥C ．若EF BD ∥，CE CF =，则EAC FAC ∠=∠D ．若AB AD =，AE AF =，则EF BD ∥∴AC BD⊥在Rt ,Rt ACE AFC 中，AE AF AC AC=⎧⎨=⎩∴Rt Rt ACE AFC ≌∴CE CF =又∵AE AF =∴AC EF⊥∴EF BD ∥，故B 选项正确，C.∵CE CF =，∴CFE CEF ∠=∠∵EF BD ∥，∴,CBD CEF CDB CFE ∠=∠∠=∠∴CBD CDB ∠=∠∴CB CD=∴四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，又∵EF BD ∥∴AC EF ⊥，∵CE CF =，∴AC 垂直平分EF ，∴AE AF=∴EAC FAC ∠=∠，故C 选项正确；D.若AB AD =，则四边形ABCD 是菱形，由AE AF =，且BE DF =时，可得AC 垂直平分EF ，∵AC BD⊥∴EF BD ∥，故D 选项不正确故选：D ．12．（2024·河南·中考真题）如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为OC 的中点，EF AB ∥交BC 于点F ．若4AB =，则EF 的长为（）A ．12B ．1C ．43D ．213．（2024·安徽·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，2BC =，BD 是边AC 上的高．点E ，F 分别在边AB ，BC 上（不与端点重合），且DE DF ⊥．设AE x =，四边形DEBF 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象为（）A ．B ．C．D．【答案】A【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E 作EH AC ⊥于点H ，由勾股定理求出AC ，根据等面积法求出BD ，先证明ABC ADB ∽，由相似三角形的性质可得出AB AC AD AB =，即可求出AD ，再证明AED BFD ∽，由相似三角形的性质可得出2AED BFD S AD S BD ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，即可得出4AED BFD S S = ，根据()ABC AED BDC BDF DEBF S S S S S =--- 四边形，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值．【详解】解：过点E 作EH AC ⊥于点H ，如下图：∵90ABC ∠=︒，4AB =，2BC =，∴2225AC AB BC =+=，∵BD 是边AC 上的高．∴1122AB BC AC BD ⋅=⋅，∴455BD =，∵BAC CAB ∠=∠，90ABC ADB ∠=∠=︒，∴ABC ADB ∽△△，∴AB AC AD AB=，解得：855AD =，∴85252555DC AC AD =-=-=，∵90BDF BDE BDE EDA ∠+∠=∠+∠=︒，90CBD DBA DBA A ∠+∠=∠+∠=︒，∴DBC A ∠=∠，BDF EDA ∠=∠，∴AED BFD ∽，14．（2024·山东·中考真题）如图，点E 为ABCD Y 的对角线AC 上一点，5AC =，1CE =，连接DE 并延长至点F ，使得EF DE =，连接BF ，则BF 为（）A ．52B ．3C ．72D ．4【答案】B【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键．作辅助线如图，由平行正相似先证DEC GAE ∽，再证BGF AGE ∽，即可求得结果．【详解】解：延长DF 和AB ，交于G 点，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥，DC AB =即DC AG ∥，∴DEC GAE∽∴CE DE DC AE GE AG==，∵5AC =，1CE =，∴514AE AC CE =-=-=，∴14CE DE DC AE GE AG ===，又∵EF DE =，14DE DE GE EF FG ==+，∴13EF FG =，∵14DC DC AG AB BG ==+，DC AB =，∴13DC BG =，∴13EF DC FG BG ==，∴34BG FG AG EG ==∴AE BF ∥，∴BGF AGE ∽，∴34BF FG AE EG ==∵4AE =，∴3BF =．故选：B ．二、填空题15．（2024·江苏盐城·中考真题）两个相似多边形的相似比为12∶，则它们的周长的比为．【答案】12∶/12【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形周长之比等于相似比即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键．【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为12∶，∴它们的周长的比为12∶，故答案为：12∶．16．（2024·云南·中考真题）如图，AB 与CD 交于点O ，且AC BD ∥．若12OA OC AC OB OD BD ++=++，则AC BD =．17．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB 经小孔O 在屏幕（竖直放置）上成像A B ''．设36cm AB =，24cm A B ''=．小孔O 到AB 的距离为30cm ，则小孔O 到A B ''的距离为cm ．【答案】20【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得AB A B ''∥，AOB A OB ''∽△△，过O 作OC AB ⊥于点C ，CO 交A B ''于点C '，利用已知得出''AOB A OB △∽△，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．【详解】由题意得：AB A B ''∥，∴AOB A OB ''∽△△，如图，过O 作OC AB ⊥于点C ，CO 交A B ''于点C '，∴OC A B '''⊥，30cm OC =，∴A B OC AB OC '''=，即243630OC '=，∴20OC '=（cm ），即小孔O 到A B ''的距离为20cm ，故答案为：20．18．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，点E 是OA 的中点，点F 是OD 上一点．连接EF ．若45FEO ∠=︒，则EF BC 的值为．【答案】12【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到45OAD ∠=︒，AD BC =，再证明EF AD ∥，进而可证明OEF OAD △∽△，由相似三角形的性质可得12EF OE AD OA ==，即12EF BC =．【详解】解：∵正方形ABCD 的对角线AC BD ，相交于点O ，∴45OAD ∠=︒，AD BC =，19．（2024·四川眉山·中考真题）如图，ABC 内接于O ，点O 在AB 上，AD 平分BAC ∠交O 于D ，连接BD ．若10AB =，BD =BC 的长为．10AB = ，25BD =，()22102545AD ∴=-=，DAC CBD ∠=∠ ，又∵BAD DAE ∠=∠，∴BAD CBD ∠=∠，90ADB BCE ∠=∠=︒ ，ABD BEC ∴ ∽，BE BC AB AD∴=，451045BC ∴=，8BC ∴=，故答案为：8．20．（2024·湖北·中考真题）DEF 为等边三角形，分别延长FD DE EF ，，，到点A B C ，，，使DA EB FC ==，连接AB AC ，，BC ，连接BF 并延长交AC 于点G ．若2AD DF ==，则DBF ∠=，FG =．【答案】30︒/30度435/435【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理．利用三角形的外角性质结合EB EF =可求得30DBF ∠=︒；作CH BG ⊥交BG 的延长线于点H ，利用直角三角形的性质求得1CH =，3FH =，证明AGF CGH ∽，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．【详解】解：∵DEF 为等边三角形，DA EB FC ==，∴112CH CF ==，FH =∵90AFB H ∠=∠=︒，∴AF CH ∥，∴AGF CGH ∽，21．（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形ABCD 的边长为6，120BAD ∠=︒，过点D 作DE BC ⊥，交BC 的延长线于点E ，连结AE 分别交BD ，CD 于点F ，G ，则FG 的长为．【详解】解： 菱形ABCD 的边长为6，120BAD ∠=︒，6AD BC CD ∴===，AD BC ∥，120BCD ∠=︒，60DCE ∴∠=︒，DE BC ⊥ ，90DEC ∴∠=︒，在Rt DCE V 中，9030CDE DCE ∠=-︒∠=︒ ，132CE CD ∴==，2233DE CD CE ∴=-=，9BE BC CE ∴=+=，AD BE ，18090ADE DEC ︒︒∴∠=-∠=，在Rt ADE △中，()222233637AE DE AD =+=+=，AD BE ，AFD EFB ∴ ∽，6293AF AD FE BE ∴===，226737555AF AE ∴==⨯=，AD CE ∥，AGD EGC ∴△∽△，623AG AD EG CE ∴===，22372733AG AE ∴==⨯=，67472755FG AG AF ∴=-=-=．故答案为：475．22．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC 和BD 交于点O ，若13ABD BCD S S =△△，则AOD BOC S S =△△．【答案】19【分析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线间的距离，相似三角形的判定与性质是解题的关键．设AD BC ，的距离为d ，则112132ABD BCD AD d S S BC d ⋅==⋅△△，即13AD BC =，证明AOD COB ∽，则2AOD BOC S AD S BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，计算求解即可．【详解】解：设AD BC ，的距离为d ，∴112132ABD BCD AD d S S BC d ⋅==⋅△△，即13AD BC =，∵AD BC ∥，∴ADO CBO ∠=∠，DAO BCO ∠=∠，∴AOD COB ∽，∴221139AOD BOC S S AD BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭V V ，故答案为：19．23．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知点()7,0A -，(),10B x ，()17,C y -，在平行四边形ABCO 中，它的对角线OB 与反比例函数()0k y k x =≠的图象相交于点D ，且:1:4OD OB =，则k =．【答案】15-【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形综合，相似三角形的性质与判定，分别过点,B D ，作x 轴的垂线，垂足分别为,F E ，根据平行四边形的性质得出()2410B -，，证明ODE OBF △∽△得出6OE =，2.5DE =，进而可得()6,2.5D -，即可求解．【详解】如图所示，分别过点,B D ，作x 轴的垂线，垂足分别为,F E ，∵四边形AOCB 是平行四边形，点()7,0A -，(),10B x ，()17,C y -，∴7OA BC ==，∴24x =-，即()2410B -，，则24OF =，10BF =∵DE x ⊥轴，BF x ⊥轴，∴DE BF∥∴ODE OBF△∽△∴14OE OD DE OF OB BF ===∴6OE =， 2.5DE =∴()6,2.5D -∴6 2.515k =-⨯=-故答案为：15-．24．（2024·四川成都·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是ABC 的一条角平分线，E 为AD 中点，连接BE ．若BE BC =，2CD =，则BD =．【答案】1712+【分析】连接CE ，过E 作EF CD ⊥于F ，设BD x =，EF m =，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得112CF DF CD ===，EAC ECA =∠∠，ECD EDC BEC ∠=∠=∠，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到2CED CAE ∠=∠，22AC EF m ==，证明CBE CED ∽，利用相似三角形的性质和勾股定理得到232m x =+；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明CAB FBE ∽∵90ACB ∠=︒，E 为AD 中点，∴CE AE DE ==，又2CD =∴112CF DF CD ===，EAC ∠25．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，ABC ，90ACB ∠=︒，5CB =，10CA =，点D ，E 分别在AC AB ，边上，5AE =，连接DE ，将ADE V 沿DE 翻折，得到FDE V ，连接CE ，CF ．若CEF △的面积是BEC 面积的2倍，则AD =．【答案】103/133【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．设AD x =，5AE x =，根据折叠性质得DF AD x ==，ADE FDE ∠=∠，过E 作EH AC ⊥于H ，设EF 与AC 相交于M ，证明AHE ACB ∽得到EH AH AE BC AC AB==，进而得到EH x =，2AH x =，证明Rt EHD 是等腰直角三角形得到45HDE HED ∠=∠=︒，可得90FDM ∠=︒，证明()AAS FDM EHM ≌得到12DM MH x ==，则3102CM AC AD DM x =--=-，根据三角形的面积公式结合已知可得()31022552x x x ⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭，然后解一元二次方程求解x 值即可．【详解】解：∵5AE AD =，∴设AD x =，5AE x =，∵ADE V 沿DE 翻折，得到FDE V ，∴DF AD x ==，ADE FDE ∠=∠，过E 作EH AC ⊥于H ，设EF 与AC 相交于M ，则90AHE ACB ︒∠=∠=，又A A ∠=∠，三、解答题26．（2024·四川眉山·中考真题）如图，BE 是O 的直径，点A 在O 上，点C 在BE 的延长线上，EAC ABC ∠=∠，AD 平分BAE ∠交O 于点D ，连结DE ．(1)求证：CA 是O 的切线；(2)当8,4AC CE ==时，求DE 的长．【答案】(1)见解析(2)62【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．（1）连接OA ，根据圆周角定理得到90BAE ∠=︒，根据等腰三角形的性质得到ABC BAO ∠=∠，求得90OAC ∠=︒，根据切线的判定定理得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质定理得到16BC =，求得12BE BC CE =-=，连接BD ，根据角平分线的定义得到BAD EAD ∠=∠，求得 BDDE =，得到BD DE =，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OA ，BE 是O 的直径，90BAE ∴∠=︒，90BAO OAE ∴∠+∠=︒，OA OB = ，ABC BAO ∴∠=∠，EAC ABC ∠=∠ ，CAE BAO ∴∠=∠，90CAE OAE ∴∠+∠=︒，90OAC ∴∠=︒，OA 是O 的半径，27．（2024·四川凉山·中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，AD 平分BAC ∠交O 于点D ，过点D 的直线DE AC ⊥，交AC 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点F ．(1)求证：EF 是O 的切线；(2)连接EO 并延长，分别交O 于,M N 两点，交AD 于点G ，若O 的半径为230F ∠=， ，求GM GN ⋅的值．【答案】(1)见详解(2)7225【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质及角平分线得到OD AC ∥，根据平行线的性质得90ODF ∠=︒即可证明；（2）连接,MD AN ，先解Rt ODF △，求得4OF =，23DF =，则6AF =，3AE =，可证明23AD DF ==，由DGO AGE ∽，得23DG OD AG AE ==，故23,55DG AD AG AD ==，证明MGD AGN △∽△，即可得到7225GM GN GD GA ⋅=⋅=．【详解】（1）解：连接OD ，∵OA OD =，∴23∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，∴12∠=∠，∴13∠=∠，∴OD AC ∥，∴ODF AED∠=∠∵DE AC ⊥，∴90AED ∠=︒，∴90ODF ∠=︒，即OD EF ⊥，∵OD 是O 的半径∴EF 是O 的切线；∵30F ∠=︒，∴在Rt ODF △中，24OF OD ==，由勾股定理得：22DF OF OD =-∴246AF =+=，∵在Rt AEF 中，30F ∠=︒，∴132AE AF ==，【点睛】本题考查了圆的切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，30︒的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．28．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，点C 在以AB 为直径的O 上，过点C 作O 的切线l ，过点A 作AD l ⊥，垂足为D ，连接AC BC 、．(1)求证：ABC ACD △△∽；(2)若5AC =，4CD =，求O 的半径．【答案】(1)见解析(2)256【分析】题目主要考查切线的性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．（1）连接OC ，根据题意得90OCD OCA ACD ∠∠∠=+=︒，90ACB ACO OCB ∠∠∠=+=︒，利用等量代换确定ACD ABC ∠∠=，再由相似三角形的判定即可证明；（2）先由勾股定理确定3AD =，然后利用相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）证明：连接OC ，如图所示：∵CD 是O 的切线，点C 在以AB 为直径的O 上，∴90OCD OCA ACD ∠∠∠=+=︒，90ACB ACO OCB ∠∠∠=+=︒，∴ACD OCB ∠∠=，∵OC OB =，∴OBC OCB ∠∠=，∴ACD ABC ∠∠=，∵AD l ⊥，29．（2024·陕西·中考真题）如图，直线l 与O 相切于点A ，AB 是O 的直径，点C ，D 在l 上，且位于点A 两侧，连接BC BD ，，分别与O 交于点E ，F ，连接EF AF ，．(1)求证：BAF CDB ∠=∠；(2)若O 的半径6r =，9AD =，12AC =，求EF 的长．∴90BAF ABD ∠+∠=︒，∴BAF CDB ∠=∠；（2）解：∵6r =，∴212AB r AC ===，222212915BD AB AD =+=+=，∵直线l 与O 相切于点A ，∴90BAC ∠=︒，∴ABC 是等腰直角三角形，∴45ABC ACB ∠=∠=︒，∵AB 是O 的直径，∴90BEA ∠=︒，∴ABE 也是等腰直角三角形，∴cos 4562AE BE AB ==⋅︒=，∵ BFBF =，∴BEF BAF ∠=∠，∵BAF CDB ∠=∠，∴BEF BDC ∠=∠，∴BEF BDC ∽，∴BE EF BD CD =，即6215129EF =+，∴4225EF =．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．30．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形ABCD 中，E 为边CD 上一点，且AE BD ⊥．(1)求证：2AD DE DC =⋅；(2)F 为线段AE 延长线上一点，且满足12EF CF BD ==，求证：CE AD =．∠在矩形ABCD中，ADE ⊥，AE BD∴90∠+∠=︒DAE ADBADB AED∴∠=∠，FEC AED∠=∠，在矩形ABCD 中，12OA OD BD ==， 12EF CF BD ==，OA OD EF CF ∴===，ADO OAD ∴∠=∠，FEC FCE ∠=∠，ADO FEC ∠=∠，FEC E AD F O OAD C ∴∠∠=∠∠==，在ODA V 和FEC 中，ODA FEC OAD FCE OD FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ODA FEC ∴ ≌，CE AD ∴=．【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题第的关键．31．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，O 经过B ，C 两点，与斜边AB 交于点E ，连接CO 并延长交AB 于点M ，交O 于点D ，过点E 作EF CD ∥，交AC 于点F ．(1)求证：EF 是O 的切线；(2)若42BM =，1tan 2BCD ∠=，求OM 的长．【答案】(1)见解析(2)5OM =【分析】（1）连接OE ，延长EO ，交O 于点P ，连接,,PD BD 根据直径所对的圆周角是直角求出45DBE ∠=︒得45DPE ∠=︒，90DOE ∠=︒，由EF CD ∥可得90FED DOE ∠=∠=︒，从而可证明EF 是O 的切线；（2）由1tan 2BCD ∠=得12DB BC =，即12DB AC =，证明DBM ACM ∽ ，得12BM DM DB AM CM AC ===，由42BM =∵,AB BC ACB =∠∴ABC 是等腰直角三角形，∴45,ABC ∠=︒∵CD 是O 的直径，∴8242122AB AM BM =+=+=，在等腰直角三角形ABC 中，222AC BC AB +=,∴()2222122AC AC AB +==，解得，12AC =，∴12AC BC ==，∴16,2DB BC ==在t R BDC 中，222212665,CD BC DB =+=+=∴35CO DO ==，又12DM CM =，∴2,CM DM =∴265,DM DM CD +==∴25DM =∴35255OM OD DM =-=-=【点睛】本题主要考查平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造圆周角是解答本题的关键．32．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，连接BD ，过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，CE 交BD 于点F ，1ABC ∠=∠．(1)求证：23∠∠=；(2)若445∠=︒．①请判断线段BC ，BD 的数量关系，并证明你的结论；②若13BC =，5AD =，求EF 的长．【答案】(1)见解析∴EF BE AD AB =，∴5512EF =，2512EF ∴=．33．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在ABC 中，AB AC =，点D 是AC 上的一个动点，过点D 作DE BC ⊥于点E ，延长ED 交BA 延长线于点F ．请你解决下面各组提出的问题：(1)求证：AD AF =；(2)探究DF DE与AD DC 的关系；某小组探究发现，当13AD DC =时，23DF DE =；当45AD DC =时，85DF DE =．请你继续探究：①当76AD DC =时，直接写出DF DE 的值；②当AD m DC n =时，猜想DF DE的值（用含m ，n 的式子表示），并证明；(3)拓展应用：在图1中，过点F 作FP AC ⊥，垂足为点P ，连接CF ，得到图2，当点D 运动到使ACF ACB ∠=∠时，若AD m DC n =，直接写出AP AD的值（用含m ，n 的式子表示）．【答案】(1)见解析(2)①73DF DE =②2DF DE m n =，证明见解析(3)2AP n AD m=【分析】（1）等边对等角，得到B C ∠=∠，等角的余角的相等，结合对顶角相等，得到F ADF ∠=∠，即可得出结论；∵DE BC ⊥，∴AG CE ∥，∴AGD CED ∽△△，∵AD m DC n =，∴GD AD m ==，由（1）知AD AF =，又AG EF ⊥，∴DG FG =，即2DF DG =，∴22GD m DE nDF DE ==；（3）2AP n AD m =，理由如下：过点D 作DG CF ⊥，∵ACF ACB ∠=∠，DE CE ⊥，∴DG DE =，由（2）知，当AD m DC n =时，2DF DE m n=，∴2DE n DF m =，∴2DG n DF m =，∵PF AC ⊥，∴90ACF CFP ∠+∠=︒，∵FE BC ⊥，∴90B AFD ∠+∠=︒，∵AB AC =，∴ACB B =∠∠，∴B ACF ∠=∠，∴AFD CFP ∠=∠，∴AFD PFD CFP PFD ∠-∠=∠-∠，∴AFP DFG ∠=∠，∴sin sin AFP DFG ∠=∠，∴2AP DG n AF DF m==，由（1）知AD AF =，34．（2024·福建·中考真题）如图，在ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，AE OC ⊥，垂足为,E BE 的延长线交 AD 于点F ．(1)求OE AE的值；(2)求证：AEB BEC △∽△；(3)求证：AD 与EF 互相平分．∴在Rt AOC 中，tan 2AC AOC AO∠==．AE OC ⊥ ，∴在Rt AOE △中，tan AE AOC OE∠=．2AE OE ∴=，12OE AE ∴=；（2）过点B 作BM AE ∥，交EO 延长线于点M ．,90BAE ABM AEO BMO ∴∠=∠∠=∠=︒．AO BO = ，AOE BOM ∴△≌△，,AE BM OE OM ∴==．12OE AE = ，2BM OE EM ∴==，45MEB MBE ∴∠=∠=︒，135AEB AEO MEB ∴∠=∠+∠=︒，180135BEC MEB ∠=︒-∠=︒，AEB BEC ∴∠=∠．,90AB AC BAC =∠=︒ ，45ABC ∴∠=︒，ABM CBE ∴∠=∠，BAE CBE ∴∠=∠，AEB BEC ∴△∽△．（3）如图，连接,DE DF ．90ADB AFB ∴∠=∠=,90AB AC BAC ∠== 2,BC BD DAB ∴=∠=由（2）知，AEB △∽△22AE AB AO BE BC BD ∴===35．（2024·北京·中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，OD 平分AOC ∠.(1)求证：OD BC ∥；(2)延长DO 交O 于点E ，连接CE 交OB 于点F ，过点B 作O 的切线交DE 的延长线于点P .若56OF BF =，1PE =，求O 半径的长.【答案】(1)见解析(2)32【分析】（1）根据题意，得AOC B C ∠=∠+∠，结合OB OC =，得到B C ∠=∠，继而得到2AOC B ∠=∠，根据OD 平分AOC ∠，得到2AOC AOD ∠=∠，继而得到B AOD ∠=∠，可证OD BC ∥；（2）不妨设5,6OF x BF x ==，则11OB OF BF x OC OE =+===，求得111OP OE PE x =+=+，证明OFE BFC ∽，OBM POB ∠=∠，求得665x BC =，取BC 的中点M ，连接OM ，则335x BM =，求得3cos 5OBM ∠=，3cos 5POB ∠=，结合切线性质，得到3cos 51OB OB OB POB OP OE PE OB ∠====++，解答即可.【详解】（1）根据题意，得AOC B C ∠=∠+∠，∵OB OC =，∴B C ∠=∠，∴2AOC B ∠=∠，∵OD 平分AOC ∠，∴2AOC AOD ∠=∠，∴B AOD ∠=∠，∴OD BC ∥；（2）∵56OF BF =，1PE =，不妨设5,6OF x BF x ==，则11OB OF BF x OC OE =+===，∴111OP OE PE x =+=+，∵OD BC ∥，2【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算，等量代换思想，熟练掌握三角形相似的判定和性质，切线的性质，解直角三角形的相关计算是解题的关键36．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在ABC 中，点D 为边AB 上一点，连接CD ．(1)初步探究如图2，若ACD B ∠=∠，求证：2AC AD AB =⋅；(2)尝试应用如图3，在（1）的条件下，若点D 为AB 中点，4BC =，求CD 的长；(3)创新提升如图4，点E 为CD 中点，连接BE ，若30CDB CBD ∠=∠=︒，ACD EBD ∠=∠，27AC =BE 的长．【答案】(1)证明见解析(2)22CD =(3)21【分析】（1）根据题意，由ACD B ∠=∠，A A ∠=∠，利用两个三角形相似的判定定理即可得到ACD ABC △△∽，再由相似性质即可得证；（2）设AD BD m ==，由（1）中相似，代值求解得到2AC m =，从而根据ACD 与ABC 的相似比为12AD AC =求解即可得到答案；（3）过点C 作EB 的平行线交AB 的延长线于点H ，如图1所示，设CE DE a ==，过点B 作BF EC ⊥于点F ，如图2所示，利用含30︒的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相似的判定与性质得到21277AD AC CD a AC AH CH a ====，代值求解即可得到答案．【详解】（1）证明：∵ACD B ∠=∠，A A ∠=∠，∴ACD ABC △△∽，∵点E 为CD 中点，∴设CE DE a ==，∵30CDB CBD ∠=∠=︒，∴2CB CD a ==，120DCB ∠=︒，∴60FCB ∠=︒，∴30CBF ∠=︒，∴12CF BC =，∴CF a =，3BF a =，∴2EF a =，∴7BE a =，∵CH BE ∥，点E 为CD 中点，∴227CH BE a ==，243DH DB a ==，EBD H ∠=∠，又∵ACD EBD ∠=∠，∴ACD H ∠=∠，ACD AHC ∽△△，∴21277AD AC CD a AC AH CH a ====，又∵27AC =，∴2AD =，14AH =，∴12DH =，即4312a =，∴3a =，∴721BE a ==．【点睛】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质、含30︒的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．37．（2024·安徽·中考真题）如图1，ABCD Y 的对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，且AM CN =．点E ，F 分别是BD 与AN ，CM 的交点．(1)求证：OE OF =；(2)连接BM 交AC 于点H ，连接HE ，HF ．（ⅰ）如图2，若HE AB ∥，求证：HF AD ∥；（ⅱ）如图3，若ABCD Y 为菱形，且2MD AM =，60EHF ∠=︒，求AC BD 的值．∴OHF OAD ∠=∠，∴HF AD∥（ⅱ）∵ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，又OE OF =，60EHF ∠=︒，∴30EHO FHO ∠=∠=︒，∴3OH OE =，∵AM BC ∥．2MD AM =，∴AHM CHB ∽，∴13AH AM HC BC ==，即3HC AH =，∴()3OA AH OA OH +=-，∴2OA OH =，∵BN AD ∥，2MD AM =，AM CN =，∴BNE DAE ∽，∴23BE BN ED AD ==，即32BE ED =，∴()()32OB OE OB OE -=+∴5OB OE =，故22323555AC OA OH OE BD OB OE OE ⨯====．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，全等三角形判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，平行线截线段成比例以及菱形的性质，掌握这些判定方法以及性质是解题的关键．38．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在ABCD Y 中，ABC ∠为锐角，点E 在边AD 上，连接,BE CE ，且ABE DCE S S = ．(1)如图1，若F 是边BC 的中点，连接EF ，对角线AC 分别与,BE EF 相交于点,G H ．①求证：H 是AC 的中点；②求::AG GH HC ；(2)如图2，BE 的延长线与CD 的延长线相交于点M ，连接,AM CE 的延长线与AM 相交于点N ．试探究线段AM 与线段AN 之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)①见解析；②::2:1:3AG GH HC =(2)3AM AN =，理由见解析【分析】（1）①根据ABE DCE S S = ，得出E 为AD 的中点，证明出AHE CHF ≌即可；②先证明出AGB HGE ∽得到2AB AG EH GH==，然后再根据平行四边形的性质找到线段的数量关系求解；（2）连接BD 交CN 于点F ，证明()AAS AEB DEM ≌，进一步证明出四边形ABDM 为平行四边形，得出DF 为CMN 的中位线，得到12DF MN =，再证明出AEN DEF ≌得到DF AN =，再通过等量代换即可求解．【详解】（1）解：①ABE DCE S S = ，E ∴为AD 的中点，AE DE ∴=，F 是边BC 的中点，BF CF ∴=，AE CF ∴=，在ABCD Y 中，AD BC∴EAH FCH ∠=∠，又∵AHE CHF ∠=∠，()AAS AHE CHF ∴ ≌，。
中考数学 相似三角形专题训练(含答案)
2020中考数学相似三角形专题训练（含答案）一、选择题：1. 如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC=，则△ABC移动的距离是（ ）A．B．C．D．﹣答案：D．2.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（ ）A．=B．=C．=D．=答案：C3. 如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①=；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（ ）A．①②③④ B．①④ C．②③④D．①②③答案D．4.如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF平分∠BCD，交EA的延长线于点F，且BC=4，CD=2，给出下列结论：①∠BAE=∠CAD；②∠DBC=30°；③AE=；④AF=2，其中正确结论的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个答案C．二、填空题：5.已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若=，AD=10，则AO= ．答案：4．6. 在△ABC在，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE= 时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．答案：或．7.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为．故答案为113°或92°．8.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM= AB．若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是．答案：1．9. （2017内江）如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF=，则CE= ．答案：．10.如图，在▱ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F，点M是边AB的一个三等分点，则△AOE与△BMF的面积比为．故答案为3：4．三、解答题：11.如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠BDE=180°﹣∠B﹣∠DEB，∠CEF=180°﹣∠DEF﹣∠DEB，∵∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF，∴△BDE∽△CEF；（2）∵△BDE∽△CEF，∴，∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴，∵∠DEF=∠B=∠C，∴△DEF∽△CEF，∴∠DFE=∠CFE，∴FE平分∠DFC．12.如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．①求证：△DAE≌△DCF；②求证：△ABG∽△CFG．【解答】证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF；②延长BA到M，交ED于点M，∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，∵∠MAD=∠BCD=90°，∴∠EAM=∠BCF，∵∠EAM=∠BAG，∴∠BAG=∠BCF，∵∠AGB=∠CGF，∴△ABG∽△CFG．13. 如图，在▱ABCD中过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．（1）求证：△ABF∽△BEC；（2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，∵∠AFB+∠AFE=180°，∴∠C=∠AFB，∴△ABF∽△BEC；（2）解：∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED=∠BAE=90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE===4，在Rt△ADE中，AE=AD•sinD=5×=4，∵BC=AD=5，由（1）得：△ABF∽△BEC，∴，即，解得：AF=2．∵△ADF∽△DEC，14. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．（1）如图1，当∠ADC=90°时，线段MD与ME的数量关系是 MD=ME ；（2）如图2，当∠ADC=60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当∠ADC=α时，求的值．【解答】解：（1）如图1，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=90°，∴∠BED=∠ADC=90°，∠ACD=45°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=45°，∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=45°=∠ECB，∴CE=BE，∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=45°，∴MD=ME，故答案为MD=ME；（2）MD=ME，理由：如图2，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=60°，∴∠BED=∠ADC=60°，∠ACD=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=30°，∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=30°=∠ECB，∴CE=BE，∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=30°，在Rt△MDE中，tan∠MDE=，∴MD=ME．（3）如图3，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，延长BE交AC于点N，∴∠BNC=∠DAC，∵DA=DC，∴∠DCA=∠DAC，∴∠BNC=∠DCA，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=∠EBC，∴CE=BE，∴AF=CE，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∵∠ADC=α，∴∠MDE=，在Rt△MDE中，=tan∠MDE=tan．15. （1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE 是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB、AD、DC之间的等量关系为 AD=AB+DC ；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E 是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE 上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）如图①，延长AE交DC的延长线于点F，∵AB∥DC，∴∠BAF=∠F，∵E是BC的中点，∴CE=BE，在△AEB和△FEC中，，∴△AEB≌△FEC，∴AB=FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAF=∠BAF，∴∠DAF=∠F，∴DF=AD，∴AD=DC+CF=DC+AB，故答案为：AD=AB+DC；（2）AB=AF+CF，证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC，∴AB=GC，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG=∠FAG，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠G，∴∠FAG=∠G，∴FA=FG，∴AB=CG=AF+CF；（3）AB=（CF+DF），证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵AB∥CF，∴△AEB∽△GEC，∴==，即AB=CG，∵AB∥CF，∴∠A=∠G，∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=CG=（CF+DF）．。
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2020年中考数学专题训练：图形的相似时间:100分钟满分:120分一、选择题(本大题有16个小题,共42分.1~10小题各3分,11~16小题各2分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列选项中的两个图形不是相似图形的是()A B C D2.已知a2=b3=c4≠0,则3a+2b-7c2a-b+5c的值为()A.45 B.-1621C.2D.-123.如图,已知l1∥l2∥l3,若AB=1,BC=2,DE=1.5,则EF的长为()A.1.5B.2C.2.5D.34.如图,△DEF是由△ABC经过位似变换得到的,点O是位似中心,D,E,F分别是OA,OB,OC的中点,则△DEF与△ABC的周长比是()A.1∶6B.1∶5C.1∶4D.1∶25.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是AD,AB边上的点,连接CE,DF,相交于点G,延长CE交BA的延长线于点H,则图中的相似三角形共有()A.5对B.4对C.3对D.2对6.如图,G,F分别是△BCD的边BC,CD上的点,BD的延长线与GF的延长线相交于点A,DE∥BC,交GA于点E,则下列结论错误的是()A.ADBD =AEEGB.DECG=DFCFC.AEAG=DEBCD.ADAB=DEBG7.如图,取一张长为a,宽为b的长方形纸片,将它对折两次后得到一张小长方形纸片,若要使小长方形与原长方形相似,则原长方形纸片的边a,b应满足的条件是()A.a=√2bB.a=2bC.a=2√2bD.a=4b8.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D,若AC=2,则AD的长是()A.√5-12 B.√5+12C.√-1D.√9.已知△ABC 的三边长分别为6,152,9,△DEF 的一边长为4,为使△DEF 与△ABC 相似,则△DEF 的另外两边长可能为( )A.2,3B.4,5C.5,6D.6,710.我们在制作视力表时发现,每个“E”形图的长和宽相等(即每个“E”形图近似于正方形),如图,小明在制作视力表时,测得l 1=14 cm,l 2=7 cm,他选择了一张面积为4 cm 2的正方形卡纸,刚好可以剪得第②个小“E”形图,那么能够刚好剪得第①个大“E”形图的是( )A.面积为8 cm 2的卡纸B.面积为16 cm 2的卡纸C.面积为32 cm 2的卡纸D.面积为64 cm 2的卡纸11.如图,已知△ABC ,△DCE ,△FEG ,△HGI 是4个全等的等腰三角形,底边BC ,CE ,EG ,GI 在同一直线上,且AB=2,BC=1,连接AI ,交FG 于点Q ,则QI= ( )A.1B.√616C.√666D.4312.如图,E(-4,2),F(-1,-1).以O为位似中心,按位似比为1∶2,把△EFO缩小,则点E的对应点的坐标为()A.(-2,1)B.(2,-1)C.(2,-1)或(-2,-1)D.(-2,1)或(2,-1)13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为()A.32 B.43C.53D.8514.如图,在▱ABCD中,O1,O2,O3分别是对角线BD上的三点,且BO1=O1O2=O2O3=O3D,连接AO1并延长交BC于点E,连接EO3并延长交AD于点F,则AF∶DF=()A.19∶2B.9∶1C.8∶1D.7∶115.如图,工地上竖着两根电线杆AB,CD,分别自两杆上高出地面10 m,15 m的A,C处向两侧地面上的E,D,B,F处拉钢索将两杆固定,钢索AD与钢索BC的交点M离地面的高度MH为()A.3 mB.4 mC.6 mD.不能确定 16.如图是一块面积为 1.5 m 2 的直角三角形木板ABC ,其中∠B=90°,AB=1.5 m,现要把它加工成正方形木板DEFG (EF 在边AC 上,点D 和点G 分别在边AB 和BC 上),则该正方形木板的边长为 ( )A.3037m B.56m C.45m D.1 m二、填空题(本大题有3个小题,共12分.17~18小题各3分;19小题有2个空,每空3分)17.如图,已知D ,E 分别是△ABC 的AB ,AC 边上的点,DE ∥BC ,且S △ADE ∶S四边形DBCE=1∶8,那么AE∶AC 等于 .18.如图,点P 1,P 2,P 3,P 4均在坐标轴上,且P 1 P 2⊥P 2P 3,P 2P 3⊥P 3P 4,若点P 1,P 2的坐标分别为(0,-1),(-2,0),则点P 4的坐标为 .三、解答题(本大题有7个小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分8分)已知a ,b ,c 是△ABC 的三边,且满足a+43=b+32=c+84,且a+b+c=12,请你探索△ABC 的形状.20.(本小题满分9分)如图,过▱ABCD 的一个顶点A 作一直线分别交对角线BD ,边BC ,边DC 的延长线于点E ,F ,G.求证:EA EF =EGEA .21.(本小题满分9分)如图,已知在△ABC 中,点D ,E 分别在边AB 和AC 上,DE ∥BC ,过点C 作CF ∥AB ,交DE 的延长线于点F.若AD∶BD=3∶2,BC=15,求EF 的长.22.(本小题满分9分)如图,在正方形网格纸(每个小正方形的边长为1)中,△ABC为格点三角形(顶点都在格点上).在网格纸中,以O为位似中心画出△ABC的位似图形,使△ABC与其位似图形的位似比为1∶2(不要求写画法),并求出△ABC与其位似图形的面积.23.(本小题满分10分)如图,为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度,小亮在操场上点C处直立高3 m的竹竿CD,然后退到点E处,此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合;小亮又在点C1处直立高3 m的竹竿C1D1,然后退到点E1处,此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合.小亮的眼睛离地面的高度EF=1.5 m,量得CE=2 m,EC1=6m,C1E1=3 m.求电线杆AB 的高度.24.(本小题满分10分)如图,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s 的速度移动,如果P,Q同时出发,用t(单位:s,0≤t≤6)表示移动时间.(1)t为何值时,△QAP为等腰直角三角形?(2)请计算四边形QAPC的面积,并提出一个与计算结果有关的结论.(3)t为何值时,以点Q,A,P为顶点的三角形与△ABC相似?25.(本小题满分11分)阅读理解:如图1,在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A,B重合),分别连接ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点.解决问题:(1)如图1,∠A=∠B=∠DEC=55°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点,并说明理由;(2)如图2,矩形ABCD的顶点A,B,C,D均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E;拓展探究:(3)如图3,将矩形ABCD沿CM折叠,使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点,试探究AB和BC 的数量关系.参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D D B C B C 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 答案CBDDACCA17.1∶3 18.(8,0) 19. 设a+43=b+32=c+84=k,可得a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8, 代入a+b+c=12,得9k-15=12,解得k=3, ∴a=5,b=3,c=4, ∴△ABC 为直角三角形.20. ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,AB∥DC, ∴EA EF =DE BE ,EG EA =DE BE ,∴EA EF =EGEA.21. ∵DE∥BC,CF∥AB,∴∠CEF=∠AED=∠ACB,∠ECF=∠CAB, ∴△CEF∽△ACB,∴EF CB =CFAB,∴EF=CFAB·BC.∵DF∥BC,CF∥BD,∴四边形BCFD 为平行四边形,∴CF=BD.∵AD∶BD=3∶2,BC=15,∴EF=CF AB ·BC=22+3×15=6.22. 如图,△EFG,△MNH 即所求.S △ABC =2×3-12×1×2-12×1×2-12×3×1=52.易知S △ABCS △EFG =(12)2=14,∴S △EFG =S △MNH =4×52=10.23. ∵DC⊥AE,D 1C 1⊥AE,BA⊥AE,∴DC∥D 1C 1∥AB.由D 1C 1∥AB,得△F 1D 1N∽△F 1BG,∴D 1N BG =F 1N F 1G . 由DC∥AB,得△FDM∽△FBG,∴DM BG =FM FG . ∵D 1N=DM,∴FM FG =F 1N F 1G , 即2GM+2=3GM+11,∴GM=16 m,∴F 1G=27 m. ∵D 1N BG =F 1NF 1G ,∴1.5BG =327,∴BG=13.5 m. ∴AB=BG+GA=15 m.答:电线杆AB 的高度为15 m.24. (1)经过t s,AP=2t,DQ=t,AQ=6-t,当AQ=AP,即6-t=2t,t=2时,△QAP 为等腰直角三角形.(2)在△QAC 中,AQ=6-t,AQ 边上的高DC=12,∴S △QAC =12QA·DC=12(6-t)×12=36-6t. 在△APC 中,AP=2t,BC=6,∴S △APC =12AP·BC=12×2t×6=6t, ∴S 四边形QAPC =S △QAC +S △APC =(36-6t)+6t=36(cm 2).结论:在P,Q 两点移动的过程中,四边形QAPC 的面积始终保持不变.(3)由题意知需分两种情况:①当QA AB =AP BC 时,△QAP∽△ABC, ∴6-t 12=2t 6,∴t=1.2.②当QA BC =AP AB 时,△PAQ∽△ABC, ∴6-t 6=2t 12,∴t=3.综上,当t=1.2或t=3时,以点Q,A,P 为顶点的三角形与△ABC 相似.25. (1)点E 是四边形ABCD 的边AB 上的相似点.理由如下: ∵∠A=∠B=∠DEC=55°,∴∠ADE+∠AED=∠AED+∠BEC=125°,∴∠ADE=∠BEC,∴△AED∽△BCE,∴点E 是四边形ABCD 的边AB 上的相似点.(2)作图如图,点E 位于E 1或E 2处均符合题意.(3)∵点E 是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点,∴△AME∽△BEC∽△EMC,∴∠BCE=∠ECM.由折叠可知CE=CD,∠DCM=∠ECM.又∵∠BCE+∠ECM+∠DCM=90°,∴∠BCE=30°,∴BE=12CE=12CD=12AB, ∴BC=22√(2BE )2-B E 2=√3BE,∴BE BC =√33,∴12AB BC =√33, ∴AB=2√33BC.。